GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH

GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH

ĐỖ ĐỨC THÁI (CHỦ BIÊN) PHẠM VIỆT ĐỨC VÀ PHẠM HỒNG HÀ GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - 2011 Mục lục I Đại số tuyến tính Các kiến thức mở đầu 11 1.1 Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ 11 1.2 Tập hợp đếm tập hợp có lực lượng continum 16 1.3 Số phức 17 1.4 Các cấu trúc đại số 24 1.4.1 Nhóm 24 1.4.2 Vành-Trường 24 Không gian véctơ 27 2.1 Không gian véctơ 27 2.2 Tổ hợp tuyến tính-Hệ véctơ độc lập tuyến tính hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính 32 2.3 Hạng hệ hữu hạn véctơ 35 2.4 Cơ sở, số chiều không gian véctơ 38 2.5 Không gian véctơ không gian véctơ thương 43 Ma trận ánh xạ tuyến tính 53 3.1 Ma trận phép toán ma trận 53 3.2 Ánh xạ tuyến tính ma trận ánh xạ tuyến tính 62 3.3 Hạt nhân, ảnh đồng cấu Đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu 66 3.4 Tự đồng cấu tự đẳng cấu 71 3.5 Không gian véctơ đối ngẫu 75 Định thức hệ PT tuyến tính 4.1 Phép dấu phép 79 4.2 Định thức ma trận 84 4.3 Hệ phương trình tuyến tính 92 4.4 Hệ phương trình tuyến tính 102 Cấu trúc tự đồng cấu 111 5.1 Không gian riêng tự đồng cấu tuyến tính 111 5.2 Tự đồng cấu chéo hoá 118 5.3 Tự đồng cấu luỹ linh 121 5.4 Ma trận chuẩn Jordan tự đồng cấu 127 5.5 Định lý Cayley-Hamilton, đa thức cực tiểu 138 Không gian véctơ Euclid II 79 141 6.1 Tích vơ hướng không gian véctơ Euclid 141 6.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 145 6.3 Vài nét không gian unita 150 6.4 Dạng toàn phương 152 Hình học tuyến tính 167 Hình học affine 169 7.1 Định nghĩa không gian affine 169 7.2 Ánh xạ affine 176 7.3 Ba định lí hình học phẳng 187 7.4 Tọa độ Descartes Hình học affine 192 7.5 Bài tập cho Chương 195 Hình học Euclid 209 8.1 Khơng gian Euclid 209 8.2 Cấu trúc đẳng cự 213 8.3 Hình học Euclid mặt phẳng 223 8.4 Hình học Euclid không gian 238 8.5 Tích véctơ tính tốn diện tích 242 8.6 Bài tập cho Chương 246 Hình học xạ ảnh 267 9.1 Các khái niệm mở đầu 267 9.2 Không gian xạ ảnh 269 9.3 Liên hệ affine xạ ảnh 270 9.4 Đối ngẫu xạ ảnh 275 9.5 Phép biến đổi xạ ảnh 277 9.6 Tỷ số kép 281 9.7 Bài tập cho Chương 285 10 Cônic siêu mặt bậc hai 299 10.1 Siêu mặt bậc hai cônic affine 299 10.2 Phân loại tính chất cônic affine 305 10.3 Siêu mặt bậc hai cônic xạ ảnh 315 10.4 Bài tập cho Chương 10 327 Lời nói đầu Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học tuyến tính biên soạn dựa chương trình đào tạo cử nhân theo hình thức tín khoa Tốn trường Đại học Sư phạm làm tài liệu tham khảo cho sinh viên trường Đại học khoa học tự nhiên trường Đại học kỹ thuật Giáo trình gồm có hai phần Phần I trình bày Đại số tuyến tính bao gồm chương Chương trình bày kiến thức mở đầu Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ, Số phức, Các cấu trúc đại số Các chương trình bày kiến thức cốt lõi Đại số tuyến tính như: Khơng gian véctơ, Ma trận ánh xạ tuyến tính, Định thức hệ phương trình tuyến tính, Cấu trúc tự đồng cấu, Không gian véctơ Euclid Phần II giới thiệu Hình học tuyến tính bao gồm chương trình bày kiến thức cốt lõi Hình học affine, Hình học Euclid, Hình học xạ ảnh, Cônic siêu mặt bậc hai Trong Phần I, khơng gian véctơ trường K khơng địi hỏi phải có chiều hữu hạn Điều giúp ích nhiều cho việc học Giải tích, đặc biệt Giải tích hàm Ngồi ra, tư tưởng Lý thuyết phạm trù quán xuyến suốt Phần I nhằm tránh cho việc xây dựng Đại số tuyến tính phụ thuộc vào sở không gian véctơ góp phần để bạn đọc thấy nguồn gốc sâu xa kỹ thuật tinh vi Lý thuyết biểu diễn hay Hình học đại số sau Phần II cung cấp cho bạn đọc sở toán học đại Hình học sơ cấp phát triển sâu sắc chúng Hình học cao cấp Hình học tuyến tính trình bày hình học nhóm biến đổi, đặc biệt hình học nhóm cổ điển Điều cần thiết việc đào tạo sinh viên Toán Trường Đại học Sư phạm, người trở thành giáo viên dạy chương trình hình học nhà trường phổ thơng Giáo trình nhằm phục vụ bạn sinh viên năm đầu đại học, người vừa rời ghế nhà trường phổ thông bắt đầu làm quen với Tốn học cao cấp Vì thế, biên soạn Giáo trình chúng tơi trọng đến yếu tố sư phạm nhằm giúp bạn đọc nắm thực chất môn học Một số định lý khó chương trình, chẳng hạn định lý cấu trúc tự đồng cấu ma trận chuẩn Jordan tự đồng cấu, chứng minh cách đơn giản Cuối mục có nhiều tập để bạn đọc tự kiểm tra kiến thức rèn luyện kỹ giải toán Đặc biệt, hệ thống tập chương Phần II phần tách rời lý thuyết Chúng thực chất kiến thức cần thiết chưa trình bày khn khổ có hạn thời lượng dạy lớp Chúng muốn trao đổi với bạn đồng nghiệp thêm vài quan điểm biên soạn giáo trình Trước hết, kiến thức Đại số tuyến tính Hình học tuyến tính nói trở thành kinh điển (thực tế nhiều năm khơng cịn kết nghiên cứu lĩnh vực cơng bố tạp chí tốn học có uy tín) trình bày nhiều sách hay Vì thế, vấn đề đặt với phải lựa chọn kiến thức xếp cho phù hợp với Khung chương trình đào tạo theo tín Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm khả tiếp thu em sinh viên Mặt khác, cho để đại học hội nhập với quốc tế yếu tố quan trọng sinh viên phải tiếp cận học theo giáo trình chuẩn trường đại học danh tiếng giới Sau cân nhắc, chọn sách "Linear Algebra" tác giả W H Greub [10] "Geometry" tác giả M Audin [7] để dựa vào Đặc biệt, Phần II chúng tơi biên soạn, lựa chọn trích dịch từ Chương 1-6 sách tác giả M Audin [7] Chúng xin chân thành cảm ơn Giáo sư Michèle Audin cho phép sử dụng sách, trao đổi nhiều ý kiến bổ ích ý tưởng Giáo sư biên soạn sách Chúng tơi mong bạn đồng nghiệp, đặc biệt bạn sinh viên đọc tồn chương có liên quan hai sách [7], [10] Cịn có nhiều điều hay mà không đưa vào Giáo trình Cuốn sách cơng sức tập thể giảng viên nghiên cứu sinh Bộ mơn Hình học, Khoa Tốn-Tin Đại học Sư phạm Hà Nội suốt nhiều năm giảng dạy môn học Đại số tuyến tính Hình học tuyến tính Chúng tơi xin chân thành cám ơn TS Phạm Nguyễn Thu Trang, TS Nguyễn Thị Tuyết Mai TS Trần Huệ Minh giúp đỡ nhiều trình chuẩn bị thảo sách Cuốn sách khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận lượng thứ ý kiến đóng góp bạn đọc Hà nội, mùa thu năm 2011 Các tác giả Phần I Đại số tuyến tính D = (−1) = (−1) · = −2 2) Tính định thức −1 −1 ... (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) Ta có: α1 · α2 = r1 · r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2 ) + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 · cos ϕ2 )] = r1 · r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] Vậy tích hai s? ?? phức s? ?? phức có... Đại s? ?? tuyến tính 23 Giả s? ?? α = r(cos ϕ + i sin ϕ), α 6= Hãy tìm s? ?? phức ω = s( cos θ + i sin θ) cho ω n = α Theo cơng thức Moivre ta có: ω n = sn (cos nθ + i sin nθ) S? ?? phức ω n có modun sn argumen... Đại s? ?? tuyến tính 19 Dạng biểu di? ??n hình học s? ?? phức Các s? ?? phức biểu di? ??n điểm mặt phẳng Muốn ta lấy hệ toạ độ Descartes vng góc mặt phẳng, s? ?? phức α = a + ib biểu di? ??n điểm M có toạ độ Descartes