() TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (lưu hành nội bộ) TẬP HỢP LOGIC ÁNH XẠ SỐ PHỨC, MA TRẬN ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH, KHÔNG GIAN VÉCTƠ, ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG KHÔNG GIAN EUCLIDE Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải Hà Nội 2009 MỤC LỤC ( 30 ) Mục lục 1 Chương 1 Tập hợp Logic Ánh xạ Số phức 5 1 Logic 5 1 1 Các phép toán logic 5 1 2 Các tính chất 6 1 3 Lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại 7 Tập hợp 10.
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRƯỜNG VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (lưu hành nội bộ) TẬP HỢP - LOGIC - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC , MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH , KHƠNG GIAN VÉCTƠ , ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH , DẠNG TỒN PHƯƠNG - KHƠNG GIAN E UCLIDE Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội- 2009 MỤC LỤC Mục lục Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức Logic 1.1 1.2 1.3 Các phép toán logic Các tính chất Lượng từ phổ biến lượng từ tồn Tập hợp .10 2.1 Các phép toán tập hợp 10 2.2 Các tính chất 10 Ánh xạ 12 3.1 Định nghĩa .12 3.2 Tập ảnh, tập nghịch ảnh 12 3.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 12 Cấu trúc đại số 15 4.1 Cấu trúc nhóm .15 4.2 Cấu trúc vành .15 4.3 Cấu trúc trường 16 Số phức 19 5.1 Dạng tắc số phức 19 5.2 Dạng lượng giác số phức 19 5.3 Số phức liên hợp 20 Chương Ma trận - Định thức - Hệ phương trình .25 Ma trận 25 1.1 Các phép toán ma trận 25 1.2 Các tính chất 25 Định thức 28 2.1 Định nghĩa .28 MỤC LỤC 2.2 2.3 2.4 Hạng 3.1 3.2 Các tính chất định thức 28 Các phương pháp tính định thức 29 Ma trận nghịch đảo .29 ma trận 37 Định nghĩa 37 Phương pháp tính hạng ma trận biến đổi sơ cấp hàng 37 Hệ phương trình tuyến tính 38 4.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính 38 4.2 Hệ Cramer 38 4.3 Định lý Kronecker-Capelli 38 4.4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt 39 Chương Không gian véctơ 45 Khái niệm 45 1.1 Định nghĩa 45 1.2 Một số tính chất ban đầu không gian véctơ 46 1.3 Bài tập 46 Không gian véctơ 47 2.1 Định nghĩa 47 2.2 Điều kiện cần đủ để W ⊂ V không gian véctơ 47 2.3 Không gian sinh họ véctơ 47 2.4 Hệ sinh không gian véctơ 47 2.5 Bài tập 47 Cơ sở toạ độ 50 3.1 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính .50 3.2 Cơ sở số chiều không gian véctơ 50 3.3 Bài tập 51 Số chiều sở không gian sinh họ véctơ - Hạng họ véctơ 53 4.1 Mở đầu 53 4.2 Hạng họ véctơ 53 4.3 Cách tính hạng họ véctơ biến đổi sơ cấp .53 4.4 Số chiều sở không gian sinh họ véctơ 53 4.5 Bài tập 54 Bài toán đổi sở 57 5.1 Đặt vấn đề 57 5.2 Ma trận chuyển 57 5.3 Bài tập 57 MỤC LỤC Chương Ánh xạ tuyến tính 59 Ánh xạ tuyến tính 59 1.1 Khái niệm 59 1.2 Bài tập 59 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 61 2.1 Các tính chất hạt nhân ảnh .61 2.2 Hạng ánh xạ tuyến tính - Định lý số chiều 61 2.3 Bài tập 61 Ma trận ánh xạ tuyến tính 64 3.1 Khái niệm 64 3.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính thơng qua phép đổi sở 65 3.3 Bài tập 65 Trị riêng véctơ riêng 67 4.1 Trị riêng véctơ riêng ma trận 67 4.2 Trị riêng véctơ riêng tốn tử tuyến tính .67 4.3 Chéo hoá ma trận 68 4.4 Bài tập 68 Chương Dạng tồn phương, khơng gian Euclide 71 Khái niệm 71 1.1 Định nghĩa 71 1.2 Phân loại dạng toàn phương 71 1.3 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương không gian hữu hạn chiều 72 1.4 Bài tập 72 Rút gọn dạng toàn phương 74 2.1 Phương pháp Lagrange .74 2.2 Phương pháp Jacobi 74 2.3 Phương pháp chéo hoá trực giao .75 2.4 Bài tập 75 2.5 Kết luận 77 Không gian Euclide 78 3.1 Tích vơ hướng khơng gian có tích vô hướng 78 3.2 Phép trực giao hoá Schmidt 79 3.3 Hình chiếu vectơ lên không gian vectơ 80 3.4 Bài tập 80 Chéo hoá trực giao ma trận - Phương pháp chéo hoá trực giao 87 4.1 Chéo hoá trực giao ma trận 87 4.2 Phương pháp chéo hố trực giao để rút gọn dạng tồn phương 87 MỤC LỤC 4.3 4.4 4.5 điều tập Nhận dạng đường cong phẳng 88 Nhận dạng mặt bậc hai .88 Ứng dụng phép biến đổi trực giao vào tốn tìm cực trị có kiện 89 4.6 .Bài 89 CHƯƠNG TẬP HỢP - L OGIC - ÁNH §1 L OGIC 1.1 Các phép toán logic Phép phủ định A A A =1−A Phép hội A B 1 0 1 A∧ B 0 (A ∧ B) = min{A, B} Phép tuyển XẠ - SỐ PHỨC Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức A B 1 0 1 A∨ B 1 (A ∨ B) = max{A, B} Phép kéo theo A 1 0 Phép tương đương B A→B 1 0 1 (A → B) = max{1 − A, B} A 1 0 B 1 A↔B 0 Chú ý: Để đơn giản mặt kí hiệu, viết A hiểu mệnh đề A giá trị chân lý mệnh đề A tuỳ theo hồn cảnh phù hợp Ví dụ viết A = − A ta hiểu giá trị chân lý mệnh đề A trừ giá trị chân lý A 1.2 Các tính chất Tính giao hốn: A ∧ B ⇔ B ∧ A, A ∨ B ⇔ B ∨ A Tính kết hợp (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C), (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) Tính phân phối A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Logic Tính chất phép kéo theo A → B ⇔ A ∨B Tính chất phép tương đương A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) Chú ý: Để chứng minh mệnh đề logic, ta sử dụng khái niệm tương đương logic, thay cho “khái niệm nhau” mệnh đề Bài tập chủ yếu chứng minh hai mệnh đề tương đương logic chứng minh mệnh đề logic Có ba phương pháp chủ yếu để làm bài: Lập bảng giá trị chân lý Biến đổi tương đương mệnh đề Chứng minh phản chứng 1.3 Lượng từ phổ biến lượng từ tồn Ta thường cần phải phát biểu mệnh đề có dạng "Mọi phần tử x tập hợp X có tính chất P(x)" Người ta quy ước kí hiệu mệnh đề sau: ∀x ∈ X, P(x) Kí hiệu ∀ gọi lượng từ phổ biến, cách viết ngược lại chữ từ "All" tiếng Anh Tương tự ta hay gặp mệnh đề có dạng " Tồn phần tử x X có tính chất P(x)" Mệnh đề quy ước kí hiệu sau: ∃x ∈ X, P(x) Kí hiệu ∃ gọi lượng từ tồn tại, cách viết ngược lại chữ từ "Exists"trong tiếng Anh Mệnh đề " Tồn phần tử x X có tính chất P(x)" viết sau: ∃!x ∈ X, P(x) Lượng từ phổ biến tồn có mối quan hệ quan trọng sau đây: ∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x) ∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x) Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức Bài tập 1.1 Chứng minh mệnh đề sau : a) A ∧ (A ∨ C) → C b) [(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C) c) [A ∧ (A → B)] → B d) [(A ∨ B) ∧ (A → C) ∧ (B → C)] → C Lời giải a) Cách 1: Lập bảng giá trị chân lý A C A 1 0 1 0 1 A∨ C 1 A ∧ (A ∨ C) 0 [A ∧ (A ∨ C)] → C 1 1 Cách 2: Biến đổi tương đương mệnh đề [A ∧ (A ∨ C)] → C ⇔[(A ∧ A) ∨ (A ∧ C)] → C ⇔[0 ∨ (A ∧ C)] → C ⇔[(A ∧ C)] → C ⇔A ∧ C ∨ C ⇔A ∨ C ∨ C ⇔1 Cách 3: Chứng minh phản chứng Giả sử mệnh đề cho sai Vì mệnh đề kéo theo sai giả thiết kết luận sai nên: A ∧ (A ∨ C) = C = Nhưng C = nên A ∧ (A ∨ C) = A ∧ (A ∨ 0) = A ∧ A = 0, mâu thuẫn, chứng tỏ mệnh đề cho Các câu b), c), d) chứng minh tương tự Bài tập 1.2 Chứng minh rằng: a) A ↔ B (A ∧ B) ∨ A ∧ B tương đương logic b) (A → B) → C A → (B → C) không tương đương logic c) A ↔ B A ↔ B tương đương logic Logic Lời giải Cũng giống tốn chứng minh mệnh đề ln đúng, tốn chứng minh hai mệnh đề tương đương logic có phương pháp chứng minh Riêng với toán chứng minh hai mệnh đề khơng tương đương logic ta cần giá trị chân lý mệnh đề mà hai mệnh đề cho có hai giá chị chân lý khác Bài tập 1.3 Cho A tập hợp tập số thực, cận x0 A kí hiệu Inf(A) = x0 xác định mệnh đề sau: “ Với x A có x0 ≤ x với x1 có tính chất x1 x với x A suy x1 x0 ” ≤ ≤ Hãy dùng kí hiệu để diễn tả mệnh đề mệnh đề phủ định Từ đưa cách chứng minh số Inf(A) Lời giải x0 = Inf(A) ⇔ [∀x ∈ A, (x0 ≤ x)] ∧ [∀x1, (x1 ≤ x, ∀x ∈ A) → (x1 ≤ x0)] x0 = Inf(A) ⇔ [∀x ∈ A, (x0 ≤ x)] ∧ [∀x1, (x1 ≤ x, ∀x ∈ A) → (x1 ≤ x0)] ⇔ [∀x ∈ A : (x0 ≤ x)] ∨ [∃x1, (x1 ≤ x, ∀x ∈ A) → (x1 ≤ x0)] ⇔ [∃x ∈ A, x0 > x] ∨ [∃x1, (x1 ≤ x, ∀x ∈ A) ∨ (x1 ≤ x0)] ⇔ [∃x ∈ A, x0 > x] ∨ [∃x1, (x1 ≤ x, ∀x ∈ A) ∧ (x1 > x0)] Bài tập 1.4 [Đề thi ĐS K49] Xét xem mệnh đề sau có tương đương logic khơng a) (A ∨ B) → C (A → C) ∧ (B → C) b) A → (B ∧ C) (A → B) ∧ (A → C) Bài tập 1.5 [Đề thi ĐS K49] Xét xem mệnh đề sau hay sai a) "Nếu số thực x y thoả mãn x > y y > x suy x = y b) "Nếu số tự nhiên n lẻ n2 chẵn suy n số nguyên tố Bài tập 1.6 [Đề thi ĐS K51] Cho (A ∧ B) → (A ∧ C) (A → B) ⊂ (A ∨ C) mệnh đề Chứng minh B → C mệnh đề d) 5x2 + x2 + x2 − 6x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3 90 Chương Dạng tồn phương, khơng gian Euclide 1 = 0, λ2 Lời giải Ta có A = 1 , ma trận A có trị riêng λ1 0 ta tìm vectơ trực chuẩn 1 v1 = √ −1 , v2 = , v3 = √ 2 = 1, λ3 = 2, ứng với Vậy thực phép đổi biến x 1 ξ 1 x2 = √ − √0 ξ x3 2 ξ3 ta q = ξ2 + 2ξ2 Bài tập 5.14 Nhận dạng đường cong phẳng sau: a) 2x2 − 4xy − y2 + = c) 11x2 + 24xy + 4y2 − 15 = e) x2 + xy − y2 = 18 b) x2 + 2xy + y2 + 8x + y = d) 2x2 + 4xy + 5y2 = 24 f) x2 − 8xy + 10y2 = 10 L" ời giải# b) Dùng phương pháp trực giao để rút gọn dạng toàn phương Với ma trận A = 1 ta có phương trình đặc trưng 1 − λ = ⇔ λ = 0, λ = 1 −λ ứng" với 2#trị riêng v"ừa t#ìm ta tìm vectơ riêng trực chuẩn tương ứng f = , f2 =√ √12 −1 1 " # Thực phép đổi biến #" # " √ = x y 1 1 −1 ξ1 ta thu ξ2 Q = 0ξ1 + 2ξ2 + √ [8 (ξ1 + ξ2) + (−ξ1 + ξ2)] Đường cong cho parabol Bài tập 5.15 Nhận dạng mặt bậc sau: Chéo hoá trực giao ma trận - Phương pháp chéo hoá trực giao 91 a) x2 + x2 + x2 + 2x1x2 = b) 5x2 + 2y2 + z2 − 6xy + 2xz − 2yz = c) 2x2 + 2x2 + 3x2 − 2x1x2 − 2x2x3 = 16 d) 7x − 7y + 24xy + 50x − 100y − 175 = 2 e) 7x2 + 7y2 + 10z2 − 2xy − 4xz + 4yz − 12x + 12y + 60z = 24 f) 2xy + 2yz + 2xz − 6x − 6y − 4z = Lời giải x2 a) Dùng phương pháp trực giao để rút gọn dạng toàn phương q = x2 + x2 + 1 A = 1 0 , ma trân A có trị riêng = 0, = 1, = , ứng với ta λ2 λ3 λ1 0 tìm vectơ trực chuẩn 1 v1 = √ −1 , v2 = , v3 = √ 2 x1 1 ξ Vậy thực phép đổi biến x2 , ta q = ξ2 + = √1 −1 ξ2 x3 √ ξ3 2ξ2 Ta có x2 + x2 + x2 + 2x1x2 = ⇔ ξ2 + 2ξ2 = , mặt cong cho mặt 3 trụ b) Dùng phương pháp trực giao để rút gọn dạng toàn phương q = 5x2 + 2y2 + z − −3 6xy + 2xz − 2yz A −3 −1 , ma trân A có trị riêng = 0, λ λ = = √ √ −1 + 10, λ3 = 10, giả sử ứng với ta tìm vectơ trực chuẩn − f2 f31 f1 v1 = , v2 , v3 = f 32 f1 = f22 f33 f2 f1 3 Vậy thực phép đổi biến x1 f11 f21 f31 ξ1 f f ξ = x2 f 12 22 32 x3 f13 f23 f33 ξ3 92 Chương Dạng tồn phương, khơng gian Euclide ta q = + √ √ 10 ξ22 + − ξ2 Ta có x2 + x2 + x2 + 2x1x2 = ⇔ +1 √ 10 ξ2 + − √ 10 ξ3 Vậy mặt cong cho mặt trụ Bài tập 5.16 Cho Q (x1, x2, x3) = 9x2 + 7x2 + 11x2 − 8x1x2 + 8x1x3 a) Tìm x3) Q (x1, x2, x3) , Min Max x12+x22+x32=1 đạt max, b) Tìm Q (x1, x2, x3) Với giá trị Q (x1, x2, x12+x22+x32=1 Q (x1, x2, x3) 2, Min 2 x +x +x =1 Q (x1, x2, x3) Max x2+x2+x2=1 Lời giải −4 a) A = −4 , PTĐT −λ3 + 27λ2 − 207λ + 405 = 0, A có trị riêng 11 λ1 = 3, λ2 = 9, λ3 = 15 , vectơ riêng trực chuẩn tương ứng là: 2 − 1 1 v1 = , v2 = , v3 = −1 3 −1 2 Thực phép đổi biến x1 ξ1 −1 2 −1 ξ2 x2 = x3 −1 2 ξ3 ta Q = 3ξ2 + 9ξ2 + 15ξ2 với điều kiện x t x = (Pξ )t (Pξ ) = ξ t Pt Pξ = ξ t ξ = , nên ta có ≤ Q ≤ 15 Vậy Q đạt 0 giá trị lớn 15 ξ M = tức x = Pξ M = −1 3 1 Q đạt giá trị nhỏ ξm = tức x = Pξm = 3 −1 Chéo hoá trực giao ma trận - Phương pháp chéo hố trực giao 93 b) Theo câu a) ta có Q = 3ξ2 + 9ξ2 + 15ξ2, với điều kiện xtx = (Pξ)t (Pξ) = ξ t P t Pξ = ξtξ = 16, nên ta có 48 ≤ Q ≤ 240 Vậy Q đạt giá trị lớn 240 ξ M = 2 tức x = Pξ M = −1 Q đạt giá trị nhỏ 48 ξm = tức 3 x = Pξm =3 4 −1 Chú j: Xét tốn: cho dạng tồn phương∑ x i j xj Q= n n× n có ma trận A = a đối i i,j=1 xứng sở trực chuẩn V Hãy tìm cực trị Q với điều kiện x2 + x2 + + x = Khi đặt y = = xi Q b y y ∑ a21 a22 ,1,và điều kiện trở thành xy2 + y2 + + y2 = n n an i ij i j n i,j=1 quy tốn tìm cực trị xét Bài tập 5.17 Cho A, B ma trận vng đối xứng cấp n có trị riêng dương Chứng minh A + B có trị riêng dương Lời giải Giả sử A, B ma trận dạng toàn phương ψ, ϕ sở trực chuẩn Rn , tức là( ψ (x, x) = xt Ax ϕ (x, x) = xtBx Khi (ψ + ϕ) (x, x) = xt (A + B) x với x ∈ Rn, tức A + B ma trận dạng toàn phương ψ + ϕ sở trực chuẩn Do trị riêng A, B dương nên ψ, ϕ dạng toàn phương xác định dương Tổng hai dạng toàn phương xác định dương dạng toàn phương xác định dương nên ψ + ϕ xác định dương, A + B có trị riêng dương Bài tập 5.18 Trong không gian Ơclit n chiều V , với sở trực chuẩn B = {e1, e2, , en}, cho f biến đổi tuyến tính có ma trận A trực giao Chứng minh < f (x), f (y) >=< x, y > với x, y V Lời giải Lời giải: Giả sử x = x1e1 + x2e2 + + xnen, y = y1e1 + y2e2 + + ynen Khi ta có biểu thức toạ độ tích vơ hướng sở trực chuẩn B không gian Euclide V sau: n < x, y >= ∑ xiyi = B [y]B [ x] t i=1 94 Chương Dạng toàn phương, không gian Euclide Vậ y < f (x), f (y) > = [ f [ f (y)]B B (x)]t = ( A [ x] ) t ( A [ y] ) B = [x]t At A B = [x]t [y]B B [ y] B =< x, y > Bài tập 5.19 Trong không gian Ơclit n chiều V , với sở trực chuẩn B = {e1, e2, , en}, cho f biến đổi tuyến tính V có tính chất ǁ f (x)ǁ = ǁxǁ với véc tơ x V Chứng minh < f (x), f (y) >=< x, y > Lời giải Trước hết ta chứng minh: ei) , ( f < f( ej >=< ei, ej >= i = j i /= j 2 Thật Nếu i = j < f (ei) , f (ei) >= f (ei) = ei = ă ă2 ă ¨2 ¨ ¨2 ¨ 2 ¨2 Nếu i /= j thỡ ă f (ei) ej = ă ei + ej = ăei + = = f (ei) + + ă +f ă f ejă ei ăejă ă ă ¨ f ej nên < f (ei) , f >= ă ej n õy chỳng ta cú cách lập luận: Cách 1: Gọi A = [[ f (e1 )] B , [ f (e2 )]B(, , [ f (en )]B ] ma trận ánh xạ f sở B Vì < f (ei) ,f ej >=< ei, ej >= phải chứng minh i = nên A−1 = At Theo 18 ta có điều j i /= j Cách 2: Giả sử x = x1e1 + x2e2 + + xnen, y = y1e1 + y2e2 + + ynen < x, y >= x1y1 + x2y2 + + xnyn < f ( x) , f ( y) > =< x1 f (e1) + x2 f (e2) + + xn f (en) , y1 f (e1) + y2 f (e1) + + yn f (en) > = x1y1 + x2y2 + + xnyn =< x, y > Bài tập 5.20 Cho V không gian Ơclit n chiều, V1 không gian m chiều V Gọi V2 = { x ∈ V| x⊥v, ∀v ∈ V1} a) Chứng minh V2 không gian véctơ V Chéo hoá trực giao ma trận - Phương pháp chéo hoá trực giao 95 b) Chứng minh V1 V2 bù c) Tìm dimV2 Lời giải a) Ta cần chứng minh: ∀x, y ∈ V x + y ∈ V2 ∀k ∈ R, x ∈ V kx ∈ V2 Dễ kiểm tra V1 + V2 = ( V b) Ta cần chứng minh: Thật vậy: Với u ∈ V, gọi u hình chiếu V1 ∩ V2 = {0} trực giao u lên V1, u2 thành phần u trực giao với V1 Khi ta có u = u1 + u2, V ⊆ V1 + V2 Mặt khác V1, V2 không gian vectơ V nên V1 + V2 ⊆ V Suy V1 + V2 = V Hơn u ∈ V1 ∩ V2 < u, u >= 0, u = Vậy V1 ∩ V2 = {0} c) Ta gọi f : V → V1, f (u) = u1 , u1 hình chiếu trực giao u lên V1, ánh xạ chiếu trực giao Dễ dàng chứng minh f ánh xạ tuyến tính Do f toàn ánh nên Im f = V1, u ∈ Ker f ⇔ f (u) = ⇔ u ∈ V2 nên Ker f = V2 Khi n = dimV = dim Im f + dimKer f = dimV1 + dimV2 Suy dimV2 = n − m Bài tập 5.21 Cho V không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần đủ để ánh xạ f : V → R tuyến tính tồn véctơ a cố định V để f (x) =< a, x >, ∀x ∈ V Lời giải ⇐ Điều kiện đủ: Dễ dàng chứng minh ánh xạ f (x) =< a, x >, ∀x ∈ V ánh xạ tuyến tính với vectơ a cố định chọn trước ⇒ Điều kiện cần: Giả sử f : V → V ánh xạ tuyến tính (a) Nếu f ≡ ta chọn vectơ a = thoả mãn yêu cầu toán (b) Nếu f /≡ Ta chứng minh dimKer f = n − Thật vậy, f /≡ nên tồn vectơ y ∈ V, y /∈ Ker f Cố định vectơ y f (x) vậy, với x ∈ V, đặt λ = f ( x ) , z = x − λy = x − y f (z) f = ⇒ z ∈ Ker f f(y) (y) Ta có x = z + λy , tức vectơ x ∈ V thừa nhận phân tích thành tổng vectơ, vectơ thuộc Ker f vectơ thuộc spany Điều có nghĩa V = Ker f + spany suy dimKer f = n − Bây giả sử V có phân tích thành tổng trực giao V = Ker f + (Ker f )⊥ 96 Chương Dạng tồn phương, khơng gian Euclide dim (Ker f )⊥ = , tức (Ker f )⊥ = span (y0) , ǁy0ǁ = Đặt a = f (y0) y0 ∈ (Ker f )⊥ , ta chứng minh vectơ a thoã mãn yêu cầu ra, tức f (x) =< a, x >, ∀x ∈ V Thật vậy: Với x ∈ V, V = Ker f + (Ker f )⊥ = Ker f + span (y0) nên x = λy0 + y, y ∈ Ker f Khi đó: f (x) = λf (y0) + f (y) = λf (y0) = λ < f (y0) y0, y0 > = λ < a, y0 > =< a, λy0 > =< a, λy0 + y > < a, y >= a ∈ (Ker f )⊥ , y ∈ (Ker f ) =< a, x > Bài tập 5.22 Trong R5 với tích vơ hướng tắc cho véc tơ v1 = (1, 1, 0, 0, ) , v2 = } x∈ x⊥vi, i = 1, 2, (0, 1, −1, 2, 1) , v3 = (2, 3, −1, 2, 1) R Gọi V = a) Chứng minh V không gian véctơ R5 b) Tìm dimV { }2, v3 , theo tập 5.20 ta chứng minh Lời giải Cách Đặt W = span v1, v V = W⊥ không gian vectơ R5, dimV = − dimW = − rank {v1, v2, v3} = − = } Cách Nhận xét V x ∈ R x⊥vi, i = 1, nên V khơng gian = 2, nghiệm hệ phương trình: x1 + x2 =0 x2 − x3 + 2x4 + x5 =0 2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 + x5 = Giải hệ phương trình phương pháp Gauss ta dimV = sở V {(−1, 1, 1, 0, 0) , (2, −2, 0, 1, 0) , (1, −1, 0, 0, 1)} ... − n n Nhận xét số phức z /= có n số bậc n khác 5.3 Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi, số phức z = a − bi gọi số phức liên hợp số phức z Ở dạng lượng giác, số phức liên hợp số phức z = r(cos... Chương Ánh xạ tuyến tính 59 Ánh xạ tuyến tính 59 1.1 Khái niệm 59 1.2 Bài tập 59 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 61 2.1 Các tính chất hạt... .61 2.2 Hạng ánh xạ tuyến tính - Định lý số chiều 61 2.3 Bài tập 61 Ma trận ánh xạ tuyến tính 64 3.1 Khái niệm 64 3.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính thơng qua phép