Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 77 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Dùng cho lớp chuyên ngành kỹ thuật) Năm 2019 Đại số tuyến tính – Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp: Đại số tuyến tính - NXB Giáo Dục - 2008 [2] Hồng Xn Sính: Bài tập Đại số tuyến tính - NXB Giáo Dục - 2009 [3] Jean-Marie Monier: Đại số - NXB Giáo dục - 2006 [4] Ngơ Việt Trung: Giáo trình đại số tuyến tính - NXB ĐHQG Hà Nội – 2002 [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên): Toán học cao cấp (tập 1) - NXB Giáo dục - 2005 [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên): Bài tập toán cao cấp (tập 1) - NXB Giáo dục 2005 [7] Nguyễn Hữu Việt Hưng: Đại số tuyến tính - NXB ĐHQG Hà Nội – 2000 Đại số tuyến tính – Mục lục MỤC LỤC Tài liệu tham khảo Mục lục Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1.Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Các ý 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.2.Định thức 11 1.2.1 Hoán vị nghịch 11 1.2.2 Định thức 12 1.2.3 Các tính chất định thức 13 1.2.4 Phương pháp tính định thức 15 1.3.Ma trận nghịch đảo ma trận vuông 18 1.3.1 Định lý (về định thức tích ma trận vng) 18 1.3.2 Ma trận nghịch đảo 19 1.3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 20 1.4.Hạng ma trận 23 1.4.1 Khái niệm 23 1.4.2 Phương pháp tìm hạng ma trận 24 BÀI TẬP CHƯƠNG 26 Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 30 2.1.Khái niệm chung 30 2.1.1 Định nghĩa 30 2.1.2 Ví dụ 31 2.1.3 Định lý 31 2.2.Hệ phương trình tương đương 31 2.2.1 Định nghĩa 31 Đại số tuyến tính – Mục lục 2.2.2 Các phép biến đổi tương đương 31 2.2.3 Chú ý 31 2.2.4 Định lý 32 2.3.Hệ phương trình Crammer 32 2.3.1 Định nghĩa 32 2.3.2 Các ví dụ 32 2.3.3 Định lý 33 2.3.4 Phương pháp giải 33 2.4.Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 35 2.4.1 Phương pháp 34 2.4.2 Các ví dụ 36 2.5.Hệ phương trình tuyến tính 38 2.5.1 Định nghĩa 38 2.5.2 Các ví dụ 38 2.6.Hệ phương trình tuyến tính chuẩn 39 2.6.1 Định nghĩa 39 2.6.2 Các ví dụ 40 BÀI TẬP CHƯƠNG 40 Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Rn 44 3.1.Định nghĩa tính chất 44 3.1.1 Định nghĩa 44 3.1.2 Các tính chất 44 3.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 45 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 45 3.2.2 Định nghĩa 46 3.3 Hạng hệ vectơ 47 3.3.1 Định nghĩa 47 3.3.2 Phương pháp tìm hạng hệ vectơ 47 3.4 Cơ sở số chiều 48 3.4.1 Định nghĩa 48 3.4.2 Nhận xét 48 Đại số tuyến tính – Mục lục 3.4.3 Định lý 48 3.4.4 Ví dụ 49 3.5 Không gian vectơ 49 3.5.1 Định nghĩa 49 3.5.2 Nhận xét 49 3.5.3 Định lý 49 3.5.4 Định lý 50 3.6 Tọa độ vectơ sở khác Rn 51 3.6.1 Ma trận chuyển tọa độ sở khác 51 3.6.2 Các ví dụ 52 BÀI TẬP CHƯƠNG 53 Chương 4: PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 56 4.1 Định nghĩa tính chất 56 4.1.1 Định nghĩa 56 4.1.2 Các tính chất 56 4.1.3 Định lý 56 4.2 Ma trận phép biến đổi tuyến tính 57 4.2.1 Định nghĩa 57 4.2.2 Các ví dụ 57 4.3 Giá trị riêng vectơ riêng 58 4.3.1 Định nghĩa 58 4.3.2 Nhận xét 58 4.3.3 Phương pháp tìm giá trị riêng vectơ riêng 58 4.3.4 Ví dụ 59 4.3.5 Giá trị riêng ma trận đồng dạng 60 4.4 Chéo hóa ma trận 61 4.4.1 Định lý 61 4.4.2 Chéo hóa ma trận vng cấp n có n vectơ riêng ĐLTT 61 4.4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao 64 4.5 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương 66 4.5.1 Các định nghĩa 66 Đại số tuyến tính – Mục lục 4.5.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 68 4.5.3 Dạng toàn phương xác định dương (âm) 73 BÀI TẬP CHƯƠNG 74 Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận Định thức Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ví dụ * Định nghĩa: Ma trận cấp (cỡ) mn bảng gồm m hàng (dòng) n cột số thực (được xếp theo trật tự định), số lập nên ma trận gọi phần tử Ma trận cấp mn thường ký hiệu a11 a A = 21 a m1 a12 a13 a 22 a 23 am2 am3 a1n a n hay A = a mn mn a11 a 21 a m1 a12 a13 a 22 a 23 am2 a m3 a1n a n a mn mn Hoặc gọn A = (aij)mn hay A = (aij) Phần tử aij nằm hàng i cột j ma trận A 3 , B = Ví dụ 1: A = 24 1 6 , C = -1 - 5 34 2 5 v.v 0 9 33 1.1.2 Các ý * Ma trận có hàng gọi ma trận hàng: A = (a11 a12 a1n) Ví dụ 2: A = (3 0)13, B = (3 0)15, C = [ 4]16 a11 a 21 * Ma trận có cột gọi ma trận cột: A = a m1 m1 3 3 Ví dụ 3: A = , B = , C = 6 7 * 2 0 5 Ma trận mà aij = gọi ma trận không ký hiệu 0 = 0 0 0 mn Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận Định thức 0 0 , = Ví dụ 4: = 0 0 * 0 0 0 0 0 , = 0 0 0 0 0 0 0 Ma trận bậc thang theo hàng Ma trận A aij mn có dạng bậc thang theo hàng A thỏa hai tính chất sau: i) Hàng (nếu có) phía hàng khác A ii) Trên hai hàng khác A, phần tử khác (kể từ trái sang phải) hàng bên phải cột chứa phần tử khác hàng Nghĩa ma trận có dạng: A = a11 a12 a13 0 a22 a23 0 a33 0 a kk 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Ví dụ 5: A = 0 0 * a1n a 2n a3n akn 0 0 mn 3 1 3 0 Ma trận có số hàng số cột (bằng n) gọi ma trận vuông (cấp n) a11 a A = 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a n a nn 6 3 , B = , C = Ví dụ 6: A = 6 1 0 1 0 5 2 Đối với ma trận vuông cấp n 0 4 3 4 Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận Định thức - Các phần tử a11a22 ann nằm đường thẳng gọi đường chéo chính, tương tự phần tử a1na2(n-1) an1 nằm đường thẳng gọi đường chéo phụ - Nếu phần tử nằm phía đường chéo (phụ) 0, ma trận gọi ma trận tam giác (dưới) a11 A = a12 a 22 0 0 a11 a 22 a 21 A = a n-1,1 a n-1, a an2 n1 1 4 , B = 2 Ví dụ 7: A = a1n a2n tam giác a n-1,n a nn tam giác a nn 1 0 , C = 3 2 1 0 Ví dụ 8: A = , B = 2 0 1 , D = 4 3 7 0 5 , C = 0 2 3 7 0 0 1 0 0 , D = 2 4 0 0 0 - Nếu aij = (i j) ma trận gọi ma trận đường chéo a11 Nghĩa ma trận dạng A = a 22 0 0 0 , B = , C = Ví dụ 9: A = 0 8 0 3 a nn 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận Định thức - Nếu aij = i i j j ma trận gọi ma trận đơn vị cấp n ký hiệu In hay En 1 0 1 0 , I3 = , I4 = Ví dụ 10: I2 = 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 … 0 0 - Nếu aij = aji với i, j = 1, 2, , n Thì ma trận gọi ma trận đối xứng 1 2 , A = - ma trận đối xứng cấp 2, tương ứng Ví dụ 11: A = 2 1 2 - Quy ước: Mỗi số thực (có thể coi) ma trận vng cấp 1.1.3 Các phép tốn ma trận * Phép - Định nghĩa: Hai ma trận A = (aij) B = (bij) cấp gọi aij = bij với i,j Ký hiệu A = B 2 8 - Ví dụ 12: A = b , B = 3 d 35 a 8 2 , … c 6 35 Khi A = B a = 2, b = 0, c = 4, d = * Phép chuyển vị - Định nghĩa: Cho A = (aij) ma trận cấp mn Ta gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu AT, ma trận cấp nm , có từ A cách xếp dòng A thành cột tương ứng AT a11 a Nếu A = 21 a m1 a12 a13 a 22 a 23 am2 a m3 a1n a n AT = a mn mn 1 0 5 T A = - Ví dụ 13: Nếu A = 23 3 32 a11 a12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a2n a m1 a m a m a mn nm Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính Giả sử ngược lại, tồn k số thực {1, 2, , k} không đồng thời cho 1u1 + 2u2 + + kuk = (1) Khi 1 = 2 = = k-1 = k kuk = uk = (mâu thuẫn vì vectơ riêng uk ) Vậy {1, 2, ,k-1} phải có số khác 0, chẳng hạn 1 Do (1u1 + 2u2 + + kuk) = 1(u1) + 2(u2) + + k(uk) = 11u1 + 22u2 + + kkuk = (2) Từ (1) nhân vế với k ta 1ku1 + 2ku2 + + kkuk = (3) Trừ (2) cho (3): 1(1 - k)u1 + 2(2 - k)u2 + + k-1(k-1 - k)uk-1 = Do 1(1 - k) {u1, u2, , uk-1} PTTT mâu thuẫn giả thiết hệ ĐLTT * Ví dụ 5: Tìm giá trị riêng vectơ riêng tương ứng sau chéo hóa ma trận 15 - 18 - 16 1/ A = - 12 - -4 -6 - - 2 2/ A = - - -1 15 - - 18 - 16 - 12 - -8 -4 -6- 1/ PTĐT |A - I| = = ( + 3)( + 2)( - 2) = Vậy A có giá trị riêng phân biệt: 1 = - 3, 2 = - 2, 3 = nên có vectơ riêng ĐLTT: 18x1 - 18x - 16x3 1 = - 3: 9 x1 - x - x3 4 x - x - x 18 - 18 - 16 h.1 h.2 bỏ h.1 Xét - - (- 4)h.2 + 9h.3 -4 -3 9 x - x - x3 - - 8 x3 0 x1 = x2 = a, x3 = a R \ {0} Vậy nghiệm x = a(1, 1, 0), a R \ {0} Lấy a = u1 = (1, 1, 0) 17 x1 - 18x - 16x3 2 = - 2: 9 x1 - 10x - x3 4 x - x - x 17 - 18 - 16 Xét - 10 - -4 -4 (1/4)h.3 h.3 h.1 -1 -1 - 10 - 17 - 18 - 16 62 (- 9)h.1 + h.2 (- 17)h.1 + h.3 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính - - 1 -1 -1 h.2 + h.1 bỏ h.3 0 x - x 1 - 0 x1 = 2x2 = 2x3 x x -1 1 Vậy nghiệm x = (2a, a, a), a R \ {0} Lấy a = u2 = (2, 1, 1) 13x1 - 18x - 16x3 3 = 2: 9 x1 - 14x - x3 4 x - x - x 13 - 18 - 16 Xét - 14 - - -8 1 -1 - 2 - 10 (- 1/5)h.2 + h.1 (- 1/5) h.2 h.1 = h.2 + h.3 bỏ h.1 1 -1 - 2 - 14 - (- 9)h.1 + h.2 (1/4)h.3 - 4 h.2 x - x3 Nên x1 = 4x2, x2 = 2x3 0 - 2 x - x3 Vậy nghiệm x = (4a, 2a, a), a R \ {0} Lấy a = u3 = (4, 2, 1) 1 4 Từ S = 1 = S-1AS = 0 1 - 0 - 0 0 2 2/ PTĐT |A - I| = (1 + )(2 - 3 + 2) = 1 = - 1, 2 = 1, 3 = - x1 x2 - x3 x1 - x x3 1 = - 1: - x1 x2 - x3 x x1 = - x3, x2 = 2x - x 2x 3 x Vậy nghiệm là: x = (a, 0, - a), a R \ {0} Lấy a = u1 = (1, 0, - 1) - x1 x - x3 2 x1 - x x3 x - x3 2x1 = x2 = x3 2 = 1: - x1 x - x3 2x - x 0 0 x1 - x Vậy nghiệm x = (a, 2a, 2a), a R \ {0} Lấy a = u2 = (1, 2, 2) - x1 x - x3 x1 - x2 x3 x1 - x2 x3 3 = 2: - x1 x - x3 - x1 x2 - x3 - x2 3x3 2x - x - x 2x - x - x x -3x 3 x1 - x x3 x1 = 2x3, x2 = 3x3 x2 - x Vậy nghiệm x = (2a, 3a, a), a R\{0} Lấy a = u2 = (2, 3, 1) 63 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính 1 2 Từ S = = S-1AS = -1 1 -1 0 0 0 2 4.4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao * Ma trận trực giao: Ma trận vuông P gọi trực giao PT = P-1 Ví dụ 6: P = - / * Các / 2 -1 trực giao vì dễ thấy P = 1/ - / 2 T = P 1/ 3/2 tính chất ma trận trực giao: Giả sử A = (aij)nn trực giao - Tính chất 1: |A| = Thật vậy: Do |A| = |AT| A trực giao nên A-1 = AT |AA-1| = |I| = |AAT| = |A||AT| = |A|2 = |A| = - Tính chất 2: Tổng bình phương phần tử hàng (cột) Tổng tích phần tử hàng (cột) với phần tử tương ứng hàng (cột) khác n Nghĩa là: aij2 = i 1 n a i 1 ij n a j 1 ij = (i, j = 1, 2, , i) aik = (j, k = 1, 2, , n với j k) Do A = (aij)nn trực giao nên A-1 = AT = (aji)nn AA-1 = I phần tử thứ ij I cij = “hàng i A”“hàng j A” = ai1aj1 + ai2aj2 + + ainajn 1, i j 0, i j Nên cij = * Chú ý: Nếu A thỏa tính chất A trực giao Nếu “hàng i”“hàng j” = ta nói “hàng i” “hàng j” trực giao * Định lý: Mỗi ma trận đối xứng A tồn ma trận trực giao P thỏa P-1AP ma trận chéo Hơn 1, 2, , n giá trị riêng (phân biệt hay không) A, tìm ma trận trực giao P thỏa P-1AP = * Ví dụ 7: Hãy chéo hóa ma trận đối xứng sau - - 1 2/ A = - - 1 -1 -1 1 1/ A = 1 3 64 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính 3- 1 3- 1 3- 1/ PTĐT = (5 - )(2 - )2 = 1 = 2, 2 = x1 x x3 1 = 2: x1 x2 x3 x1 + x2 + x3 = x x x Vậy nghiệm x = (- a - b, a, b) Ta chọn u1 = (x1 x2 x3)T thỏa x1 + x2 + x3 = x12 + x22 + x32 = 1: lấy x3 = x1 = - x2 x12 + x22 = x1 = 1 x1 = , x2 = 2 Vậy u1 = ( - 0) Ta chọn u2 = (x1 x2 x3)’ thỏa x1 + x2 + x3 = 0, x12 + x22 + x32 = trực giao với u1: Nghĩa x2 = 1 (x1 - x2) = x1 = x2 x3 = - 2x1 nên 6x12 = x1 = 1 , x3 = Vậy u2 = ( 6 6 - T ) - x1 x x3 - x x x 2 = 5: x1 - x x3 x1 = x = x3 x1 - x x3 x x - 2x Vậy nghiệm x = (a, a, a) với a Ta chọn u3 = (x1 x2 x3)T thỏa x1 = x2 = x3, x12 + x22 + x32 = trực giao với u1, u2 Hiển nhiên u3 thỏa x1 = x2 = x3 trực giao với u1, u2 Nên cần chọn x12 = Vậy P = 1 x1 = Vậy u3 = ( 3 1 6 - 3 -1 trực giao P AP = 3 3 2- 2/ PTĐT = |A - I| = - -1 -1 2- -1 3 )T 0 0 0 5 -1 - = (3 - )2 = 1,2 = 0, 2- 65 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính x1 - x - x3 1 = 0: - x1 x - x3 x1 = x2 = x3 - x - x x Chọn u1 = (x1 x1 x1)T thỏa 3x12 = x1 = 1 Vậy u1 = ( 3 T ) - x1 - x - x3 2 = 3: - x1 - x - x3 x1 + x2 + x3 = Nghiệm x = (- a - b, a, b) - x - x - x Tương tự ví dụ ta chọn u2 = ( - 0)T, u3 = ( 1 1 / / / Thì P = 1 / / / trực giao P-1AP = - / 1 / - )T 0 0 0 0 0 3 4.5 Dạng song tuyến tính dạng toàn phương 4.5.1 Các định nghĩa * Định nghĩa 1: Ánh xạ L: Rn R gọi dạng tuyến tính với x, y Rn R ta có: L(x + y) = L(x) + L(y) L(x) = L(x) * Biểu thức: Giả sử L dạng tuyến tính Rn {u1, u2, , un} sở Rn Khi x Rn : x = x1u1 + x2u2 + + xnun Rn đặt ak = L(uk) n L(x) = L( xk u k ) = k 1 n a k 1 k x k , số thực ak gọi hệ số, L gọi dạng tuyến tính n biến {xk} a1 a Nếu đặt A = X = a n * Tính x1 x2 T L = A X x n chất: Tính chất 1: Nếu L dạng tuyến tính thì L() = Tính chất 2: Nếu L dạng tuyến tính thì với số thực {k} với hệ m vectơ {xk} (k = 1, 2, …, m) ta có L( k xk ) = k 1 66 m L(x ) k 1 k k Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính Tính chất 3: Ánh xạ L: Rn R dạng tuyến tính với x, y Rn , R ta có: L(x + y) = L(x) + L(y) * Định nghĩa 2: Ánh xạ B: RnRn R gọi song tuyến tính với x, y, z Rn với , R ta có (1) B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z) (2) B(x, y + z) = B(x, y) + B(x, z) (3) B(x, y) = B(x, y) (4) B(x, y) = B(x, y) * Các tính chất: Nếu B song tuyến tính Tính chất 1: B(, ) = Tính chất 2: Nếu {u1, u2, , um}, {v1, v2, , vk} Rn, {1, 2, , m}, {1, 2, m ., k} R Thì B( i u i , i 1 k jv j ) = j 1 m k i 1 j i j B(ui, vj) Hệ quả: Ánh xạ B: RnRn R song tuyến tính với x, y, z, t Rn , , , R ta có: B(x + y, z + t) = B(x, z) + B(x, t) + B(y, z) + B(y, t) * Biểu thức: Giả sử B song tuyến tính RnRn {u1, u2, , un} sở Rn Khi x, y Rn: n n x= x u i 1 i i ,y= y u j 1 n B(x, y) = B( xi ui , i 1 j j đặt aij = B(ui, uj) n y ju j ) = j 1 m k i 1 j a ij xiyj, số thực aij gọi hệ số, B gọi dạng song tuyến tính 2n biến {xi}, {yj} x1 x Nếu đặt X = , A = x n a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a n Y= a nn y1 y1 T B = X AY y n A gọi ma trận song tuyến tính B Hạng A gọi hạng B Nếu A đối xứng B gọi song tuyến tính đối xứng * Định nghĩa 3: Ta nói dạng tồn phương liên kết với dạng song tuyến tính B ánh xạ Q: Rn R xác định sau Q(x) = B(x, x) với x Rn * Chú ý: Một dạng tồn phương tạo từ dạng song tuyến tính khác 67 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính Thật vậy, B song tuyến tính B1(x, y) = B(x, y) B2(x, y) = B(y, x) song tuyến tính khác sinh dạng toàn phương Q(x) = B(x, x) Hơn B dạng song tuyến tính B*(x, y) = [B(x, y) + B(y, x)] song tuyến tính đối xứng B, B* sinh toàn phương Q(x) = B(x, x) = B*(x, x) Tuy nhiên, tồn phương có song tuyến tính đối xứng sinh mà thơi Nếu B song tuyến tính đối xứng sinh dạng tồn phương Q, B gọi song tuyến tính đối cực Q * Các ví dụ Ví dụ 8: L = 2x1 + 3x2 + 5x3 dạng tuyến tính x1, x2, x3 với A = (2 5)T Ví dụ 9: B = 5x1y1 + x1y2 + 6x1y3 + x2y1 + 2x2y2 + 4x2y3 + 8x3y2 + 3x3y3 dạng 5 6 song tuyến tính x1, x2, x3, y1, y2, y3 với A = 0 3 Ví dụ 10: B = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + 5x2y3 + 5x3y2 + 7x3y3 dạng song tuyến tính 1 0 đối xứng x1, x2, x3, y1, y2, y3 với A = 0 7 Ví dụ 11: Q = 2x12 + 2x1x2 + 6x1x3 + 4x1x4 + 4x22 + 2x2x3 + 5x32 + 2x3x4 dạng 2 1 toàn phương x1, x2, x3, x4 với A = 2 2 0 1 4.5.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc Các định nghĩa - Định nghĩa 1: Dạng tồn phương Q tắc có dạng: Q(x) = n a k 1 kk x k2 Nghĩa là: Dạng tồn phương có ma trận ma trận đường chéo - Định nghĩa 2: Cho biến x1, x2, , xn x1’, x2’, , xn’ Thực phép đổi biến: x1 s11 x'1 s12 x' s1n x' n x1 s11 x s x' s x' s x' x s 21 22 2n n = 21 x s xn s n1 x'1 s n x' s nn x' n n n1 68 s12 s 22 sn2 s1n x '1 s n x ' X = SX’ s nn x ' n Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính Thì S gọi ma trận phép đổi biến - Định lý: Nếu S ma trận phép đổi biến: (xj) (xj’), T ma trận phép đổi biến: (x’j) (x”j) Thì ST ma trận phép đổi biến (xj) (x’’j) Thật vậy: Do X = SX’ X’ = TX” nên X = STX” Các phương pháp * Phương pháp Lagrange - Phương pháp: Cho dạng toàn phương Q = n n a i 1 j 1 x x j (trong aij = aji) ij i Nếu aii = (i = 1, 2, , n): Thì dùng phép đổi biến để xuất aii Chẳng hạn a12 0, thì đặt: x1 = y1 + y2, x2 = y1 - y2, xk = yk (k = 3, 4, , n) Thì Q = 2a12x1x2 + = 2a12y12 - 2a12y22 + a11’ = 2a12 Như ta ln giảí thiết tồn aii 0, chẳng hạn a11 Khi viết Q = (a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2a1nx1xn) + Q’ Nghĩa nhóm tất cảí hạng tử Q chứa x1 lưu ý aij = aji nên a1jx1xj + aj1xjx1 = 2a1jx1xj, cịn Q’ khơng chứa x1 Ta tiếp tục biến đổi sau: Q= 1 (a11x1 + a12x2 + + a1nxn)2 (a122x22 + a13x32 + + a1nxn2 + 2a12a13x2x3 + a11 a11 + 2a1(n-1)a1nxn-1xn) + Q’ = (a11x1 + a12x2 + + a1nxn)2 + Q1 a11 Trong Q1 khơng có x1 Đến ta dùng phép đổi biến sau: y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxn, yk = xk (k = 2, 3, , n) hay x1 = (y1 - a12y2 - a13y3 - - a1nyn), xk = yk (k = 2, 3, , n) a11 Suy Q = y1 + a11 n n b i 2 j 2 ij yiyj Ta lại làm tiếp tục n i 2 j 2 Như sau số hữu hạn bước đưa Q dạng tắc - Nhận xét: Ln đưa dạng tồn phương dạng tắc - Ví dụ 12: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc 1/ Q = 5x12 - 3x22 + 6x32 - 4x1x3 + 8x2x3 2/ Q = 2x1x2 + 2x1x3 - 6x2x3 1/ Ta có Q = (5x12 - 4x1x3) - 3x22 + 6x32 + 8x2x3 = n b (5x1 - 2x2)2 - x22 - 3x22 + 6x32 + 8x2x3 5 69 ij yiyj Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính = 19 (5x1 - 2x2)2 - x22 + 8x2x3 + 6x32 5 Đặt y1 = 5x1 - 2x2, y2 = x2, y3 = x3 x1 = y1 + y2, x2 = y2, x3 = y3 5 1 / / 0 S= 0 Khi Q = 19 19 y1 - y2 + 8y2y3 + 6y32 = y12 - ( y22 - 8y2y3) + 6y32 5 5 = 19 y1 - ( y2 - 4y3)2 + 16y22 + 6y32 19 19 = 194 2 19 y1 - ( y2 - 4y3)2 + y3 19 5 19 Đặt z1 = y1, z2 = 20 19 y2 - 4y3, z3 = y3 y1 = z1, y2 = z2 + z3, y3 = z3 19 19 0 1 194 T = / 19 20 / 19 Vậy Q = z12 - z22 + z3 19 19 0 x1 y1 y2 1 0 2/ Q khơng có hạng tử bình phương đặt x2 y1 - y2 S = - Ta Q = x y 0 1 2y12 - 2y22 + 2y1y3 - 8y2y3 = 2(y12 + y1y3) - 2y22 - 8y2y3 = 2(y1 + 8y2y3 = 2(y1 + 1 y2)2 - y22 - 2y22 2 y2)2 - y22 - 8y2y3 2 Đặt z1 = y1 + 1 y2, z2 = y2, z3 = y3 y1 = z1 - z2, y2 = z2, y3 = I3 2 1 -1/ 0 0 T = 0 0 Q = 2z12 = 2z12 - 5 16 z2 - 8z2z3 = 2z12 - (z22 + z2z3) 2 32 (z2 + z3)2 z3 5 Đặt t1 = z1, t2 = z2 + 8 z3, t3 = z3 z1 = t1, z2 = t2 - t2, z3 = t3 5 70 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính 1 32 U = - / Vậy Q = 2t12 - t22 t3 0 * Phương pháp Jacobi - Phương pháp: Cho dạng toàn phương Q = n n a i 1 j 1 đối xứng A = (aij)n n Nếu D1 = a11 0, Dj = ij xi x j với ma trận ma trận a11 a12 a1 j a 21 a 22 a j a j1 a j2 a jj (j = 1, 2, , n) Thì đưa Q dạng tắc: Q = D1 y + Dj D2 D y2 + + yj + + n yn2 nhờ phép đổi biến Dn-1 D1 D j 1 x1 y1 21 y 31 y n1 y n x y 32 y n y n x n yn Trong đó: ji = (- 1)j+i D j -1,i D j -1 với Dj-1,i định thức cấp j - A tạo hàng 1, 2, , j - cột 1, 2, , i - 1, i + 1, , j (từ Dj ta bỏ h.j, c.i) - Ví dụ 13: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc 1/ Q = x12 + 5x22 + 2x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3 2/ Q = 2x12 + 3x1x2 + 4x1x3 + x22 + x32 1 1 1/ A = D1 = 1, D2 = = 1, D3 = |A| = 1 2 x1 y1 21 y 31 y y 32 y Đặt x x y3 Với 21 = (- 1)2+1 32 = (- 1)3+2 D11 D = - = - 2, 31 = (- 1)3+1 21 = - 1, D1 D2 D32 = Hay x1 = y1 - 2y2 - y3, x2 = y2, x3 = y3 D3 71 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính Vậy Q = y12 + y22 + y32 / 2 3/ 17 2/ A = / D1 = 2, D2 = = - , D3 = |A| = 3/ 4 1 x1 y1 21 y 31 y3 y 32 y3 , Đặt x2 x y3 với 21 = (- 1)2+1 D D D11 = - , 31 = (- 1)3+1 21 = 8, 32 = (- 1)3+2 32 = - 12 D2 D3 D1 Phép đổi biến x1 = y1 Vậy Q = 2y12 * Phương y2 + 8y3, x2 = y2 - 12y3, x3 = y3 2 y2 + 17y32 pháp biến đổi trực giao n - Phương pháp: Cho dạng toàn phương Q = n a i 1 j 1 ij xixj với ma trận A = (aij)nn Giả sử chéo hóa A ma trận trực giao S Nghĩa có 1 0 -1 S AS = = 0 2 0 Khi phép đổi biến: n x1 y1 x2 y2 = S x y n n Thì ta đưa Q dạng tắc Q = 1y12 + 2y22 + + nyn2 - Ví dụ 14: Dùng phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau dạng tắc: Q = 3x12 + 3x22 + 3x32 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1 1 Dễ thấy A = có giá 1 3 1 3 2 1 S = S-1AS = 0 3 trị riêng: 1 = 2, 2 = chéo hóa A 0 0 72 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính x1 Khi thực phép đổi biến: x2 x3 1 y1 y2 1 y1 y2 y2 y3 y3 y3 Ta đưa Q dạng tắc sau: Q = 2y12 + 2y22 + 5y32 4.5.3 Dạng toàn phương xác định dương (âm) * Định nghĩa: Dạng toàn phương Q = n n a i 1 j 1 (âm) x = (x1, x2, , xn) Rn \ {} ta có ij xi x j gọi xác định dương n n a i 1 j 1 * ij xi x j > (< 0) Nhận xét: Nếu Q có dạng tắc Q = a11x12 + a22x22 + + annxn2 Khi Q xác định dương (âm) akk > (< 0) n * Tiêu chuẩn Xinvest: Cho Q = n a i 1 j 1 ij xi x j ký hiệu D1 = a11, D2 = a11 a12 a 21 a 22 , , Dn = |A| Khi ấy: (1) Q xác định dương Dj > với j = 1, 2, , n (2) Q xác định âm (- 1)jDj > với j = 1, 2, , n (3) Q không xác định dấu tồn D2k < (2k n) tồn D2k+1D2h+1 < (2k + 2h + n) * Ví dụ: Q = 4x12 + 3x22 + x32 - 4x1x2 - 2x2x3 xác định dương -2 0 -2 Vì A = - - 1 có D1 = 0, D2 = = > 0, D3 = |A| = 12 > -1 * Chú ý: Ma trận đối xứng A gọi xác định dương A ma trận dạng toàn phương Q xác định dương * Luật quán tính: Một dạng tồn phương đưa dạng tắc nhiều cách khác nhau, dấu hệ số dạng tắc thỏa quy luật sau gọi luật quán tính - Định lý: Một dạng tồn phương đưa dạng tắc khác nhau, số hệ số dương số hệ số âm dạng tắc - Ví dụ: Xét Q = 3x12 + 3x22 + 3x32 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1 73 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính Ở ta đưa Q dạng tắc nhờ phép biến đổi trực giao Q = 2y12 + 2y22 + 5y32 Bây ta biến đổi phương pháp Lagrange sau: Q = (3x12 + 2x1x2 + 2x1x3) + 3x22 + 3x32 + 2x2x3 = 1 (3x1 + x2 + x3)2 - x22 - x32 - x2x3 + 3x22 + 3x32 + 2x2x3 3 3 = 8 (3x1 + x2 + x3)2 + x22 + x32 + x2x3 3 3 x1 ( y1 - y - y3 ) / y1 x1 x2 x3 x2 Đặt y x2 y x y y x3 Thì Q = = 40 8 8 y1 + y2 + y3 + y2y3 = y12 + ( y22 + y2 y3 ) + y3 3 3 3 25 2 71 2 5 y + ( y + y )2 y + y = y + ( y + y )2 + y3 8 3 3 6 36 36 z1 y1 y1 z1 5 Đặt tiếp z z - z3 y y3 y2 16 z3 y3 y3 z Ta đưa Q dạng tắc sau: Q = 71 z1 + z2 + z3 36 Nhận thấy dạng có hệ số dương khơng có hệ số âm Bài tập chương Bài tập 1: Ta định nghĩa phép vị tự tỷ số k Rn ánh xạ : Rn Rn thỏa: x Rn (x) = kx Chứng minh phép biến đổi tuyến tính Bài tập 2: Trong không gian Rn cho phép biến đổi tuyến tính g với ma trận tương ứng sở (u) A B Chứng minh + g, ( R) phép biến đổi tuyến tính Rn Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính với sở (u) cho Bài tập 3: Chứng minh ánh xạ : R3 R3 sau phép biến đổi tuyến tính tìm ma trận sở tương ứng: Với x = (x1, x2, x3) R3 1/ (x) = (x1 - x2, x2 - x3, x3 - x1), {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} 74 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính 2/ (x) = (x3, x1, x2), {u1 = (1, - 1, 1), u2 = (0, - 1, 1), u3 = (0, 0, - 1)} 3/ (x) = (x1 - x2, 2x2, 2x1 + x3), {u1 = (2, 1, 1), u2 = (0, 2, - 1), u3 = (0, 0, 2)} Bài tập 4: Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận - 2 1/ A = - - 4 1 - 4 2/ B = - 6 - 7 2 3/ C = - 1 1 1 4/ D = 1 - 1 2 1 Bài tập 5: Cho A = - - - 1 P = 6 1 1 1 - 1 - 1 Tìm ma trận đồng dạng B = P-1AP A Bài tập 6: Chéo hóa ma trận - - 2 1/ A = - - -1 - 2/ B = - - 1 1 5 Bài tập 7: Chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao 11 - 1/ A = 2 10 - 10 -1 1 2/ B = - 1 0 -1 2 Bài tập 8: Chéo hóa ma trận A = - phương pháp (dùng ma trận 2 2 không suy biến S dùng ma trận trực giao) Bài tập 9: Bằng phương pháp Lagrang đưa dạng toàn phương sau tắc 1/ 3x12 - 2x22 + 4x32 - 4x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3 2/ 3x12 + 2x1x2 - 2x1x3 + x32 + 4x1x3 - 2x2x3 3/ x12 + 3x22 + 4x32 - 4x1x2 + 6x1x3 4/ x12 + 5x22 - 4x32 + 2x1x2 4x1x3 Bài tập 10: Bằng phương phap Jacobi đưa dạng toàn phương sau tắc 1/ x12 + 5x22 + 2x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3 2/ 5x12 - 2x1x2 + 4x1x3 + 5x22 + 4x2x3 + 3x32 75 Đại số tuyến tính - Chương 4: Phép biến đởi tuyến tính 3/ x12 + x22 + 5x32 - 4x1x2 - 2x1x3 + 4x2x3 4/ 2x12 + x22 - x32 - 2x1x2 + 6x1x3 - 4x2x3 Bài tập 11: Chứng minh L: R R dạng tuyến tính tồn a R thỏa L(x) = ax Bài tập trắc nghiệm 1 Câu Tìm tất giá trị riêng ma trận A 0 2 A 1 2, 2 3, 3 0; B 1 2, 2 3; C D 2 1 1 Câu Tìm tất giá trị riêng ma trận A 0 1 a / 1 1, 2 1, 3 3; b / 1 0, 2 1, 3 c / 1 1, 2 2, 3 3; 4 Câu Cho A 6 5 7 9 d / a, b, c : sai 2 Khẳng định sau đúng? A x = (1, 2, 3) vectơ riêng A B x = (0, 1, 1) vectơ riêng A C x = (0, 0, 0) vectơ riêng A D x = (1, 2, 1) vectơ riêng A Câu Cho dạng toàn phương f x1 , x2 , x3 x12 x1 x2 8x1 x3 x22 x2 x3 3x32 Tìm ma trận dạng toàn phương 4 A 3 6 8 B 6 3 2 C 3 3 2 D Các câu a, b, c, sai 76 .. .Đại số tuyến tính – Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp: Đại số tuyến tính - NXB Giáo Dục - 2008 [2] Hồng Xn Sính: Bài tập Đại số tuyến tính - NXB Giáo Dục - 2009... 2m 2 C m 29 Đại số tuyến tính - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Khái niệm chung 2.1.1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính (m phương trình, n ẩn)... hệ phương trình tuyến tính có số phương trình lớn số ẩn hệ phương trình tương đương hệ có số phương trình hay số ẩn Chú ý: Từ định lý này, nên từ ta cần xét hệ có số phương trình hay số ẩn 2.3