Giáo trình Đại số tuyến tính Trường ĐH Phan Thiết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHAN THIẾT KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LƯU HÀNH NỘI BỘ MỤC LỤC Chương 1: Ma trận - Định thức 01 Ma Trận - 01 Định thức - 16 Ma trận nghịch đảo 20 Hạng ma trận 25 Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - 29 Khái niệm chung 29 Hệ Cramer 30 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 32 Hệ phương trình tuyến tính - 35 Chương 3: Không gian vectơ 39 Các khái niệm - 39 Cơ sở số chiều không gian vec-tơ 44 Hạng hệ vec-tơ 48 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính 57 Các khái niệm - 57 Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính - 59 Ma trận ánh xạ tuyến tính - 60 Vec-tơ riêng trị riêng 64 Chéo hóa ma trận 67 Bài tập ôn 74 Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC MA TRẬN 1.1 Định nghóa ma trận Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 a m2 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠ ( ) hay A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ , m× n a ij số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j ma trận A gọi ma trận cấp m × n , ký hiệu A = a ij m×n Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n Với A ∈ Mm×n , số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j , i = 1, m , j = 1, n , A ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ij ⎛ 3⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟ ∈ M2×3 , ⎝ ⎠ [ A ]11 = 1; [ A ]12 = 2; [ A ]13 = 3; [ A ]21 = 4; [ A ]22 = 5; [ A ]23 = ฀ Chú ý việc xử lý bảng công cụ quen thuộc đời sống Chẳng hạn, để ghi số lượng bán mặt hàng ngày, ta dùng số Số lượng bán n mặt hàng ngày biểu diễn n số mà ta gọi vectơ n – chiều, hay ma trận cấp × n Số lượng bán n mặt hàng m ngày biểu diễn m vectơ n – chiều, hay ma trận cấp m × n Trong xử lý ảnh, ảnh đen trắng biểu diễn ma trận bít , Trong thống kê ứng dụng, khảo sát biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n số liệu, số liệu gồm k + số giá trị k biến độc lập giá trị biến phụ thuộc tương ứng Một số liệu tạo thành ma trận cấp n × ( k + 1) , Giống khái niệm khác toán học, ma trận biểu diễn nhiều đối tượng khác toán ứng dụng cụ thể Về mặt toán học, ta xét biểu diễn quan trọng ma trận việc khảo sát hệ phương trình tuyến tính, hệ thống gồm nhiều phương trình bậc theo nhiều ẩn số Xét hệ phương trình ⎧ x − y + z = ⎪ ⎨ − x + 2y + z = ⎪−2x + 3y + z = ⎩ (1.1) x, y, z ẩn số cần tìm Vai trò ký hiệu ẩn x, y, z ý nghóa định Chẳng hạn, hệ phương trình viết lại thành ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + x3 = + 2x2 + x3 = + 3x + x3 = (1.2) với aån laø x1 , x , x , Nói khác đi, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác định số hạng kèm theo ẩn mà ta gọi hệ số số hạng vế phải mà ta gọi hệ số tự Cụ thể, hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số hoàn toàn xác định ma trận cấp m × n hệ số ma trận cấp m × hệ số tự Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) hoàn toàn xác định ma trận ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ vaø B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ngoài ra, ta gom chung hai ma trận lại ma trận, gọi ma trận hệ số mở rộng ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ hay A B = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 1.2 Ma trận Hai ma trận A B gọi chúng có cấp số hạng tương ứng chúng đôi một, nghóa ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ B⎤⎦ với ij i, j Ví dụ Cho hai ma trận A, B ∈ M2×3 , ⎛1 ⎞ ⎛p q 4⎞ A=⎜ ⎟ ⎟, B = ⎜ ⎝s 2⎠ ⎝1 2⎠ Ta coù A = B p = , q = vaø s = ij 1.3 Các ma trận đặc biệt i) Ma trận không : ma trận mà số hạng số Ma trận không cấp m × n ký hiệu m×n hay vắn tắt ⎛ 0 0⎞ Ví dụ 02×3 = ⎜ ⎟ ma trận không cấp × ⎝ 0 0⎠ ii) Ma trận vuông : ma trận có số dòng số cột Ma trận vuông cấp n × n gọi tắt ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn Với ma trận vuông A ∈ Mn , số hạng ⎡⎣ A ⎤⎦ , 11 ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo (chính) A Các số hạng 22 nn ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo phụ A n −1,2 1n n1 Ví dụ Ma trận ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ laø ma trận vuông cấp Các số hạng nằm đường chéo : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = −5 22 33 11 Các số hạng nằm đường chéo phụ : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 22 31 13 iii) Ma trận chéo cấp n : ma trận vuông cấp n mà số hạng không nằm đường chéo số Ví dụ Ma trận ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −7 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ laø ma trận chéo cấp iv) Ma trận đơn vị cấp n : ma trận chéo cấp n , ký hiệu In , mà số hạng nằm đường chéo Để biểu diễn ma trận đơn vị, người ta dùng ký hieäu Kronecker : ⎧1 δij = ⎨ ⎩0 khi i= j i≠ j đó, ma trận đơn vị cấp n viết dạng ⎛1 ⎜ In = ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0 ⎞ ⎟ ⎟ = δij ⎟ ⎟ ⎟⎠ ( ) i, j =1,n Ví dụ Ma trận đơn vị cấp cấp ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ I2 = ⎜ ⎟ ; I3 = ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ v) Ma traän tam giác (dưới) : ma trận vuông mà phần tử phía (ở phía trên) đường chéo Ví dụ Ma trận ⎛ b11 ⎜ ⎜ B=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ b12 b22 b1n ⎞ ⎟ b2n ⎟ ⎟ ⎟ bnn ⎟⎠ ma trận tam giác ma trận ⎛ c11 ⎜ ⎜c C = ⎜ 21 ⎜ ⎜c ⎝ n1 c22 cn2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ cnn ⎟⎠ laø ma trận tam giác vi) Ma trận có dòng gọi ma trận dòng, ma trận có cột gọi ma trận cột Các ma trận dòng ma trận cột xem vectơ gọi vectơ dòng vectơ cột Khi đó, ma trận xem tạo nhiều vectơ dòng hay tạo nhiều vectơ cột Với ma trận A ∈ Mm×n , dòng thứ i A gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ vaø ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ; cột in i i1 i2 j thứ j gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ mj 2j 1j Ví dụ i) Ma trận A = ( −1) ma trận dòng ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ii) Ma traän B = ⎜ ⎟ ma trận cột ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ iii) Ma traän ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×4 ⎜ −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ tạo vectơ dòng ⎡⎣C ⎤⎦ = (1 1) ; ⎡⎣C ⎤⎦ = ( −1 ) ; ⎡⎣C ⎤⎦ = ( −1 −1) , hay tạo vectơ cột ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛2⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎡C⎦⎤ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ −1 ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.3 Các phép toán ma trận 1.3.1 Phép cộng hai ma trận nhân số với ma trận Với hai ma trận A, B ∈ Mm×n với số thực h ∈ , ta định nghóa : Ma trận tổng A B , ký hiệu A + B , ma trận cấp m × n xác định ⎡⎣ A + B ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + ⎡⎣ B⎤⎦ với i, j ij ij ij Ma trận tích số h với A , ký hiệu hA , ma trận cấp m × n xác định ⎡⎣ hA ⎤⎦ = h ⎡⎣ A ⎤⎦ với i, j ij ij ⎛ 3⎞ ⎛ −1 ⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎛2 4⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ −4 −4 ⎞ A+B=⎜ ⎟ ⎟ , 2A = ⎜ ⎟ vaø −4B = ⎜ ⎝ −4 ⎠ ⎝3 5⎠ ⎝ 10 12 ⎠ ∗ Chú ý : Hai ma trận cộng với chúng có cấp ma trận tổng có cấp cấp hai ma trận cho Ma trận −1 A , ký hiệu − A , ( ) gọi ma trận đối ma trận A Từ đó, ta định nghóa phép trừ ma trận A − B ≡ A + ( −B ) = A + ( −1) B Tính chất Với ma trận A, B, C ∈ Mm×n h, k ∈ (i) A + B = B + A (tính giao hoán), (ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (tính kết hợp), (iii) A + = A ( : ma trận không cấp m × n ), (iv) A + ( − A ) = , , ta coù (v) h ( kA ) = ( hk ) A , (vi) h ( A + B ) = hA + hB , (vii) ( h + k ) A = hA + kA , (viii) 1.A = A Các tính chất kiểm chứng cách dễ dàng coi tập Tập hợp M m×n với hai phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số thỏa tính chất nêu nên sau ta nói có cấu trúc không gian vectơ (xem chương 3) 1.3.2 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p Ta định nghóa ma trận tích hai ma trận A, B ma trận cấp m × p , ký hiệu AB , xác định ⎡⎣ AB⎤⎦ = ik n ∑ ⎡⎣ A ⎤⎦ ij j =1 ⎡⎣B⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ jk i1 1k i2 2k in nk với i = 1, m , k = 1, p Trong công thức tính số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ ma trận tích AB , số hạng ik ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ tạo thành dòng thứ i , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ma trận A số hạng i2 in i k ⎡⎣ A ⎤⎦ , i1 ⎡⎣ B ⎤⎦ , 1k ⎡⎣ B ⎤⎦ , , ⎡⎣ B ⎤⎦ tạo thành cột thứ k , ⎡⎣ B ⎤⎦ , ma trận B Khi đó, số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ 2k nk ik k tích vô hướng hai vectơ ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣B ⎤⎦ i Ví dụ 10 Cho ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×2 , B = ⎜ ⎟ ∈ M2×2 − ⎝ ⎠ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ Các số hạng ma trận AB ∈ M3×2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2) = − , 11 1 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 12 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 21 2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ = − , 22 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 31 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 32 ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ AB = ⎜ −4 −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Chú ý với phép nhân ma trận vậy, ta biểu diễn hệ phương trình tuyến tính phương trình ma trận Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + x3 = + 2x2 + x3 = + 3x + x3 = (1.3) với ma trận hệ số ma trận hệ số tự do, ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ vaø B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Gọi X = ⎜ x2 ⎟ ma trận ẩn số Phương trình (1.3) viết lại thành ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ A⋅X =B (1.4) Tính chất (i) Tính kết hợp : Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p C ∈ Mp×q , ta coù A ( BC ) = ( AB ) C (ii) Tính phân bố : Với ma trận A, B ∈ Mm×n C ∈ Mn×p , ta coù ( A + B) C = AC + BC , với ma trận C ∈ Mm×n A, B ∈ Mn×p , ta có C ( A + B ) = CA + CB (iii) Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p h ∈ , ta có h ( AB ) = ( hA ) B = A ( hB ) * Chú ý i) Để nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện số cột ma trận A phải số dòng ma trận B : Số dòng ma trận tích AB số dòng ma trận A Số cột ma trận tích AB số cột ma trận B Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không thiết tích AB tồn tích AB tồn tại, tích BA không thiết tồn ii) Tích hai ma trận nói chung tính giao hoán, nghóa tổng quát ta có AB ≠ BA Ví dụ 11 Với hai ma traän ⎛0 1⎞ ⎛ 0⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, ⎝ 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎛1 0⎞ ⎛ 0⎞ ta coù AB = ⎜ ⎟ ≠ BA = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝0 1⎠ Trong trường hợp hai ma trận tích AB BA tồn thỏa đẳng thức AB = BA , ta nói hai ma trận A B giao hoán với Chẳng hạn, ma trận đơn vị In giao hoán với ma trận vuông A cấp n In A = AIn = A Tổng quát, B ma trận cấp m × n , ta có Im B = BIn = B , Im , In ma trận đơn vị cấp m n Ví dụ 12 Cho ⎛ 3⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ Ta coù ⎛ 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ I2 A = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎛1 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3⎞ AI3 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠ Bài 23: Khơng khai triển, tính định thức: a b c bc b c a ca 1 c a b ab Bài 24: Không khai triển định thức chứng minh rằng: x y z 1 x y z z y  x z2 z y2 x2 z y x y2 x2 Bài 25: Chứng minh rằng: a a2 b) b b  (b  a)(c  a )(c  b) c c2 a bc a) b ca  (b  a)(c  a)(c  b) c ab 1 c) a b c  (a  b  c)(b  a)(c  a )(c  b) a b3 c Bài 26: Hãy tính định thức sau cho biết ma trận tương ứng khả nghịch: a) a a2 a2 a a a2 x  2 x  3x  b) x  3x  4 x  3x  5 x  10 x  17 80 1 x x c) x 1 x x x 1 a  b  c a  b b  2c  2a d) b  c  a b  c c  2a  2b c  a  b c  a a  2b  2c a 1 e) b 1 c 1 d 1 0 a b f) c a c b b c a c b a g) a a a a a b b a b c b c a b c d Bài 27: Áp dụng ma trận nghịch đảo Hãy giải phương trình ma trận sau: 1 2 3 5 X  a)    3 4 5 9  3   3      b)  4  X  10   1  10      Bài 28: Xét xem hệ phương trình tuyến tính sau có hệ Cramer không giải chúng: 2 x1  x2  x3  4;  a) 3 x1  x2  x3  11; 3 x  x  x  11   x1  x2  3x3  x4  6;  2 x1  x2  x3  3x4  4; b)  3x1  x2  x3  x4  4; 2 x1  3x2  x3  x4  8 Bài 29: Giải hệ phương trình sau:  x1  x2  x3  6;  a) 2 x1  x2  x3  16; 5 x  x  x  16   x1  x2  x3  1; 7 x1  x2  3x3  15;   b) 5 x1  x2  x3  15; c)  x1  x2  x3  4;   x  x  x  10 x1  11x2  x3  36  3 x1  x2  x3  5;  d) 2 x1  x2  x3  1; 2 x  x  x  11   x1  x2  x3  x4  2;   x1  x2  3x3  x4  2; e)  2 x1  3x2  x3  x4  2;  x1  x2  x3  x4  81  x1  x2  x3  x4  5;   x1  x2  3x3  x4  3; g)  4 x1  x2  x3  3x4  7; 3 x1  x2  3x3  x4  2 x1  x2  x3  x4  5;   x1  x2  3x3  x4  1; f)  3 x1  x2  x3  x4  8; 2 x1  x2  x3  3x4  2 x1  x2  3x3  x4  4;  3x1  3x2  3x3  x4  6; h)  3x1  x2  x3  x4  6; 3x1  x2  3x3  x4  Bài 30: Giải biện luận hệ pt sau: mx1  x2  x3  1;  a)  x1  mx2  x3  m;   x1  x2  mx3  m ax1  x2  x3  4;  b)  x1  bx2  x3  3;  x  x  x   3 x1  x2  x3  x4  3;  2 x1  3x2  x3  x4  5; d)   x1  x2  x3  20 x4  11; 4 x1  x2  x3  x4   x1  ax2  a x3  a ;  c)  x1  bx2  b x3  b3 ;   x1  cx2  c x3  c mx1  x2  x3  x4   x1  mx2  x3  x4 e)   x1  x2  mx3  x4  x  x  x  mx   1;  m;  m2 ; f)  m3  x1  x2  x3  1;  ax1  bx2  cx3  d ;  2 2 a x1  b x2  c x3  d Bài 31: Dùng thuật toán Gauss Gauss-Jordan để giải hệ pt sau:  x1  x2  3x3  x4  2;  a) 2 x1  x2  x3  x4  1; 5 x  12 x  x  x    7;  x1  x2  x2  x3  x4  5;  b)   x1  x2  x3  x4   x2  x4  10 82 Bài 32: Cho hệ phương trình: 5 x1  x2  x3  x4  3;  4 x1  x2  3x3  x4  1;  8 x1  x2  x3  x4  9; 7 x1  3x2  x3  17 x4   Xác định giá trị tham số  cho: a) Hệ phương trình có vơ số nghiệm b) Hệ phương trình vơ nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm Bài 33:  1;  x1  x2  x3  Cho hệ phương trình  x1  x2  kx3  3;  x  kx +3 x  2  Xác định giá trị tham số k cho: a) Hệ phương trình có vơ số nghiệm b) Hệ phương trình vơ nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm Bài 34:  kx1  x2  x3 =1;  Cho hệ phương trình  x1  kx2  x3  1;  x  x + kx =1  Xác định giá trị tham số k cho: a) Hệ phương trình có vơ số nghiệm b) Hệ phương trình vơ nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm 83 Bài 35: Tìm tam thức bậc hai f(x) biết: f(1) = -1; f(-1) = 9; f(2) = -3 Bài 36: Tìm đa thức bậc ba g(x) biết: g(-1) = 0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16 Bài 37: y +z m mx   Cho hệ phương trình 2 x  (1  m) y  (1  m) z  m  x  1 y  mz  Tìm giá trị m để hệ có nghiệm Bài 38: ax  y  z  2  Cho hệ phương trình ax  y  z  , a, b tham số 3x  y  z  b  a) Xác định a, b để hệ hệ Cramer, giải tìm nghiệm hệ b) Tìm a, b để hệ vơ nghiệm c) Tìm a, b để hệ có vơ số nghiệm Bài 39: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm: ax  y  z  a   x  by  z  b  x  y  cz  c  84 KHÔNG GIAN VECTƠ -o0o Bài 1: Trong không gian vectơ ℝ4 , cho hệ vectơ sau: {u1  (1,2, 1, 2); u2  (2,3,0,1); u3  (1,2,1,3); u4  (1,3, 1, 2)} (a) Tìm điều kiện tham số a để vectơ x  (7,14, 1, a) tổ hợp tuyến tính hệ cho (b) Tìm sở số chiều không gian sinh hệ vectơ {ui }, i  1, ,4 Bài 2: Cho V K - không gian vectơ Chứng minh rằng: (a) Nếu vectơ x, y, z  V độc lập tuyến tính x  y, y  z, z  x độc lập tuyến tính (b) Nếu vectơ x, y, z  V độc lập tuyến tính x  y, y  z, z  x có độc lập tuyến tính hay khơng? (c ) Xét tính độc lập tuyến tính vectơ ℝ3 : x  (1,0, 2); y  (2,1, 4); z  (3,1, 6) Bài 3: Trong ℝ4 , cho tập F  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  0; x1  x3} (a) Chứng tỏ F không gian (b) Tìm sở số chiều F Bài 4: Trong R , cho tập F  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  x4  0; x1  x2} (a) Chứng tỏ F không gian ℝ4 (b) Tìm sở số chiều F Bài 5: Trong không gian 𝑀2 (ℝ) ma trạn vuông cấp 2, cho tập  4  F  { X  M ( ) / AX  0} ,trong đó, A     1  (a) Chứng tỏ F không gian 𝑀2 (ℝ) (b) Tìm sở số chiều F Bài 6: Trong ℝ4 , cho hai tập 85 U  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  x4  0}; V  { y  ( y1 , y2 , y3 , y4 ) / y1  y2  y3  y4  0} (a) Chứng tỏ U, V không gian ℝ4 (b) Tìm sở số chiều U  V Chứng tỏ U  V  Bài 7: Trong ℝ4 , cho hai hệ vectơ: W  {(1,1,1,1);(1,1, 1, 1);(1, 1,1, 1);(1, 1, 1,1)}; U  {(1,1,0,1);(2,1,3,1);(1,1,0,0);(0,1, 1, 1)} (a) Chứng tỏ W, U sở ℝ4 (b) Tìm tọa độ vectơ x  (1,2,1,2)  sở W Bài 8: Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình sau:  x  y  z  3t  3 x  y  z  4t    4 x  y  z  3t  3 x  y  24 z  19t  Bài 9: Tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình sau: 2 x  y  z  t  x  y  2z   2 y  z  t   x  y  t    x  y  z  t  Bài 10: Gọi W1 W2 không gian nghiệm hệ phương trình sau ℝ: x  x   x1  x3  x4     x1  x2  x4   x2  x3  Tìm sở số chiều cho không gian W1 ,W2 ,W1  W2 ,W1  W2 Bài 11: Trong ℝ - không gian vectơ P2 [ x] , cho tập M  {x2  x  1;2 x  1;3} 86 (a) Chứng minh M sở P2 [ x] (b) Tìm tọa độ vectơ u  x  x  sở Bài 12: Trong ℝ3 , cho sở: U  {u1  (1,1,1); u2  (1,1,0); u3  (1,0,0)}; V  {v1  (2,1, 1); v2  (3,2,5); v3  (1, 1,1) (a) Tìm tọa độ vectơ x  (2, 4,6) sở U (b) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 13: Trong không gian ℝ4 , cho không gian sau: W1  {(a, b, c, d ) / b  2c  d  0};W2  {(a, b, c, d ) / a  d , b  2c} Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1  W2 ;W1  W2 Từ đó, chứng minh W1  W2  Bài 14: Trong không gian ℝ4 , cho không gian sau: W1  {(a, b, c, d ) / a  2b  c  d  0};W2  {(a, b, c, d ) / 2a  2b  c  d  0} (a) Chứng minh W1 ,W2 không gian (b) Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1  W2 Bài 15: Trong không gian vectơ ℝ5 , xét hệ gồm vectơ u1  (1,1, 2,1,4); u2  (0,1, 1,2,3); u3  (1, 1,0, 3,0) (a) Tìm sở số chiều không gian sinh vectơ u1 , u2 , u3 (b) Tìm giá trị m để vectơ x  (1, m,1, m  3, 5) W Khi đó, tìm tọa độ vectơ x sở {u1 , u2 , u3} Bài 16: Trong không gian ℝ3 , cho W không gian sinh hệ vectơ sau: W  {u1  (1,2, 1); u2  (3,1, 2); u3  (4,1,1); u4  (2,4, 2)} (a) Tìm sỏ số chiều W (b) Chứng tỏ không gian sinh hai vectơ u1 u với không gian sinh hai vectơ u3 u 87 Bài 17: Trong M ( ) , cho hai không gian con: a  b  a c  d / a, b  }; G  { F  {A     a  b 2a  c  d (a) Xác định tập F  G (b) Tìm sở số chiều F  G 2c  / c, d  } $ c  5d  Bài 18: Trong không gian ℝ4 , cho vectơ: u1  (1,1,0,0); u2  (1,1,1,1); u3  (0, 1,0,1); u4  (1,2, 1, 2) Gọi E không gian sinh hệ {u1 , u2 , u3 , u4 } (a) Tìm sở số chiều E (b) Tìm điều kiện cần đủ để vectơ x  ( x1 , x2 , x3 , x4 )  E Bài 19: Trong không gian M ( ) , cho tập b  a F  {A    / a, b  }  b a b   (a) Chứng tỏ F không gian M ( ) (b) Tìm sở số chiều F Bài 20: Trong không gian vectơ ℝ𝑛 , cho tập V có dạng: V  {x  ( x1 , , xn )  n / x1  x2  (a) Chứng minh V khơng gian (b) Tìm sở số chiều V n Bài 21: Cho hệ phương trình tuyến tính a  x  y  2t 2 x  y  z  5t  b  c  x  y  5t 3x  y  3z  9t  d  2 x  y  z  2t  e Xét W  {(a, b, c, d , e) / hệ phương trình (*) có nghiệm } 88  xn  0} (*) Tìm sở số chiều W Bài 22: (a) Cho hệ vectơ 1 , 2 , , m độc lập tuyến tính Chứng minh hệ vectơ 1  1; 2  1   ; ; m  1      m độc lập tuyến tính (b) Trong khơng gian ma trận vuông cấp hai M ( ) , cho vectơ sau: 1 3 1 u  ; u1     2 2 Hỏi u có phải tổ hợp tuyến tính 0 1 1  1 ; u2   ; u3      0 0 0  1 u1; u2 ; u3 không? Bài 23: Trong không gian P1[ x] , xét sở B  {6  3x;10  x}; B  {2;3  x} (a) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang sở B' (b) Tìm tọa độ p  4  x sở B, từ suy tọa độ p sở B’ Bài 24: Trong không gian ℝ3 với tích vơ hướng tắc, cho khơng gian F  {(a, b, c) / a  b  c  0} (a) Tìm sở số chiều F (b) Với giá trị m x  (2, 2, m) trực giao với khơng gian F? Bài 25: Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 , cho không gian vectơ W  {(a, b, c, d )  R / a  b  c  0; a  b  d  0} (a) Tìm sở W (b) Tìm tất vectơ trực giao với W Bài 26:  3  Trong không gian M ( ) , cho ma trận A     1  Ta gọi tập W  { X  M ( ) / AX  0} (a) Chứng minh W không gian M ( ) (b) Tìm sở số chiều W 89 Bài 27: Trong không gian vectơ ℝ3 , cho hai hệ vectơ: U  {(1,1,1);(1,1, 2);(1, 2,3)}; V  {(2,1, 1);(3, 2, 5);(1, 1, m)} (a) Xác định m để V sở (b) Tìm tọa độ vectơ u  (1,0,0) sở U (c) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 28: Cho hệ phương tŕnh tuyến tính x  y  2z  t   2 x  y  z  t    x  y  z  mt  (a) Tìm tập nghiệm hệ phương trình (b) Gọi W khơng gian nghiệm hệ cho Với giá trị m W có số chiều lớn 1? Bài 29: Trong khơng gian P3[ x] đa thức có bậc nhỏ 3, xét hai sở sau: U  {1; x; x ; x3};V  {1;( x  1);( x  1) ;( x  1)3} (a) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V (b) Tìm tọa độ vectơ f ( x)  x3  x  sở V Bài 30:  {(0,1,0, 2),(1,1,0,1),(1, 2,0,1),( 1,0, 2,1)} Gọi  {(1,0, 2, 1),(0,3,0, 2),(0,1,3,1),(0, 1,0,1)} hai sở ℝ4 (a) Tìm ma trận chuyển từ sở sang sở (b) Tìm tọa độ   (2,0, 4,0) sở Bài 31: Trong không gian P3[ x] đa thức có bậc nhỏ hay (a) Chứng minh hai hệ vectơ U  {u1  1; u2  x; u3  x ; u4  x 3} V  {v1  1; v2  ( x  2); v3  ( x  2) ; v4  ( x  2)3} 90 hai sở P3[ x] (b) Hãy tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 32: Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vơ hướng thơng thường, cho vectơ: 1 7 x  (1,1,1,1); y  (2, 2, 2, 2); z  ( , ,  , ) 2 2 (a) Chứng tỏ hệ {x, y, z} hệ trực giao (b) Hãy bổ sung vào hệ cho thêm vectơ để có sở trực giao ℝ4 Bài 33: Trong khơng gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vơ hướng thơng thường, cho vectơ x  (0,1,1,1); y  (3, 2,1,1); z  (3,3, 4,1) (a) Chứng tỏ hệ {x, y, z} hệ trực giao (b) Hãy bổ sung vào hệ cho thêm vectơ để có sở trực giao ℝ4 Bài 34: Trong không gian Euclide ℝ3 , cho hai không gian con: U  {x  / x1  x2  x3  0; x1  x2  x3  0};V  {x  (a) Tìm sở số chiều U ;V ;U  V (b) Hỏi U V có trực giao khơng? Vì sao? Bài 35: Trong khơng gian Euclide , cho tập con: W  {x  / x1  x2  x3  0} (a) Chứng tỏ W không gian (b) Tìm sở trực giao sở trực chuẩn W 91 / x2  x3  0} ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH -o0o Bài 1: Cho 𝑓: ℝ3 → ℝ3 ánh xạ tuyến tính cho f (1,1,2)  (1,2,3), f (2,1,1)  (0,1,1), f (2,2,3)  (0, 1,0) Hãy xác định công thức f , nghĩa tìm f ( x1 , x2 , x3 ) Bài 2: Tìm ánh xạ tuyến tính  : [t ]  [t ] cho (1)   t , (1  t )  1  2t , (2  t )   2t Bài 3: Tìm ánh xạ tuyến tính  : M ( )  M ( ) cho ( X i )  Yi , 1  1  2   11  , X1   , X  , X  X   5  9 13 17 25 3        1  1  1   1 , Y1   , Y  , Y  Y   2 4 2 3  3 3        Bài 4: Tìm ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 cho Imf sinh (1, 2,3) (4,5,6) Bài 5: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ2 xác định f ( x, y, z )  ( x  y, y  z ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định f ( x, y, z )  ( x  y  z, y  z, x  y  z ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f 92 Bài 7: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ4 → ℝ3 xác định f ( x, y, z, t )  ( x  y  z  t , x  z  t , x  y  3z  3t ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f Bài 8: Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ5 → ℝ3 xác định ( x, y, z, s, t )  ( x  y  z  3s  4t , x  y  z  5s  5t , x  y  5z  s  2t ) a Tìm sở chiều tập ảnh  b Tìm sở chiều hạt nhân  Bài 9: Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ3 [𝑡 ] → ℝ3 [𝑡 ] xác định ( f (t ))  f (t ) a Tìm sở chiều tập ảnh  b Tìm sở chiều hạt nhân  Bài 10: Cho ánh xạ tuyến tính  : M ( )  M ( ) xác định ( X )  XA  AX , 1  A  3  a Tìm sở chiều hạt nhân  b Tìm sở chiều tập ảnh  Bài 11: Xác định ánh xạ tuyến tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu a f :  xác định f ( x, y)  ( x  y, x  y) b f :  xác định f ( x, y )  (2 x  y,3x  y) Bài 12: Cho toán tử tuyến tính f ℝ3 xác định sau: 93 f ( x1 , x2 , x3 )  ((a  1) x1  x2  x3 ; x1  (a  1) x2  x3 ; x1  x2  (a  1) x3 ) Với a số thực a) Tìm a cho rank( f ) = 3, rank(f )