On Caohoc Bai giai Xacsuat Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội 1 ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ (GV Trần Ngọc Hội 2011) BÀI GIẢI PHẦN II XÁC SUẤT Bài 1 Có ba khẩu súng I,.
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội ÔN THI CAO HỌC Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội c) Gọi C biến cố có trúng Ta có C = A1 A A MƠN TỐN KINH TẾ (GV: Trần Ngọc Hội - 2011) Tính tốn tương tự câu a) ta P(C) = 0,28 BÀI GIẢI d) Gọi D biến cố có trúng Ta có PHẦN II: XÁC SUẤT Bài 1: Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng e) thứ bắn trúng biết có trúng D = A + B + C Chú ý A, B, C xung khắc đôi, nên theo cơng thức Cộng xác suất ta có P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97 e) Gỉa sử có trúng Khi biến cố B xảy Do xác suất để thứ trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/B) Theo cơng thức Nhân xác suất ta có: Lời giải Tóm tắt: Khẩu súng Xác suất trúng Suy I 0,7 II 0,8 III 0,5 Gọi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố thứ j bắn trúng Khi A1, A2, A3 độc lập giả thiết cho ta P(A ) = 0, 7; P(A1 ) = 0, 3; P(A ) = 0, 8; P(A ) = 0, 2; P(A ) = 0, 5; P(A ) = 0, a) Gọi A biến cố có trúng Ta có A = A A A + A1 A A + A A A Vì biến cố A1 A A , A1 A A , A1 A A xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có P(A) = P(A1A A + A1 A A + A1 A A ) = P(A1 A A ) + P(A1 A A ) + P(A 1A A ) Vì biến cố A1, A2, A3 độc lập nên theo cơng thức Nhân xác suất ta có P(A1 A A ) = P(A1 )P(A 2)P(A ) = 0, 7.0, 2.0, = 0, 07; P(A1 A A ) = P(A1 )P(A )P(A ) = 0, 3.0, 8.0, = 0,12; P(A1 A A ) = P(A1 )P(A 23 )P(A ) = 0, 3.0, 2.0, = 0, 03 Suy P(A) = 0,22 b) Gọi B biến cố có trúng Ta có P(A2B) = P(B)P(A2/B) P(A /B) = Mà A 2B = A A A + A A A nên lý luận tương tự ta Suy P(A2/B) = 0,851 P(A2B) = 0,4 Bài 2: Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tính xác suất để bi đỏ b) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng c) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng d) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có hộp I Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi đỏ (2 − i) bi trắng có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - A0, A1, A2 xung khắc đơi ta có B = A1A A + A 1A A + A A A Tính tốn tương tự câu a) ta P(B) = 0,47 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(A 2B) P(B) Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất P(A ) = 0; C = A1B2 + A2B1 CC C )=CC C P(A ) = 1 = 10 P(A P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B ) = C C C 36 45 = ; 45 10 1 = 24 ; 45 = 15 45 10 2 ; 45 = 10 - B0, B1, B2 xung khắc đơi ta có: 10 - Ai Bj độc lập - Tổng số bi đỏ có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo bảng sau: B0 A0 A1 A2 B1 B2 a) Gọi A biến cố chọn bi đỏ Ta có: A = A2 B2 Từ đây, tính độc lập, cơng thức nhân xác suất thứ cho ta: P(A) = Trần Ngọc Hội P(A )P(B2 ) = 36 15 = 0, 2667 45 45 b) Gọi B biến cố chọn bi đỏ bi trắng Ta có B = A0B2 + A1B1 + A2B0 Do tính xung khắc đôi biến cố A0B2 , A1B1 , A2B0, công thức Cộng xác suất cho ta: P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0) Từ đây, tính độc lập, Cơng thức nhân xác suất thứ cho ta P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133 c) Gọi C biến cố chọn bi đỏ bi trắng Ta có Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Lý luận tương tự ta P(C) = P(A1)P(B2 ) + P(A2)P(B1) = 0,4933 d) Giả sử chọn bi đỏ bi trắng Khi biến cố C xảy Do xác suất để bi trắng có thuộc hộp I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/C) Theo cơng thức nhân xác suất, ta có e) P(A1C) = P(C)P(A1 /C) Suy P(A1 /C) = P(A1C) P(C) Mà A1C = A1B2 nên P(A 1C) = P(A 1B2 ) = P(A )P(B2 ) = 15 = 0, 0667 45 45 Do xác suất cần tìm P(A1/C) = 0,1352 Bài 3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Lời giải Gọi Ti, Xi biến cố chọn sản phẩm tốt, xấu lần kiểm tra thứ i a) Gọi A biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có A = T1T2T3 Suy P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2) = (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667 b) Gọi B biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 Suy P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 ) = P(X1) P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(T4/X1T2T3) + P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(T4/T1X2T3) + P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2)P(T4/ T1T2 X3) = (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857 c) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Khi biến cố B xảy Do xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu trường hợp xác suất có điều kiện P(X3/B) Ơn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất ⎡D ⎢X − D B xảy ⇔ Rút ⎢ ⎢X − X − D ⎢ ⎣X − X − X − D Theo công thức nhân xác suất, ta có P(X 3B) = P(B)P(X /B) Suy P(X /B) = Mà X3B = T1T2X3T4 P(X 3B) P(B) nên Trần Ngọc Hội Suy P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952 B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4 Từ đây, tính xung khắc đơi biến cố thành phần, ta có: P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3D4) Suy P(X3/B) = 0,3333 Bài 4: Một hộp bi gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên khơng hịan lại bi bi đỏ dừng lại Tính xác suất để a) bi trắng, bi xanh bi đỏ b) khơng có bi trắng rút Lời giải Gọi Di, Ti, Xi biến cố chọn bi đỏ, bi trắng, bi xanh lần rút thứ i a) Gọi A biến cố rút bi trắng, bi xanh bi đỏ Ta có: ⎡T − T − X − D ⎢ A xảy ⇔ Rút T − X − T − D ⎢ ⎢⎣ X − T − T − D Suy A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4 Từ đây, tính xung khắc đơi biến cố thành phần, ta có: P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 ) Theo Cơng thức Nhân xác suất, ta có P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3) = (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66 Suy P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455 b) Gọi B biến cố khơng có bi trắng rút Ta có: Theo cơng thức Nhân xác suất, ta có P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2) + P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3) = 5/12 + (3/12)(5/11)+ (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9) = 5/9 Bài 5: Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Lời giải Tóm tắt: Phân xưởng Tỉ lệ sản lượng Tỉ lệ loại A I 30% 70% II 45% 50% III 25% 90% a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất ta chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm thị trường Khi tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất để sản phẩm thuộc loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố sản phẩm phân xưởng I, II, III sản xuất Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25 Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5; P(B/A3 = 90% = 0,9 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Suy P(B) = 0,66 = 66% Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất 66% Chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả phân xưởng sản xuất nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A1/B), P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn sản phẩm có khả phân xưởng thứ i sản xuất nhiều Theo công thức Bayes ta có: P(A /B) = P(A /B) = P(A /B) = P(A1 )P(B/A1 ) 0, 3.0, 21 = = ; P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 45.0, 22, = = ; P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 25.0, 22, = = P(B) 0, 66 66 Vì P(A2/B) = P(A3/B)> P(A1/B) nên sản phẩm loại A có khả phân xưởng II III sản xuất nhiều c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Ap dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có: 1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A 80 80 P121 (80) = C121 p 80q 41 = C121 (0, 66)80 (0, 34)41 = 0, 076 85 ∑P k = 80 121 (k) = 85 ∑C k = 80 k 121 p k q121− k = 85 ∑C k = 80 k 121 Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố chọn cửa hàng I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 75% = 0,75; P(B/A3 = 50% = 0,5 Suy P(B) = 0,65 = 65% Vậy xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A 65% b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả khách hàng chọn cửa hàng nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A1/B), P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn cửa hàng thứ i có nhiều khả chọn Theo cơng thức Bayes ta có: P(A1 /B) = P(A /B) = P(A /B) = 2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A (0, 66)k (0, 34)121− k = 0, 3925 Trần Ngọc Hội P(A )P(B/A ) (1 / 3).0, 70 = = ; P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0, 75 75 = = ; P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0, 50 = = P(B) 0, 65 195 Vì P(A2/B) > P(A1/B) > P(A3/B) nên cửa hàng II có nhiều khả chọn Bài 6: Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? Bài 7: Có hai hộp I II hộp chứa 12 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi bỏ sang hộp II; sau lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi a) Tính xác suất để lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II b) Giả sử lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để ba bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ bi trắng Lời giải Lời giải Tóm tắt: Cửa hàng Tỉ lệ loại A I 70% II 75% III 50% Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Gọi A biến cố chọn bi đỏ bi trắng từ hộp II Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ai (i = 0, 1, 2, 3) biến cố có i bi đỏ (3 − i) bi trắng có bi chọn từ hộp I Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: CC C P(A ) = C C C P(A ) = C C C P(A ) = C C C P(A ) = = ; 220 = 48 ; 220 = 112 ; 220 56 = 220 12 1 12 12 3 12 a) Tính xác suất để lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Theo cơng thức tính xác suất lựa chọn, ta có P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C 10 15 15 100 = ; 1365 180 = ; 1365 = 280 ; 1365 = 392 1365 15 3 15 Suy xác suất cần tìm P(A) = 0,2076 b) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Khi biến cố A xảy Do dó xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/A) Ap dụng cơng thức Bayes, ta có: P(A /A) = 112 280 P(A )P(A/A ) 220 1365 = = 0, 5030 P(A) 0, 2076 Vậy xác suất cần tìm P(A2/A) = 0,5030 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Bài 8: Có ba hộp hộp đựng viên bi hộp thứ có bi trắng, bi đen; hộp thứ hai có bi trắng, bi đen; hộp thứ ba có bi trắng, bi đen a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi 1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng 3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen Lời giải a) Gọi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố lấy bi trắng từ hộp thứ j Khi A1, A2, A3 độc lập ; P(A1 ) = P(A ) = ; P(A ) = P(A ) = ; P(A ) = P(A ) = ; ; 1) Gọi A biến cố lấy bi trắng Ta có A = A1 A A Suy P(A) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,048 2) Gọi B biến cố lấy bi đen, bi trắng Ta có B = A1 A A + A1 A A + A1 A A Suy P(B) = 0,464 3) Giả sử viên lấy có bi trắng Khi biến cố B xảy Do xác suất để bi trắng hộp thứ trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/B) Theo cơng thức nhân xác suất ta có: P(A1B) = P(B)P(A1/B) Suy P(A1 /B) = P(A1B) P(B) Mà A 1B = A A A nên lý luận tương tự ta P(A1B) = 0,048 Suy P(A1/B) = 0,1034 b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen Gọi A biến cố lấy bi đen A1, A2, A3 biến cố chọn hộp I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/ A2)+ P(A3)P(A/A3) Theo cơng thức xác suất lựa chọn, ta có: 10 Ơn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất P(A/A1 ) = Trần Ngọc Hội C02C33 C10C34 = ; P(A/A ) = = ; P(A/A ) =0 10 10 C53 C53 Suy P(A) = 0,1667 Bài 9: Có 20 hộp sản phẩm lọai, hộp chứa nhiều sản phẩm, có 10 hộp xí nghiệp I, hộp xí nghiệp II hộp xí nghiệp III Tỉ lệ sản phẩm tốt xí nghiệp 50%, 65% 75% Lấy ngẫu nhiên hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm chọn có sản phẩm tốt Tính xác suất để sản phẩm tốt xí nghiệp I Gọi A biến cố sản phẩm chọn có sản phẩm tốt Aj (j = 1, 2, 3) biến cố chọn hộp xí nghiệp thứ j Khi A1, A2, A3 đầy đủ, xung khắc đơi ta có P(A ) = C C P(A ) = C C P(A ) = C C 10 20 10 = ; 20 = 20 thi gồm câu hỏi trả lời câu hỏi Tính xác suất để sinh viên thuộc loại Lời giải Tóm tắt: Xếp loại sinh viên Số lượng Số câu trả lời được/20 Giỏi 20 Khá 16 Trung bình 10 Gọi A biến cố sinh viên trả lời câu hỏi A1, A2, A3 biến cố sinh viên thuộc loại Giỏi, Khá; Trung bình 20 = ; 20 Các biến cố A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đơi, ta có: P(A1) = 3/10; P(A2) = 4/10; P(A3) = 3/10 Theo công thức Bayes, ta có P(A /A) = P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Theo cơng thức tính xác suất lựa chọn, ta có: 20 P(A / A1 ) = C420 = 1; C420 P(A / A ) = C16 C04 1820 ; = C420 4845 P(A / A ) = C10 C10 210 = C20 4845 P(A / A1 ) = C23 (0, 5)2 (1 − 0, 5) = 0, 375 P(A / A ) = C23 (0, 65)2 (1 − 0, 65) = 0, 443625 P(A / A ) = C23 (0,75)2 (1 − 0, 25) = 0, 421875 Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) = (10/20).0,375 + (6/20) 0,443625 + (4/20) 0,421875 = 0,4050 b) Giả sử sản phẩm chọn có sản phẩm tốt Khi đó, biến cố A xảy Do đó, xác suất để sản phẩm tốt xí nghiệp I xác suất có điều kiện P(A1/A) Áp dụng Công thức Bayes sử dụng kết vừa tìm câu a) ta có P(A1 )P(A/A1 ) (10/20).0,375 = = 0, 4630 P(A) 0,4050 Suy P(A2/A) = 0,3243 Bài 11: Có hai hộp I II, hộp I chứa 10 bi trắng bi đen; hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp rút ngẫu nhiên bi bỏ đi, sau bỏ tất bi lại hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp III Tính xác suất để bi lấy từ hộp III có trắng, đen Lời giải Gọi A biến cố bi lấy trắng, đen Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) biến cố có j bi trắng (4 − j) bi đen có bi bỏ (từ hai hộp I II) Khi A0, A1, A2 , A3, A4 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) + P(A4)P(A/A4) Bài 10: Có 10 sinh viên thi, có thuộc lọai giỏi, trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định sinh viên lọai giỏi trả lời tất cả, sinh viên trả lời 16 câu sinh viên trung bình 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên phát phiếu 11 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(A )P(A/A ) P(A) Mặt khác, theo công thức xác suất đầy đủ, ta có Mặt khác, từ giả thiết, theo cơng thức Bernoulli, ta có P(A1 /A) = Trần Ngọc Hội u cầu tốn tính xác suất có điều kiện P(A2/A) Lời giải Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất 12 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất P(A/A ) = C118C110 C228 = Trần Ngọc Hội Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất 10 (Vì A0 xảy hộp III có 28 bi gồm 18 trắng , 10 21 P(A ) = đen) Tương tự, P(A/A1 ) = C117C111 = C115C113 = C228 C1 C1 187 32 ; P(A/A ) = 162 12 = ; 378 63 C28 P(A1 ) C114C114 14 65 ; P(A/A ) = = 126 27 C228 C228 Bây ta tính P(A0); P(A1); P(A2); P(A3); P(A4) Gọi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi trắng (2 − i) bi đen có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi P(A/A ) = P(A ) C C C 10 = 18 28 ; P(B1 ) = 153 P(A/A ) = C C C 1 10 18 = 80 ; P(B2 ) = 153 C C C 10 18 = 17 P(A/A1 ) - C0, C1, C2 xung khắc ta có: P(C ) = C C C 0 14 15 = ; P(C1 ) = 91 P(C/A ) CC C 1 14 48 = ; P(C2 ) = 91 CC C 14 = 28 91 - Bi Cj độc lập B0 B1 B2 C1 C2 A0 = B0C0 ⇒ P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663 ⇒ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641 A1 = B0C1 + B1C0 A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 ⇒ P(A2) = P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B2)P(C0) = 757/1989 A3 = B1C2 + B2C1 ⇒ P(A3) = P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = 4400/13923 ⇒ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221 A4 = B2C2 Từ suy P(A) = 0,5080 = 11 C18C16 48 ; 91 = C14 C1 C16 = 10 C118 C14 C1 C1 = 102 = C18 + C18 C118 C18 13 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com = C14 31 ; 63 80 153 Bài 12: Có hai hộp cỡ Hộp thứ chứa bi trắng bi xanh, hộp thứ hai chứa bi trắng bi xanh Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để viên bi lấy từ hộp lại bi trắng Lời giải Gọi A1 biến cố bi lấy bi trắng A2 biến cố bi lấy lần sau bi trắng Bài tóan yêu cầu tính P(A2/A1) Theo cơng thức nhân xác suất, ta có P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1) Suy P(A / A1 ) = P(A1 A ) P(A1 ) Bây ta tính xác suất P(A1) P(A1A2) Gọi B1, B2 biến cố chọn hộp I, hộp II Khi B1, B2 hệ đầy đủ, xung khắc đơi ta có: P(B1) = P(B2) = 0,5 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1) = P(B1)P(A1/B1) + P(B2)P(A1/B2) Mà CC C /B ) = C C C Cách khác: Gọi A biến cố bi lấy trắng, đen Aj (j = 0, 1, 2) biến cố có j bi hộp I (2 − j) bi hộp II có bi chọn Khi A0, A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) Theo công thức xác suất lựa chọn ta có ; 63 C228 C1 C1 32 = 162 12 = ; 63 C28 C2 C0 20 = 162 12 = 63 C28 Suy xác suất cần tìm P(A) = 0,5080 - Tổng số bi trắng có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Bi Cj theo bảng sau: C0 2 C16 C12 Cũng theo công thức xác suất lựa chọn ta có - B0, B1, B2 xung khắc ta có: P(B0 ) = Trần Ngọc Hội P(A1 / B1 ) = = ; 45 = 10 66 10 P(A1 2 12 nên P(A1) = 47/330 14 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1A2) = P(B1) P(A1A2/ B1) + P(B2) P(A1A2/ B2) Mà = ; 45 30 10 P(A 1A / B2 ) = P(A / B2 )P(A / A 1B2 ) = = 66 10 22 P(A 1A / B1 ) = P(A / B1 )P(A / A 1B1 ) = nên P(A1A2) = 13/330 Suy xác suất cần tìm - Trần Ngọc Hội Aj (j =1,2, 3) biến cố chọn hộp thứ j Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đơi ta có: A1 xảy thảy xúc xắc, xuất mặt chấm, P(A1) = 1/6 Tương tự, P(A2) = 2/6; P(A3) = 3/6 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Từ giả thiết ta có: P(A2/A1) = 13/47 = 0,2766 P(A / A1 ) = Bài 13: Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I b sản phẩm loại II đóng gói để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc sản phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc thuộc loại I C15 C52 C15 C15 C15 C50 4690 + + = ; C420 C420 C420 4845 P(A / A ) = C10 C42 C10 C14 C10 C04 960 + + = ; 4 C14 C14 C14 1001 Lời giải P(A / A ) = C220C10 C320C110 C420C10 24795 + + = 4 C30 C30 C30 27405 Gọi A biến cố sản phẩm chọn thuộc loại I A1, A2 biến cố sản phẩm thất lạc thuộc loại I, loại II Yêu cầu tốn tính xác suất có điều kiện P(A1/A) Ta thấy A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A ) = C1a C0b a ; = C1a + b a+b P(A ) = C0a C1b b = C1a + b a+b Suy P(A) =0,9334 Bài 15: Có hai kiện hàng I II Kiện thứ chứa 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, có sản phẩm loại A Lấy từ kiện sản phẩm Sau đó, sản phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Theo cơng thức Bayes, ta có P(A / A) = Lời giải P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A ) = P(A) P(A1 )P(A / A ) + P(A )P(A / A ) Mà P(A / A1 ) = C1a −1C0b a −1 = ; C1a + b−1 a + b−1 P(A / A ) = C1a C0b −1 a = C1a + b −1 a + b−1 nên a a −1 a −1 a b a b −1 + + P(A1 / A) = = a a −1 b a a + b −1 + a + b a + b −1 a + b a + b −1 Bài 14: Có hộp phấn, hộp I chứa 15 viên tốt viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt 10 viên xấu Ta gieo xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất mặt chấm ta chọn hộp I; xuất mặt chấm chọn hộp II, cịn xuất mặt cịn lại chọn hộp III Từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất để lấy viên tốt Lời giải Gọi A biến cố chọn viên phấn tốt 15 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Gọi C biến cố sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Aj (j = 0, 1, 2, 3, ) biến cố có j sản phẩm lọai A (4 − j) sản phẩm lọai B có sản phẩm lấy từ hai kiện I II Khi A0, A1, A2, A3, A4 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(C) = P(A0)P(C/A0) + P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) + P(A3)P(C/A3) + P(A4)P(C/A4) Ta có: P(C/A ) = 0; P(C/A1 ) = P(C/A ) P(C/A ) C11C13 C24 C1 C1 = 222 C4 C1C1 = 32 C4 P(C/A ) =0 Bây ta tính P(A1); P(A2); P(A3) 16 = = = Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Gọi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) biến cố có i sp A (2 − i) sp B có sp chọn từ kiện I, kiện II Khi - B0, B1, B2 xung khắc đơi ta có: CC C P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B0 ) = P(A1 ) = 16 ; 45 P(A ) 28 = 45 10 1 10 2 10 CC C P(C ) = C C C P(C ) = C C C P(C0 ) = 2 16 = 20 1 16 P(C/A ) = 64 ; 190 = ; 190 20 2 16 20 - Bi Cj độc lập - Tổng số sp A có sp chọn phụ thuộc vào biến cố Bi Cj theo bảng sau: C0 B0 B1 B2 C1 P(C/A1 ) 120 ; 190 = C2 Ta có: A1 = B0C1 + B1C0 A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 A3 = B1C2 + B2C1 Từ đây, nhờ công thưc cộng nhân xác suất ta tính được: P(A1) = 992/4275; P(A2) = 439/855; P(A3) = 944/4275 Suy xác suất cần tìm P(C) = 0,5687 Cách khác: Gọi C biến cố sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Aj (j = 0, 1, 2) biến cố có j sản phẩm kiện I (2 − j) sản phẩm kiện II sản phẩm chọn sau Khi A0, A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(C/A ) C14C116 = C220 C1 C1 = 18 116 C10 C20 C1 C1 = 82 = C10 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com ; 32 ; 95 + C12 C110 C14 C120 = 17 ; 25 16 45 Suy xác suất cần tìm P(C) = 0,5687 Bài 16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào mục tiêu Xác suất để viên đạn bắn trúng mục tiêu 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng mục tiêu chắn bị diệt Nếu có từ đến viên trúng mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80% Nếu có viên trúng mục tiêu bị diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Lời giải Tóm tắt: - Số viên bắn ra: 10 viên Xác suất trúng viên: 0,8 Số viên trúng 2-9 10 Xác suất mục tiêu bị diệt 20% 80% 100% a) Gọi A biến cố mục tiêu bị diệt A0, A1, A2, A3 biến cố có 0; 1; 2-9; 10 viên trúng Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi giả thiết cho ta: P(A/A0) = 0; P(A/A1) = 20% = 0,2; P(A/A2) = 80%= 0,8; P(A/A3) = 100% = Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Theo công thức Bernoulli với n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta có P(C) = P(A0)P(C/A0) + P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) 17 = C24 C1 C1 = 222 = ; C4 C 2C = 222 = C4 Cũng theo công thức xác suất lựa chọn ta có - C0, C1, C2 xung khắc đơi ta có: C02C22 P(A ) = ; 45 Trần Ngọc Hội Theo cơng thức xác suất lựa chọn ta có = Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất 18 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất P(A1) = C pq = 10(0,8)(0,2) ; P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(A0 ) = q10 = (0,2)10; 10 Trần Ngọc Hội 3 = ; 120 = 36 ; 120 = 60 ; 120 = 20 120 10 P(A3) = p10 = (0,8)10; P(A2 ) = − P(A0 ) − P(A1) − P(A3 ) = − (0,2) − 10(0,8)(0,2) − (0, 8) 10 10 1 10 Suy P(A) = 0,8215 b) Giả sử mục tiêu bị diệt Khi biến cố A xảy Do xác suất có 10 viên trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A3/A) Theo cơng thức Bayes, ta có P(A )P(A / A ) P(A / A) = P(A) Từ ta tính P(A3/A) = 0,1307 Bài 17: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lơ hàng lấy sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng b) Giả sử sản phẩm thu có sản phẩm loại A Tính xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất Lời giải Gọi Aj (j = 0, 1, 2) biến cố có j sản phẩm loại A (2 − j) sản phẩm không thuộc loại A có sản phẩm máy sản xuất Gọi Bj (j = 0, 1, 2, 3) biến cố có j sản phẩm loại A (3 − j) sản phẩm khơng thuộc loại A có sản phẩm lấy từ lơ hàng Khi - A0, A1, A2 xung khắc đôi theo công thức Bernoulli với n = 2; p = 0,6; q = 0,4 ta có P(A ) = C 2p 0q = (0, 4)2 = 0,16; 10 3 10 - Ai Bj độc lập a) Gọi C biến cố số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lơ hàng Ta có C = A0B0 + A1B1 + A2B2 Từ đây, tính xung khắc độc lập, công thức cộng nhân xác suất cho ta P(C) = P(A0)P(B0)+ P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2) = 0,3293 b) Gọi D biến cố có sản phẩm loại A sản phẩm có Giả sử sản phẩm có sản phẩm loại A Khi biến cố D xảy Do đó, xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất xác suất có điều kiện P(A2/D) Theo cơng thức nhân xác suất ta có P(A 2D) P(A /D) = P(D) Nhận xét tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm thu phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo bảng sau: P(A ) = C 2p1q1 = 2(0, 6)(0, 4) = 0, 48; B0 A0 A1 A2 P(A ) = C 2p 2q = (0, 6)2 = 0, 36 - B0, B1, B2 , B3 xung khắc đơi theo cơng thức tính xác suất lựa chọn với N = 10, NA = 6, n= ta có (vì lơ hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60%, nghĩa lô hàng gồm sản phẩm loại A sản phẩm không thuộc loại A): B1 B2 B3 Suy D = A0 B2 + A1B1 + A2B0 A2D = A2B0 Từ đây, ta tính P(D) = 0,236; P(A2D) = 0,012 Suy xác suất cần tìm P(A2/D) = 0,0508 Bài 18: Có hai lơ hàng, lơ chứa 60% sản phẩm tốt, lô I chứa 15 sản phẩm, lô II chứa nhiều sản phẩm Từ lô II lấy sản phẩm bỏ vào lơ I, sau từ lơ I lấy sản phẩm a) Tính xác suất lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I b) Tính xác suất lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, sp tốt có lơ I từ trước 19 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 20 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội c) Giả sử lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I Tính xác suất lấy 2sp tốt, 1sp xấu từ lô II Lời giải Gọi Aj (j = 0, 1, 2, 3) biến cố có j sản phẩm tốt (3 − j) sản phẩm xấu có sản phẩm chọn từ lô II Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức Bernoulli ta có: P(A ) = C03p 0q = (0, 4)3 = 0, 064; Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Suy xác suất cần tìm là: P(B) = 0,4235 c) Giả sử lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I Khi biến cố A xảy Do xác suất lấy 2sp tốt, 1sp xấu từ lơ II trường hợp XS có điều kiện P(A2/A) Theo cơng thức Bayes, ta có: P(A )P(A / A ) P(A / A) = = P(A) P(A1 ) = C13p1q = 3(0, 6)1 (0, 4)2 = 0, 288; P(A ) = C23p 2q1 = 3(0, 6)2 (0, 4)1 = 0, 432; P(A ) = C33p3q = (0, 6)3 = 0, 216 a) Gọi A biến cố lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Từ giả thiết ta suy lơ I có 15.60% = sp tốt sp xấu Do theo cơng thức tính xác suất lựa chọn, ta có: P(A / A ) = P(A / A ) = P(A / A ) = P(A / A ) = C19C19 = 81 ; 153 C110C18 = 80 ; 153 C18 C 18 C111C17 C18 C112C16 C18 77 = ; 153 = 72 153 Suy xác suất cần tìm là: P(A) = 0,5035 P(B) = P(A0)P(B/A0) + P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) Tóm tắt: Loại Số lượng/chuyến Xác suất chai bể C19C18 72 ; = C18 153 P(B / A ) = C19C17 63 ; = C18 153 P(B / A ) = C19C16 54 = C18 153 21 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Bia Sài Gòn 1000 0,2% Coca 2000 0,11% Nước trái 800 0,3% - Gọi X1 ĐLNN số chai bia SG bị bể chuyến Khi đó, X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 1000 p1 = 0,2% = 0,002 Vì n1 lớn p1 bé nên ta xem X1 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,002 = 2, nghĩa X1 ∼ P(2) - Tương tự, gọi X2 , X3 ĐLNN số chai bia coca, chai nước trái bị bể chuyến Khi đó, X2, X3 có phân phối Poisson: X2 ∼ P(2000.0,0011) = P(2,2); X3 ∼ P(800.0,003) = P(2,4) a) C1C1 81 P(B / A ) = 9 = ; C18 153 P(B / A1 ) = 77 153 = 0, 4318 0, 5035 0, 432 Bài 19: Nước giải khát chở từ Sài Gòn Vũng Tàu Mỗi xe chở 1000 chai bia Sài Gòn, 2000 chai coca 800 chai nước trái Xác suất để chai loại bị bể đường tương ứng 0,2%; 0,11% 0,3% Nếu không chai bị bể lái xe thưởng a) Tính xác suất có chai bia Sài Gịn bị bể b) Tính xác suất để lái xe thưởng c) Lái xe phải chở chuyến để xác suất có chuyến thưởng không nhỏ 0,9? Lời giải b) Gọi B biến cố lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I, sp tốt có lơ I từ trước Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: Ta có Trần Ngọc Hội Xác suất có chai bia Sài Gòn bị bể P(X ≥ 1) = − P(X = 0) = − b) e−2 20 = − e−2 = 0, 8647 0! Tính xác suất để lái xe thưởng Theo giả thiết, lái xe thưởng có khơng q chai bị bể, nghĩa X1 + X2 + X3 ≤ Vì X1 ∼ P(2);X2 ∼ P(2,2); X3 ∼ P(2,4) nên X1 + X2 + X3 ∼ P(2+2,2 + 2,4) = P(6,6) Suy xác suất lái xe thưởng 22 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội - P(X1 + X2 + X3 ≤ 1) = P[(X1 + X2 + X3 =0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)] = e − , (6 , ) e − , (6 , ) = 0,0103 + 0! 1! Trần Ngọc Hội Tương tự, gọi X2, X3 ĐLNN số linh kiện B, C bị hỏng máy tính Khi X2 , X3 có phân phối Poisson sau: X2 ∼ P(800.0,0125%) = P(0,1); c) Lái xe phải chở chuyến để xác suất có chuyến thưởng không nhỏ 0,9? Gọi n số chuyến xe cần thực A biến cố có chuyến thưởng u cầu toán xác định n nhỏ cho P(A) ≥ 0,9 Biến cố đối lập A là: A khơng có chuyến thưởng Theo câu b), xác suất để lái xe thưởng chuyến p = 0,0103 Do theo cơng thức Bernoulli ta có: P(A) = − P(A) = − q n = − (1 − 0, 0103)n = − (0, 9897)n Suy Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất X3 ∼ P(2000.0,005%) = P(0,1) a) Xác suất có linh kiện B bị hỏng P(X ≥ 1) = − P(X = 0) = − e−0,1 (0,1)0 = − e−0,1 = 0, 0952 0! b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Theo giả thiết, máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều 1, nghĩa X1 + X2 + X3 > Vì X1 ∼ P(0,2);X2 ∼ P(0,1); X3 ∼ P(0,1) nên X1 + X2 + X3 ∼ P(0,2 + 0,1 + 0,1) = P(0,4) P(A) ≥ 0, ⇔ − (0, 9897)n ≥ 0, Suy xác suất để máy tính ngưng hoạt động ⇔ (0, 9897) ≤ 0,1 n P(X1 + X2 + X3 > 1) = − P(X1 + X2 + X3 ≤ 1) ⇔ n ln(0, 9897) ≤ ln 0,1 ln 0,1 ⇔n≥ ≈ 222, 3987 ln(0, 9897) ⇔ n ≥ 223 Bài 20: Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B 2000 linh kiện C Xácsuất hỏng ba linh kiện 0,02%; 0,0125% 0,005% Máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với a) Tính xácsuất để có linh kiện B bị hỏng b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Lời giải Tóm tắt: - = 1−1,4.e−0,4 = 0,0615 = 6,15% e−0,4 (0, 4)0 e−0,4 (0, 4)1 − 0! 1! c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Khi máy tính ngưng hoạt động có thêm linh kiện hỏng nữa, nghĩa Vậy lái xe phải chở 223 chuyến Loại linh kiện Số lượng/1máy Xác suất 1linh kiện hỏng = 1− [P(X1 + X2 + X3 = 0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)] = − A 1000 0,02% B 800 0,0125% C 2000 0,005% Gọi X1 ĐLNN số linh kiện A bị hỏng máy tính Khi đó, X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 1000 p1 = 0,02% = 0,0002 Vì n1 lớn p1 bé nên ta xem X1 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,0002 =0,2, nghĩa X1 ∼ P(0,2) 23 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com X1 + X2 + X3 ≥ Suy xác suất để máy tính ngưng hoạt động trường hợp là: P(X1 + X2 + X3 ≥ 1) = − P(X1 + X2 + X3 < 1) = − P(X1 + X2 + X3 = 0) =1− e−0,4 (0, 4) = 1− e−0,4 = 0,3297 = 32,97% 0! Bài 21: Trọng lượng loại sản phẩm quan sát đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg phương sai 100kg2 Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong nhiều sản phẩm) Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm loại A b) có khơng q 60 sản phẩm loại A c) có 65 sản phẩm loại A Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để sản phẩm thuộc loại A Gọi X0 trọng lượng loại sản phẩm cho Từ giả thiết ta suy X0 có phân phối chuẩn X0 ∼ N(μ0, σ02) với μ0 = 50, σ02 = 100 (σ0 = 10) Vì sản phẩm xếp vào loại 24 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội A có trọng lượng từ 45kg đến 70kg nên xác suất để sản phẩm thuộc loại A P(45 ≤ X0 ≤ 70) Ta có P(45 ≤ X ≤ 70) = ϕ( 70 − μ 45 − μ 70 − 50 45 − 50 ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ0 σ0 10 10 = ϕ(2) − ϕ(−0, 5) = ϕ(2) + ϕ(0, 5) = 0, 4772 + 0,1915 = 0, 6687 (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ(2) = 0,4772; ϕ(0,5) = 0,1915) Vậy xác suất để sản phẩm thuộc loại A p = 0,6687 Bây giờ, kiểm tra 100 sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 100, p = 0,6687 Vì n = 100 lớn p = 0,6687 không gần khơng q gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 100.0,6687 = 66,87; σ = npq = 100.0, 6687.(1 − 0, 6687) = 4, 7068 a) Xác suất để có 70 sản phẩm loại A là: 70 − μ 70 − 66, 87 f( )= f( ) σ σ 4, 7068 4, 7068 0, 3209 = f (0, 66) = = 0, 0681 = 6, 81% 4, 7068 4, 7068 P (X = 70) = (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta f(0,66) = 0,3209) b) Xác suất để có khơng q 60 sản phẩm loại A là: 60 − μ 0−μ 60 − 66, 87 − 66, 87 P (0 ≤ X ≤ 60) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4,7068 4,7068 = ϕ(−1, 46) − ϕ(−14, 21) = −ϕ(1, 46) + ϕ(14, 21) = −ϕ(1, 46) + ϕ(5) = −0, 4279 + 0, = 0, 0721 = 7, 21% (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ(14,21) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5; ϕ(1,46) = 0,4279) c) Xác suất để có 65 sản phẩm loại A là: 100 − μ 65 − μ 100 − 66, 87 65 − 66, 87 P (65 ≤ X ≤ 100) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4,7068 4,7068 = ϕ(7, 0388) − ϕ(−0, 40) = ϕ(5) + ϕ(0, 4) = 0, + 0,1554 = 0, 6554 = 65, 54% (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ(7,7068) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5; ϕ(0,4) = 0,1554) Bài 22: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 14 sản phẩm có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều số sản phẩm thuộc loại B nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 100 kiện (trong nhiều kiện) Tính xác suất để a) có 42 kiện nhận b) có từ 40 đến 45 kiện nhận c) có 42 kiện nhận 25 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để kiện nhận Theo giả thiết, kiện chứa 14 sản phẩm gồm 8A 6B Từ kiện lấy sản phẩm; thấy số sản phẩm A nhiều số sản phẩm B, nghĩa 3A,1B 4A, nhận kiện Do xác suất để kiện nhận là: P4 (3 ≤ k ≤ 4) = P4 (3) + P4 (4) = C38C16 C84C60 + = 0, 4056 C14 C14 Vậy xác suất để kiện nhận p = 0,4056 Bây giờ, kiểm tra 100 kiện Gọi X số kiện nhận 100 kiện kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 100, p = 0,4056 Vì n = 100 lớn p = 0,4056 không gần không gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 100.0,4056 = 40,56; σ = npq = 100.0, 4056.(1 − 0, 4056) = 4, 9101 a) Xác suất để có 42 kiện nhận là: 42 − μ 42 − 40, 56 f( )= f( )= f (0, 29) σ σ 4, 9101 4, 9101 4, 9101 0, 3825 = = 0, 0779 = 7, 79% 4, 9101 P (X = 42) = (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta f(0,29) = 0,3825) b) Xác suất để có từ 40 đến 45 kiện nhận 45 − μ 40 − μ 45 − 40, 56 40 − 40, 56 P (40 ≤ X ≤ 45) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4, 9101 4, 9101 = ϕ(0, 90) − ϕ(−0,11) = ϕ(0, 90) + ϕ(0,11) = 0, 3159 + 0, 0438 = 0, 3597 = 35, 97% (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ(0,9) = 0,3519; ϕ(0,11) = 0,0438) c) Xác suất để có 42 kiện nhận 100 − μ 42 − μ 100 − 40, 56 42 − 40, 56 ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ 4, 9101 4, 9101 = ϕ(12) − ϕ(0, 29) = 0, 50 − 0,1141 = 0, 3859 = 38, 59% P (42 ≤ X ≤ 100) = ϕ( (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ(12) = ϕ(5) = 0,5; ϕ(0,29) = 0,1141) Bài 23: Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A hộp X có phân phối sau: X P 0,9 0,1 26 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy sản phẩm loại A nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 144 kiện (trong nhiều kiện) a) Tính xác suất để có 53 kiện nhận b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận khơng nhỏ 95%? Lời giải Trước hết ta tìm xác suất p để kiện nhận Gọi C biến cố kiện hàng nhận Ta cần tìm p = P(C) Từ giả thiết ta suy có hai loại kiện hàng: Loại I: gồm 6A, 4B chiếm 0,9 = 90% Loại II: gồm 8A, 2B chiếm 0,1 = 10% Gọi A1, A2 biến cố kiện hàng thuộc loại I, II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có P(A1) = 0,9; P(A2) = 0,1 Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có: P(C) = P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) Theo giả thiết, từ kiện lấy sản phẩm; sản phẩm thuộc loại A nhận kiện Do đó: P(C / A ) = P2 (2) = C26C04 = ; C10 P(C / A ) = P2 (2) = C28C02 28 = C10 45 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Theo chứng minh trên, xác suất để kiện nhận p = 0,3622 Do Theo cơng thức Bernoulli ta có: P(D) = − P(D) = − q n = − (1 − 0, 3622)n = − (0, 6378)n Suy P(D) ≥ 0, 95 ⇔ − (0, 6378)n ≥ 0, 95 ⇔ (0, 6378)n ≤ 0, 05 ⇔ n ln(0, 6378) ≤ ln 0, 05 ln 0, 05 ≈ 6, 6612 ln(0, 6378) ⇔ n ≥ ⇔n≥ Vậy phải kiểm tra kiện Bài 24: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 80% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 60% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn c) có khơng 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn Lời giải Gọi X ĐLNN số sản phẩm đạt tiêu chuẩn 100 sản phẩm A1, A2 biến cố chọn máy 1, máy Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo cơng thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: P(X = k) = P(A )P(X=k/A ) + P(A )P(X= k/A ) Suy P(C) = 0,9 (1/3) + 0,1.(28/45) = 0,3622 Vậy xác suất để kiện nhận p = 0,3622 Bây giờ, kiểm tra 144 kiện Gọi X số kiện nhận 144 kiện kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 144, p = 0,3622 Vì n = 144 lớn p = 0,3622 không gần khơng q gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 144.0,3622 = 52,1568; σ = npq = 144.0, 3622.(1 − 0, 3622) = 5, 7676 a) Xác suất để có 53 kiện nhận P(X = 53) = 6,84% (Tương tự Bài 21) b) Xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận P(52 ≤ X ≤ 56) = 26,05% (Tương tự Bài 21) c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ 95%? Gọi n số kiện cần kiểm tra D biến cố có kiện nhận u cầu toán xác định n nhỏ cho P(D) ≥ 0,95 Biến cố đối lập D D : khơng có kiện nhận 27 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com = 1 P(X=k/A )+ P(X=k/A ) 2 (1) Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trường hợp chọn máy 1, máy Khi đó: 1 P(X = k) = P(X = k) + P(X = k) • (1) cho ta 2 • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 80% = 0,8 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,8 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(μ1, σ12) với μ1 = n1p1 = 100.0,8 = 80; σ1 = • n1p1q1 = 100.0, 8.0, = X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 60% = 0,60 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,60 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(μ2, σ22) với μ2 = n2p2 = 100.0,60 = 60; σ2 = n 2p2q = 100.0, 60.0, 40 = 4, 8990 28 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội a) Xác suất để có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là: 1 1 70 − μ1 1 70 − μ P(X = 80) = P(X1 =70)+ P(X =70) = f( )+ f( ) 2 σ1 σ2 σ1 σ2 1 70 − 80 1 70 − 60 1 1 = f( )+ f( )= f (−2, 5) + f (2, 04) 4 4, 8990 4, 8990 4, 8990 1 1 = 0, 0175 + 0, 0498 = 0, 000727 4, 8990 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất P(X = k) = Trần Ngọc Hội 1 P(X =k)+ P(X =k) 2 • (1) cho ta • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 1000 p1 = 1% = 0,001 Vì n1 lớn p1 bé nên ta xem X1 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,01 = 10, nghĩa X2 ∼ P(10) • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 1000 p2 = 2% = 0,002 Vì n2 lớn p2 bé nên ta xem X2 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a2) với a2 = n2p2 = 1000.0,02 = 20, nghĩa X2 ∼ P(20) b) Xác suất để có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là: 1 P(70 ≤ X ≤ 90)+ P(70 ≤ X ≤ 90) 2 90 − μ1 70 − μ1 90 − μ 70 − μ = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] σ1 σ1 σ2 σ2 a) Xác suất để có 14 phế phẩm là: P(70 ≤ X ≤ 90) = P(X = 14) = b) Xác suất để có từ 14 đến 20 phế phẩm là: 90 − 80 70 − 80 90 − 60 70 − 60 = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] 4 4, 899 4, 899 = [ϕ(2, 5) − ϕ(−2, 5) + ϕ(6,12) − ϕ(2, 04)] = (0, 49379 + 0, 49379 + 0, − 0, 47932) = 0, 50413 P(14 ≤ X ≤ 20) = = 20 ∑ k =14 Bài 25: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 1% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 2% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất để a) có 14 phế phẩm b) có từ 14 đến 20 phế phẩm Lời giải Gọi X ĐLNN số phế phẩm 1000 sản phẩm A1, A2 biến cố chọn máy 1, máy Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đơi ta có: 20 ∑ k =14 e−20 20k = 31, 35% k! Lời giải Gọi Y ĐLNN số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm sản xuất A1, A2 biến cố chọn máy I, máy II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đơi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo công thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: P(Y = k) = P(A )P(Y=k/A ) + P(A )P(Y= k/A ) = P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo công thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: 1 P(Y=k/A1 )+ P(Y=k/A ) 2 (1) Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm sản xuất trường hợp chọn máy I, máy II Khi đó: P(X = k) = P(A )P(X = k/A1 ) + P(A )P(X = k/A ) 1 P(X = k/A )+ P(X = k/A ) 2 e−10 10k + k! 1 P(14 ≤ X ≤ 20)+ P(14 ≤ X ≤ 20) 2 Bài 26: Một xí nghiệp có hai máy I II Trong ngày hội thi, công nhân dự thi phân máy với máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A khơng 70 cơng nhân thưởng Giả sử cơng nhân X, xác suất sản xuất sản phẩm loại A với máy I II 0,6 0,7 a) Tính xác suất để cơng nhân X thưởng b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? c) Xác suất có khơng 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn P(70 ≤ X ≤ 100) = 0,5072 (Tương tự câu b) = 1 e−10 1014 e−20 2014 + = 0, 0454 P(X1 =14)+ P(X =14) = 2 14 ! 14 ! (1) Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số phế phẩm trường hợp chọn máy 1, máy Khi đó: 29 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(Y = k) = 1 P(X = k)+ P(X = k) 2 • (1) cho ta • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 0,6 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,6 không gần khơng q gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(μ1, σ12) 30 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất với Trần Ngọc Hội Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất P(X = k) = P(A )P(X=k/A ) + P(A )P(X= k/A ) μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60; σ1 = n1p1q1 = 100.0, 6.0, = 4, 8990 • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 0,7 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,7 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(μ2, σ22) với μ1 = n2p2 = 100.0,7 = 70; σ2 = n2p2q = 100.0, 7.0, = 4, 5826 a) Xác suất để công nhân X thưởng là: 1 P(70 ≤ X1 ≤ 100)+ P(70 ≤ X ≤ 100) 2 70 − μ1 70 − μ 100 − μ1 100 − μ = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] σ1 σ1 σ2 σ2 = b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Gọi Z ĐLNN số lần công nhân X thưởng Khi Z có phân phối nhị thức Z ∼ B(n,p) với n = 50, p = 0,2603 Số lần thưởng tin Mod(Z) Ta có: Mod(Z) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + ⇔ 50.0, 2603 − 0,7397 ≤ k ≤ 50.0, 2603 − 0,7397 + ⇔ 12, 2753 ≤ k ≤ 13, 2753 ⇔ k = 13 Vậy số lần thưởng tin công nhân X 13 lần Bài 27: Trong ngày hội thi, chiến sĩ chọn ngẫu nhiên hai loại súng với súng chọn bắn 100viên đạn Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thưởng Giả sử chiến sĩ A, xác suất bắn viên trúng bia súng loại I 60% súng loại II 50% a) Tính xác suất để chiến sĩ A thưởng b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Hỏi số lần thưởng tin bao nhiêu? c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%? Lời giải Gọi X ĐLNN số viên trúng 100 viên bắn Gọi A1, A2 biến cố chọn súng loại I, II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo cơng thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: 1 P(X=k/A )+ P(X=k/A ) 2 (1) Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số viên trúng 100 viên bắn trường hợp chọn loại I, II Khi đó: P(X = k) = 1 P(X =k)+ P(X =k) 2 • (1) cho ta • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 0,6 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,6 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(μ1, σ12) với μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60; P(70 ≤ Y ≤ 100) = 100 − 60 70 − 60 100 − 70 70 − 70 = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] 4, 899 4, 899 4, 5826 4, 5826 1 = [ϕ(8,16) − ϕ(2, 04) + ϕ(6, 55) − ϕ(0)]= (0, − 0, 47932 + 0, 5) = 0, 2603 2 Trần Ngọc Hội σ1 = n1p1q1 = 100.0, 6.0, = 4, 8990 • X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 0,5 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,5 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(μ2, σ22) với μ1 = n2p2 = 100.0,5 = 50; σ2 = n 2p 2q = 100.0, 5.0, = a) Xác suất để chiến sĩ A thưởng là: 1 P(65 ≤ X ≤ 100) = P(65 ≤ X1 ≤ 100)+ P(65 ≤ X ≤ 100) 2 100 − μ1 65 − μ1 65 − μ 1 100 − μ = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] σ1 σ1 σ2 σ2 2 100 − 60 65 − 60 100 − 50 65 − 50 = [ϕ( ) − ϕ( )] + [ϕ( ) − ϕ( )] 4, 899 4, 899 5 1 = [ϕ(8,16) − ϕ(1, 02) + ϕ(10) − ϕ(3)]= (0, − 0, 34614 + 0, − 0, 49865) = 0, 0776 2 b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Gọi Y ĐLNN số lần chiến sĩ A thưởng Khi Y có phân phối nhị thức Y ∼ B(n,p) với n = 10, p = 0,0776 Số lần thưởng tin mod(Y) Ta có: mod(Y) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + ⇔ 10.0, 0776 − 0, 9224 ≤ k ≤ 10.0, 0776 − 0, 9224 + ⇔ −0,1464 ≤ k ≤ 0, 8536 ⇔ k = Vậy số lần thưởng tin chiến sĩ A lần, nói cách khác, thường chiến sĩ A khơng thưởng lần 10 lần tham gia c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%? Gọi n số lần tham gia hội thi D biến cố có lần thưởng u cầu toán xác định n nhỏ cho P(D) ≥ 0,98 31 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 32 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Biến cố đối lập D D : khơng có lần thưởng Theo chứng minh trên, xác suất để lần thưởng p = 0,0776 Do Theo cơng thức Bernoulli ta có: Ơn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất P(0,118 ≤ X ≤ 0,122) = ϕ( = ϕ( P(D) ≥ 0, 98 ⇔ − (0, 9224)n ≥ 0, 98 ⇔ (0, 9224)n ≤ 0, 02 ⇔ n ln 0, 9224 ≤ ln 0, 02 ln 0, 02 ≈ 48, 43 ln 0, 9224 ⇔ n ≥ 49 ⇔n≥ Vậy chiến sĩ A phải tham gia hội thi 49 lần Bài 28: Một nhà sản xuất cần mua loại gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến 0,122cm Có hai cửa hàng bán loại gioăng với độ dày có phân phối chuẩn với đặc số bảng sau: Cửa hàng A Cửa hàng B Độ dày trung bình Độ lệch chuẩn Giá bán 0,12 0,001 3USD/hộp/1000 0,12 0,0015 2,6USD/hộp/1000 Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng cửa hàng nào? Do số gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến 0,122cm có hộp 1000 cái: 3) cửa hàng A 0,9544 × 1000 = 954,4 Suy giá tiền 1000 gioăng có độ dày 3: 954,4 × 1000 = 3,14USD; 4) cửa hàng B 0,8164 × 1000 = 816,4 Suy giá tiền 1000 gioăng có độ dày 2,6: 816,4× 1000 = 3,18USD Như vậy, giá gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến 0,122cm cửa hàng A rẻ Do nhà sản xuất nên mua gioăng cửa hàng A Bài 29: Tuổi thọ bóng đèn đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình 1500 giờ, độ lệch chuẩn 150 Nếu thời gian sử dụng không 1251 bảo hành miễn phí a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành b) Phải qui định thời gian bảo hành để tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành cịn 1%? Lời giải Gọi X tuổi thọ bóng đèn Theo giả thiết X có phân phối chuẩn: Lời giải Gọi X1, X2 độ dày gioăng cao su cửa hàng A, B bán Theo giả thiết X1, X2 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(μ1, σ12) X2 ∼ N(μ2, σ22), với μ1 = 0,12; σ1 = 0,001; μ2 = 0,12; σ2 = 0,0015 Suy 1) Đối với cửa hàng A, tỉ lệ gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến 0,122cm P(0,118 ≤ X1 ≤ 0,122) = ϕ( 0,122 − μ1 0,118 − μ1 ) − ϕ( ) σ1 σ1 0,122 − 0,12 0,118 − 0,12 ) − ϕ( ) 0, 001 0, 001 = ϕ(2) − ϕ(−2) = 2ϕ(2) = 2.0, 4772 = 0, 9544 = ϕ( 0,122 − μ 0,118 − μ ) − ϕ( ) σ2 σ2 0,122 − 0,12 0,118 − 0,12 ) − ϕ( ) 0, 0015 0, 0015 = ϕ(1, 33) − ϕ(−1, 33) = 2ϕ(1, 33) = 2.0, 4082 = 0, 8164 P(D) = − P(D) = − q n = − (1 − 0, 0776) n = − (0, 9224)n Suy X1 ∼ N(μ, σ2), với μ = 1500; σ = 150 a) Theo giả thiết, thời gian sử dụng không 1251 bảo hành miễn phí, tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành 1251 − μ 0−μ 1251 − 1500 − 1500 P(0 ≤ X ≤ 1251) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) 150 150 σ σ = ϕ(−1, 66) − ϕ(−10) = −ϕ(1, 66) + ϕ(10) = 0, − 0, 4515 = 0, 0485 = 4, 85% b) Gọi T thời gian phải bảo hành Ta cần xác định T cho tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành 1%, nghĩa P(0 ≤ X ≤ T) = 0, 01 Ta có 2) Đối với cửa hàng B, tỉ lệ gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến 0,122cm 33 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Trần Ngọc Hội 34 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội T−μ 0−μ T − 1500 − 1500 ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) 150 150 σ σ T − 1500 T − 1500 ) − ϕ(−10) = ϕ( ) + ϕ(10) = ϕ( 150 150 T − 1500 ) + 0, = ϕ( 150 P(0 ≤ X ≤ T) = ϕ( Do T − 1500 ) + 0, = 0, 01 150 T − 1500 ϕ( ) = −0, 49 150 1500 − T ϕ( ) = 0, 49 = ϕ(2, 33) 150 1500 − T = 2, 33 150 T = 1150, P(0 ≤ X ≤ T) = 0, 01 ⇔ ϕ( ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Ta có T−μ 0−μ T − 4, − 4, ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ( ) 1, 1, σ σ T − 4, T − 4, ) − ϕ(−2, 8) = ϕ( ) + ϕ(2, 8) = ϕ( 1, 1, T − 4, ) + 0, 4974 = ϕ( 1, P(0 ≤ X ≤ T) = ϕ( Do Lời giải Gọi p tỉ lệ máy phải bảo hành X0 tiền lãi bán bóng đèn Theo giả thiết X có phân phối sau: X0 P −300 p 100 q với q = − p Kỳ vọng X0 M(X0) = −300p + 100q = 100 − 400p Để tiền lãi trung bình bán máy 30 ngàn đồng ta phải có M(X0) = 30 ⇔ 100 − 400p = 30 ⇔ p = 0,175 Gọi X tuổi thọ máy điện tử Theo giả thiết X có phân phối chuẩn: X1 ∼ N(μ, σ ), với μ = 4,2; σ = 1,5 Gọi T thời gian phải bảo hành Ta cần xác định T cho tỉ lệ máy phải bảo hành p = 0,175, nghĩa P(0 ≤ X ≤ T) = 0,175 35 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com T − 4, ) + 0, 4974 = 0,175 1, T − 4, ) = −0, 3224 ϕ( 1, 4, − T ϕ( ) = 0, 3224 = ϕ(0, 92) 1, 4, − T = 0, 92 1, T = 2, 82 P(0 ≤ X ≤ T) = 0,175 ⇔ ϕ( ⇔ ⇔ ⇔ Vậy thời gian bảo hành phải 1150,5 Bài 30: Tuổi thọ máy điện tử đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình 4,2 năm, độ lệch chuẩn 1,5 năm Bán máy lời 100 ngàn đồng, máy phải bảo hành lỗ 300 ngàn đồng Vậy để tiền lãi trung bình bán máy 30 ngàn đồng phải qui định thời gian bảo hành bao lâu? Trần Ngọc Hội ⇔ Vậy thời gian bảo hành phải 2,82 năm Bài 31: Thời gian cần thiết để sinh viên từ ký túc xá đến trường đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 60 phút, độ lệch chuẩn 15 phút a) Sinh viên xuất phát từ ký túc xá trước học 72 phút Tính xác suất sinh viên bị trễ học b) Sinh viên phải xuất phát từ ký túc xá trước học phút để xác suất bị trễ học 5% Lời giải Gọi X thời gian để sinh viên từ ký túc xá đến trường Theo giả thiết X có phân phối chuẩn: X1 ∼ N(μ, σ2), với μ = 60; σ = 15 a) Khi xuất phát từ ký túc xá trước học 72 phút, sinh viên bị trễ thời gian 72 phút Do xác suất sinh viên bị trễ học 72 − μ 0−μ 72 − 60 − 60 ) − ϕ( ) = − ϕ( ) + ϕ( ) 15 15 σ σ = − ϕ(0, 8) + ϕ(−4) = − ϕ(0, 8) − ϕ(4) − P(0 ≤ X ≤ 72) = − ϕ( = − 0, 2881 − 0, 499968 = 0, 211932 ≈ 21,19% b) Gọi T phút thời gian phải sinh viên phải xuất phát từ ký túc xá trước học Ta cần xác định T để xác suất bị trễ học 5%, nghĩa 36 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất − P(0 ≤ X ≤ T) = 0, 05 ⇔ P(0 ≤ X ≤ T) = 0, 95 Ta có Do T − 60 − 60 T − 60 P(0 ≤ X ≤ T) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) − ϕ(−4) 15 15 15 T − 60 T − 60 = ϕ( ) + ϕ(4) = ϕ( ) + 0, 499968 15 15 T − 60 ) + 0, 499968 = 0, 95 15 T − 60 ⇔ ϕ( ) = 0, 45 = ϕ(1, 645) 15 T − 60 ⇔ = 1, 645 15 ⇔ T = 84, 75 P(0, 5.n ≤ X ≤ n) = ϕ( = ϕ(0, 9223 n) − ϕ(0, 0803 n) Với n > 450 ta có 0, 9223 n > , P(n.0, ≤ X ≤ n) = 0, − ϕ(0, 0803 n) Yêu cầu toán xác định n cho P(n.0, ≤ X ≤ n) = 0, 99 ⇔ 0, − ϕ(0, 0803 n) = 0, 99 ⇔ ϕ(0, 0803 n) = 0, 49 = ϕ(2, 33) ⇔ 0, 0803 n = 2, 33 ⇔ n ≈ 842 Vậy sinh viên phải xuất phát từ ký túc xá trước học 84,75 phút a) Gọi X số nữ có 450 người Khi X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 450, p = 0,54 Vì n = 450 lớn p = 0,54 không gần không gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 450.0,54 = 243; σ = npq = 450.0, 54.(1 − 0, 54) = 10, 5726 Xác suất để 450 người, số nữ số nam 224 − μ 0−μ 224 − 243 − 243 P(0 ≤ X ≤ 224) = ϕ( ) − ϕ( ) = ϕ( ) + ϕ( ) σ σ 10, 5726 10, 5726 = ϕ(−1, 8) + ϕ(−22, 98) = −ϕ(1, 8) + ϕ(5) = −0, 4641 + 0, = 0, 0395 = 3, 59% b) Nếu chọn 450 người từ kết câu a) ta suy xác suất để số nữ khơng số nam 1− 3,59% = 96,41% < 99% Do số lượng người cần chọn n phải thỏa n > 450 Gọi X số nữ có n người Khi X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với p = 0,54 Vì n lớn p = 0,54 không gần khơng q gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np = 0,54.n ; σ = npq = n.0, 54.(1 − 0, 54) = 0, 2484.n Xác suất để n người, số nữ khơng số nam 37 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com n−μ 0, 5.n − μ n − 0, 54.n 0, 5.n − 0, 54.n ) − ϕ( ) = ϕ( ) + ϕ( ) σ σ 0, 2484.n 0, 2484.n = ϕ(0, 9223 n) + ϕ(−0, 0803 n) P(0 ≤ X ≤ T) = 0, 95 ⇔ ϕ( Bài 32: Một thành phố có 54% nữ a) Chọn ngẫu nhiên 450 người Tính xác suất để dó số nữ số nam b) Phải chọn ngẫu nhiên người để với xác suất 99% ta có số nữ khơng số nam? Lời giải Trần Ngọc Hội Vậy cần phải chọn 842 người Bài 33: Có hai lơ hàng I II, lô chứa nhiều sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A có hai lơ I II 70% 80% Lấy ngẫu nhiên từ lơ sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II b) Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số sp loại A có sp chọn từ lơ I, II Khi • X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 2; p1 = 70% = 0,7 với xác suất định bởi: P(X = k) = C (0, 7)k (0, 3)2 − k k Cụ thể • bởi: Cụ thể X1 P 0,09 0,42 0,49 X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2, p2); n2 = 2; p2 = 80% = 0,8 với xác suất định P(X = k) = C (0, 8)k (0, 2)2 − k k X2 P 0,04 0,32 0,64 a) Xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II là: P(X1 ≥ X2) = P[(X1 = 2)(X2 = 0)+ (X1 = 2)(X2 = 1)+ (X1= 1)(X2 = 0)] = P(X1 = 2)P(X2 = 0)+ P(X1 = 2)P(X2 = 1)+ P(X1 =1)P(X2 = 0) = 0,1932 b) Gọi X số sp loại A có sp chọn Khi 38 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội X = X1 + X2 Vì X1, X2 độc lập nên ta có: - Kỳ vọng X M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2p2 = - Phương sai X D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2p2q2 = 0,74 Bài 34: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp hai bi a) Tính xác suất để hai bi đỏ hai bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Tìm luật phân phối X Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số bi đỏ có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - X1 có phân phối siêu bội X1 ∼ H(N1, N1A, n1); N1 = 10; N1A= 6; n1 = với xác suất định bởi: P(X1 = k) = CC C k 2−k 10 Cụ thể X1 P 6/45 = k) = C C C k 2− k 10 Cụ thể X2 P 3/45 21/45 21/45 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Khi X = X1 + X2 Bảng giá trị X dựa vào X1, X2 sau: X X1 X2 0 1 X P a) Xác suất để bi đỏ bi trắng p0 p1 X P p4 Bài 35: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm a) Tìm luật phân phối X b) Khơng dùng luật phân phối X, tính M(X), D(X) Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số sp tốt có sản phẩm máy sản xuất; lấy từ lơ hàng Khi X1, X2 độc lập ta có: - X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 3; p1 = 0,9 Cụ thể ta có: P(X = 0) = C 3p 0q = (0,1) = 0, 001; P(X = 1) = C 3p1q = 3(0, 9)(0,1)2 = 0, 027; P(X = 2) = C 3p 2q1 = 3(0, 9)2 (0,1) = 0, 243; P(X = 3) = C 3p 3q = (0, 9)3 = 0, 729 - X2 có phân phối siêu bội X2 ∼ H(N2, N2A, n2); N2 = 10; N2A = 7; n2 = (vì lơ hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30%, nghĩa lô hàng gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu) Cụ thể ta có: P(X = 0) = C C C = 1) = C C C 3 = ; 120 = 21 ; 120 10 - P(X 10 b) Luật phân phối X có dạng: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com p3 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45 P(X = 2) = P[(X1=0) (X2=2) + (X1=1) (X2=1) + (X1=2) (X2=0)] = P(X1 = 0) P(X2 =2) + P(X1 = 1)P(X2 = 1) + P(X1 = 2)P(X2 = 0)] = (6/45)(21/45) + (24/45)(21/45) + (15/45)(3/45) = 1/3 39 p2 Vậy luật phân phối X là: 2 Trần Ngọc Hội đó: p0 = P(X = 0) = P(X1 = 0) P(X2 = 0) = 2/225; p1 = P(X = 1) = P(X1 = 0) P(X2 = 1) + P(X1 =1) P(X2 = 0)= 22/225; p2 = P(X = 2) = 1/3; p3 = P(X = 3) = P(X1 =1) P(X2 = 2) + P(X1 =2) P(X2 = 1)= 91/225; p4 = P(X = 4) = P(X1 =2) P(X2 = 2) = 7/45 24/45 15/45 - X2 có phân phối siêu bội X2 ∼ H(N2, N2A, n2); N2= 10; N2A = 7; n2 = với xác suất định bởi: P(X Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất 40 ... – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất 12 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất P(A/A ) = C118C110 C228 = Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất 10 (Vì A0 xảy hộp... xá trước học Ta cần xác định T để xác suất bị trễ học 5%, nghĩa 36 Ơn thi Cao học – Tốn kinh tế – Bài giải Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Bài giải Xác suất − P(0 ≤ X ≤ T)... kiện) a) Tính xác suất để có 53 kiện nhận b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ 95%? Lời giải Trước hết ta tìm xác suất p để kiện