ĐÁP ÁN ĐẦY ĐỦ BÀI TẬP XSTK TMU1 BÀI TẬP XÁC SUẤT Bài 1 1 (trang 9 SBT) Trong quyến sách “Phân tích kinh tế các dự án” của Herman gồm 200 trang Tìm xác suất để khi mở ngẫu nhiên một trang thì trang đó có số trang là bội của 6 Bài giải Gọi A là biến cố “trang được mở ra có số trang là bội của 6” Số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra là n = ���� � = 200 Gọi trang mở ra là x thì x = 6k, k ∈ �, và 1 ≤ 6� ≤ 200 ⇔ 1 ≤ � ≤ 33 Nên số kết cục thuận lợi cho A là m = ��� � = 33 ⇒ P(A) = �� ��� = 0,165 Bài 1 2 (trang 10 SBT) Tại một côn.
BÀI TẬP XÁC SUẤT Bài 1.1 (trang SBT): Trong quyến sách “Phân tích kinh tế dự án” Herman gồm 200 trang Tìm xác suất để mở ngẫu nhiên trang trang có số trang bội Bài giải: Gọi A biến cố “trang mở có số trang bội 6” Số kết cục đồng khả xảy là: n = = 200 Gọi trang mở x x = 6k, k ∈ , ≤ ≤ 200 ⇔ ≤ cục thuận lợi cho A m = ⇒ P(A) = ≤ 33 Nên số kết = 33 = 0,165 Bài 1.2 (trang 10 SBT): Tại công ty gồm 80 cán cơng nhân viên, có 20 nhân viên nữ Ban giám đốc công ty định giảm biên chế người Tìm xác suất để: a Khơng có cán bị giảm biên chế b Có hai cán bị giảm biên chế Bài giải: a, Gọi A biến cố “khơng có cán nữ bị giảm biên chế” Số kết cục đồng khả xảy là: n = Vì số cán nam 80 – 20 = 60 nên số kết cục thuận lợi cho A m = P(A) = ≈ 0,22718 b, Gọi B biến cố “Có cán nữ bị giảm biên chế” Số kết cục thuận lợi cho B là: m = P(B) = ≈ 0,27046 Bài 1.3 (trang 10 SBT): Một lô hàng gồm 40 sản phẩm loại I, 60 sản phẩm loại II, 45 sản phẩm loại III sản phẩm hỏng a Lấy hú họa sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm thuộc loại I loại II b Lấy ngẫu nhiên hai sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm loại Bài giải: a Gọi A biến cố “sản phẩm lấy thuộc loại I loại II” ( )= + = ≈ 0,6667 b Gọi B biến cố “sản phẩm lấy hai sản phẩm loại” ( )= = = ≈ 0,3177 Bài 1.4 (SBT trang 10): Một người viết thư cho người bạn khác nhau, sau dán lại cẩn thận người để địa ngồi Tìm xác suất cho có hai người nhận nhầm thư Bài giải: Gọi A biến cố “ít hai người nhận nhầm thư nhau” ̅ biến cố “không người nhận nhầm thư nhau”, biến cố “Không nhận nhầm thư nhau” P( ̅) = ⟹ P(A) = Bài 1.5 (trang 10 SBT): Một em bé xếp chữ, em có chữ A, N, O, H Tìm xác suất để em xếp ngẫu nhiên chữ OANH Bài giải: Gọi A biến cố “em bé xếp chữ OANH” P(A) = ! = ≈ 0, 04167 Bài 1.6 (trang 10 SBT): Một người gọi điện thoại quên chữ số cuối, người nhớ chữ số khác Tim xác suất để người quay ngẫu nhiên lần ln số cần gọi Bài giải: Gọi A biến cố “quay ngẫu nhiên lần ln số cần gọi” Gọi cặp số cần tìm (a,b) với a có ≠ Ta có: cách chọn; với cách chọn a có cách chọn b Từ ta số trường hợp thuận lợi cho A Vậy ( ) = ≈ 0,0111 = 90 Bài 1.7 (trang 10 SBT): Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên lúc sản phẩm Tìm xác suất cho sản phẩm lấy có loại khác Bài giải: Gọi A biến cố “trong sản phẩm lấy có loại khác nhau” Số cách để chọn sản phẩm là: n(Ω) = Số kết cục thuận lợi cho A là: m = ⟹ P(A) = + = ≈ 0,7143 Bài 1.8 (trang 10 SBT): Một tú lơ khơ gồm 52 quân Lấy hú họa quân Tìm xác suất cho ba quân lấy có: a Một quân át, quân 10, quân b Cả ba quân át c Ít quân át Bài giải: a Gọi A biến cố “trong ba quân lấy có quân át, quân 10, quân 9” ( )= = 16 ≈ 0,0030 5525 b Gọi B biến cố “ba quân lấy quân át” ( )= = ≈ 0,0002 22100 c Gọi C biến cố “trong ba quân lấy có qn át” ( ̅) = = ( ) = − ( ̅) = − 4324 5525 4324 ≈ 0,2174 5525 Bài 1.9 (SBT trang 11): Một loại xổ số kiến thiết có thảy 15000 vé, có vé trúng giải 500 nghìn đồng, vé trúng giải 100 nghìn đồng, vé trúng giải 50 nghìn đồng 200 vé trúng giải nghìn đồng Một người mua vé xổ số loại Tìm xác suất cho: a, Người trúng khơng 100 nghìn b, Người trúng nghìn đồng Bài giải: a Gọi A biến cố “Người trúng khơng 100 nghìn” Cố kết cục đồng khả phép thử = =15000 Số kết cục thuận lợi cho biến cố A, tức số cách mua vé xổ số cho trúng khơng 100 nghìn = Vậy ( ) = + =4 ≈ 0,0003 b Gọi B biến cố “Người trúng nghìn đồng” Số kết cục đồng khả phép thử = = 15000 Số kết cục thuận lợi cho biến cố A tức số cách mua vé xổ số cho trúng nghìn = Vậy ( ) = + + + = 210 = 0,014 Bài 1.10 (trang 11 SBT): Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại I, sản phẩm loại II phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để có: a Hai sản phẩm loại I b Hai sản phẩm loại I sản phẩm loại II c Cả sản phẩm loại Bài giải: a, Gọi A biến cố “trong sản phẩm lấy có sản phẩm loại I” P(A) = ∁ .∁ ∁ ≈ 0,4632 = b, Gọi B biến cố “trong sản phẩm lấy có sản phẩm loại I sản phẩm loại II” P(A) = ∁ × ∁ ∁ = ≈ 0,2647 c, Gọi C biến cố “3 sản phẩm lấy sản phẩm loại” P(A) = ∁ ∁ ∁ ∁ = ≈ 0,1838 Bài 1.11 (trang 11 SBT): Một lô hàng gồm n sản phẩm có n phế phẩm Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên k sản phẩm có l phế phẩm (1 ≤ k ≤ n; ≤ l ≤ m; l ≤ k) Bài giải: Gọi A biếm cố “lấy k sản phẩm có l phế phẩm” Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm ta lấy số sản phẩm đồng khả : Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: Vậy ( ) = Bài 1.12 (trang 11 SBT): Hai hộp đựng bút chì: Hộp I có bút xanh bút đỏ Hộp II có bút xanh bút đỏ Lấy ngẫu nhiên bút từ hộp I bỏ vào hộp II Tìm xác suất để hai hộp có số bút đỏ Bài giải: Gọi A biến cố: “Cả hộp bút có số bút đỏ nhau” Số kết cục điều kiện ngẫu nhiên xảy trùng với số cách lấy ngẫu nhiên bút từ hộp sang hộp là: n = = 45 Số kết cục thuận lợi cho A là: m = ⇒ ( )= = 24 ≈ 0,5333 45 Bài 1.13 (trang 11 SBT): Một hơm có cầu giống hệt nhau, có ghi số 1, ghi số ghi số Lấy ngẫu nhiên Tìm xác suât để tổng số ghi cầu Bài giải: Gọi A biến cố “Tổng số ghi cầu 5” P(A) = = ≈ 0,1190 Bài 1.14 (SBT trang 11): Bộ mơn Tốn trường ĐHTM cần tuyển cán Có người nộp đơn,trong có nữ nam.Khả để người chọn Tìm xác suất để: a Hai người chọn b Một người nam người nữ chọn Bài giải: a Gọi A biến cố “2 người nữ chọn” Ta có P(A) = ≈ 0,1071 = b Gọi B biến cố “1 người nam người nữ chọn” Ta có P(B) = = ≈ 0,5357 Bài 1.15 (trang 12 SBT): Trong lô hàng gồm n sản phẩm tốt k phế phẩm Lấy ngẫu nhiên l sản phẩm, kiểm tra thấy phế phẩm (2 ≤ ≤ ≤ ) Tìm xác suất cho lấy tiếp ngẫu nhiên sản phẩm hai sản phẩm tốt Bài giải: Sau lấy l sản phẩm đầu kiểm tra lơ cịn n + k – l sản phẩm, bao gồm n sản phẩm tốt Gọi A là biến cố “lấy sản phẩm đều là phế phẩm” Gọi B biến cố “Hai sản phẩm sản phẩm tốt” ( / ) = Bài 1.16 (trang 12 SBT): Gieo đồng thời đồng xu Tìm xác suất để mặt sấp mặt ngửa Bài giải: Gọi A biến cố “gieo mặt sấp ngửa” Vậy ( ) = = 0,5 Bài 1.17 (trang 12 SBT): Gieo đồng thời xúc xắc Tìm xác suất để: a Tổng số chấm xuất 11 b Hai mặt có số chấm khác Bài giải: a Gọi A biến cố “Tổng số chấm xuất 11” Số kết cục điều kiện ngẫu nhiên xảy n = 6.6 = 36 Số kết thuận lợi cho A: m = ( )= ≈ 0,0556 b Gọi B biến cố “hai mặt có số chấm khác nhau” Số kết cục thuận lợi cho m = Số kết cục thuận lợi cho B 36 – 6 = 30 Vậy P(B) = ≈ 0,8333 Bài 1.18 (trang 12 SBT): Một lớp học có 50 học sinh Trong có 15 học sinh giỏi tốn, 12 học sinh giỏi văn, 10 học sinh giỏi ngoại ngữ học sinh giỏi toán văn, học sinh giỏi toán ngoại ngữ, học sinh giỏi văn ngoại ngữ học sinh giỏi mơn a Tìm tỉ lệ học sinh giỏi mơn tốn, văn ngoại ngữ b Tìm tỉ lệ học sinh giỏi hai mơn tốn văn c Trong số học sinh giỏi tốn lấy ngẫu nhiên học sinh Tìm xác suất để học sinh học giỏi ba mơn Bài giải: 50 Tốn Văn Ngoại ngữ a Gọi A biến cố “học sinh giỏi mơn tốn, văn ngoại ngữ” ( )= 20 = 0,4 50 b Gọi B biến cố “học sinh giỏi hai mơn tốn văn” ( )= 19 = 0,38 50 c Gọi C biến cố “2 học sinh chọn số học sinh giỏi tốn giỏi mơn” P(C)= ≈ 0,0286 Bài 1.19 (SBT trang 12 SBT): Có đại biểu nam đại biểu nữ ngồi ngẫu nhiên vào dãy ghế Tìm xác suất để khơng có đại biểu nữ ngồi cạnh Bài giải: Đánh số vị trí ngồi từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, Để khơng có cán nữ ngồi cạnh cách ngồi xen kẽ nam nữ, vị trí số lẻ nữ số chẵn nam (có vị trí số lẻ có vị trí số chẵn) Số cách xếp chỗ cho cán nữ: 4!=24 Số cách xếp chỗ cho cán nam: 3!=6 n(Ω) = 7! = 5040 Gọi A biến cố “ khơng có cán nữ ngồi cạnh nhau” ( )= 4! 3! = ≈ 0,0286 7! 35 Bài 1.20 (trang 12 SBT): Có khách hàng vào ngẫu nhiên quầy bán hàng Tìm xác suất để khách vào quầy Bài giải: Gọi A biến cố “cả khách hàng vào quầy” P(A) = = ≈ 0,0370 Bài 1.21 (trang 12 SBT): Một phân xưởng có 10 máy Trong tuần vừa qua có lần phải sửa máy Tìm xác suất để khơng có máy phải sửa lần, biết xác suất để máy phải sửa thời điểm Bài giải: Gọi A biến cố “không máy phải sửa lần” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: Số trường hợp đồng khả là: Vậy ( ) = = 0,504 Bài 1.22 (trang 12 SBT): Có sinh viên A,B,C,D E ngồi vào dãy bàn Tìm xác suất để: a Hai sinh viên A, B ngồi đầu bàn b Hai sinh viên A, B không ngồi cạnh Bài giải: a Gọi A biến cố “Hai sinh viên A, B ngồi đầu bàn” Sắp xếp vị trí cho A B có 2! cách, sinh viên C, D, E cịn lại có 3! cách xếp Ta có P(A) = ! ! ! = 0,1 b Gọi B biến cố “Hai sinh viên A, B không ngồi cạnh nhau” biến cố “Hai sinh viên A, B ngồi cạnh nhau” Ghép A B vào ghế cạnh coi người, lúc toán thành xếp người vào ghế m( ) = 2!× 4! = 48 ⇒ m(B)=120 − m( ) = 72 ⇒ P(B) = = 0,6 Bài 1.23 (trang 13 SBT): Có hộp đựng bút chì: Hộp I gồm 10 bút màu đỏ 15 bút màu xanh Hộp II gồm bút màu đỏ bút màu xanh Rút ngẫu nhiên từ hộp bút Tìm xác suất cho bút lấy có: a Ít bút màu đỏ b Chỉ bút màu đỏ c Hai bút có màu giống Bài giải: a Gọi biến cố “bút lấy từ hộp thứ i bút đỏ” (i = 1, 2) Gọi A biến cố “mỗi hộp rút bút, bút màu đỏ” P(A) = − ( ̅ ) = − ( ̅ ̅ ) = − ( ̅ ) ( ̅ ) =1− =≈0,68235 b Gọi B biến cố “mỗi hộp rút bút bút màu đỏ” ( )= ( ̅ + ̅ ̅ )+ ( ̅ )= ( = + )= ( ) ( ̅ ) + ( ̅ ) ( ) ≈ 0,49412 c Gọi C biến cố “mỗi hộp lấy bút hai bút có màu giống nhau” ( )= ( + ̅ ̅ )= ( = ( ) ( )+ ( ̅ ̅ ) ) + ( ̅ ) ( ̅ ) = + ≈ 0,50588 Bài 1.24 (SBT trang 13): Hai người ném bóng rổ, người ném Xác suất ném trúng rổ họ 0,7 0,8 Tìm xác suất cho: a, Hai người điểm b, Người thứ điểm người thứ hai Bài giải: a Gọi A biến cố “2 người điểm nhau” Gọi biến cố “người ném trúng i quả”, i = 0, 1, 2, Gọi biến cố “người ném trúng i quả”, i = 0, 1, 2, , biến độc lập nên ta có: P(A) = ( = ( = ( ) ( + ) + P( ) + P( + ) + P( ) ( + ) ) + P( ) ( ) + P( ) ) + P( ) ( ) = ∁ 0,7 0,3 ∁ 0,8 0,2 + ∁ 0,2 0,8.∁ 0,7.0,3 + ∁ 0,2 0,8 ∁ 0,3 0,7 + ∁ 0,8 0,2 ∁ 0,7 0,3 = 0,36332 b Gọi B biến cố “người thứ điểm người thứ 2” P(B) = P( ) + ( = P( = P( + ( + ) ( ) ( ) + + ) + ( + + P( ) ( ) + ( ) + + ) ) + ( P( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ) + ( ) ( ) ) = ∁ 0,7 0,3 ∁ 0,2 0,8 + ∁ 0,7.0,3 ∁ 0,2 0,8 + ∁ 0,3 0,7 ∁ 0,8 0,2 + ∁ 0,7 0,3 ∁ 0,8 0,2 + ∁ 0,7 0,3 ∁ 0,2 0,8 + ∁ 0,7.0,3 ∁ 0,8 0,2 = = 0,42192 Bài 1.25 (trang 13 SBT): Một em bé có túi phải viên bi trắng viên bi đỏ, túi trái có viên bi trắng viên bi đỏ Em lấy ngẫu nhiên túi viên bi Tìm xác suất để viên bi lấy ra: a Cùng màu b Có viên bi màu trắng viên bi màu đỏ Bài giải: 10 Khi ta có A = A2 + A1 Vì nhóm biến cố tích xung khắc đơi tích biến cố độc lập toàn phần nên: P(A) = P ( = P( A2) + P (A1 ) (hệ định lí cộng xác suất) ).P(A2) + P(A1).P( = ) (hệ định lí nhân xác suất) P(A2) + P(A1) ⇒ 0,46 = (hệ định lí cộng xác suất) 0,6 + P(A1).(1 - 0,6) ⇒ P (A1) = 0,7 Bài 1.38 (trang 15 SBT): Một người say mê xổ số cào, người mua liên tiếp vé xổ số đến vé trúng thưởng dừng Tìm xác suất cho người mua đến vé thứ tư dừng biết xác suất trúng thưởng lần mua 0,01 Bài giải: Gọi biến cố người mua vé xổ số đến lần thứ i trúng thưởng (i = 1, ) Ta có: P( ) = 0,01, độc lập Gọi A biến cố “người mua đến vé thứ tư dừng” Ta có: A = ⇒ P(A) = P( ) = P( ) ( ) P( ) ( ) = (1 − 0,01) 0,01 = 0,0097 Bài 1.39 (trang 16 SBT): Học kì sinh viên thi môn Lý thuyết xác suất thống kê toán lần Xác suất để sinh viên thi đỗ lần thứ 0,5 Nếu trượt lần thi thứ xác suất đỗ lần thứ 0,7 Còn trượt lần đầu xác suất thi đỗ lần thứ 0,9 Tính xác suất để sinh viên nói thi đỗ kì Bài giải: Gọi A biến cố “Sinh viên thi đỗ kì lần này” biến cố “Lần thứ i thi sinh viên thi đỗ”, = 1,2,3 Khi đó; biến cố “Cả lần thi không đỗ”, ̅ = ̅ ̅ ̅ Vì ̅ , ̅ , ̅ độ ậ ℎầ ê : ( ̅) = ( ̅ ̅ ̅ ) = ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ ) = (1 − 0,5)(1 – 0,7)(1 – 0,9) = 0,015 Từ đó, ( ) = − ( ̅ ) = − 0,015 = 0,985 15 Bài 1.40 (trang 16 SBT): Một người gọi điện thoại quên chữ số cuối Tìm xác suất để người quay ngẫu nhiên khơng q lần số cần gọi Bài giải: biến cố “người quay số cần gọi lần thứ i” với i = 1,3 B biến cố “quay khơng q lần số cần gọi” + ̅ Khi đó: B = P(B) = ( + ̅ = P(A1) + P( ̅ ) P( = + + ̅ ̅ + + ̅ ̅ )= ( )+ ( ̅ / ̅ ) + P( ̅ ) P( ̅ / ̅ ) P( / ̅ )+ ( ̅ ̅ ) ̅ ) = 0,3 Bài 1.41 (trang 16 SBT): Phải gieo lần xúc sắc để với xác suất lớn 0,9 có lần xuất mặt chấm Bài giải: Gọi n số lần gieo xúc sắc thỏa mãn yêu cầu Gọi biến cố “gieo súc sắc lần thứ i mặt chấm” , ≤ ≤ Gọi B biến cố “có lần xuất mặt chấm” Theo ta có: P(B)≥ 0,9 ⇒ ( ) ≤ 0,1 (1) Ta có: = ̅ ̅ ̅ … ̅ ⇒ ( ) = ( ̅ ̅ ̅ … ̅ ) = ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )… ( ̅ ) = Từ (1) (2) ta có: ≤ 0,1 ⇔ log (0 , 1) ≤ ⇔ ≥ 12,6 mà n (2) ⇒ ≥ 13 Vậy phải gieo súc sắc 13 lần thỏa mãn u cầu Bài 1.42 (SBT trang 16): Phải bắn viên đạn để xác suất không viên đạn bị trượt nhỏ 0,4? Biết lần bắn độc lập xác suất bắn trúng viên đạn 0,8 Bài giải: Giả sử số viên đạn cần bắn viên Xác suất để khơng có viên đạn bị trượt là: (0,8) Ta có: 16 (0,8) < 0,4 ⇒ > 4,10628 Vậy để xác suất không viên đạn bị trượt nhỏ 0,4, cần phải bắn viên đạn Bài 1.43 (trang 16 SBT): Có hai hộp đựng bút chì: Hộp I có 10 bút đỏ bút xanh Hộp II có bút đỏ bút xanh Lấy ngẫu nhiên bút từ hộp I bỏ vào hộp II sau từ hộp II lấy bút Tìm xác suất để bút lấy từ hộp II đỏ Bài giải: Gọi ế ố " ó bút đỏ bỏ từ hộp I sang hộp II" ( ( / )= )= ⟹ ( ) = = ; ( 21 = ; ( / ( ) )= = )= = 10 ; ( 21 = ; ( / = 0,2 , ta tính )= )= = = 2 10 3 + + = ≈ 0,7778 21 21 Bài 1.44 (trang 16 SBT): Trong kho hàng cơng ty gồm sản phẩm xí nghiệp, số sản phẩm xí nghiệp I 70% Biết tỷ lệ phế phẩm xí nghiệp I kho 0,2 xí nghiệp II 0,1 Lấy ngẫu nhiên từ kho công ty sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để sản phẩm lấy phế phẩm Bài giải: Gọi ế ố ả ℎẩ ấ í ℎ ệ ả Gọi A biến cố “sản phẩm lấy phế phẩm” ấ ( = 1,2) Ta thấy , lập thành hệ đầy đủ, biến cố A xảy đồng thời với biến cố Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: ( )= ( ) ( / ) = 0,7.0,2 + 0,3.0,1 = 0,17 17 Bài 1.45 (trang 16 SBT): Một lô hạt giống phân làm ba loại, loại I chiếm 2/3 số hạt lô, loại II chiếm 1/4 cịn lại loại III Loại I có tỉ lệ nảy mầm 90% loại II có tỷ lệ nảy mầm 70% loại III có tỉ lệ nảy mầm 35% Lấy ngẫu nhiên từ lô hạt, tìm xác suất để hạt nảy mầm Bài giải: Gọi biến cố “hạt giống lấy hạt loại i” (i = 1,3) Ta có: H1, H2, H3 hệ đầy đủ biến cố; P( H1 ) = ; P( H2) = ; P( H3) = Gọi A biến cố “hạt lấy nảy mầm”; P(A/H1) = 0,9; P(A/H2) = 0,7; P(A/H3) = 0,35 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P( )P(A/ )P(A/ ) + P( ) + P( )P(A/ ) = 0,9+ 0,7+ 0,35 ≈ 0,8041 Bài 1.46 (trang 16 SBT): Bắn viên đạn vào máy bay, xác suất bắn trúng máy bay viên đạn 0,7 Nếu trúng viên xác suất máy bay rơi 0,3; trúng viên đạn xác suất máy bay rơi 0,8 trúng viên xác suất máy bay rơi 0,99 Tìm xác suất để máy bay rơi Bài giải: biến cố “bắn trúng i viên vào máy bay” (i = 0,3) Gọi , , hệ đầy đủ biến cố biến cố “viên đạn thứ i bắn trúng” (i = 1,3) Gọi P( , ) = ( ̅ ̅ ̅ ) = ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ ) = 0,3.0,3.0,3 = 0,027 )= ( ( ̅ ̅ + ̅ ̅ + = ( ̅ ̅ )+ ( ̅ ̅ )+ ( = ( ) ( ̅ ) ( ̅ ) + ( ̅ ) ( ̅ ) ̅ ) ) ( ̅ ) + ( ) ( ̅ ) ( ) ) ( ) = 0,7.0,3.0,3 + 0,3.0,7.0,3 + 0,3.0,3.0,7 = 0,189 ( ) = P( ̅ + ̅ )+ ( = ( = ( ) ( ̅ ̅ ) ( ̅ ) + ( + ) )+ ( ) ) ( ̅ ) ( )+ ( ) ( ) = 0,343 = 0,441 P( )= ( )= ( ) ( 18 ) ( ) = 0; P(A/ P(A/ ) = 0,3; (A/ ) = 0,8; P(A/ ) = 0,99 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có : P(A) = ( )P( / )+ ( )P( / 1) + P( )P(A/ ) + P( )P( / ) = 0,027.0 + 0,189.0,3 + 0,441.0,8 + 0,343.0,99 = 0,74907 Bài 1.47 (SBT trang 17): Một hộp gồm 12 bóng bàn có sử dụng Lấy ngẫu nhiên để chơi sau trả lại hộp, lại lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất để lấy lần sau Bài giải: Gọi biến cố “Lấy lần thứ mới” Gọi biến cố “Lấy lần thứ cũ” Gọi biến cố “Lấy lần thứ cũ” Gọi A biến cố “Lấy lần thứ mới” , Khi đó, , lập thành hệ đầy đủ biến cố biến cố A xảy đồng thời với biến cố ( )=∑ , , ( ) ( / ) = Do đó: + + ≈ 0,28926 Bài 1.48 (trang 17 SBT): Có hộp đựng bóng đèn, có hộp loại I, hộp loại I có bóng tốt bóng hỏng có hộp loại II, hộp loại II có bóng tốt bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên hộp, từ hộp lấy ngẫu nhiên bóng a Tìm xác suất để bóng bị hỏng b Biết bóng lấy bóng tốt Tìm xác suất để hộp lấy loại I Bài giải: Gọi biến cố “lấy hộp thứ i”; = 1; Khi đó, a/ Gọi ; hệ đầy đủ biến cố biến cố “bóng lấy bóng hỏng” Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta có: ( )= ( b/ Cần tính ( ) ( ⁄ )+ ( ) ( ⁄ ⁄ ̅) Áp dụng công thức Bayes: 19 )= ∁ ∁ ∁ ∁ 29 + = ≈ 0,19333 150 ∁ ∁ ∁ ∁ ( ⁄ ̅) = ( ) ( ̅⁄ ( ̅) ) ∁ ∁ 81 ∁ ∁ = = 10 = ≈ 0,66942 − ( ) − 29 121 150 Bài 1.49 (trang 17 SBT): Có hai lơ sản phẩm: Lơ có 10 phẩm phế phẩm Lơ có phẩm phế phẩm Từ lô I lấy sản phẩm từ lô II lấy sản phẩm, từ sản phẩm lại lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm phẩm Bài giải: Gọi Ai biến cố “lấy từ lọ i phẩm” (i = 0, 1, 2) Gọi Bj biến cố “lấy từ lọ j phẩm” (j = 0, 1, 2, 3) C biến cố “sản phẩm lấy sau phẩm” Khi Ai.Bj (i = 0, 1, 2; j = 0, 1, 2, 3) lập thành hệ đầy đủ biến cố biến cố C cần xảy đồng thời với biến cố tích Ai.Bj Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có: P(C) = ∑ , P(A0B0) = P(A0).P(B0) = ; P(C/A0B0) = P(A0B1) = P(A0).P(B1) = = ; P(C/A0B1) = = P(A0B2) = P(A0).P(B2) = = ; P(C/A0B2) = = P(A0B3) = P(A0).P(B3) = ; P(C/A0B3) = = = P(A1B0) = P(A1).P(B0) = P(A1B1) = P(A1).P(B0) = P(A1B2) = P(A1).P(B2) = P(A1B3) = P(A1).P(B3) = P(A2B0) = P(A2).P(B0) = = ; P(C/A1B0) = = = ; P(C/A1B1) = = = ; P(C/A1B2) = = = = ; P(C/A1B3) = = ; P(C/A2B0) = = 20 / P(A2B1) = P(A2).P(B1) = = ; P(C/A2B1) = = P(A2B2) = P(A2).P(B2) = = ; P(C/A2B2) = = P(A2B3) = P(A2).P(B3) = = ; P(C/A2B3) = =1 P(C) ≈ 0,6667 Bài 1.50 (trang 17 SBT): Có hộp đựng sản phẩm: Hộp I có 10 phẩm phế phẩm Hộp II có phẩm phế phẩm Hộp III có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên hộp, từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm a Tìm xác suất để sản phẩm phẩm b Biết sản phẩm lấy phế phẩm, tìm xác suất để hộp lấy hộp I Bài giải: Gọi Hi biến cố “lấy sản phẩm từ hộp thứ i”, i = 1,3 H1, H2, H3 hệ đầy đủ biến cố; P(H1) = ; P(H2) = ; P(H3) = a) Gọi A biến cố “sản phẩm lấy phẩm” P(A/H1) = = ; P(A/H2) = = ; P(A/H3) = = Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) + P(H3).P(A/H3) = + + = ≈ 0,6556 b) Cần tính P(H1/ ̅ ) Áp dụng cơng thức Bayes: P(H1/ ̅ ) = ( ) ( ̅ / ( ̅ ) ) = = ≈ 0,3226 Bài 1.51 (trang 17 SBT): Có hai hộp đựng bi: Hộp I có bi đỏ bi xanh Hộp II có bi đỏ bi xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên viên bi, số bi lại hai hộp dồn vào hộp thứ III, từ hộp thứ III lấy ngẫu nhiên viên Tìm xác suất để viên bi lấy bi xanh Bài giải: 21 Gọi A1 biến cố “Lấy viên bi đỏ từ hộp thứ 1” Gọi A2 biến cố “Lấy viên bi xanh từ hộp thứ 1” Gọi B1 biến cố “Lấy viên bi đỏ từ hộp thứ 2” Gọi B2 biến cố “Lấy viên bi xanh từ hộp thứ 2” Gọi C biến cố “Lấy viên bi xanh từ hộp thứ 3” Khi biến cố tích ; ; ; lập thành đầy đủ biến cố C biến cố xảy đồng thời với biến cố Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: ( )= ( ( ) ( / ) ( / ) = )+ ( + ) ( / )+ ( + ) ( / + )+ ≈ 0,3619 Bài 1.52 (SBT trang 18): Có du khách từ điểm đến chỗ mà đường phân nhánh chọn ngẫu nhiên đường Sơ đồ đường hình Trên đường cịn ghi điểm B đường dẫn đến B Tìm xác suất để du khách đến B O B4 B1 B3 B2 B Bài giải: Gọi Hi biến cố “du khách từ O qua đường Bi” (i = 1, 2, 3, 4) Gọi A biến cố “du khác đến B” Hi (i = 1, 2, 3, 4) hệ đầy đủ biến cố P(H1) = ¼ ; P(H2) = ¼ ; P(H3) = ¼; P(H4) = ¼ P(A/H1) = 1/3; P(A/H2) = 1/2; P(A/H3) = 1; P(A/H4) = 2/5 P(A) = ∑ ( ) ( / ) = 67/120 ≈ 0,5833 22 Bài 1.53 (trang 18 SBT): Một kho rượu, số chai rượu chanh mơ (có kích thước trọng lượng) Chọn ngẫu nhiên kho chai đưa cho người sành rượu nếm thử để xác định xem loại rượu Giả sử xác suất đoán trúng người 75% Có người kết luận chai rượu rượu chanh người kết luận rượu mơ Tìm xác suất để chai rượu chọn rượu chanh Bài giải: Gọi biến cố “chai lấy rượu chanh” Gọi biến cố “chai lấy rượu mơ” Hi (i = 1, 2) hệ đầy đủ biến cố Gọi biến cố “có người đốn đúng” Theo cơng thức Bayes, xác suất chai chọn rượu chanh là: ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ ) = ( ) ( ) ( ⁄ ) + ( ) ( ⁄ ∁ (0,75) 0,25 27 = = ≈ 0,9643 1 ∁ (0,75) 0,25 + ∁ (0,25) 0,75 28 2 ⁄ )= ( ) Bài 1.54 (trang 18 SBT): Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu , người bắn viên Xác suất bắn trúng người 0,6 0,7 Sau bắn thấy có viên đạn trúng mục tiêu Tìm xác suất để viên đạn trúng người thứ hai bắn Bài giải: Hi biến cố “Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu”, i = 1, A biến cố “1 xạ thủ bắn trúng mục tiêu” , lập thành hệ đầy đủ biến cố Cần tính: P(H2/A) = ( ) ( / ( ) ) = ( ( ) ( / ) ( / ) ( ) ) ( / ) = , , , , , , ≈ 0,6087 Bài 1.55 (trang 18 SBT): Một nhà máy sản xuất giầy, có 85% sản phẩm đạt tiêu chuẩn Trong q trình kiểm nghiệm, xác suất để đơi giầy đạt tiêu chuẩn kỹ thuật chấp nhận 0,95 xác suất để đôi giầy không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật chấp nhận 0,09 Tìm xác suất để đôi giầy chấp nhận qua kiểm nghiệm đôi giầy đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Bài giải: Gọi H1 biến cố “đôi giầy lấy đôi giày đạt tiêu chuẩn kỹ thuật” 23 Gọi H2 biến cố “đôi giầy lấy đôi giày không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật” H1, H2, hệ đầy đủ biến cố Ta có P(H1) = 0,85; P(H2) = 0,15 Gọi A biến cố “đôi giầy lấy qua kiểm nghiệm chấp nhận” P(A/H1) = 0,95; P(A/H2) = 0,09 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(H1).P(A/H1) + P( H2).P(A/H2) = 0,85.0,95 + 0,15.0,09 = 0,821 Cần tính P(H1/A) Áp dụng cơng thức Bayes ta có: P(H1/A) = ( ) ( / ) ( ) = , , , ≈ 0,9836 Bài 1.56 (trang 18 SBT): Trong kho công ty gồm sản phẩm hai xí nghiệp, số sản phẩm xí nghiệp gấp lần số sản phẩm xí nghiệp Tỷ lệ phế phẩm tương ứng hai xí nghiệp 0,2 0,1 Lấy ngẫu nhiên từ kho công ty sản phẩm để kiểm tra thấy phế phẩm Tìm xác suất để phế phẩm xí nghiệp sản xuất Bài giải: Gọi A biến cố “sản phẩm kiểm tra phế phẩm” Gọi H1 biến cố “Sản phẩm kiểm tra sản phẩm xí nghiệp 1” Gọi H2 biến cố “Sản phẩm kiểm tra sản phẩm xí nghiệp 2” H1, H2 lập thành hệ đầy đủ biến cố, biến cố A xảy đồng thời với hai biến cố Cần tính P(H1/A) Theo cơng thức Bayes ta có: ( / ) = ( ) ( / ( ) ) = , , , , , , ≈ 0,8571 Bài 1.57 (trang 19 SBT): Có em đồng thời ném bóng vào gơn lúc có em ném trúng gơn Tìm xác suất để bóng trúng gơn em thứ ném Biết em ném độc lập với xác suất ném trúng gôn em 0,4; 0,3; 0,6 Bài giải: Gọi Ai biến cố “em thứ i ném trúng vào gôn” (i = P(A1) = 0,4; P(A2) = 0,3; P(A3) = 0,6 Gọi A biến cố “có em ném trúng” 24 ) A = A A A + A A A + A A A ( / ) = Cần tính P( ) ( ) P(A) = P(A A A + A A A + A A A ) = P(A A A ) + P(A A A ) + P(A A A ) = P(A ) P A P(A ) + P(A ) P(A ) P( A ) + P(A ) P A P(A ) = 0,4.0,7.0,4 + 0,6.0,3.0,4 + 0,6.0,7.0,6 = 0,436 A = A A A + A A A + A A A = A A A + V + V = A A A A) = P(A A A ) = P(A ) P(A ) P(A ) ) = 0,4.(1 - 0,3).(1 - 0,6) = 0,112 P( ⇒ P( /A) = , ≈ 0,2569 , Bài 1.58 (trang 19 SBT): Khoa Thương mại quốc tế có 1000 sinh viên Trong năm thứ có 400 sinh viên, năm thứ hai có 300 sinh viên, năm thứ có 180 sinh viên, năm thứ tư có 120 sinh viên Lần lượt gọi ngẫu nhiên hai sinh viên thấy sinh viên gọi sau học khóa so với sinh viên gọi trước Tìm xác suất để sinh viên gọi sau sinh viên năm thứ hai Bài giải: Gọi A biến cố “sinh viên gọi sau học khóa so với sinh viên gọi trước” Gọi Ai biến cố “sinh viên gọi trước sinh viên năm thứ i” (i = 1, 2, 3, 4) Gọi Bi biến cố “sinh viên gọi sau sinh viên năm thứ i” (i = 1, 2, 3, 4) ( )= ( ( ( )= ( = ( = ( ) ( + )+ ( )= ( + ) = 0,4; ( )= ( ) = 0,3; ) = 0,18; ( )= ( ) = 0,12 + ) )+ ( )+ ( + )+ ( + )+ ( )+ ( + ( ) ( ) + ( ) ( ) ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ) ( ) = 0,4.0,3 + 0,4.0,18 + 0,4.0,12 + 0,3.0,18 + 0,3.0,12 + 0,18.0,12 = 0,3516 Cần tính P(B2/A) = ( ( ) ) = ( ( ) ) = ( ) ( ( ) 25 ) = , , , ≈ 0,3413 Bài 1.60 (trang 19 SBT): Có hộp sản phẩm: Hộp I đựng sản phẩm loại I sản phẩm loại II Hộp II đựng sản phẩm loại I sản phẩm loại II Hộp III đựng sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp I bỏ sang hộp II sau từ hộp II lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ sang hộp III Cuối từ hộp III lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy từ hộp III sản phẩm loại I Bài giải: Gọi Ai biến cố “sản phẩm lấy từ hộp i sản phẩm loại I” (i = 1, 2, 3) Ta có { ; ; ; } hệ đầy đủ biến cố ( )= ( ) ( / )= 63 = 10 11 110 ( )= ( ) ( / )= 7 = 10 11 55 ( )= ( ) ( / )= 12 = 10 11 55 ( )= ( ) ( / )= 3 = 10 11 110 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: ( )= ( )+ ( ) ( / ) ( / )+ ( )= ) ( + / + )+ ( + ) ( = / ≈ 0,6174 Bài 1.61 (trang 19 SBT): Có thùng sản phẩm: Thùng I đựng sản phẩm loại I sản phẩm loại II Thùng II đựng sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ thùng I bỏ sang thùng II Sau từ thùng II lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm loại II Tìm xác suất để sản phẩm loại II thùng I bỏ sang Bài giải: Gọi H1 biến cố “sản phẩm lấy từ thùng bỏ sang thùng sản phẩm loại I” Gọi H2 biến cố “sản phẩm lấy từ thùng bỏ sang thùng sản phẩm loại II” 26 Gọi A biến cố “sản phẩm lấy từ thùng II sản phẩm loại II” Gọi B biến cố “sản phẩm lấy từ thùng II thùng I” Cần tính P(B/A) ( )= ; ( 12 )= 12 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: ( )= ( ( )= ( ) ( / ) ( )+ ( / ) ( / )+ ( ⇒ ( / )= )= / )= ) ( + + = = ( ) 53 = : = ≈ 0,0943 ( ) 156 156 53 Bài 1.62 (trang 20 SBT): Một hộp đựng sản phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy phẩm Tìm xác suất để sản phẩm hộp phẩm Bài giải: Gọi Ai biến cố “Trong sản phẩm hộp có i phẩm” (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ( )= ,∀ Gọi B biến cố “sản phẩm lấy phẩm” Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: ( )=∑ ( ) ( / ) = ( + + + + 0) = Cần tính P(A4/B) = ( ) ( / ( ) ) = = 0,4 Bài 1.63 (trang 20 SBT): Một hộp đựng sản phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm phẩm Khơng hồn trả lại sản phẩm lấy, lấy tiếp sản phẩm thứ hai a Tìm xác suất để sản phẩm thứ hai phẩm b Biết sản phẩm thứ hai phẩm khả để sản phẩm hộp phẩm bao nhiêu? Bài giải: Gọi Hi biến cố “trong hộp ban đầu có i phẩm” (i = 0, 1, 2, 3) P(Hi) = =0,25 27 Gọi A biến cố “sản phẩn ban đầu lấy phẩm” P(A/H0 ) = 0; P(A/H1 )= ; P(A/H2 ) = ; P(A/H3 ) = Gọi B biến cố “sản phẩm lấy lần phẩm” (Hi/A) P(Hi) P(B/A) = Áp dụng công thức Bayes cho lần thứ nhất, ta có: P(H1/A) = P(H1/A) = ( ) ( / ( / ) ) ( ) = , / , , = P(H2/A) = ; P(H3 /A) = P(B/A.H0) = P(B/A.H1)= 0; P(B/A.H2) = ; P(B/A.H3) = ( /Hi.A) P(Hi/A) = 0.0 + 0.1 + + = ≈ 0,6667 a Cần tính P(B/A) = ( b P(H3/AB) = / ) ( / ) ( / ) = , = 0,75 Bài 1.64 (trang 20 SBT): Một hộp có cầu giống hệt Trong có ghi số 1, ghi số ghi số Lấy ngẫu nhiên thấy tổng số xác xuất để có ghi số ghi số bao nhiêu? Bài giải: Gọi A biến cố “tổng số ghi lấy 5” P(A) = = Gọi B biến cố “có ghi số ghi số 2” Cần tính P(B/A) = ( ) ( ) = : = 0,6 Bài 1.65 (trang 20 SBT): Một em bé có túi phải viên bi trắng viên bi đỏ, túi trái có viên bi trắng viên bi đỏ Em lấy ngẫu nhiên túi viên bi thấy viên màu Tìm xác suất để viên có màu đỏ Bài giải: Gọi A biến cố “cả viên bi lấy có màu” Gọi H1 biến cố “4 viên bi lấy có màu đỏ” Gọi H2 biến cố “4 viên bi lấy có màu trắng” 28 ( )= ( )+ ( Cần tính ( / )= )= ( ) ( ) = + ( ) ( ) = 15 = = ≈ 0,1071 Bài 1.66 (SBT trang 20): Nhà tài trợ gửi hộp gồm 42 quần áo thi đấu cho đội tuyển bóng đá Cá đóng gói riêng lẻ, có 20 màu đỏ 22 màu xanh Nhưng nhận thấy bị thiếu lại 41 hộp Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp thấy màu đỏ Tìm xác suất để quần áo bị thiếu màu đỏ Bài giải: Gọi H biến cố “bộ bị thiếu màu đỏ” P (H) = ; ( )= Gọi A biến cố “bộ lấy kiểm tra màu đỏ” Ta tính P(A/H) = = ; P(A/ ) = = Áp dụng công thức Bayes, xác suất cần tính là: P(H/A) = = 29 = ≈ 0,4634 ... đủ biến cố ( )= ( ) ( / )= 63 = 10 11 11 0 ( )= ( ) ( / )= 7 = 10 11 55 ( )= ( ) ( / )= 12 = 10 11 55 ( )= ( ) ( / )= 3 = 10 11 11 0 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: ( )= ( )+ ( ) (... P (A1 ) (hệ định lí cộng xác suất) ).P(A2) + P(A1).P( = ) (hệ định lí nhân xác suất) P(A2) + P(A1) ⇒ 0,46 = (hệ định lí cộng xác suất) 0,6 + P(A1). (1 - 0,6) ⇒ P (A1) = 0,7 Bài 1. 38 (trang 15 SBT):... P(A1B0) = P(A1).P(B0) = P(A1B1) = P(A1).P(B0) = P(A1B2) = P(A1).P(B2) = P(A1B3) = P(A1).P(B3) = P(A2B0) = P(A2).P(B0) = = ; P(C/A1B0) = = = ; P(C/A1B1) = = = ; P(C/A1B2) = = = = ; P(C/A1B3)