Nội dung chương 2 1 � Các hệ thống số đếm � Các phép toán số học � Các phép toán logic Đại số Boole � Các hằng và biến trong đại số Boole chỉ có hai giá trị 0 và 1 � Trong đại số Boole không có phân s.
Nội dung chương Các hệ thống số đếm Các phép toán số học Các phép toán logic Đại số Boole Các biến đại số Boole có hai giá trị Trong đại số Boole khơng có phân số, số âm, lũy thừa, số, … Đại số Boole có tốn tử: nhân logic (AND), cộng logic (OR) bù logic (NOT) 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙+𝒚 𝒙 % 𝒙 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 Các tiên đề Tính giao hốn: x + y = y + x x.y = y x Tính kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z) x y z = x (y z) Tính phân phối: x y + z = x.y + x.z x + y z = x + y (x + z) Phần tử đồng nhất: x + x + x.1 x.0 = = = = x x Phần tử bù: x + x+ = x x+ = Các định lý 𝐱 &=𝐱 𝐱+𝐱=𝐱 𝐱 𝐱 = 𝐱 Định lý hấp thu: (1) 𝐱 + 𝐱 𝐲 = 𝐱 Chứng minh: x + x y = x + y = x = x (2) 𝐱 𝐱+𝒚 =𝐱 Chứng minh: x x + y = x x + x y = x + x y = x (3) 𝐱 + 𝐱- 𝒚 = 𝐱 + 𝐲 Chứng minh: x + x- y = x + x- x + y = x + y = x + y (4) 𝐱 𝐱- + 𝒚 = 𝐱 𝐲 Chứng minh: x x- + y = x x- + x y = + x y = x y (5) 𝐱 𝐲 + 𝐱- 𝐳 + 𝐲 𝐳 = 𝐱 𝐲 + 𝐱- 𝐳 Chứng minh: x y + x- z + y z = x y + x- z + y z x + x= x y + x- z + x y z + x- y z = x y + x y z + x- z + x- y z = x y + x- z Các định lý (tt) Định lý De Morgan: % 𝒚 % (𝟏) 𝒙+𝒚=𝒙 %+𝒚 % (𝟐) 𝒙 𝒚 = 𝒙 Chứng minh (1): $ 𝒙 $ 𝒚 $ 𝒚 $ 𝒙 1 1 1 0 0 1 0 0 𝒙 𝒚 𝒙+𝒚 𝒙+𝒚 0 0 1 Mở rộng cho n biến: 𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥# = 𝑥! 𝑥" … 𝑥# 𝑥! 𝑥" … 𝑥# = 𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥# Các định lý (tt) Áp dụng tiên đề, định lý đại số Boole rút gọn biểu thức sau: 𝐴𝐵 𝐶̅ + 𝐴𝐵 𝐶̅ = & +𝐷 ' (𝐴 + 𝐵𝐶) & & 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵𝐶 & 𝐴𝐵 ̅ + 𝐵𝐶𝐷) = 𝐴 + 𝐵& 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴 + 𝐵)( ̅ + 𝐶)(𝐴 ̅ & =0 𝐴(𝐵 + 𝐵𝐶) Cổng logic (tt) Cổng đảo (NOT) § Ký hiệu (ANSI): Phương trình logic: y = x& § Bảng trạng thái: § 𝒙 $ 𝒚 = 𝒙 1 Cổng logic Cổng AND § Ký hiệu (ANSI): Phương trình logic: z = x y § Bảng trạng thái: § 𝒙 𝒚 𝒛 0 0 1 0 1 𝑦 = 𝑥! 𝑥" … 𝑥# = 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = (𝑖 = 1, … , 𝑛) Cổng logic (tt) Cổng OR § Ký hiệu (ANSI): Phương trình logic: z = x + y § Bảng trạng thái: § 𝒙 𝒚 𝒛 0 0 1 1 1 𝑦 = 𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥# = 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = (𝑖 = 1, … , 𝑛) Cổng logic (tt) Cổng NAND § Ký hiệu (ANSI): Phương trình logic: z = x y § Bảng trạng thái: § 10 𝒙 𝒚 𝒛 0 1 1 1 0 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 𝑦 = 𝑥! 𝑥" … 𝑥# = 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = (𝑖 = 1, … , 𝑛) Cổng logic (tt) Cổng NOR § Ký hiệu (ANSI): Phương trình logic: z = 𝑥 + 𝑦 § Bảng trạng thái: § 11 𝒙 𝒚 𝒛 0 1 0 1 𝑦 = 𝑥! + 𝑥" + ⋯ + 𝑥# = 𝑛ế𝑢 𝑥! = 𝑥" = ⋯ = 𝑥# = 0 𝑛ế𝑢 ∃ 𝑥$ = (𝑖 = 1, … , 𝑛) Cổng logic (tt) Cổng XOR (Exclusive_OR) § Ký hiệu: Phương trình logic: z = x Å y = x&y + x&y § Bảng trạng thái: § 12 𝒙 𝒚 𝒛 0 0 1 1 1 𝑦 = 𝑥!Å 𝑥"Å … Å𝑥# = ( 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑙à 𝑠ố 𝑙ẻ 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎẳ𝑛 Cổng logic (tt) Các tính chất phép XOR § xÅy=x § x (y Å z) = (x y)Å(x z) § xÅ0=x § xÅ1=x & § xÅx=0 § xÅx &=1 13 Cổng logic (tt) Cổng XNOR (Exclusive_NOR) § Ký hiệu: Phương trình logic: z = x Å y = x& + y x + y& = x&y& + xy § Bảng trạng thái: § 14 𝒙 𝒚 𝒛 0 1 0 1 𝑦 = 𝑥!Å 𝑥"Å … Å𝑥# = ( 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑙à 𝑠ố 𝑙ẻ 𝑛ế𝑢 𝑠ố đầ𝑢 𝑣à𝑜 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎẳ𝑛 Cổng logic (tt) 15 Chuyển đổi cổng logic Sử dụng cổng NAND tạo cổng logic khác % X X X Y X X.Y X Y % X % Y %=X+Y X Y 16 % Y Chuyển đổi cổng logic (tt) Sử dụng cổng NOR tạo cổng logic khác % X X X X+Y X +Y Y X % X %+Y % = X.Y X Y 17 % Y Thực hàm Boole cổng logic Cấu trúc cổng AND – OR: § Thực hàm Boole biểu diễn theo dạng tắc (tổng tích) § Ví dụ: 18 'BD + CD ' F(A, B, C, D) = A Thực hàm Boole cổng logic (tt) Cấu trúc cổng OR – AND: § Thực hàm Boole biểu diễn theo dạng tắc (tích tổng) § Ví dụ: 19 ' + D)(B + C& + D ') F(A, B, C, D) = (A Thực hàm Boole cổng logic (tt) Cấu trúc cổng AND – OR – INVERTER (AOI): § Thực hàm Boole biểu diễu diễn theo dạng bù tổng tích § Ví dụ: F(A, B, C, D) = AD + BC 20 Thực hàm Boole cổng logic (tt) Cấu trúc cổng OR – AND – INVERTER (OAI): § Thực hàm Boole biểu diễu diễn theo dạng bù tích tổng § Ví dụ: 21 '+D ' ) (B + C) F(A, B, C, D) = (A Bài tập 9.5-9.8, 9.10-9.16, 10.1, 10.2, 10.10, 10.11, 10.23, 10.24, 10.27, 11.1-11.6 22 ...Đại số Boole Các biến đại số Boole có hai giá trị Trong đại số Boole khơng có phân số, số âm, lũy thừa, số, … Đại số Boole có tốn tử: nhân logic (AND) , cộng logic (OR) bù logic (NOT)...