PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ��� A Phương trình đường thẳng 1 Phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 với A2 + B2 � 0 Vectơ pháp tuyến n (A,B)= r Vecto chi[.]

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ——– A Phương trình đường thẳng Phương trình tởng quát: Ax + By + C = với A2 + B2 r - Vectơ pháp tuyến n = (A, B) r - Vecto chỉ phương v = (−B; A) — Phương pháp: Xác định điểm I(x0; y0) và vectơ pháp tuyến r n = (A, B) ; phương trình tởng quát của đường thẳng có dạng: A(x – x0) + B(y – y0) = r Đường thẳng d có vecto chỉ phương v (a; b) và qua điểm M (x0; y0) có:  x = x + at ( t ∈ ¡ ; a ≠ 0, b ≠ 0) — Phương trình tham sơ: V:   y = y + bt x − x y − y0 = a b Đường thẳng d qua hai điểm A (a; 0) và B(0; b) có x y + =1 (a ≠ 0, b ≠ 0) phương trình đoạn chắn là: a b Bài 1: — Phương trình chính tắc: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng (D) biết: r a) (D) qua M ( 2, 1) có vectơ chỉ phương a = (3.4) r b) (D) qua M (-2,3) và có pháp vectơ n = (5,1) c) (D) qua M (2,4) và có hệ số góc k = d) Qua điểm A (3,5); B (6,2) Bài 2: Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: a) 3x + 4y –10 = b) (D) qua A (1,2) và song song với đường thẳng x +3y –1 = c) (D) qua B (2, -1) và vuông góc với đường thẳng x –2y +2 = d) (D) qua C ( 3, 1) và song song đường phân giác thứ (I) của mặt phẳng toạ độ Bài 3: Lập phương trình tởng quát của đường thẳng (D) các trường hợp sau: r (D) qua A (1,2) có pháp vectơ n = (1,2) r (D) qua A (2,1) có vectơ chỉ phương a = (1,2) (D) qua A (2,1) có hệ số góc k = (D) qua điểm A (1,4); B (3,3) Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh A (2,2) a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C có phương trình: 9x –3y –4 = và x + y –2 = b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vng góc AC Bài 5: Cho ∆ ABC có phương trình cạnh (AB): 5x –3y + = 0; đường cao qua đỉnh A và B là: 4x –3y +1 = 0; 7x + 2y – 22 = Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba Bài 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu A (1,3) và phương trình hai đường trung tuyến phát xuất từ B và C là: x – 2y + = ; y –1 = Bài 7: Cho biết trung điểm ba cạnh của tam giác là M 1(2,1); M2 (5,3); M3 (3,-4) Lập phương trình ba cạnh của tam giác đó Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác với M (-1,1) là trung điểm của cạnh, hai cạnh có phương trình là: x + y –2 =0, 2x + 6y +3 = Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác, Bài 9: Lập phương trình các đường trung trực của ∆ ABC biết trung điểm của các cạnh là M (-1,-1), N (1,9) ; P (9,1) Bài 10: Cho hình bình hành có đỉnh A(3,-1) và phương trình hai cạnh là: 2x + 3y – = 0; x – 4y + 14 = Tìm phương trình hai cạnh cịn lại Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P(2,5) và Q(5,1) Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó Bài 12: Viết phương trình đường thẳng (D) qua M(4,3) biết (D) cách A(5,0) và B(3,7) ĐS 7x + 2y – 34 = 0; x – = Bài 13: Tính góc đường thẳng sau: ( D1 ) : x + y − = a)  ( D2 ) : x − y + = ( D1 ) : x − y + 26 = b)  ( D2 ) : x + y − 13 = Bài 14: Lập phương trình đường thẳng qua A(2,1) và tạo với đường thẳng: 2x + 3y +4 = góc thẳng 450 Bài 15: Cho tam giác ABC với phương trình cạnh là: AB: x +2y –5 =0; BC: 2x –y –5 =0 ; CA: 2x +y +5 =0 Viết phương trình phân giác góc B và C Bài 16: Cho tam giác ABC có A(1, 1) , B(-1, 2) , C(4, 2) Viết phương trình đường phân giác của góc A ĐS ( + 1)x + (2 − 3)y − + = Bài 17: Cho điểm A(1,1), B(-1, - ) và C(4, -3) Tìm phương trình đường phân giác ngoài của góc A ĐS x + 7y – = Bài 18: Tìm phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua giao điểm của hai đường thẳng (D1): 2x +3y –6 = ; (D2): 3x + 4y –1 = Biết ( ∆ ) thoả: a) Qua điểm A(-1, 3) b) Song song đường thẳng (d): x + y +1 = c) Vuông góc đường thẳng (d): x + 4y + = ĐS a) 13x + 20y – 47 = b) x + y +5 = c) 4x – y + 100 = Bài 19: Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường thẳng (D1): x –3y +1= 0; (D2): 2x +5y –9 = và tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R =2 ĐS 3x + 4y – 10 = 0; x – = Bài 20: Cho hai điểm A(6; 1), B(0; 3) và đường thẳng ( ∆1 ): 3x – 2y – = a)Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua hai điểm A, B b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) và ( ∆ ) theo thứ tự qua A, B và vuông góc với ( ∆1 ) Có nhận xét quan hệ ( ∆ ) và ( ∆ ) ĐS ( ∆2 ) : 2x + 6y – 18 = ( ∆3 ) : 2x + 3y – 15 = ( ∆ ): 2x + 3y – = Tìm tọa đợ điểm tính khoảng cách Phương pháp: — Một điểm nằm đường thẳng tương ứng với tham số t và ngược lại — Biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t — Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d) chứa điểm M hay cơng thức khoảng cách Sau đó giải phương trình tìm giá trị tham số t — Thay giá trị tham số vào biểu thức xác định tọa độ điểm M hay cơng thức khoảng cách cần tìm Bài 21: Cho (D1): 3x – 4y + = 0; (D 2): 4x –3y –9 = Tìm điểm M Oy cho M cách (D1) và (D2) Bài 22: Tìm M (D): 2x + y –1 = biết khoảng cách từ M đến đường thẳng ( ∆ ): 4x + 3y – 10 = Bài 23: a) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M(x M; yM) qua đường thẳng (d): Ax + By + C = b) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M(1; -2) qua đường thẳng (d): 3x + 2y – = Bài 24: Cho hai điểm M(5; 5), N(1; 4) và đường thẳng (d): x + 2y – = Tìm điểm A đường thẳng (d) cho: a) AM − AN lớn b) MA + MB nhỏ 133 47 ; ) a) ( ; ) b) ( 30 60 Bài 25: Cho tam giác ABC có đường phân giác của góc A là (d): x + y + = đỉnh B(1; 3), đỉnh C(2; 0) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC Bài 26: Tìm toạ độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh AB, BC, AC tương ứng là C’(5; 1), A’(1;1), B’(3; 7) ĐS (3; ) Bài 27: Cho ba đường thẳng: (d1): x – y + = (d2): 3x + 2y – = (d3): x + 4y – 19 = đôi cắt tại A, B, C 12 Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC ĐS ( ; ) 5 Bài 28: Lập phương trình các cạnh của ∆ ABC đỉnh C(4; -1), đường ĐS cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình tương ứng là: 2x – 3y + 12 = và 2x + 3y = (ĐHVH 1998) Bài 29: Cho hai điểm M(1; 1), N(7; 5) và đường thẳng (d): x + y – = a) Tìm điểm P ∈ (d) cho ∆ PMN cân đỉnh P b) Tìm điểm Q ∈ (d) cho ∆ QMN vuông đỉnh Q ĐS P(2; 6) Q(2;6) Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng: (d1): x – y = và (d2): 2x + y – = Tìm toạ độ các đỉnh hình vng ABCD, biết đỉnh A thuộc (d1), đỉnh C thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành (ĐH khối A 05) Bài 31: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm của chúng (nếu có): x = 1+ 2t  x = −1+ t x = k a)  và x – 2y + = b)  và  c)  y = −2 + t  y = 3+ 2t  y = − 2k  x = −2 − t x −1 y + = và   y = + 3t Bài 32: Tìm phưong trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường thẳng: x − + t  x = 3+ t ( ∆1 ) :  ( ∆2 ) :  và chắn hai trục toạ độ y = − t y = 7− 2t đoạn Bài 33: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC và điểm M(-1; 1) là trung điểm của cạnh AB Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm hai đường thẳng: x = 1− t , ( ∆ ) : x + 3y – = ( ∆1 ) :  y = 2t a) Xác định toạ độ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC và viết phương trình đường cao AH b) Tính diện tích tam giác ABC  x = 1+ 4t  Bài 34: Cho đường thẳng ( ∆ 1):   y = − 16 + 3t 55 và điểm M(0; ) 16 a) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ 2) qua M và song song với ( ∆ 1) b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ 3) qua M và song song với ( ∆ 1) c) Tìm khoảng cách ( ∆ 1) và ( ∆ 2) Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Khối B 2004 C(7; 3) C’ (− ĐS 43 27 ;− ) 11 11 Bài 36: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ' qua điểm M(-3; 1) và song song với đường thẳng ∆ : -2x + 7y – = ĐS 2x – y +12 = Bài 37: Cho đường thẳng ∆ : 3x – 2y + = và điểm M(2; 5) Viết phương trình đường thẳng ∆ ’ đối xứng với đường thẳng ∆ qua điểm M ĐS 3x – 2y – 36 = Bài 38: Cho hình bình hành có hai cạnh nằm hai đường thẳng ∆1 : x + 3y -6 = 0; ∆ : 2x – 5y -1 = và có tâm I(3; 5) - Viết phương trình các cạnh cịn lại Tính tọa độ các đỉnh - Viết phương trình các đường chéo ĐS A(3;1); C(3; 9); B(-147; 59); D(153; -49) AC: x – = BD: 9x – 25y + 2798 = Bài 39: Cho đường thẳng ∆ : 2x – y -1 = và điểm M(1; 2) a) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ’) qua M và vuông góc với ∆ b) Tìm tọa độ hình chiếu H của M ∆ c) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆ ĐS M’( ; ) Bài 40: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(5; 6); B(-3; 2); C(2; -3) a) Viết phương trình các đường cao AA’, BB’, CC’ Suy tọa độ trực tâm H của tam giác b) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác, suy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ĐS H(0; 1) O( ; ) 4 Bài 41: Cho tam giác ABC; cạnh AB nằm đường thẳng ∆ có phương trình : ∆ : 5x – 3y + = Các đường cao AD, BE theo thứ tự nằm các đường thẳng: 4x - 3y + = và 7x + 2y – 22 = a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C b) Viết phương trình đường cao CF ĐS A(-1; -1); B(2; 4) ; C(6; 1); CF: 3x + 5y – 23 = Bài 42: Cho tam giác ABC, đỉnh A(3; -4) và hai đường cao nằm hai đường thẳng d1 : 7x – 2y + = 0; d2 : 2x – 7y – = a) Viết phương trình các cạnh AB, AC của tam giác b) Tìm tọa độ các đỉnh B, C, phương trình cạnh BC c) Viết phương trình đường cao thứ ba ĐS: AB: 7x + 2y – 13 = ; AC: 2x + y + 22 = BC: x – y + = AJ: x + y + = B ĐƯỜNG TRÒN Vấn đề 1: Viết phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và tiếp xúc với đường thẳng (D) cho trước Phương pháp: phương trình có dạng: (x – a )2 + (y – b)2 = R2 Với R = d(I; D) (khoảng cách từ I đến D) Bài 1: a) Viết phương trình đường trịn tâm I(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D: x – 2y – = b) Viết phương trình đường tròn tâm I(3; 1) và tiếp xúc với đường thẳng D: 3x + 4y + = Bài 2: a) Viết phương trình đường trịn tâm I(3; 1) và cắt đường thẳng D: x – 2y + = đoạn Vấn đề 2: Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A; B và có tâm I nằm đường thẳng (D) cho trước Phương pháp Tìm điểm I (D) cho IA = IB = R Có hai cách  I ∈ (D) xác định tâm I: + Cách 1:   IA = IB + Cách 2: Viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn AB Giao điểm của đường thẳng trung trực với (D) là tọa độ điểm I Bài 3:a) Viết phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A(-1; 1); B(1; - 3) và có tâm nằm đường thẳng (D): 2x – y + = 10 2 4  65   Đ S:  x + ÷ +  y + ÷ = 3 3   b) Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(-1; 2); B(-2; 3) và có tâm nằm đường thẳng (D): 3x – y + 10 = Vấn đề 3: Viết phương trình đường tròn qua hai điểm và tiếp xúc với đường thẳng (D) cho trước Phương pháp: Viết phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = Dùng điều kiện để tìm a, b, c  A ∈ (C)   B ∈ (C)  R = khoaã ngcac áhtûâtêmàûún âg troâ n àï ë n( D )  Bài 4: Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A(1; 0) và B(2; 0) đồng thời tiếp xúc với đường thẳng x – y = Vấn đề 4: Viết phương trình đường tròn qua điểm A cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng (D) tại một điểm B biết trước Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng d qua B và vuông góc với (D) Giao điểm của d với đường trung trực của AB là tọa độ tâm đường trịn Bài 5: Viết phương trình đường trịn (C) qua A(-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 4x + 3y – 30 = tại B(6; 2) Vấn đề 5: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng (D) và tiếp xúc với một đường thẳng (D’) cho trước 11 Phương pháp: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn Dùng điều kiện để tìm a, b  I ∈(D)  d(I;D') = R Bài 6: Viết phương trình đường trịn có hoành độ tâm a = 9, bán kính R = và tiếp xúc với đường thẳng 2x + y – 10 = Bài 7: Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường ( ∆ ) phương trình x + y – = có bán kính R = 10 và tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x + y – = Vấn đề 6: Viết phương trình đường tròn qua mợt điểm A cho trước và tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước Phương pháp: * Phương trình đường trịn (C) có tâm I(a, b) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = * Giả sử (C) qua A và tiếp xúc với d1 và d2 tại K1, K2 Dùng điều kiện IK1 = IK2 = IA = R Tính I(a, b) và R = IA Bài 8: Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm gốc O và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: 2x + y – = và d2 : 2x – y + = Bài 9: Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm A(1, 0) và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x + y – = và d2: x + y + = Bài 10: Viết phương trình đường trịn (C) mỡi trường hợp: a) (C) có tâm I(1; 3) và qua điểm A(3; 1) b)(C) có tâm I(-2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 2x + y –1 = 12 Bài 11: Tìm tâm và bán kính của đường trịn cho bởi mỡi phương trình sau: a) x2 + y2 – 2x – 2y – = b) x + y2 – 4x – 6y + = c) 2x2 + 2y2 – 5x – 4y + + m2 = Bài 12: Viết phương trình đường trịn qua ba điểm M(1; -2), N(1; 2) và P(5; 2) Bài 13: a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và qua điểm (2; 1) b) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm (1; 1), (1; 4) và tiếp xúc với trục Ox Bài 14: Hãy lập phương trình đường trịn (C) biết rằng: 1) Đường kính AB với A(-1, 1), B(5, 3) 2) Qua điểm A(1, 3), B(5, 6) và C(7, 0) 3) Tâm I(-4, 2) và tiếp xúc (D): 3x + 4y – 16 = 4) Tiếp xúc các trục tọa độ và a) Đi qua A(2, 4) b) Có tâm (D): 3x – y – = 5) Tiếp xúc với Ox tại A(-1, 0) và qua B(3, 2) Kết 1) x2 + y2 – 4x – 4y –2 = 3) (x + 4)2 + (x – 2)2 = 16 – 10)2 + (y – 10)2 = 100 (x – 1)2 + (y + 1)2 = 2) x2 + y2 – 3x – 5y + 14 = 4) a) (x – 2)2 + (y – 2)2 = và (x b) (x + 4)2 + (y + 4)2 = 16 và 5) (x + 1)2 + (y – 5)2 = 25 13  x = 1+ 2t Bài 14: Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng ∆ :   y = −2 + t và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16 Vấn đề 7: Tiếp tuyến có phương cho trước: Cho đường tròn (C) và đường thẳng (D) Ax + By + C = Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết tiếp tuyến song song (hoặc vuông góc ) với (D) Phương pháp: Tiếp tuyến (d) song song (hoặc vuông góc) với (D) phương trình có dạng : Ax + By + C1 = (C1 ≠ C) Bx – Ay + C2 = Dùng điều kiện tiếp xúc: d(I ; D) = R để tìm C1 (hoặc C2) Vấn đề 8: Tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ngoài (C) Cho đường tròn (C) và điểm A(xA;yB) ở ngoài (C).Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) qua (xuất phát từ) điểm A Phương pháp: Tiếp tuyến (D) qua A có phương trình: A(x – xA) + B(y – yB) = Dùng điều kiện tiếp xúc: d(I , D ) = R để tìm A, B Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 2y + = và điểm A(1; 3) a) Xét vị trí tương đối của điểm A đối với đường trịn (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A c) Viết phương trình tiếp tún của (C) biết tiếp tún vng góc với đường thẳng (d): 3x - 4y + = 14 Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho họ (Cm) : x2 + y2 – (m – 2)x + 2my – = a) CMR với mọi giá trị của m, (Cm) là các đường trịn b) CMR các đường trịn (Cm) ln qua hai điểm cố định m thay đổi c) Xét đường tròn (C-2) ứng với m = - Viết phương trình các tiếp tuyến của (C-2) kẻ từ điểm P(0; -1) ĐS a) a2 + b2 + c = (5m2 − 4m+ 8) > với mọi m b) A(-2; -1); B( ; ) c) y + = và 12x – 5y -5 = 5 Bài 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x + y2 = mỗi trường hợp sau: a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x – y + 17 = 0; b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y – 5= c) Tiếp tuyến qua điểm (2; -2) Bài 18: Xét vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) sau đây: 3x + y + m = và x2 + y2 -4x + 2y + = Bài 19: Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường trịn sau: (C): x2 + y2 + 2x + 2y – = 0; (C’): x2 + y2 – 2x + 2y – = Bài 20: Cho điểm M(2; 3) Lập phương trình tiếp tún của đường trịn (C) qua M, biết: a) (C): (x – 3)2 + (y – 1)2 = b) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 11= 15 Bài 21: Cho điểm M(2; 3) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) qua M, biết: a) (C): (x – 2)2 + (y – 2)2 = b) (C): x2 + y2 - 2x – 8y – = Bài 22: Cho đường thẳng ( ∆ ) và đường trịn (C) có phương trình: ( ∆ ) : 3x – 4y + 12 = 0; (C): x + y2 – 2x – 6y + = Lập phương trình tiếp tún của đường trịn (C) vng góc với đường thẳng ( ∆) Bài 23: Cho hai điểm A(0; 2) và B( − ; -1) Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (Khối A- 2004) Bài 24: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + = và đường thẳng d: x – y + = Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M, co s bán kính gấp đơi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc với đường tròn (C) (Khối D – 2006) ——– “’Trên bước đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng” 16 ... tam giác đó Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác với M (-1,1) là trung điểm của cạnh, hai cạnh có phương trình là: x + y –2 =0, 2x + 6y +3 = Xác định toạ độ các đỉnh của... = Tìm phương trình hai cạnh cịn lại Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P(2,5) và Q(5,1) Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó Bài 12: Viết phương. .. Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 2y + = và điểm A(1; 3) a) Xét vị trí tương đối của điểm A đối với đường trịn (C) b) Viết phương