Chuyên đề :

Chuyên đề Chuyên đề Rút gọn biểu thức Chuyên đề Rút gọn biểu thức A NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần chú ý 1 Những hằng đẳng thức đáng nhớ 2 Các công thức biến đổi căn thức 1 A có nghĩa khi A≥0 2 A[.]

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Chuyên đề : Rút gọn biểu thức A NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần ý: Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) 2.Các công thức biến đổi thức: A có nghĩa A≥0 A2  A AB  A B A A  B B ( Với A A B  A A B = A B =2 10 ( Với A 0 ; B 0 ) A  B B A B  C B A B A2 B AB A B B C ( A B ) A  B2 A B C C( A  B )  A B A B  0 ; B>0 ) ( Với B 0 ) ( Với A 0 ; B 0 ) ( Với A < ; B 0 ) ( Với AB 0 B 0 ) ( Với B > ) (víi A 0, A  B ) (víi A 0, B 0, A  B) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức Các tính chất phân thức Sử dụng tính chất ta có thể nhân với biểu thức liên hợp tử GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức ( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn * Các dạng tập: - Rút gọn biểu thức số - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến; + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến * DẠNG1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ 20  45  18  72 b/ ( 28   )  84 c/     120 1 d/  2 Giải: a/ 20   2 2 45  18  72 =  200  :  2.5  32.5  32.2  2.2 =  9 6 =   3  (9  6) 15 b/  28     84 = 2   7  2 2 21 = 2.7  21   21 = 14     2 21 21 c/  6   120 =  30   = GV: Hoàng Nghĩa Quang 2.30   30  30 11 Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức + 1 d /  2  2 1   4  1  200  :    10  : 2       2  12  64 54  2 2 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a/ A  5 b/ B 4 6 c/ C 5 2   2 3 Giải: a/  5 A  5  5  5  b/ B  3 2   1   3 3  c/ 3 5 5   3    31  2    31 3   3   2 2 1   2  2     5 4 6  C    3 3   3     1     1       1    1   GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức   1  3  2 4      31  3  1  31     2   1    3 31   1   3  31 3 1  3 + Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: a/ 2 b/      1 2 2  2 c/   5    9 3   5 Giải: a/ 2       BĐVT ta có : 2      1 2  2 8 2   9  2      9 VP Vậy đẳng thức chứng minh b/    BĐVT ta có : 3 2  2 3 1    2  2  42  4    1   1     VP 2   Vậy đẳng thức chứng minh c/   5    5 8 BĐVT ta có :   5  2  5 GV: Hoàng Nghĩa Quang 22   2  22   2  Trường THCS Lương Thế Vinh  3 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức   2  2   5 2  2     2   2   2 2  2 4 4 8 VP 5 Vậy đẳng thức chứng minh + Ví dụ 4: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/  10 b/ 2003  2005 2004 c/ Giải: a/  10 Ta có:    2   5  5  24 Và  10  10 5  5  25 Vì 24 < 25 => 24 < 25 =>  24   Hay      b/ 2003  2005 Ta có:  2 2004 2003  2005  10     10 2004  2003  2005  2003.2005 4008  Và 25  2004  1  2004  1 4008  2004  4.2004 2.2004  2004 20042   20042  20042   20042 Vì  4008  2004   4008  20042   2003  2005  2 2004 c/ Ta có:  52.3  75 Và  32.5  45 Vì 75 > 45 => 75  45    2003  2005  2004 75  45   *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo + Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai A  A đưa đẳng thức + Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… II Bài tập: Thực phép tính: a/  12  75  27  : 15 ; b/ 252  700  1008  448 ; c/      72  20  2  Rút gọn biểu thức sau: a/ 2 b/ 3 2   2; c/ 2  2 2 :    2   1 ;     3.So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/  2  ; b/ c/ ; 21 14  13  11 4.Cho A  11  96 2 B 1  Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, so sánh A B Chứng minh đẳng thức sau: a/          5 20  33 ; b/  10    10    10 ; GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 1    9 1 2 99  100 c/ *DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I Các ví dụ:  a 1   * Ví dụ 1: Cho biểu thức M  với a >0 a 1 : a   a  a 1  a a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 a 1  a/ M   a a  1 a a   a1 b/ Ta có   a   :  a   a  a 1   a1 a 1 M  a1 a  1  a  a  1  a  a  1 a  1 1  a a   a1 a1 : a 1   a1 a1 a , a > => a 0 => a 0 nên  1 a Vậy M < * Ví dụ 2: Cho biểu thức  P   x x  x x 1      2 a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P c/ Tính giá trị P với x 3  Giải: x  x 2  x  x     a/ Biểu thức P có nghĩa chỉ :     x 0 x  0  x 0 x   0 x  x 1 x 1       x 2  x   x 3 x 3  GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức b/ Đkxđ : x 1; x  2; x 3  P   x x  x  x 1       2 x x 2  x  x      x  x  x  3 x         x 1 x 1   x  x  x x  x  x  x   x  3 x    x  x      x  1  x 2 x  x   x  1   x  x   x  3 x      x     x 2 x x  x  x    1 x    1 2 x  x  x 1 x 1   x x x          P  x 3  2  2    21  21 2    2  21 21 x  2     vào biểu thức 21    x      c/ Thay  x  2 P 1 21  2 x x , ta có:  1 21 * Nhận xét phương pháp giải: Theo thứ tự thực phép tính ta phải làm phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta quy đờng mẫu, còn nhân tử thứ khơng Tại vậy? Bởi quy đờng mẫu tính tốn phức tạp Ta trục thức mỗi mẫu, kết nhanh chóng * Ví dụ 3: Cho biểu thức A 2x x   11x   x  3  x x2  với x 3 a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: x 3 A 2x x   11x 2x x 1  11x      x  3  x x  x  x   x  3 x  3  x x  3   x  1 x  3    11x  x  x  x  3x  x    11x   x  3 x  3  x  3 x  3  3x  x 3x x  3 3x    x  3 x  3  x  3 x  3 x  b/ Ta có A 3x x , A < tức GV: Hoàng Nghĩa Quang 3x 3x x  2 x  3 2  20 0 x x x 3x  x  x 6  0  0(*) x x Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức x   Dễ thấy x + > x – Bất phương trình (*) có nghiệm  x     6 x 3 Vậy với   x  A < 3x 9 c/ Ta có A  x  3  x     x     x   U (9) Mà U (9)  1;3;9 nên ta có:  x – = - x = ( tm đkxđ )  x – = < => x = ( tm đkxđ )  x – = - x = ( tm đkxđ )  x – = < = > x = ( tm đkxđ )  x – = - x = - ( tm đkxđ )  x – = x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 A nhận giá trị nguyên * Ví dụ 4: Cho biểu thức  2x 1    x3 x . B      x  x  x 1   x  x   với x 0 x 1 a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = Giải: Đkxđ : x 0 x 1 a/   2x 1    x3 x  . B    x   1 x  x  x  x     2x 1  x x   x 1 x  x 1    x  x  x 1  x 1         2x   x  x   x  1 x  x  1 1  x  x  x  x 1   x  1 x  x  1  x  1  x   x  b/ Ta có B  x  B = 3, tức Vậy với x = 16 B = * Ví dụ 5: Cho biểu thức  1  A      y x   x y  1  : x y  x  3  x3  y x  x y  x y  xy x 4  x 16 y3 ( t/m đkxđ) với x > , y > a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y > GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a/  1  A     y  x    x x3  y x  x y  1  : y x y  x  y   : xy  y  x y  xy   x y x   xy x   x  y  x  y x  y    :  xy  xy  xy  x  y      x y xy b/ Ta có     x y y    x  y xy 0  x   Do đó A x xy y  y x  xy  y  xy  x xy y   x y   xy x  y3  xy xy Vậy A =  y  x  16 16 xy 0 y 2 1 xy ( xy = 16 )   x y  x  y 4  xy  16   *MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TỐN (Đây dạng tốn có tính tổng hợp cao) Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác khơng… tốn chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán + Tuân thủ nghiêm ngặt phép biến đổi phương trình, bất phương trình + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận II Bài tập: Bài1: 1   x2     :  Cho biểu thức A   x  3x   27  3x x    1) Rút gọn A GV: Hoàng Nghĩa Quang 10 Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 2) Tìm x để A < –1  x  Bµi 2: Cho biÓu thøc A =   2 x a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị x ®Ĩ A > -  x  x x  x      x  x    x   10  x     :  x    x 2  x 2  x 2 x  Bµi 3: Cho biĨu thøc B =   a) Rót gän biĨu thøc B; b) Tìm giá trị x để A > Bµi 4: Cho biĨu thøc C =   x  x x 1 x  x 1 a) Rót gän biĨu thøc C; b) Tìm giá trị x để C < Bài 5: Rót gän biĨu thøc : GV: Hồng Nghĩa Quang 11 Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a) D= x   x2  x 2 x2   x 2 x2  x   x2  ; b)  x  x  x  x  P =       x  x     ; c) x 1 Q= : x  x x x x x ; d) H= x  1 x  x 2 GV: Hoàng Nghĩa Quang 12 Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đề: Rút gn biu thc Bài 7: Cho biểu thức P = 2x  x  vµ Q = x x3  x  2x  x 2 a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q; b) Tìm giá trị x để P = Q Bài 8: Cho c¸c biĨu thøc  x x B   x    9 x x  :   x x   2 x    x  2  x   a) Rót gän biĨu thøc B b) Tìm x để B > c) Với x > ; x 9 , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1)  3x  9x  1  Bµi 9: Cho biÓu thøc P =     :  x x  x  x x a) Tìm điều kiện ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P; số tự nhiên; P c) Tính giá trị P víi x = – b) Tìm số tự nhiên x để x x 3   x  x 6 2 x   Bµi 10: Cho biĨu thøc : P =  x 2   : 2 x    x   x   a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để  P Bµi 11: Cho A  2x x 1 x  10 víi x  Chøng minh   x 3 x  x 4 x 3 x 5 x 6 r»ng giá trị A không phụ thuộc vào biến số x Bµi 12: Cho biĨu thøc M=     a 1  ab    ab  a  1 :  ab    a 1  ab   ab  a  1 ab   a) Rót gän M b) Tính giá trị M a= c) Tìm giá trị nhỏ M nÕu vµ b= 3 1 a  b 4 13 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 14 ... đó Giải: Đkxđ : x > , y > GV: Hoàng Nghĩa Quang Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đ? ?: Rút gọn biểu thức a/  1  A     y  x    x x3  y x  x y  1  ? ?: y x y  x  y   : xy... DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC S? ?: I.Các ví d? ?: + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ 20  45  18  72 b/ ( 28   )  84 c/     120 1 d/  2 Giải: a/ 20   2 2 45  18  72 =  200  :. .. kết luận II Bài tập: Bài 1: 1   x2     :  Cho biểu thức A   x  3x   27  3x x    1) Rút gọn A GV: Hoàng Nghĩa Quang 10 Trường THCS Lương Thế Vinh Chuyên đ? ?: Rút gọn biểu thức