Bài viết Cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và cấp 3 giới thiệu một cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và 3 bằng cách sử dụng vết và định thức của ma trận vuông kết hợp cùng máy tính điện tử cầm tay. Mời các bạn cùng tham khảo!
CÁCH TÍNH NHANH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN VNG CẤP VÀ CẤP Nguyễn Thị Khánh Hòa1 Khoa Sư Phạm Email: hoantk@tdmu.edu.vn TĨM TẮT Bài viết trình bày cách sử dụng vết định thức ma trận vng cấp để tính nhanh giá trị riêng ma trận Cụ thể: - Giá trị riêng ma trận 𝐴 cấp nghiệm phương trình: 𝜆2 − 𝑡𝑟(𝐴)𝜆 + 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = - Giá trị riêng ma trận 𝐵 cấp nghiệm phương trình: 𝜆3 − 𝑡𝑟(𝐵)𝜆2 + 𝑇 𝜆 − 𝑑𝑒𝑡(𝐵) = Trong 𝑡𝑟(𝐴) 𝑡𝑟(𝐵) vết ma trận 𝐴 𝐵; 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑑𝑒𝑡(𝐵) định thức 𝐴 𝐵; 𝑇 tổng số định thức cấp 𝐵 Từ khóa: định thức ma trận; giá trị riêng ma trận; tính nhanh giá trị riêng; vết ma trận GIỚI THIỆU Giá trị riêng ma trận vng đóng vai trị quan trọng đại số tuyến tính Giá trị riêng vectơ riêng tương ứng có nhiều ứng dụng phạm vi học phần đời sống Chẳng hạn phạm vi học phần, tìm giá trị riêng bước toán chéo hoá ma trận, từ ta tính luỹ thừa ma trận với số mũ (tự nhiên) lớn tuỳ ý hay đưa dạng tồn phương dạng tắc Trong đời sống, ban đầu giá trị riêng vectơ riêng sử dụng để nghiên cứu trục quay vật rắn, sau giá trị riêng vectơ riêng ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực phân tích ổn định, phân tích rung động, lý thuyết orbital nguyên tử, nghiên cứu băng hà địa chất, hệ số lây nhiễm bản, cơng nghệ nhận diện khn mặt Chính việc trang bị cho sinh viên ngành Tốn kiến thức giá trị riêng vectơ riêng ma trận vng cần thiết có ý nghĩa Trong phạm vi học phần Đại số tuyến tính, tốn liên quan đến giá trị riêng thông thường xét với ma trận cấp để đảm bảo việc giải tốn khơng q dài, phức tạp đủ tổng quát Mặc dù việc tìm giá trị riêng nhiều thời gian để tìm giá trị riêng ta cần tính định thức ma trận chứa tham số Trong viết xin phép giới thiệu cách tính nhanh giá trị riêng ma trận vuông cấp cách sử dụng vết định thức ma trận vuông kết hợp máy tính điện tử cầm tay Tơi hi vọng cách tính nhanh giúp sinh viên giảm bớt khối lượng tính tốn cho sinh viên thấy mối liên hệ khái niệm (vết, định thức, giá trị riêng) tưởng chừng độc lập với 725 NỘI DUNG 2.1 Kiến thức chuẩn bị ([1]) 2.1.1 Vết ma trận vuông Định nghĩa: Vết ma trận vuông 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] cấp n trường K, ký hiệu 𝑡𝑟(𝐴), tổng phần tử đường chéo A: 𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 2.1.2 Định thức ma trận vuông a Định nghĩa: Định thức ma trận vuông 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] cấp n trường 𝐾, ký hiệu 𝑑𝑒𝑡(𝐴), |𝐴| phần tử trường 𝐾 xác định công thức: 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎)𝑎1𝜎(1) 𝑎2𝜎(2) … 𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝜎∈𝑆𝑛 Trong 𝑆𝑛 tập hợp tất hốn vị bậc n b Nhận xét: Vì hốn vị 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 song ánh từ {1,2, … , 𝑛} vào {1,2, … , 𝑛} nên số hạng 𝑑𝑒𝑡(𝐴) tích n phần tử nằm dịng cột khác Vì ta viết cơng thức tính định thức cho ma trận cấp cụ thể sau: 𝑎11 𝑎12 |𝑎 | = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 21 𝑎22 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎 | 21 𝑎22 𝑎23 | = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎32 𝑎21 𝑎31 𝑎32 𝑎33 −𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 Lưu ý: Ta sử dụng máy tính điện tử cầm tay để tính định thức cấp ma trận không chứa tham số 2.1.3 Giá trị riêng ma trận vuông a Định nghĩa: Cho 𝐴 ma trận vuông cấp n trường 𝐾 Một vô hướng 𝜆 ∈ 𝐾 gọi giá trị riêng ma trận 𝐴 tồn vectơ cột khác không 𝑣 ∈ 𝐾 𝑛 cho 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 b Định lý: i) 𝜆 ∈ 𝐾 giá trị riêng ma trận 𝐴 𝜆 nghiệm đa thức đặc trưng det(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛 ) = ii) Mọi ma trận vuông cấp n trường số phức ℂ có n giá trị riêng (kể bội nó) 2.2 Cách tính nhanh giá trị riêng ma trận vuông 2.2.1 Đối với ma trận vng cấp a Phương pháp tìm giá trị riêng ([1]) Cho 𝑨 = [𝒂𝒊𝒋 ] ma trận vuông cấp trường trường số phức ℂ Các giá trị riêng A nghiệm phương trình 𝒂 −𝝀 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝝀𝑰𝟐 ) = 𝟎 ⟺ | 𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟏𝟐 | = 𝟎 ⟺ (𝒂𝟏𝟏 − 𝝀)(𝒂𝟐𝟐 − 𝝀) − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 = 𝟎 𝒂𝟐𝟐 − 𝝀 726 ⟺ 𝝀𝟐 − (𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 )𝝀 + 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 = 𝟎 ⟺ 𝝀𝟐 − 𝒕𝒓(𝑨)𝝀 + 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟎 (1) Giải phương trình bậc hai ta tìm giá trị riêng ma trận 𝑨: 𝝀𝟏,𝟐 = 𝒕𝒓(𝑨)±√(𝒕𝒓(𝑨))𝟐 −𝟒𝐝𝐞𝐭(𝑨) 𝟐 = 𝒕𝒓(𝑨) 𝟐 𝒕𝒓(𝑨) 𝟐 ± √( 𝟐 ) − 𝐝𝐞𝐭(𝑨) (2) Như theo cách tìm giá trị riêng trên, ta có hai cách tính nhanh giá trị riêng sau: b Cách tính nhanh Cách 1: Tính 𝒕𝒓(𝑨) 𝒅𝒆𝒕(𝑨) Sau viết phương trình (1) Sử dụng máy tính điện tử ta tìm giá trị riêng ma trận A Cách 2: Tính 𝒕𝒓(𝑨) 𝒅𝒆𝒕(𝑨) Sau thay vào cơng thức (2) ta tìm giá trị riêng ma trận A 𝟓 𝟒 c Ví dụ: Tìm giá trị riêng ma trận 𝑨 = [ ] 𝟖 𝟗 Giải: Ta tính 𝒕𝒓(𝑨) = 𝟓 + 𝟗 = 𝟏𝟒 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟓 𝟗 − 𝟒 𝟖 = 𝟏𝟑 Cách 1: Khi giá trị riêng ma trận 𝑨 nghiệm phương trình: 𝝀𝟐 − 𝟏𝟒𝝀 + 𝟏𝟑 = 𝟎 Sử dụng máy tính điện tử cầm tay nhẩm nghiệm ta tìm 𝝀𝟏 = 𝟏; 𝝀𝟐 = 𝟏𝟑 Cách 2: Giá trị riêng ma trận 𝑨 𝝀𝟏,𝟐 = 𝒕𝒓(𝑨) 𝟐 𝒕𝒓(𝑨) 𝟐 ± √( 𝟐 ) − 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟏𝟒 𝟐 ± 𝟐 √(𝟏𝟒) − 𝟏𝟑 𝟐 Suy 𝝀𝟏 = 𝟏; 𝝀𝟐 = 𝟏𝟑 2.2.2 Đối với ma trận vng cấp a Phương pháp tìm giá trị riêng ([1]) Cho 𝑨 = [𝒂𝒊𝒋 ] ma trận vuông cấp trường trường số phức ℂ Các giá trị riêng A nghiệm phương trình 𝒂𝟏𝟏 − 𝝀 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝝀𝑰𝟑 ) = 𝟎 ⟺ | 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟐 − 𝝀 𝒂𝟐𝟑 | = 𝟎 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑 − 𝝀 ⟺ (𝒂𝟏𝟏 − 𝝀)(𝒂𝟐𝟐 − 𝝀)(𝒂𝟑𝟑 − 𝝀) + 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 + 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟐𝟏 − 𝒂𝟏𝟑 (𝒂𝟐𝟐 − 𝝀) 𝒂𝟑𝟏 − (𝒂𝟏𝟏 − 𝝀) 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 (𝒂𝟑𝟑 − 𝝀) = 𝟎 ⟺ 𝝀𝟑 − (𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 )𝝀𝟐 + (𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟑𝟑 𝒂𝟏𝟏 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 − 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟏 − 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐 )𝝀 − 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 − 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟏 + 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟑 = 𝟎 ⟺ 𝝀𝟑 − 𝒕𝒓(𝑨)𝝀𝟐 + 𝑻𝝀 − 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟎 (3) Với 𝑻 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟑𝟑 𝒂𝟏𝟏 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 − 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟏 − 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟑 = |𝒂 | + |𝒂 | + |𝒂 | 𝒂 𝒂 𝟐𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟑 727 Giải phương trình bậc ba ta tìm giá trị riêng ma trận 𝑨 Theo cách tìm giá trị riêng trên, ta nhiều thời gian để tính định thức đưa dạng phương trình bậc Để tiết kiệm thời gian tính tốn, tơi đưa cách tính nhanh giá trị riêng sau: b Cách tính nhanh Tính 𝒕𝒓(𝑨), 𝒅𝒆𝒕(𝑨), 𝑻 Thay vào phương trình (3) Sử dụng máy tính điện tử ta tìm giá trị riêng ma trận A −𝟕 −𝟒 −𝟑 c Ví dụ: Tìm giá trị riêng ma trận 𝑨 = [ 𝟏𝟎 𝟔 𝟒 ] 𝟔 𝟑 𝟑 Giải: Ta tính 𝒕𝒓(𝑨) = −𝟕 + 𝟔 + 𝟑 = 𝟐; 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟎 −𝟕 𝑻 = | 𝟏𝟎 −𝟒 𝟔 |+| 𝟔 𝟑 𝟒 −𝟕 −𝟑 |+| | = 𝟏 𝟑 𝟔 𝟑 Khi giá trị riêng ma trận 𝑨 nghiệm phương trình: 𝝀𝟑 − 𝟐𝝀𝟐 + 𝝀 = 𝟎 Sử dụng máy tính điện tử cầm tay nhẩm nghiệm ta tìm 𝝀𝟏 = 𝟎; 𝝀𝟐 = 𝝀𝟑 = 𝟏 KẾT LUẬN Trên tơi trình bày chi tiết cách tính nhanh giá trị riêng ma trận vuông cấp cách sử dụng vết định thức ma trận vng kết hợp máy tính điện tử cầm tay kèm ví dụ minh hoạ cụ thể Tơi hi vọng cách tính nhanh giúp sinh viên giảm bớt khối lượng tính tốn cho sinh viên thấy mối liên hệ khái niệm (vết, định thức, giá trị riêng) tưởng chừng độc lập với Tôi hi vọng viết tài liệu tham khảo hữu ích cho giảng viên Tốn q trình tìm tịi đổi phương pháp giảng dạy để tạo nhẹ nhàng thú vị học Tuy có nhiều cố gắng song không tránh khỏi viết cịn thiếu sót Rất mong thơng cảm q đồng nghiệp mong nhận nhiều ý kiến đóng góp để viết hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Xuân Hải (chủ biên) (2001), Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐH Quốc Gia Tp.HCM 728 ... ? ?22