SKKN nâng cao năng lực tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN * * * - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP CỰC TRỊ VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN MƠN: TỐN HỌC Họ tên tác giả: Đậu Đăng Vị Tổ mơn : Tốn – Tin Năm thực : 2022 Số điện thoại 0384566481 ĐỀ TÀI: Phát triển lực tư cho học sinh thông qua hệ thống tập cực trị khoảng cách hệ tọa độ không gian PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xu hướng chung phương pháp dạy học dạy học theo định hướng phát triển phẩm chất lực cho học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; người thầy phải làm để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo người học, phải giúp người học nhanh chóng tiếp cận vấn nảy sinh học tập thực tiễn sống Phải coi trọng, đề cao vai trò chủ thể người học trình nhận thức Hoạt động giải tập hoạt động chủ yếu toán học, để hoạt động giải tập tốt chun đề, chủ đề cần có hệ thống tập có chất lượng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Đặc biệt phát huy lực tư cho học sinh có lực học tập giỏi Vì học sinh lớp học vừa có giống nhau, vừa có khác nhận thức, tư duy, khiếu, sở trường… Mà chương trình THPT triển khai hình thức dạy học theo chuyên đề, chủ đề kết hợp với dạy học tự chọn giải pháp để thực dạy học theo định hướng phát triển lực (một định hướng giáo dục nay) Trong thực tiễn trường phổ thông nay, dạy học phân hoá để phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng Đối với học sinh giỏi cần có hệ thống tập phát triển tập Muốn giáo viên cần có kiến thức chắn, cần xây dựng cho hệ thống câu hỏi tập phong phú đa dạng Khoảng cách phần cốt lõi hình học khơng gian nghiên cứu hình khơng gian tổng hợp hình khơng gian toạ độ Tính tốn yếu tố hình học khơng khể thiếu khoảng cách Các toán liên quan đến khoảng cách thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc gia năm gần đây, có nhiều tập mức độ vận dụng cao Tuy nhiên khai thác toán khoảng cách cách chuyển tốn từ hình khơng gian tổng hợp sang hình khơng gian toạ độ khơng nhiều Các tốn khoảng cách chủ yếu đề cập đến khoảng cách hai điểm; khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Nhưng phần vấn đề trình bày sách giáo khoa chủ yếu phần lý thuyết tập Phần tập vận dụng chuyên đề, chủ đề chưa khai thác mức Các toán khoảng cách có yếu tố thay đổi chẳng hạn: điểm thay đổi đường (đường thẳng hay đường tròn) mặt (mặt phẳng hay mặt cầu) để thỏa mãn điều kiện cực trị khoảng cách; lập phương trình mặt phẳng chứa điểm mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cực trị khoảng cách thường tốn khó Để giải tốn mức độ vận dụng vận dụng cao phần tọa độ ta thường phải giải hình khơng gian tổng hợp (đây phần cốt lõi có tính chất hình học) cịn sau ứng dụng kiến thức tọa độ để giải Do để có toán hệ tọa độ cần xây dựng hệ thống (các dạng) tốn hình khơng gian tổng hợp Với lượng kiến thức lý thyết rộng vấn đề liên quan đến khoảng cách, gắn kết hình khơng gian tổng hợp hình khơng gian toạ độ nên cần thiết có đề tài nghiên cứu vấn đề Qua có cách nhìn tổng quan vấn đề liên quan đến khoảng cách Vì lý sau nhiều năm giảng dạy, với kiến thức tích lũy học hỏi được, tơi mạnh dạn nêu đề tài “Phát triển lực tư cho học sinh thông qua hệ thống tập cực trị khoảng cách hệ tọa độ không gian’’ để giúp học sinh, giáo viên áp dụng nhằm nâng cao kết học tập giảng dạy MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Nhằm giúp học sinh học tốt phần khoảng cách chương III hình học lớp 12 Nâng cao lực tư duy, bồi dưỡng khả tự học cho học sinh Qua học sinh thấy mạch kiến thức xuyên suốt vấn đề liên quan đến khoảng cách gắn kết hai loại hình học, từ có cách nhìn sâu sắc, tồn diện Nội dung đề tài khai thác, vận dụng kiến thức lý thuyết tọa độ tính chất hình học khơng gian SGK để xây dựng hệ thống tập phù hợp nhằm củng cố kiến thức, hình thành kỹ vẽ hình, tính tốn, cách chuyển đổi phát triển tốn, xây dựng tốn tương tự, … Qua phát triển lực tư lập luận, lực tính toán, lực giải vấn đề, lực tự học, lực sử dụng ngôn ngữ… Đề tài xây dựng nhiều tốn gốc, từ có lớp tốn minh họa cho tốn gốc Với lượng tập nhiều nên lựa chọn để áp dụng cho phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh giỏi phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo từ việc phát biểu tốn, dự đốn tính khả thi toán, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá toán Với mục tiêu học sinh vận dụng tốt kiến thức, kỹ để giải vấn đề cách hiệu quả, phát huy tối đa lực toán học ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI Đề tài xây dựng hệ thống tập đầy đủ, phong phú vấn đề liên quan đến khoảng cách Việc đặt vấn đề, xây dựng giải toán xuất cách logic, tự nhiên Bắt đầu từ việc cho điểm thay đổi, hai điểm thay thuộc đường mặt đến thuộc hai đường hai mặt khác nhau, tập phần sau xây dựng tương tự phần trước Qua phát triển khả năng, lực người học Đề tài xuất nhiều tập mới, nhiều tập cho kết đẹp có tính tổng qt có nhiều ứng dụng xem tính chất liên quan đến khoảng cách Đề tài có hệ thống tập tương ứng hình khơng gian tổng hợp hình khơng gian toạ độ Trong dạng tập hình khơng gian tổng hợp khai thác lớp tập hệ tọa độ để sử dụng dạy học đề thi PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU A CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Năng lực coi huy động kiến thức, kỹ năng, niềm tin… để học sinh thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể Năng lực hình thành học sinh chuyển hoá kiến thức, kỹ thành hành động Từ đặt yêu cầu cốt lõi tập trung vào học sinh cần có để dạy sau họ làm việc cụ thể, hữu ích Mơn tốn có nhiều hội để phát triển lực chung như: Năng lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo Đồng thời hình thành phát triển lực riêng, đặc thù như: Năng lực tính tốn, lực tư lập luận, lực mơ hình hố, lực ngôn ngữ, lực sử dụng công cụ phương tiện học tốn… Có thể nói lực tư đặc trưng cốt lõi môn toán Việc giải toán hoạt động chủ đạo mơn tốn có tác dụng lớn việc rèn luyện phẩm chất, lực cho học sinh nhiều mặt Muốn giáo viên cần quan tâm đến việc lựa chọn tập cho có hiệu nhất, thích hợp với đối tượng học sinh Do việc xây dựng hệ thống tập ứng với chuyên đề, chủ đề cần thiết Để xây dựng hệ thống tập tốt cần đạt yêu cầu: - Đảm bảo chuẩn kiến thức, kỹ năng: Khi dạy học, xây dựng tập, đề kiểm tra phải bám vào chuẩn kiến thức, kỹ mà học sinh cần đạt Bài tập cầu nối lý thuyết thực tiễn, phương tiện để học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ - Đảm bảo tính xác, khoa học: Bài tập phải có kết đúng, xếp khoa học, có nhìn tổng quan vấn đề trình bày, có tính - Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh: Có tính phân hố, vừa sức, phù hợp với khả giải toán học sinh Bảo đảm cân đối thời gian lý thuyết tập - Đảm bảo tính sư phạm: Ngơn ngữ chuẩn mực, ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu Số lượng tập đủ để hình thành kỹ cần thiết Có số tập mới, hay, tổng quát,… để phát triển lực toán học, rèn luyện trí thơng minh - Đảm bảo tính hệ thống, kế thừa: Phân dạng tập phù hợp đơn vị kiến thức, đảm bảo tính logic, tập xây dựng tảng kiến thức bản, phát triển lên từ tốn có, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá toán… - Hệ thống tập phải giúp học sinh phát triển lực tốn học như: Năng lực phân tích giải tốn; lực tính tốn sử dụng ký hiệu; lực tư lập luận chứng minh; lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hố… Ngồi hệ thống tập cịn có tính mở, hướng phát triển sang vấn đề tương tự Hướng tới tự học, tự nghiên cứu học sinh… Cơ sở thực tiễn Phần khoảng cách phần hình khơng gian, khoảng cách nêu lên mối liên hệ với đối tượng hình học điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Trong hình khơng gian tổng hợp phần khoảng cách khai thác nhiều, tập thường liên quan đến tính khoảng cánh từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo hình khơng gian cụ thể Phần cực trị khoảng cách ý Trong hình khơng gian toạ độ tính khoảng cách liên quan đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu xuất nhiều đề thi tài liệu tham khảo Những toán toạ độ cần phát triển lực tư có sử dụng tính chất hình học khơng gian, tức phải tốn hình khơng gian chuyển sang tọa độ (tọa độ cơng cụ để tính tốn) Do “miếng đất màu mỡ để khai thác” dạng tập, đặc biệt vận dụng cao Thực tế, đề thi tuyển sinh trước đề thi THPT QG thường xuất tập liên quan đến khoảng cách (trong hình khơng gian tổng hợp hay hình toạ độ) Trong có tốn khó làm cho nhiều học sinh thiếu tự tin giải dạng toán Phạm vi áp dụng đề tài: Phần khoảng cách lớp 11 chương III hình học 12 B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Hình học khơng gian mơn học có tính trừu tượng cao, tính logic chặt chẽ, học sinh phải hình dung khơng gian, vẽ hình, tính tốn… nên đa số học sinh sợ môn kể học sinh có học lực Trong số toán liên quan đến khoảng cách, toán toạ độ học sinh trung bình làm được, cịn tốn áp dụng tính chất hình học khơng gian tổng hơp để giải tốn toạ độ thường khó nên học sinh thường thụ động việc tiếp cận tốn, khơng trọng đến chất tốn; phần học sinh ngại tốn khó, khơng biết đâu; phần giáo viên dạy chưa trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh Như vậy, vào mức độ học tập học sinh, giáo viên đưa hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ khắc sâu kiến thức Từ kiến thức giáo viên nâng dần mức độ khó tốn, địi hỏi học sinh phải sử dụng kiến thức tổng hợp, đa dạng đồng thời trang bị cho học sinh kỹ giải toán, đưa số vấn đề gợi mở nhằm phát huy tính tích cực học sinh để học sinh tự tìm tịi, khám phá, phát vấn đề mới, giúp học sinh phát huy hết khả học tập Để làm điều cần có hệ thống tập phù hợp C NỘI DUNG ĐỀ TÀI Đề tài giúp học sinh phát triển lực tư qua hệ thống tập cực trị khoảng cách cách giải tốn hình khơng gian tổng hợp sau minh họa tốn hình toạ độ khơng gian 1) Những kiến thức phần khoảng cách áp dụng đề tài: - Các kiến thức vectơ, đường thẳng, đường tròn, hệ thức lượng tam giác học mặt phẳng; - Kiến thức khoảng cách phần hình khơng gian lớp 11 - Kiến thức phần toạ độ không gian lớp 12 - Kiến thức cực trị khoảng cách như: + Cho điểm A đường thẳng  , điểm M tùy ý thuộc  d  A,    AM Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc A lên  + Cho điểm A mặt phẳng ( ) , điểm M tùy ý thuộc ( ) d  A,( )   AM Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc A lên ( ) + Cho điểm A đường trịn (C) tâm O, bán kính R, điểm M tùy ý thuộc (C) OA  R  AM  OA  R Đẳng thức xảy M giao OA với (C) - Bất đẳng thức thường sử dụng đề tài là: + Với a, b, c, d số thực tùy ý, ta có a) a  b  c  d  ( a  b )  (c  d ) b) a  b  c  d  (a  b)  (c  d ) (2) (1) + Với ba điểm O, A, B ta có c) OA  OB  AB (3) d) OA  OB  AB (4) Bất đẳng thức (1) (2) tương đương với (3) (4) gọi bất đẳng thức hình học Đó bất đẳng thức hình học Có thể dùng vectơ để chứng minh (1) (2) Chọn u   a; b  , v   c; d  Do u  v  u  v nên ta có (1), lại có u  v  u  v nên có (2) Dấu “=” xảy (1) (2) u, v hướng tức a b   c d 2) Thuật ngữ dùng đề tài: Nói đến đường gồm đường thẳng đường trịn Nói đến mặt gồm mặt phẳng mặt cầu 3) Trong đề tài tập phân chia theo nhóm dựa tương đồng dạng tập như: Bài tập liên quan đến điểm thay đổi, hai điểm thay đổi đường mặt Căn vào thay đổi điểm thuộc đường, mặt tương giao đường mặt ta xây dựng phân loại thành nhóm toán sau: I KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN MỘT ĐIỂM THAY ĐỔI THUỘC MỘT ĐƯỜNG HOẶC MỘT MẶT 1) Điểm thay đổi thuộc đường thẳng cho trước Trong hình học phẳng ta có tốn: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d Tìm vị trí điểm M thuộc đường thẳng d cho AM  BM nhỏ Tương tự ta có tốn khơng gian Bài 1.1 Trong không gian, cho hai điểm A, B đường thẳng d không qua hai điểm A, B Tìm vị trí điểm M thuộc d cho AM  BM nhỏ Giải: Cách Dùng phương pháp đại số hoá Tham số hoá điểm M, tức gọi toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d (chỉ có ẩn t) Tính AM  BM theo t, sau khảo sát hàm số theo t dùng bất đẳng thức hình học Cách Dùng hình học kết hợp bất đẳng thức Gọi H K hình chiếu vng góc A B lên đường thẳng d Ta có AM  BM  AH  HM  BK  KM  Đẳng thức xảy  AH  BK    HM  KM  2   AH  BK   HK AH HM  điểm M nằm H K BK KM AH Giá trị nhỏ AM  BM  AH  BK   HK HM  MK (*) BK Điểm M xác định đẳng thức (*) Cách Dùng hình học Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d Xét đường trịn (C) có tâm H, bán kính r = AH nằm mp vng góc với đường thẳng d Khi với M thuộc d, N thuộc (C) ta có MA = MN Xét mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d điểm B Mặt phẳng (P) cắt đường tròn (C) hai điểm E F, điểm E điểm B nằm khác phía với đường thẳng d B Ta có AM  BM  EM  BM  BE không đổi K Vậy AM  BM nhỏ BE M giao điểm BE với d M Cách xác định điểm M Gọi H K hình chiếu A B lên d, EH AH MH AH ta có    MH   MK BK BK MK BK (Do M nằm H K) N F A H E d Bài minh họa Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;5;0  , B  3;3;6  đường thẳng x 1 y 1 z   Một điểm M thay đổi đường thẳng d , xác định tọa độ điểm M 2 1 để AM  BM đạt giá trị nhỏ Khi toạ độ điểm M là: d: A M 1;0;  B M  2; 4;3 C M  3; 2; 2  D M 1; 4;3 Giải: Cách Dùng đại số hóa: Gọi M  1  2t;1  t;2t  thuộc đường thẳng d, ta có: AM  BM   2t    3t   3t    2t      3t   9t  20  9t  36t  56     t     2t    52  Dấu xảy     t     2t     3t     2  29 3t    t  Vậy M 1;0;   3t Cách Dùng hình học: Gọi H  1  2t;1  t;2t  hình chiếu A lên d, ta có AH   2t  2; t  4;2t  , ud   2; 1;2  vectơ phương d AH ud   4t   t   4t   t   H  1;1;0  Tương tự hình chiếu điểm B lên đường thẳng d K  3; 1;4  Giá trị nhỏ AM  BM  AH  BK   HK  Ta có 2 52   36  29 MH AH     MH   MK  M 1;0;2  MK BK Như ta tìm vị trí M thuộc d cho AM  BM nhỏ Vậy hiệu AM BM Bằng cách tương tự ta có tốn sau: Bài 1.2 Cho hai điểm A, B đường thẳng d khơng qua hai điểm A, B Tìm vị trí điểm M thuộc d cho AM  BM lớn Giải: Cách Dùng phương pháp đại số hoá Tham số hoá điểm M, tức gọi toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d (theo tham số t) Tính AM  BM theo tham số t sau khảo sát hàm số theo tham số t Cách Dùng hình học kết hợp bất đẳng thức Gọi H K hình chiếu vng góc A B lên đường thẳng d Ta có AH  HM  BK  KM   AH  BK    HM  KM    AH  BK   HK AH HM  điểm M nằm H K Đẳng thức xảy BK KM AM  BM  Giá trị nhỏ AM  BM  AH  BK   HK MH  2 AH MK (*) BK Điểm M xác định đẳng thức (*) Cách Dùng hình học: Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d Xét đường trịn (C) có tâm H, bán kính r = AH Khi với M thuộc d, N thuộc (C) ta có MA = MN Xét mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d điểm B Mặt phẳng (P) cắt đường tròn (C) hai điểm E F, điểm E điểm B nằm phía với đường thẳng d d Ta có AM  BM  EM  BM  BE không đổi B K Vậy AM  BM lớn BE M giao điểm BE với d E Cách xác định điểm M Gọi H K hình chiếu A B lên d, ta có H F A EH AH MH AH MK (Do M nằm H K)    MH  BK BK MK BK M Bài minh họa Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;0;2), B(3;8;3) đường thẳng d : x   y   z  Tìm điểm M thuộc d cho AM  BM lớn 1 HD: Hình chiếu A, B lên d H (1;2;1) K (3;4;5) Theo cách ta có MH  AH MK  MK  MK  M  1;0; 3 BK 2 Bài toán 1.1 1.2 nêu tổng, hiệu khoảng cách từ điểm M thay đổi đường thẳng đến hai điểm cho trước Vấn đề đặt ra, thay tổng, hiệu tổng, hiệu khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng cho trước nào? Từ gợi cho ta tốn sau: Bài 1.3 Trong khơng gian cho đường thẳng d hai mặt phẳng (P) (Q) Tìm vị trí điểm M thuộc đường thẳng d cho d  M ,( P)   d ( M ,(Q)) nhỏ HD: Bài 1.3 giải phương pháp đại số Gọi tọa độ điểm M thuộc đường thẳng, tính khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng đưa biểu thức dạng f (t )  at  b  ct  d Dùng bất đẳng thức khử dấu giá trị tuyệt đối ta tìm giá trị nhỏ f(t) Nhận xét: Nếu xét hiệu khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến hai mặt phẳng đưa dạng f (t )  at  b  ct  d Biểu thức có giá trị lớn nhỏ tùy vào hệ số a c Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho ( P) : x  y  z   (Q) : x  y  z   a) Điểm M thuộc trục Oy, giá trị nhỏ d  M ,( P)   d ( M ,(Q)) là: A B b) Điểm M thuộc đường thẳng d: A M  ;  ;  2 2 C D x 1 y 1 z   để d  M ,( P)   d ( M ,(Q)) nhỏ 2 1 B M  1;1;0  C M   ; ;   2 D M 1;0;2  HD: a) Gọi M  0; m;0  , ta có d  M ,( P)   d ( M ,(Q))  m 1  m  b) Gọi M  1  2t;1  t;2t  , ta có f (t )  d  M ,( P)   d ( M ,(Q))  f (t )  4t   4t   4t   4t   4t  Đẳng thức xảy t   4t    t   m 1 m  4t  2 11 hay M  ;  ;  2 2 Dựa kiến thức phần vectơ lớp 10 Ta xây dựng toán liên quan độ dài tổng, hiệu vectơ; tổng, hiệu bình phương độ dài đoạn thẳng Bài 1.4 Trong không gian cho đường thẳng d, n điểm A1 , A2 , An n số thực 1,  ,  n cho 1   + +  n  Tìm vị trí điểm M thuộc d cho a) P  1 MA1   MA2    n MAn đạt giá trị nhỏ b) Q  1MA12   MA22    n MAn2 đạt giá trị nhỏ biết 1   + +  n  c) R  1MA12   MA22    n MAn2 đạt giá trị lớn biết 1   + +  n  Giải: Do 1   + +  n  nên có điểm I thỏa mãn 1 IA1   IA2    n IAn      Thật 1 IA1   IA2    n IAn   1 IA1   IA1  A1 A2    n IA1  A1 An   A1I   A1 A2   A A3   n A1 An khơng đổi nên có điểm I thỏa mãn 1      n a) Khi ta có      1 MA1   MA2    n MAn  1 MI  IA1   MI  IA2    n MI  IAn   1     n  MI  1 IA1   IA2    n IAn  1     n  MI Do 1 MA1   MA2    n MAn  1     n  MI  1     n IM Bài tốn trở thành tìm điểm M nằm đường thẳng d để độ dài đoạn IM nhỏ Suy P nhỏ M hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng d b) Ta có 2  Q  1 MA1   MA2    n MAn  1 MI  IA1     MI  IA2      n MI  IAn   1     n  IM  1IA12   IA22    n IAn2 Do 1IA12   IA22    n IAn2 không đổi 1   + +  n  nên biểu thức Q nhỏ IM nhỏ suy M hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng d c) Tương tự câu b Do 1   + +  n  nên R lớn IM nhỏ suy M hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng d Giải: Ta có điểm M nằm mặt phẳng (P) chứa điểm A đường thẳng d Suy điểm M thuộc đường tròn (C) giao mp(P) mặt cầu (S) Bài tốn trở thành tìm M thuộc đường trịn (C) cho độ dài AM lớn nhất, nhỏ Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x  y  z  2x  2y  6z   , điểm A 1;2;0  đường thẳng d : x 1 y  z   Tìm vị trí điểm M mặt cầu (S) 1 cho độ dài đoạn AM lớn nhất, nhỏ Biết AM cắt đường thẳng d HD giải: PT mặt phẳng(P) chứa điểm A đường thẳng d là: x  y  z  Mp(P) cắt (S) theo đường trịn có tâm H  1;0; 2  , bán kính r  Ta có AH   2r Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) hai điểm E F với E nằm H A, Suy E trung điểm đoạn AH nên E  0;1; 1 , F  2; 1; 3 Vậy AM lớn AH  r  3 điểm M trùng với điểm F AM nhỏ AH  r  điểm M trùng với điểm E Mặt phẳng với đường tròn Bài 3.13 Cho hai mặt phẳng cắt (P) (Q), đường trịn (C) nằm mp(P) khơng có điểm chung với mp(Q) Tìm vị trí điểm M thuộc đường tròn (C) cho khoảng cách từ M đến mp(Q) lớn nhất, nhỏ Giải: Gọi đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q),  góc hai mp(P) (Q) Đường trịn (C) có tâm I bán kính r, đường thẳng qua I vng góc với d cắt d K cắt đường tròn hai điểm A, B với A nằm I K Gọi H hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d Đặt h  IK Ta có d  M ,(Q)   MH cos  , h  r  MH  h  r   h  r  cos   d  M ,(Q)    h  r  cos  Vậy khoảng cách từ M đến mp(Q) lớn  h  r  cos  M trùng B khoảng cách từ M đến mp(Q) nhỏ  h  r  cos  M trùng A Bài minh họa Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu ( S ) :  x  1   y     z  3  11 Đường tròn (C) giao mặt cầu (S) với mp(Oxy) 2 Tìm vị trí điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn nhất, nhỏ HD giải: Đường trịn (C) có tâm E 1; 2;0  , bán kính r  11   x  t Phương trình đường thẳng d giao tuyến mp(P) mp(Oxy) là:  y   t z   Gọi K hình chiếu E lên đường thẳng d ta có K  3;0;0  , KE  2  2r Gọi A, B giao điểm KE với (C), A nằm E K  A  2; 1;0  , B  0; 3;0  Theo tốn ta có khoảng cách từ M đến mp(P) lớn M trùng với B  0; 3;0  khoảng cách từ M đến mp(Q) nhỏ M trùng A  2; 1;0  39 IV LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH Có nhiều cách lập phương trình đường thẳng hệ tọa khơng gian, lại tìm điểm thuộc đường thẳng phương đường thẳng Để làm toán cực trị ta bớt điều kiện thay vào giá trị lớn nhỏ Ta xét dạng bài: Đường thẳng nằm mặt phẳng qua điểm cho trước; Đường thẳng nằm mặt phẳng có phương cho trước; Đường thẳng song song cách đường thẳng cho trước khoảng không đổi… 1) Đường thẳng nằm mặt phẳng qua điểm cho trước Bài 4.1 Cho hai điểm A, B mặt phẳng ( ) Điểm B thuộc mp ( ) điểm A không thuộc mp ( ) Xác định vị trí đường thẳng  qua điểm B nằm mp ( ) cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  A a) Là lớn b) Là nhỏ Giải: a) Ta có d  A,    AB khơng đổi dấu “=” xảy đường thẳng  vng góc với AB Vậy khoảng cách từ A đến  lớn  qua B nằm mp ( ) vng góc với AB, B H đường thẳng  có vectơ phương ud   AB, n  b) Gọi H hình chiếu vng góc A lên mp(P), ta có d  A,    d  A,( )   AH không đổi Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  nhỏ đường thẳng  qua hai điểm H B Bài minh họa 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm E  2;1;3 , mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  :  x  3   y     z    36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm  P  cắt  S  hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình   x   9t  A  y   9t  z   8t   x   5t  B  y   3t z   x   t  C  y   t z    x   4t  D  y   3t  z   3t  Bài minh họa 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  10 Gọi  đường thẳng qua A 1;1;0 , tiếp xúc với  S  cách gốc tọa độ khoảng lớn Phương trình  là:  x   3t  A  y   3t  z  t   x   5t  B  y   3t z   x   t  C  y   t z   2  x   4t  D  y   3t  z   3t  HD: Do điểm A thuộc  S  nên  nằm mặt phẳng (P) tiếp xúc với  S  A Điểm I 1;2;3 tâm mặt cầu, theo 4.1 đường thẳng  có vectơ phương là: x 1 y 1 z   u  OA, IA   3;3; 1 Phương trình  là: 3 1 40 Bài minh họa 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1;-2) , B(5;1;1 mặt cầu S x  y  z  y  12 z   Xét đường thẳng d qua A tiếp xúc với S  cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Viết phương trình đường thẳng d Nhận xét:Bằng cách sử dụng 4.1 làm toán nền, nâng cao bước thay đường thẳng nằm mặt phẳng giả thiết ẩn tàng ta có 4.2; 4.3 4.4 sau: Bài 4.2 Cho hai điểm A, B đường thẳng d khơng đồng phẳng Xác định vị trí ∆ qua điểm B, cắt đường thẳng d cách điểm A khoảng lớn nhất, nhỏ HD: Xét mặt phẳng ( ) chứa d điểm B, suy đường thẳng ∆ qua B, nằm mp ( ) cách điểm A khoảng lớn nhất, nhỏ Đây nội dung 4.1 Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y z 1 hai điểm   1 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn Phương trình d là: A(1;2; 1), B(3; 1; 5) x 1 y  z 1   1 x 1 y  z    D d : 2 1 x 1 y  z    1 1 x 1 y  z    C d : 2 1 A d : B d : Bài 4.3 Cho hai điểm A, B đường thẳng d không đồng phẳng Xác định vị trí ∆ qua điểm B, vng góc với đường thẳng d cách điểm A khoảng lớn nhất, nhỏ HD: Xét mặt phẳng ( ) vng góc với đường thẳng d điểm A, suy đường thẳng ∆ qua B, nằm mp ( ) cách điểm A khoảng lớn nhất, nhỏ nhất, nội dung 4.1 Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1;1) vng góc với đường thẳng d’: A x t' y t ' (t' z ) B x y 1 x t' y t ' (t' z z cách B(3;1;3) khoảng nhỏ ) C x y 2t ' (t' z t' ) D x 1 y 1 z Bài 4.4 Cho hai điểm điểm A, B không thuộc mặt phẳng ( ) Xác định vị trí đường thẳng d qua điểm B song song với mp ( ) cho khoảng cách từ điểm A đến d a) Là lớn b) Là nhỏ HD: Xét mặt phẳng (  ) điểm B song song với mp ( ) A Suy đường thẳng ∆ qua B, nằm mp (  ) cách điểm A khoảng lớn nhất, nhỏ Đây nội dung 4.1 Thay khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng ta có tốn: B H 41 Bài 4.5 Cho đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng ( ) Xác định vị trí đường thẳng d qua điểm A nằm mp ( ) cho khoảng cách đường thẳng d ∆ lớn Giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng ∆ Ta có d  d ,    AH , dấu “=” xảy AH vng góc với d Vậy đường thẳng d qua A nằm mp ( ) vng góc với AH (đường thẳng d có vectơ phương ud   AH , n  ) Bài minh họa 1: Trong không gian Oxyz , cho phương trình mặt phẳng ( P) : x  y  z   , M x 1 y z   điểm A0;2;1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A , đường thẳng d : nằm P cho khoảng cách d ∆ đạt giá trị lớn Giải: Gọi H 1  t; 2t; t  hình chiếu A lên d, AH  1  t; 2t  2; t  1 , ud  1; 2;1 AH ud    t  4t   t    t  5 1  AH   ;  ;   3 3 Áp dụng toán ta đường thẳng d có vectơ phương x y  z 1 1  u   AH , n    ; ; 3  Vậy phương trình đường thẳng ∆ là:   9 3  Bài minh họa 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  , đường thẳng M x 1 y  z   d:  điểm A 1; 3; 1 thuộc mặt phẳng  P  Gọi  đường thẳng qua A 1 , nằm mặt phẳng  P  cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi u   a; b; 1 véc tơ phương đường thẳng  Tính a  2b A a  2b  3 B a  2b  C a  2b  D a  2b  2) Tiếp theo ta xét đường thẳng nằm mặt phẳng có phương cho trước Bài 4.6 Cho điểm A mặt phẳng ( ) không qua A Xác định vị trí đường thẳng  có vectơ phương u cho trước nằm mp ( ) cho khoảng cách điểm A đường thẳng d nhỏ HD: Gọi H hình chiếu điểm A lên mp ( ) , ta có d  A,    d  A,( )   AH Vậy khoảng cách điểm A đường thẳng  nhỏ đường thẳng d qua H song song với đường thẳng  Nâng cao ta xét tổng khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng có phương cho trước Bài 4.7 Cho điểm A B không nằm mặt phẳng ( ) Xác định vị trí đường thẳng  có vectơ phương u cho trước nằm mp ( ) cho tổng khoảng cách từ hai điểm A B đến đường thẳng  nhỏ HD: Gọi H K hình chiếu vng góc điểm A B lên mp ( ) ; E F hình chiếu vng góc điểm A B lên  ; điểm I giao HK  Ta có d  A,    d  A,    AE  BF  AH  HE  BK  KF   AH  BK    HE  KF  2 42 A lại có HE  KF  HI sin   KI sin   HK sin  , với  góc u HK Do d  A,    d  A,    B 2  AH  BK    HK sin   F Đẳng thức xảy AH  HE  HI BK KF H KI AH IK điểm I nằm H K hay HI  BK Bài minh họa: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A P E I K 2;1;3 B 1; 3;2 Đường thẳng  nằm mp(Oxy) có vec tơ phương u 3;4;0 Viết phương trình đường thẳng  cho tổng khoảng từ hai điểm A, B đến  nhỏ 3) Đường thẳng song song cách đường thẳng cho trước khoảng không đổi (đây đường thẳng nằm mặt trụ) Bài 4.8 Cho hai điểm A đường thẳng  Xác định vị trí đường thẳng d song song cách đường thẳng  khoảng R cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ Giải: Từ giả thiết suy đường thẳng d nằm mặt trụ (T) d có trục đường thẳng  bán kính R Xét mặt phẳng qua A vng góc với  cắt mặt trụ (T) D theo đường trịn (C) có tâm H, cắt đường thẳng d M B H Nối A với H cắt (C)tại hai điểm B, D với B nằm A H M A Ta có d  A, d   AM mà AB  AM  AD , AH  R  d ( A, d )  AH  R Vậy khoảng cách từ điểm A đến d nhỏ AH  R đường thẳng d qua B khoảng cách từ điểm A đến d nhỏ AH  R d qua D Bài minh họa (Đề thi THPT QG năm 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0;4; 3 Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d qua điểm đây? A P  3;0; 3 B M  0;11;  3 C N  0;3; 5 D Q  0;  3;  5 Nhận xét: Đây toán dạng vận dụng đề thi THPT QG năm 2019 Tập hợp đường thẳng d mặt trụ có trục đường Oz, bán kính Có thể thay câu hỏi khoảng cách từ A đến d lớn khoảng cách từ A đến d nhỏ Xét khoảng cách hai đường thẳng chéo (có đường nằm mặt trụ) ta có: Bài 4.9 Cho hai đường thẳng d  chéo d (, d )  h  R Xác định vị trí đường thẳng d’ song song cách đường thẳng  khoảng R cho khoảng cách hai đường thẳng d d’ lớn nhất, nhỏ 43 Giải: Gọi mặt phẳng (P) chứa d song song với  d’ Đường thẳng d’ song song cách đường thẳng  khoảng R nên đường thẳng d’ nằm mặt trụ có trục đường thẳng  bán kính R d A O H Lấy điểm O thuộc  , xét đường trịn (C) B M có tâm O, bán kính R cắt đường thẳng d’ M P Qua O kẻ đường thẳng vng góc với mp(P), cắt mp(P) H, cắt (C) hai điểm A, B cho A nằm O H Ta có h  R  d ( A,( P))  d (M ,( P))  d  B,( P)   h  R d  d , d '  d  d ',( P)   d (M ,( P)) Do h  R  d (d , d ')  h  R Vậy khoảng cách hai đường thẳng d d’ lớn h  R đường thẳng d’ qua B song song với d; khoảng cách hai đường thẳng d d’ nhỏ h  R đường thẳng d’ qua A song song với d Bài minh họa Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : x  z   Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oy cách trục Oy khoảng Khi khoảng cách d mp(  ) lớn nhất, viết phương trình đường thẳng d? x 1 y  z    hai điểm 1 A  2; 2;1 , B  0;1;  Gọi d đường thẳng song song cách  khoảng Khi Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : khoảng cách đường thẳng AB d ngắn đường thẳng d qua điểm nào? B  0; 2;0 A  2; 2;1 C  2;0;1 D  0; 2;1 Giải: AB   2;3;1 , u   2; 1;1 Gọi mặt phẳng (P) chứa AB song song với  ,   nP  AB, u   4;4; 4   1;1; 1 Phương trình mp(P) là: x  y  z   Lấy điểm M 1;3; 1   ta có d  ,( P)   d  M ,( P)   Gọi H hình chiếu vng góc M lên mp(P), ta có H  1;1;1 , d (d , AB)  d  d ,( P)   d (,( P))     Dấu “=” xảy đường thẳng d qua trung điểm K MH Ta có K  0; 2;0  Phương trình đường d là: x y2 z   Chọn B 1 4) Đường thẳng qua điểm có tổng khoảng cách từ điểm đường thẳng lớn Bài 4.10 Cho ba điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng a) Xác định đường thẳng d qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến d lớn b) Xác định đường thẳng d qua điểm D nằm mp(ABC) cho tổng khoảng cách từ ba điểm A, B C đến đường thẳng d lớn 44 Giải: a) Ta có d ( B, d )  AB , d (C, d )  AC suy d  B, d   d  C , d   AB  AC không đổi, dấu “=” xảy đường thẳng d vng góc với AB AC Vậy tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng d lớn đường thẳng d qua A vng góc với mp(ABC) Bài minh họa: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A  3;0;0  , B  0;2;0  , C  0;0;6  D 1;1;1 Đường thẳng ∆ qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến ∆ lớn Hỏi đường thẳng ∆ qua điểm đây? A M 1; 2;1 B N 5;7;3 C P 3;4;3 D Q 7;13;5 5) Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu thỏa mãn điều kiện khoảng cách Bài 4.11 Cho hai đường thẳng d1, d2 mặt cầu S  O; R  Viết phương trình đường thẳng  cắt đường thẳng d1 tiếp xúc với mặt cầu (S) cho khoảng cách hai đường thẳng d2  lớn Giải: Xét mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 điểm O C d1 Mp(P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Đường thẳng qua O nằm (P) vng góc với d2 cắt d2 H cắt (C) hai điểm A, B với O nằm A H Xét mp(Q) tiếp diện mặt cầu A, mp(Q) cắt d1 C Ta có d  , d   d  M , d   d  A, d   AH d2 Vậy khoảng cách hai đường thẳng d2  H B O A lớn đường thẳng  qua hai điểm A C Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x  y  z  2x  2y  6z   đường thẳng d : x 1 y  z   Viết phương trình đường thẳng  cắt trục Ox tiếp xúc 1 với mặt cầu (S) cho khoảng cách hai đường thẳng d  lớn Thay điều kiện khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta có tốn: Bài 4.12 Cho điểm A nằm mặt cầu S  O; R  đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng  cắt d, tiếp xúc với mặt cầu (S) cho khoảng cách từ A đến  lớn Giải: Nối A với O cắt (S) hai điểm B C (với B nằm A O) Đường thẳng  tiếp xúc với (S) M Ta có d ( A, )  AM  AC  OA  R , d ( A, )  OA  R đường thẳng  nằm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) C Vậy đường thẳng  qua C nằm mp(P) cắt đường thẳng d Bài minh họa: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  : x    y  z  16 ,  S2  : x    y  z  36 điểm A  4;0;0  Đường thẳng  di động tiếp xúc với ( S1 ) , đồng thời cắt  S  hai điểm B, C Tam giác ABC có diện tích lớn là? A 24 B 48 C D 28 45 V LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH Có nhiều dạng tập lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Trong pham vi đề tài xét toán cực trị Ta xét mặt phẳng qua điểm, chứa đường thẳng thỏa mãn điều kiện khoảng cách 1) Mặt phẳng qua điểm thỏa mãn điều kiện khoảng cách Bài 5.1 Cho hai điểm phân biệt A B Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A cho khoảng cách từ B đến mp(P) lớn Giải: Ta có d  B,( P)   AB không đổi, suy khoảng cách từ B đến mp(P) lớn mp(P) qua A vng góc với AB (nhận AB làm vec tơ pháp tuyến) Bài minh họa Trong không gian Oxyz, hai điểm A 1; 2;1 , B  0;1;  Mặt phẳng (P) qua B cách A khoảng lớn có phương trình là: B x  y  z   C x  y  z   A x  y  z   D x  y  z   Bài 5.1 cực trị khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bằng cách tương tự hóa ta mở rộng cho tổng khoảng cách từ nhiều điểm đến mặt phẳng Bài 5.2 Cho ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến mp(P) lớn M B Biết mp(P) không cắt đoạn BC Giải: Gọi M trung điểm BC, áp dụng tính chất đường trung bình C hình thang ta có: d  B,( P)   d  C ,( P)   2d  M ,( P)  Suy tổng khoảng cách từ B C đến mp(P) lớn mp(P) qua A vng góc với AM (nhận AM làm vec tơ pháp tuyến) H N K A P Bài 5.3 Cho ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M cho ba điểm A, B, C phía với mp(P) tổng khoảng cách từ ba điểm A, B, C đến mp(P) lớn Giải: Gọi A’, B’ C’ hình chiếu vng góc A, B C lên mp(P) Gọi G H trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ Gọi i vectơ đơn vị hướng với AA ' , ta có A C G I B AA '  BB '  CC '  3GH  AA '.i  BB '.i  CC '.i  3GH i C' A' H B' J  AA ' BB ' CC '  3GH hay d  A,( P)   d  B,( P)   d  C ,( P)   3d  G,( P)  Vậy tổng khoảng cách từ ba điểm A, B C đến mp(P) lớn mp(P) qua M vng góc với MG (nhận MG làm vectơ pháp tuyến) 46 Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;1), B(3; 2;0), C (1;2; 2) Gọi (P) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến mp(P) lớn biết khơng cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mp(P)? A G  2; 0; 3 B F  3; 0; 2  C E 1;3;1 Tổng quát áp dụng kết 5.2 5.3 ta suy 5.4: D H  0;3;1 Bài 5.4 Cho n điểm phân biệt A1 , A2 , , An điểm M Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M cho tổng khoảng cách từ n điểm A1 , A2 , , An đến mặt phẳng (P) lớn nhất, biết n điểm A1 , A2 , , An nằm phía với mp(P) Bài minh họa: Trong khơng gian Oxyz , cho bốn điểm A  2;0;1 , B  3;1;5 , C 1; 2;0  , D  4; 2;1 Gọi   mặt phẳng qua D cho ba điểm A, B, C nằm phía   tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến mặt phẳng   lớn Giả sử phương trình   có dạng: x  my  nz  p  Khi đó, T  m  n  p bằng: A B C D 2) Mặt phẳng chứa đường thẳng thỏa mãn điều kiện khoảng cách Bài 5.5 Cho điểm phân biệt A đường thẳng d Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên d Ta có d  A,( P)   AH không đổi Vậy khoảng cách từ A đến mp(P) lớn mp(P) qua H vng góc với AH ( nhận AH làm vectơ pháp tuyến Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) đường thẳng d: x  y 1 z   Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d có khoảng cách từ A đến (P) lớn 1 Khi (P) có véctơ pháp tuyến A n  ( 4; 5;13) B n  (4; 5; 13) C n  (4; 5;13) D n  (4; 5;13) Bài minh họa Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  2;1;3 mặt phẳng  P  : x  my   2m  1 z  m   , m tham số thực Gọi H  a; b; c  hình chiếu vng góc điểm A  P  Khi khoảng cách từ điểm A đến  P  lớn nhất, tính a  b A B C D Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;6), B(0;1;0) mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  25 Mặt phẳng ( P) : ax  by  cz   qua A, B cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T  a  b  c A T  B T  C T  D T  Bài 5.6 Cho điểm A đường thẳng d Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A song song với d cho khoảng cách d mp(P) lớn 47 HD : Gọi  đường thẳng qua A song song với d, suy mp(P) chứa  Đây nội dung 5.5 Bài minh họa Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2; 2;0) , đường thẳng  : x 1 y z    1 Biết mp ( P) có phương trình ax  by  cz  d  qua A , song song với  khoảng cách từ  tới mp ( P) lớn Biết a, b số nguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng a  b  c  d bao nhiêu? A B C D 1 Bài minh họa Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0;1;  , mp   : x  y  z   mặt cầu  S  :  x  3   y  1   z    16 Gọi  P  mặt phẳng qua A , vng góc với   đồng thời  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tọa độ giao điểm M  P  trục x ' Ox 2 A M   ; 0;  B M   ; 0;  C M 1;0;0  D M  ; 0;  3      Thay khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nhiều điểm đến mặt phẳng ta có: Bài 5.7 Cho hai điểm phân biệt A, B đường thẳng d Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (P) lớn nhất, biết mp(P) không cắt đoạn AB Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3), B(2;1;1) đường thẳng d: x  y 1 z   Lập phương trình mặt phằng (P) chứa đường thẳng d cho tổng khoảng 1 cách từ hai điểm A, B đến (P) lớn Biết A, B phía với mp(P) Bài 5.8 Cho ba điểm phân biệt A, B, C đường thẳng d Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ A, B C đến mặt phẳng (P) lớn nhất, biết ba điểm A, B, C nằm phía với mp(P) Tổng quát áp dụng kết 5.7 5.8 ta suy 5.9: Bài 5.9 Trong không gian, cho n điểm phân biệt A1 , A2 , , An đường thẳng d Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ n điểm A1 , A2 , , An đến mp(P) lớn nhất, biết n điểm A1 , A2 , , An nằm phía với mp(P) Bài minh họa: Cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) D(3; 1; 4) a) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cho tổng khoảng cách từ bốn điểm A, B, C, D đến mp(P) lớn b) Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B cho tổng khoảng cách từ hai điểm C, D đến mp(P) lớn c) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vơ số mặt phẳng 48 Bài 5.10 Cho điểm A, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) Mặt phẳng   chứa đường thẳng d cắt (P) theo giao tuyến đường thẳng ∆ Lập phương trình mp   cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ lớn nhất, nhỏ Giải: Gọi B giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) suy đường thẳng ∆ qua điểm B Ta có d  A,( P)   d  A,    AB Do đó, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ lớn AB đường thẳng ∆ qua B nằm mp(P) vuông góc với AB ( u   AB, nP   n  u , ud  ) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ lớn AB mp   chứa đường thẳng d hình chiếu điểm A lên mp(P) Bài minh họa Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  2y  z   đường thẳng d : x 1 y 1 z    Lập phương trình mp   chứa đường thẳng d cắt (P) theo 1 2 giao tuyến đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ gốc toạ độ đến ∆ lớn nhất, nhỏ Bài 5.11 Trong không gian, cho mặt cầu (S) điểm A nằm (S) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Giải: Nối A với O cắt (S) hai điểm E, F F nằm O A Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) điểm H Ta có d  A,( P)   AH  AE không đổi Vậy khoảng cách từ A đến mp(P) lớn AE mp(P) qua E vng góc với AE Các minh họa 2 Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x     y     z    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu  S  Khi khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp  P  đạt giá trị lớn Viết phương trình mặt phẳng(P) Câu (Đề thi thử lần sở GD Nghệ An năm 2021): Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  :  m2  2m  x   m2  4m  1 y   3m  1 z  m   mặt 2 cầu  S  :  x  3   y     z  1  75 Điểm A thuộc mặt cầu  S  Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P  đạt giá trị lớn khối nón có đỉnh A , đường tròn đáy giao tuyến  P   S  tích bao nhiêu? A 128 B 75 C 32 D 64 Câu Trong không gian Oxyz , Cho điểm A(0;8; 2) mặt cầu ( S ) có phương trình ( S ) : ( x  5)  ( y  3)  ( z  7)  72 điểm B(9; 7; 23) Viết phương trình mp ( P ) qua A tiếp xúc với ( S ) cho khoảng cách từ B đến ( P) lớn Giả sử n  (1; m; n) vectơ pháp tuyến ( P) Lúc A m.n  B m.n  2 C m.n  D m.n  4 49 D KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy tuỳ lớp, đối tượng học sinh phân nhiều dạng tập mức độ phù hợp Tuy nhiên tập đề tài mức vận dụng vận dụng cao nên chủ yếu dành cho học sinh giỏi + Đối với học sinh việc giải thành thạo toán nền, toán có phương phấp giải để nắm kiến thức bản, giải tập mức vận dụng Chẳng hạn: Bài tốn tìm hình chiếu điểm lên đường hay mặt, toán giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến điểm thay đổi, tốn lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng… + Đối với học sinh giỏi ngồi việc giải dành cho học sinh trung bình khá, giải tập mức vận dụng cao Chẳng hạn: Bài toán giá trị lớn hay nhỏ liên quan đến điểm thay đổi, tổng quát hoá tốn… Trong q trình dạy học lớp, tập nhiều câu hỏi (thường từ đến câu) Học sinh làm 2, câu đầu, học sinh giỏi làm tất các câu Học sinh giỏi phát huy khả suy luận, tìm tịi, khám phá Ngồi tiết dạy lớp tơi cịn dạy chun đề vào buổi chiều giao nhiệm vụ nhà gồm: giải tập thầy ra, nghiên cứu PP giải sau tổng quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá toán, xây dựng tốn mới… Qua tơi thấy hệ thống tập có hiệu cao dạy học Đề tài bắt đầu áp dụng từ năm học 2020-2021 lớp dạy Trong năm học 2021 -2022 này, đề tài không áp dụng cho lớp 12 dạy mà đồng nghiệp mở rộng thêm đến đối tượng học lớp 12 khác trường bước đầu đánh giá có hiệu cao - Năm học 2021-2022, chọn áp dụng đề tài đối tượng học sinh Hai lớp thực nghiệm lớp 12A1 12A11 (trong 12A1 lớp có học lực tốt hơn) lớp đối chứng lớp 12A2 12A5 (trong 12A2 lớp có học lực tốt hơn) Các lớp có số lượng học sinh, chất lượng học tương đương Để khảo sát, lớp 02 kiểm tra 45 phút trắc nghiệm tự luận, mức độ đề bám vào chuẩn kiến thức kỹ có số kỳ thi năm trước thu kết sau: Bảng 1: Kết thực nghiệm Lớp Sĩ số Điểm Từ đến < Từ đến