SKKN nâng cao năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT qua các bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong thực tế

MỞ ĐẦU 1.Lý do ch ọn đề tài Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT

1 Tr ần Thị Kim Nhung Số điện thoại: 0942976673

2 Nguy ễn Thị Thanh Mai Số điện thoại: 0912612667

Tháng 4/2022

M ỤC LỤC

Trang

I M Ở ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Phương pháp tiến hành 7

5 Đóng góp đề tài 7

II NỘI DUNG 8

1 Quan niệm về mô hình hóa toán học (MHH TH) 8

1.1 Quy trình mô hình hóa 8

1.2 Quy trình mô hình hóa toán học 8

1.3 Thể hiện năng lực mô hình hóa ở trường THPT 13

2 Một số biện pháp sư phạm giúp phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua việc bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số ở toán THPT 14

Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học 14

Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán thực tế bằng quy trình các bước rõ ràng 21

Biện pháp 3: Chú trọng các bài toán “gần gũi” và có tính thiết thực trong quá trình dạy học 25

a Bài toán ứng dụng về kinh doanh, sản suất trong cuộc sống 25

b Bài toán ứng dụng về chuyển động 28

Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số trong bài toán thực tế 31

a Xác định mối liên hệ các biến, tham số trong bài toán thực tiễn chứa yếu tố hình học ( độ dài, diện tích, thể tích) 32

b Xác định mối liên hệ các biến, tham số trong bài toán kinh tế 35

Biện pháp 5: Chọn cấp độ phù hợp năng lực học sinh 36

Biện pháp 6: Xây dựng thang đánh giá năng lực mô hình hóa thông qua hệ thống bài tập 42 Bài tập luyện kỹ năng PL-1

Biện pháp 7: Tăng cường trải nghiệm cho học sinh thông qua các hoạt động

STEM 46

3 Thực nghiệm sư phạm 48

3.1 Mục đích thực nghiệm 48

3.2 Phương pháp thực nghiệm 48

3.2.1 Chọn trường thực nghiệm 48

3.2.2 Bố trí thực nghiệm 48

3.3 Kết quả thực nghiệm 48

3.4 Nhận xét đánh giá 49

3.4.1 Kết quả về mặt định lượng 49

3.4.2 Kết quả về mặt định tính 49

III.KẾT LUẬN 50

1 Ý nghĩa của đề tài 50

2 Đề xuất và kiến nghị 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO PL-22

Một số sản phẩm tiết 10-Hình học 12: Chủ đề STEM: Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN

ở trường THPT Lê Viết Thuật PL-18

I MỞ ĐẦU 1.Lý do ch ọn đề tài

Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) đã nêu rõ về đặc điểm môn toán:

“Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến

thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM

Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể”

Và đã xác định mục tiêu dạy học toán chủ yếu:

Hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công

cụ, phương tiện học toán

Góp phần hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất chủ yếu và năng lực chung theo các mức độ phù hợp với môn học, cấp học được quy định tại Chương trình tổng thể

Có kiến thức, kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn

Có hiểu biết tương đối tổng quát về sự hữu ích của toán học đối với từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời

Như vậy Giáo dục việt Nam trong giai đoạn mới hiện nay đã phân tích đặc điểm môn toán và xác định một trong những mục tiêu GD môn toán là hình thành và phát triển năng lực mô hình hoá toán học từ đó giúp học sinh có năng lực vận dụng toán vào việc giải quyết các tình huống thực tế

Qua tìm hiểu nội dung SGK hiện hành ( bộ sách ban cơ bản) chúng tôi thống kê các bài toán ứng dụng thực tế, các bài toán thực tế cần năng lực mô hình hóa như sau:

Sách Số lượng

(bài)

Nội dung liên quan

Đại 10 32 -Các bài toán về giải hệ phương trình, bất phương

trình

-Ứng dụng bất đẳng thức Côsi

-Ứng dụng thống kê vào xử lý số liệu

Hình 10 12 - Phân tích hướng của chuyển động bằng các phếp

-Ứng dụng đạo hàm vào bài toán vận tốc tức thời

và gia tốc tức thời chuyển động, bài toán cường

độ tức thời của dòng điện

Hình học 11 12 Các mô hình về quan hệ vuông góc

Giải tích 12 9 -Ứng dụng GTLN, GTNN giải các bài toán thực

tế

-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Hình học 12 4 bài Mô hình mặt tròn xoay, khối tròn xoay

Và thống kê số lượng các bài thi cần kỹ năng mô hình hóa toán học giải các bài thực tế qua các đề thi ở THPT QG qua kỳ thi THPT QG và thi TN qua 5 năm gần đây:

Thống kê qua các đề thi Đánh giá năng lực và bộ đề tham khảo ĐGNL chúng tôi thấy số lượng câu liên quan đến bài toán thực tế như sau:

Ở ngay kỳ thi tuyển sinh vào 10 của Nghệ An năm 2021 có bài ứng dụng thực tế, mặc dù không khó nhưng học sinh gặp nhiều khó khăn; nhiều học sinh không làm được do năng lực mô hình hóa toán học chưa được bồi dưỡng đúng mức

Qua việc tìm hiểu phiếu khảo sát lớp 12T2; 12D2 trường THPT Lê Viết Thuật, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ an, kết quả như sau:

Qua các số liệu và tìm hiểu trên chúng tôi nhận thấy tình trạng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn nặng lý thuyết , chưa chú trọng các bài tập áp dụng thực tế

và chưa dành thời gian rèn luyện kỹ năng mô hình hóa đúng mức mặc dù học sinh đã cảm thấy cần thiết

Theo đó chúng tôi xác định trong quá trình dạy học; ngoài việc phát triển các năng lưc toán học nói chung cho học sinh thì việc bồi dưỡng và phát triển năng lực mô hình hóa toán học rất cần thiết, giúp người học có kỹ năng áp dụng các kiến thức toán học vào thực tiễn

Hơn nữa, việc vận dụng toán học để giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tế rất quan trọng, nó giúp học sinh có năng lực tính các phương án tối ưu trong sản xuất kinh doanh, kinh tế…sau này Các bài đó thường đưa đến bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài “NÂNG CAO NĂNG LỰC

MÔ H ÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG THỰC TẾ”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu với mục đích là:

- Nhằm tìm hiểu tầm quan trọng và tình hình thực tế dạy hoc môn toán đối với

sự phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh, áp dụng vào các bài toán thực

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về các nội dung trong chương trình tổng thể môn toán

2018 Nghiên cứu quan điểm về mô hình hóa toán học; năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THPT từ đó có định hướng trong quá trình dạy học

- Nghiên cứu thực tiễn: Thực trạng về năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trong một số nhà trường THPT; thực trạng việc bồi dưỡng năng lực mô

hình hóa toán học của học sinh THPT; thực trạng về các kì thi như tốt nghiệp THPT, Đánh giá năng lực của các trường Đại học…

- Nghiên cứu tầm quan trọng các bài toán thực tế và ứng dụng GTLN, GTNN trong việc giải quyết các bài toán tối ưu

- Nghiên cứu những biện pháp sư phạm hướng đến nâng cao năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THPT qua dạy học hàm số 12

- Thực nghiệm sư phạm: Vận dụng trong quá trình dạy học để rút ra kết quả

- Góp phần thực hiện thành công đổi mới chương trình giáo dục phổ thông 2018

về phát triển năng lực toán học cho học sinh đặc biệt là năng lực “ mô hình hóa toán học”

- Giúp học sinh thấy mối quan hệ tương hỗ giữa toán học và thực tiễn

- Sáng kiến có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

II NỘI DUNG

1 Quan niệm về mô hình hóa toán học (MHH TH)

1.1 Quy trình mô hình hóa

Năm 1970, Pollak đã đưa ra sơ đồ mô hình hóa đầu tiên về sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa

Sơ đồ 1 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak

Từ sơ đồ ta thấy, tình huống thực tiễn ban đầu được phiên dịch sang tình huống toán học dựa trên ngôn ngữ toán học, rồi giải bài toán trong mô hình đó, và quay lại áp dụng kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu Chiều các mũi tên biểu thị cho sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học nhiều lần

Theo Swetz và Hartzler, quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố

trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán

học Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng

Gia i đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình

huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận

1.2 Quy trình mô hình hóa toán học

Quy trình mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn

Sơ đồ 2 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán

Quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây :

- Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực

tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương ứng

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải

quyết bài toán đã được toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống

thực tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn

- Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm

hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Ở bước này, có thể xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi

đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng và kết quả thu được

Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó,

cần tìm hiểu nguyên nhân và hạn chế Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp

Ví dụ: Từ một tấm bìa có hình dạng là nửa hình tròn bán kính 1m Hãy cắt ra

một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Lời giải

Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn):

Mô phỏng bằng hình vẽ

Gọi các điểm A, B, O, D như hình vẽ Diện tích hình chữ nhật là S = AB.BD

Bước 2 (Giải bài toán):

Đặt AB = x, (0  ), x 1 BD 2OB 1 x2

Diện tích hình chữ nhật là S 2x 1x2

Ta có S2 4 (1x2 x2)đặt y = x2,(0  ) y 1

Xét g(y) = 4y(1 -y) = - 4y2+4y

Ta có S lớn nhất khi g (y) lớn nhất với 0  y 1, mà g (y) lớn nhất khi 1

Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả):

Trong thực tế hình dạng miếng bìa sử dụng cắt có thể là một hình khác mà khi tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật sẽ gặp khó khăn hơn

Nói tóm lại, quy trình mô hình hóa toán học được lặp đi lặp lại, được coi

là khép kín và được dùng để mô tả các vấn đề thực tiễn và kết quả của bài toán

mô hình hóa được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình mô hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên

dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trường phổ thông Cơ chế điều chỉnh này được thể hiện qua mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:

Sơ đồ 3 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa

Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau:

- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác

định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra

- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình

MHH

- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tế cũng

như tính toán đến sự phức tạp của nó

- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô hình

cho phù hợp với thực tiễn

- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp

cao hơn

- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng

Có thể đưa ra quy trình 7 bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xây dựng

giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng, các giả thuyết đã nêu ra ở

bước 1

- Bước 3: Xây dựng bài toán dựa trên các ngôn ngữ toán học để mô tả tình huống

thực tế

- Bước 4: Sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học để giải bài toán

- Bước 5: Tìm ra được lời giải của bài toán, hiểu ý nghĩa của mô hình toán học

đối với tình huống thực tiễn

- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình, kiểm tra tính hợp lý và tính tối ưu của mô hình

đã xây dựng

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô

hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

Sơ đồ 4 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa

Ở đề tài này, chúng tôi vận dụng vào phạm vi và đối tượng học sinh trung học phổ thông, và giới hạn trong nội dung dạy học hàm số, chúng tôi cụ thể hóa các hoạt động thực hiện MHH toán học theo các bước như sau

Giai đoạn 1: Toán học hóa

Học sinh hiểu được vấn đề thực tiễn, xác định các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và thể hiện vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Xác

định các khái niệm, các biến số, mối liên hệ giữa các biến, từ đó biểu diễn vấn

đề dưới ngôn ngữ toán học Quá trình này là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học

Giai đoạn 2: Giải bài toán

Học sinh lựa chọn, sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để xây dựng và giải quyết bài toán, có thể sử dụng sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán

Học sinh hiểu lời giải của bài toán đã được chuyển đổi từ tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu) và hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong hoàn cảnh thực tiễn, trong đó cần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống thực tiễn

Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế

Xem lại các giả thuyết, các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán Giai đoạn này yêu cầu học sinh phải có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống

Như vậy, hầu hết các quy trình mô hình hóa toán học đều gồm 4 yếu tố chính là: toán học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh

1.3 Thể hiện năng lực mô hình hóa ở trường THPT

Năng lực mô hình hoá toán học

thể hiện qua việc

Năng lực mô hình hoá toán học thể hiện ở toán

- Giải quyết được những vấn

đề toán học trong mô hình - mô hình được thiết lập Giải quyết được những vấn đề toán học trong

được thiết lập

- Thể hiện và đánh giá được lời

giải trong ngữ cảnh thực tế và

cải tiến được mô hình nếu cách

giải quyết không phù hợp

- Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được

2 Một số biện pháp sư phạm giúp phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua việc bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm

-Cơ sở của biện pháp

Mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng các công cụ toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ toán học Quá trình chuyển đổi giữa tình huống thực tiễn và tình huống toán học tuân theo một quy trình nhất định với những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết toán học để từ đó học sinh có thể dễ dàng nhìn nhận các vấn đề thực tiễn Mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả hai chiều Do vậy, việc rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống dưới dạng ngôn ngữ toán học là vô cùng cần thiết

Ví d ụ 1 Người ta dùng một tấm sắt tây hình chữ nhật có kích thước 30cm 48cm

để làm một cái hộp không nắp bằng cách cắt bỏ đi bốn hình vuông bằng nhau ở

bốn góc rồi gấp lên Thể tích lớn nhất của hộp bằng

A 3886cm3. B 3880cm3 C 3900cm3 D 3888cm3

Chúng tôi t ổ chức cho học sinh hiểu tình huống thực tế từ đó chuyển đổi qua

mô hình toán h ọc qua việc giao nhiệm vụ cụ thể cho học sinh như sau:

Nhi ệm vụ

Nhi ệm vụ 1: Từ 1 tờ A4 cho trước, mỗi nhóm hãy cắt bỏ đi bốn hình vuông

b ằng nhau ở bốn góc rồi gấp lên thành hình hộp ( Có hình ảnh kèm theo)

Nhiệm vụ : Vẽ mô hình vừa thực hiện trên giấy ( hình vẽ)

Nhi ệm vụ 3: Thể hiện mối liên hệ giữa 3 kích thước của hình hộp thu được và

th ể tích

Nhi ệm vụ 4: Bài toán thực tế quy về bài toán toán học nào

T ừ các hoạt động đó học sinh biết chuyển bài toán thực tế về bài toán tìm toán học “Tìm khối hộp chữ nhật thõa mãn điều kiện cho trước để có thể tích lớn

nh ất”

Mô hình minh họa

C Q

A

A x 20 B x 30 C x 45 D x 40

Chúng tôi t ổ chức cho học sinh hiểu tình huống thực tế từ đó chuyển đổi qua

mô hình toán học bằng các hoạt động

Ho ạt động 1 Từ 1 tờ A4 cho trước, mỗi nhóm hãy gấp lại thành hình lăng trụ khuy ết 2 đáy như hình vẽ.( có hình ảnh kèm theo)

Ho ạt động 2 Vẽ mô hình vừa thực hiện trên giấy ( ở hình vẽ sau)

Ho ạt động 3 Tìm mối liên hệ giữa 3 cạnh của tam giác biết chu vi đáy bằng 60cm

Ho ạt đông 4 Bài toán thực tế quy về bài toán toán học nào

T ừ các hoạt động đó giúp học sinh biết chuyển bài toán thực tế sang bài toán

“ tìm độ dài cạnh đáy thỏa mãn điều kiện cho trước để thể tích lăng trụ lớn

nh ất”

L ời giải

D C H

Q B

M

A

Ta có AN APx, 0  x 30 nên PN 60 2 x, gọi H là trung điểm của

PN thì HP30 x Xét tam giác vuông APH ta có

Từ bảng biến thiên ta cómax f x 100 3 khi x20 Đáp án A

Ví d ụ 3: Một cơ sở sản xuất vỏ của hộp sữa dạng hình trụ và có thể tích bằng 1lít Tính bán kính đáy r , chiều cao h của hộp sữa sao cho tốn ít nguyên liệu

nhất?

Chúng tôi t ổ chức cho học sinh tìm hiểu bài toán bằng các nhiệm vụ:

1 Xác định mô hình toán học trong bài toán ( sản phẩm ở hình ảnh sau)

2 Chuyển đổi từ tình huống thực tế: diện tích nguyên liệu cần để sản xuất 1 vỏ

hộp

3 Thể hiện mối liên hệ giữa 2 kích thước (bán kính đáy r ; chiều cao h) của hình trụ với thể tích

4 Quy về bài toán toán học (Tính bán kính đáy r , chiều cao h của hình trụ

biết hình trụ có V 1dm2 sao cho dện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất)

5 Giải bài toán và kết luận

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của vỏ hộp sữa là x cm( ), x 0

Theo đề bài ta có, thể tích của vỏ hộp sữa là: 1 lít =

Ví dụ 4 : Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ

nhật không nắp có thể tích bằng 288dm3 Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/m 2 Nếu người

đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất Người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là

A 1,08 triệu đồng B 0,91 triệu đồng C 1,68 triệu đồng.D 0,54 triệu đồng

X ác định giai đoạn toán học hóa rất quan trọng, học sinh phải hiểu được vấn đề thực tiễn, xác định các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và thể hiện vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Vì vậy, chúng tôi tổ chức cho học sinh hiểu tình huống thực tế từ đó chuyển đổi qua mô hình toán học bằng các câu hỏi

H1? Cách tính chi phí? (Chi phí = giá x diện tích cần xây )

H2? Giá không đổi nên chi phí thấp nhất thì diện tích xây phải như thế nào ? (nhỏ nhất)

H3? Chuyển về bài toán toán học? ( Tìm 3 kích thước của

hình hộp chữ nhật biết thể tích và chiều dài đáy gấp đôi

chiều rộng sao cho tổng diện tích các mặt của hình hộp (trừ

nắp ) nhỏ nhất)

x

h

L ời giải:

• Gọi x x  0 chiều rộng của đáy bể

Ta có: Chiều dài của đáy bể là: 2x Chiều cao của bể là: 0,1442

x

0.144 0.144 0,864.2 2 2 .2 2

Từ bảng biến thiên ta có min f x  2,16 khi x = 0.6 cm

Vậy chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây bể là: 2,16.500000 1080000 đồng Đáp án A

Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán thực tế bằng quy trình các bước rõ ràng

Các tình huống mô hình hoá được đặt trong môi trường thực tế thường phức

tạp và có phương án giải quyết “mở”, học sinh phải huy động nhiều kiến thức,

do đó có nhiều cách khác nhau để tiếp cận Tuy nhiên; chúng tôi hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán qua các bước sau:

Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực

tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Học sinh biểu diễn các yếu tố trong tình huống dưới các biến, tham số, mối liên hệ giữa các biến,

Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải

quyết bài toán đã được toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả

Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình

huống thực tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn

Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa

ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R, người thợ thủ công

mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ Tính thể tích lớn nhất của viên đá cảnh sau khi hoàn thiện

Lời giải

Bước 1: Toán học hóa:

Giả sử ta cần gọt viên đá thành viên đá là một khối cầu thành một khối trụ như hình vẽ

Hình 1

Ta gọi 2x là chiều cao của hình lăng trụ (0 < x < R) như hình vẽ sau:

Hình 2.

Khi đó, ta biểu diễn bán kính của viên đá sau khi cắt gọt (khối trụ) theo x,

từ đó tính được thể tích khối trụ V 2x(R2 x2)là hàm số theo biến x và tìm

giá trị lớn nhất của hàm số đó

Bước 2: Giải bài toán

Gọi 2x là chiều cao của hình lăng trụ (0 < x < R) (hình vẽ 1), R là bán kính của

khối hình cầu Khi đó, bán kính của khối trụ là 2 2

r  R x và thể tích của khối trụ là V 2x(R2 x2)

Bước 3: Hiểu và thông dịch

Bài toán yêu cầu tính thể tích lớn nhất của viên đá có hình dạng khối trụ

sau khi được cắt gọt từ một viên đá khối cầu có bán kính R Ta tìm được thể tích

lớn nhất của viên đá sau khi cắt gọt là 4 3 3

9

Bước 4: Đối chiếu thực tế

Trong thực tế, bài toán thường sử dụng đối với các nghệ nhân chế tác đá, điêu khắc để có thể tìm được các sản phẩm thẩm mỹ cao, giá thành phù hợp với thị trường

Phân tích kết quả hoạt động:

Qua hoạt động này, học sinh cần áp dụng các kiến thức không chỉ hàm số,

mà còn sử dụng các công thức tính diện tích khối trụ, trí tưởng tưởng về hình

học Học sinh cũng cần vận dụng kĩ năng đưa tình huống về các biến, các tham

số có trong bài để xây dựng hàm số

Ví d ụ 2: Bác An muốn thiết kế một bể cá theo dạng khối lăng trụ tứ giác đều,

không có nắp trên, làm bằng kính, thể tích 8 m3 Giá mỗi 2

m kính là 600.000đồng/ 2

m Số tiền tối thiểu phải trả để mua kính xấp xỉ với giá trị nào sau ?

ABCD A B C D   như hình vẽ Gọi ABx AA; h x h( ; 0)

Từ công thức tính thể tích khối lăng trụ kết hợp giả thiết bài toán cho ta biểu

diễn mối liên hệ giữa chiều cao và độ dài cạnh đáy (h theo x) Lập hàm theo biến

xtính tổng diện tính xung quanh và diện tích đáy của hình lăng trụ tứ giác đều

4x x x

x x

Từ BBT ta có để chi phí nguyên liệu thấp nhất thì chiều dài đáy AB 316

Bước 3: Hiểu và thông dịch

Bài toán yêu cầu tính số tiền tối thiểu phải trả để mua nguyên liệu bể cá Ta tìm được kích thước của bể cá để diện tích nguyên liệu cần mua là nhỏ nhất, từ đó tính được số tiền tối thiểu

Bước 4: Đối chiếu thực tế

Trong thực tế, bài toán được sử dụng cho các nhà sản xuất các loại bể, thùng chứa… để chi phí thấp nhất

Biện pháp 3: Chú trọng các bài toán “gần gũi” và có tính thiết thực trong quá trình dạy học

Chúng tôi xác định các bài toán có tính thiết thực, gần thực tế, dễ gây hứng

thú cho học sinh trong quá trình học từ đó góp phần phát triển năng lực mô hình hóa

a/ Bài toán ứng dụng về kinh doanh, sản suất trong cuộc sống

Ví d ụ minh họa:

Ví d ụ 1: Một công ty chuyên sản xuất thùng phuy hình trụ nhận được đơn đặt

hàng với yêu cầu là thùng phuy phải chứa được  3

16 m mỗi chiếc Hỏi chiếc

thùng phải có kích thước như thế nào để sản suất ít tốn vật liệu nhất (Rlà bán kính đáy và h là chiều cao) ?

Ví d ụ 2 Một nhà máy sản xuất bóng đèn trang trí với chi phí sản xuất 12 USD

mỗi bóng đèn Nếu giá bán mỗi bóng đèn là 20 USD thì nhà máy dự tính bán được 2000 bóng mỗi tháng Nếu cứ tăng giá bán mỗi bóng đèn lên 1 USD thì số bóng đèn bán được mỗi tháng giảm đi 100 bóng đèn Để nhà máy có lợi nhuận

lớn nhất, giá bán mỗi bóng đèn là

A 26 USD B 27 USD C 22 USD D 24 USD

L ời giải

Giả sử giá bán tăng thêm x USD x * thì số lượng bóng đèn bán

giảm 100.x Khi đó số bóng đèn bán được là 2000 100x và số tiền lãi khi bán 1 bóng đèn là 20 x 12  x 8

Do vậy lợi nhận thu được làL2000 100 xx  8 100x2 1200x16000

100 6 19600 19600, *

L  x    x Dấu bằng xảy ra khi x 6

Vậy lợi nhuận lớn nhất bằng 19600 USD khi giá bán mỗi bóng đèn là 26 USD

Ở bài này, ta giả sử giá bán tăng thêm x USD thì ta suy ra :

1 Giá bán m ới là 20 x 

2 Số bóng đèn bán trong một tháng giảm đi 100.x bóng đèn

Học sinh cần hiểu bài toán thực tế:

1 Số tiền lãi khi bán 1 bóng đèn là 20 x 12  x 8

2 “Lợi nhuận thu được = Số tiền lãi mỗi bóng x số bóng bán được”

Qua bài toán này; chúng tôi nhấn mạnh cách tính lợi nhuận trong sản xuất; kinh doanh Các yếu tố để lợi nhuận thu được lớn nhất

Ví d ụ 3: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho

thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 50.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 1 căn hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê

với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?

A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000

L ời giải:

Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, ( x: đồng ; x 2000.000 đồng)

Ta có thể lập luận như sau:

Tăng giá 50.000 đồng thì có 1 căn hộ bị bỏ trống

Tăng giá x 2.000.000 đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống

Theo quy tắc tăng 50.000 có 1 căn trống nên tăng x 2.000.000thì có số căn hộ

với giá cho thuê mỗi căn hộ)

Bài toán trở thành tìm GTLN của   1 2

90 50.000

Suy ra F(x) đạt giá trị lớn nhất khi x  2.250.000

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn

nhất Chọn A

Nh ận xét: Đây là bài toán thu nhập trong kinh doanh, với bài toán này học sinh

ph ải xác định được:

a “Thu nhập = giá cho thuê mỗi căn x số căn cho thuê”

b Mối quan hệ giữa tăng giá cho thuê với số căn bỏ trống

c Lập được liên hệ hàm giữa thu nhập và giá căn hộ

b Bài toán ứng dụng về chuyển động

C ần nắm: Cho chuyển động có phương trình quãng đường theo thời gian

 

ss t khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0là vs t 0 và gia t ốc tức thời tại t0là a s t 0

Ví d ụ minh họa:

Ví d ụ 1 (Mã 104 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 2

63

s  t  t với t

(giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng

thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt

được bằng bao nhiêu? A 243 (m/s) B 27 (m/s) C 144 (m/s) D 36 (m/s)

L ời giải

Ta có: v   s t2 12t; v   2 12t ; v   0 t 6

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta có vận tốc lớn nhất của vật đạt được là v 6  36m/s

Ví d ụ 2 Một chất điểm chuyển động theo quy luật S t  1 3t2 t t s3, ( ) Vận

tốc v m s /  của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi t bằng bao nhiêu?

A t  4 B t  3 C t  2 D t 1

L ời giải:

Ta có: v t S t'  6t 3 ;t t2 0 v t'   6 6 t v t'    0 6 6t    0 t 1 BBT

Vậy vận tốc của chuyển động đạt GTLN khi t=1 Chọn D

t v

v

036

Ví d ụ 3 Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần Trong đó

phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ Phần

thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v 10km h/ thì phần thứ hai

bằng 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên

liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất? A 10km/h B 15km/h C 20km/h D 25km/h

10  (ngàn đồng)

Xét tại vận tốc x km h / , gọi y (ngàn đồng) chi phí cho quãng đường 1 km tại

vận tốc x thì chi phí cho quãng đường 1 km tại vận tốc x, ta có: 3

Suy ra P x  đạt GTNN tại x 20 Vậy vận tốc của tàu x 20km h/  Chọn C

Nhận xét: Với dạng toán liên quan vận tốc và quãng đường của chuyển động, đây cũng là dạng toán thường gặp trong môn vật lý đã có công thức liên hệ giữa các đại lượng liên quan, chúng tôi thấy rằng trong quá trình dạy học giáo viên cho học sinh làm các bài toán dạng này gây hứng thú cho học sinh và qua đó phần nào giúp học sinh biết mở rộng các tình huống của bài toán thực tế

Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số trong bài toán thực tế

- Cơ sở của biện pháp

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học bằng các ngôn ngữ toán học Ngôn ngữ và các công cụ toán học là các biến số, tham số, kí hiệu, Do vậy, việc rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số cho học sinh là cần thiết Sau khi phát hiện được quy luật của tình huống và phát biểu lại tình huống bằng ngôn ngữ riêng của mình, học sinh cần làm công việc tiếp theo là đặt biến cho các đại lượng hay là biểu diễn các đại lượng theo biến đó Hoạt động này thể hiện việc chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học Thông qua đó, học sinh được phát triển các thành tố năng lực mô hình hóa sau đây:

Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Học sinh

được rèn luyện kỹ năng xác định biến số, tham số liên quan từ đó khả năng diễn đạt tình huống bằng ngôn ngữ toán học ngắn gọn, chính xác hơn, có thể diễn đạt một vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau

Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm: Để rèn luyện tốt kỹ năng

này học sinh cần biết cách xác định được yếu tố trung tâm của tình huống, gọi

ẩn, đặt biến và biểu diễn các yếu tố theo biến đã đặt trước đó Học sinh chuyển đổi được bài toán thực tế sang ngôn ngữ toán học

Năng lực xây dựng mô hình hóa toán học: Học sinh biểu diễn các đại

lượng bằng các kí hiệu, các khái niệm toán học, công thức toán học Xác định các biến số, tham số, các biểu thức chứa biến, mối liên hệ giữa các biến số Từ

đó, khái quát tình huống thực tiễn theo quan điểm Toán học

Năng lực kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh mô hình: Học sinh đối chiếu

kết quả sau khi đưa tình huống thực tiễn về ngôn ngữ toán học, nhận xét, lập luận, so sánh để tìm ra các mô hình hợp lý hơn

-Cách thức thực hiện

Việc sử dụng mô hình hóa hỗ trợ rèn luyện kĩ năng xác định biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số được thực hiện thông qua các bài toán mô hình hóa Học sinh dựa trên kiến thức toán học, sử dụng các tham

số, biến số để chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài toán toán học để giải quyết

bằng ngôn ngữ toán học Chúng tôi lồng ghép bài toán thực tiễn, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, khám phá và đưa về bài toán toán học trong quá trình dạy học

a/ Xác định mối liên hệ các biến, tham số trong bài toán thực tiễn chứa yếu

Ví dụ minh họa:

Ví d ụ 1 Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng , chiều cao Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ Gọi là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác Tính ?

A B C 32 3

9

Phân tích:

- Mô hình toán h ọc: khối trụ, khối nón

- Các công th ức toán học liên quan: Thể tích khối trụ Tỷ số các cạnh của 2 tam giác đồng dạng

- G ọi h’ là chiều cao và x là bán kính đáy của khối trụ Từ giả thiết khúc gỗ

kh ối trụ nội tiếp khối nón (hình vẽ) ta tìm mối liện hệ giữa chiều cao, bán kính đáy của khối trụ với khối nón đã biết Lập hàm tính thể tích khối trụ theo một

bi ến; quy về bài toán tìm GTLN của hàm số

 3

32 9

Ví d ụ 2 Bác nông dân muốn làm hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài

song song với hàng tường gạch Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường Bác dự tính sẽ dùng 200m lưới để làm nên toàn bộ

hàng rào đó Diện tích đất trồng rau lớn nhất bác có thể rào nên là:

V x  x x

B ờ tường

Hàng rào

- T ừ bài toán dùng 200m lưới để làm hàng rào nên suy ra mối liên hệ giữa 2

bi ến đó

- Bài toán quy về tìm chiều dài và rộng của hình chữ nhật thõa mãn điều kiện cho trước để diện tích lớn nhất Từ đó, gọi 2 cạnh hình chữ nhật là x và y; tìm được mối quan hệ giữa x và y, tính diện tích hình chữ nhật theo một biến x

ho ặc y đưa về bài toán tìm GTLN của hàm số

Lời giải: Xét hình chữ nhật như hình vẽ Gọi x và y là 2 cạnh hình chữ

nhật thì 0x y, 200

Ta có: x2y200 x 200 2 y

Diện tích đất rào được tính bởi: f y  y(200 2 )  y   2y2  200y

Xét hàm số f y   2y2  200y trên khoảng 0; 200

Do: f ' y   0 y 50 Lập bảng biến thiên:

Vậy GTLN của diện tích đất rào được 5000m 2 Chọn D

Ví d ụ 3 ( Đề thi minh họa ĐGNL của ĐHQGHN năm 2021) Người ta cần

chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được

mạ vàng 4 mặt bên và có thể tích bằng 16cm3 Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của

khối chóp bằng bao nhiêu 2

cm ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án

Phân tích:

- Mô hình toán h ọc: Hình chóp tứ giác đều

- Các công th ức toán học liên quan: Thể tích khối chóp tứ giác đều.và diện tích hình các tam giác cân

- Bài toán đã cho thể tích, từ đó ta tìm mối liên hệ giữa đường cao khối chóp

t ứ giác đều (SO) với độ dài cạnh đáy, biễu diễn diện tích mặt bên qua các đại lượng đó