Giáo trình Lý thuyết sai số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI Giáo trình LÝ THUYẾT SAI SỐ v3 Những người biên soạn: PGS TS Đặng Nam Chinh (Chủ biên) TS Nguyễn Xuân Bắc TS Bùi Thị Hồng Thắm Th sĩ Trần Thị Thu Trang Th sĩ Ninh Thị Kim Anh Hà Nội, tháng 11 năm 2015 MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu Chương LÝ THUYẾT SAI SỐ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 Lịch sử phát triển vai trị mơn học Sai số đo phân loại sai số đo Các đặc tính sai số ngẫu nhiên 14 Các tiêu chuẩn đánh giá độ xác 18 Sai số trung phương hàm đại lượng đo 29 Nguyên tắc ảnh hưởng 38 Trọng số 40 Nguyên lý bình phương nhỏ 48 Trị trung bình đánh giá độ xác dãy trị đo đại lượng 55 Đánh giá độ xác dãy trị đo kép 61 Đánh giá độ xác kết đo dựa vào sai số khép 67 Sai số làm trịn số sai số tính tốn 71 Bài tập chương 82 Chương BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN 2.1 Cơ sở lý thuyết bình sai điều kiện 84 2.2 Các dạng phương trình điều kiện 91 2.3 Giải hệ phương trình chuẩn sơ đồ Gauss 113 2.4 Đánh giá độ xác bình sai điều kiện 122 2.5 Các bước toán bình sai điều kiện 130 2.6 Bài tập chương 141 Chương BÌNH SAI GIÁN TIẾP 3.1 Cơ sở lý thuyết bình sai gián tiếp .145 3.2 Các dạng phương trình số hiệu chỉnh 151 3.3 Một số phương pháp nghịch đảo ma trận hệ số phương trình chuẩn 164 3.4 Đánh giá độ xác bình sai gián tiếp .173 3.5 Các bước tốn bình sai gián tiếp .182 3.6 Bài tập chương 203 Phụ lục: Bảng giá trị hàm tích phân xác suất 208 Tài liệu tham khảo 209 Mở đầu Từ xa xưa người thực phép đo để xác định khoảng cách, xác định diện tích đất đai quan sát thiên thể thiên văn đo lường vv Liên quan đến giá trị đo đó, khái niệm sai số đo hình thành sớm Tuy nhiên, kỷ XVIII, mơn học lý thuyết sai số hồn chỉnh P S Laplace C F Gauss xây dựng dựa sở lý thuyết xác suấtthống kê Ngược lại, mơn lý thuyết sai số góp phần hồn thiện mơn học lý thuyết xác suất Cùng với tiến trình phát triển lĩnh vực trắc địa đồ, lý thuyết sai số ln đóng vai trị mơn học sở, có vị trí quan trọng mô tả, đánh giá chất lượng đo xử lý kết đo Vì vậy, mơn học không ngừng phát triển phương diện lý thuyết phương pháp tính tốn Giá trị đo đại lượng vật lý độ xác lý tưởng, tức khơng có sai số, hay nói cách khác, với trị đo kèm theo sai số tương ứng Thực tế cho thấy, với trị đo hay tập hợp hữu hạn trị đo, nhận trị thực (giá trị lý thuyết) đại lượng đo Nghiên cứu nguyên nhân loại sai số đo đạc, tính chất chúng phương pháp xử lý trị đo nội dung môn học lý thuyết sai số Nắm vững lý thuyết sai số, người làm công tác đo đạc ngoại nghiệp thực tốt thao tác đo, sử dụng tốt dụng cụ hay máy móc đo, áp dụng quy trình đo phù hợp để nhận số liệu đo tốt điều kiện đo cụ thể Với kiến thức lý thuyết sai số, người làm công tác xử lý số liệu làm tốt nhiệm vụ phân loại, đánh giá, mô tả số liệu đo áp dụng thuật toán phù hợp để xử lý số liệu đo nhằm nhận kết với độ tin cậy cao với thơng tin chuẩn xác độ xác độ tin cậy kết sau xử lý Trong chương trình khung ngành kỹ thuật trắc địa đồ (xây dựng năm 2007), môn học lý thuyết sai số môn bắt buộc, môn học sở ngành Môn học có đề cương chi tiết Hội đồng xây dựng chương trình khung thơng qua để sử dụng chung cho sở đào tạo ngành kỹ thuật trắc địa - đồ nước Để người học tiếp thu tốt nội dung môn học lý thuyết sai số, trước học môn học này, sinh viên cần có kiến thức đo đạc đại cương (trắc địa phổ thông), trang bị số kiến thức mơn xác suất thống kê phương pháp tính Đây điểm lưu ý xếp lịch trình giảng dạy danh mục môn học điều kiện tiên môn lý thuyết sai số Cuốn giáo trình biên soạn dựa đề cương chi tiết mơn học Chương trình khung, có tham khảo số tài liệu giáo khoa ngồi nước mơn học này, đồng thời bổ sung thêm nội dung từ kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm số tác giả tham gia biên soạn giáo trình Để tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên lần tiếp xúc với môn học Lý thuyết sai số bước đầu làm quen với số khái niệm mới, người biên soạn giáo trình cố gắng trình bày nội dung cách rõ ràng, bảo đảm tính logic cách tiếp cận vấn đề Hầu hết nội dung lý thuyết chương mục làm sáng tỏ qua ví dụ cụ thể Trong nội dung giáo trình có sử dụng số ví dụ trình bày tài liệu tham khảo dẫn danh mục Giáo trình Lý thuyết sai số nhiều tác giả tham gia biên soạn PGS TS Đặng Nam Chinh TS Nguyễn Xuân Bắc biên soạn chương 1, thạc sĩ Trần Thị Thu Trang thạc sĩ Ninh Thị Kim Anh biên soạn chương 2, TS Bùi Thị Hồng Thắm biên soạn chương PGS TS Đặng Nam Chinh chủ biên rà sốt chỉnh sửa lại tồn nội dung giáo trình Các tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Phan Văn Hiến, TS Nguyễn Đình Thành PGS TS Nguyễn Quang Minh đọc góp nhiều ý kiến quý báu cho nội dung hình thức giáo trình Do trình độ có hạn, tài liệu chắn cịn nhiều khiếm khuyết, mong bạn đọc góp ý để chúng tơi có thêm kinh nghiệm nhằm hồn chỉnh tài liệu vào lần tái Chúng xin trân trọng cảm ơn bạn đọc Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Các tác giả Chương LÝ THUYẾT SAI SỐ Trong chương 1, trình bày vấn đề lý thuyết sai số đo, gồm khái niệm sai số đo, phân loại sai số đo đặc tính chúng Nội dung tiếp theo, giới thiệu trọng số trị đo trọng số hàm trị đo, nguyên tắc đánh giá độ xác kết đo dựa dãy số liệu đo, bao gồm luật truyền sai số nguyên lý bình phương nhỏ Đây nội dung để từ người học tiếp thu kiến thức chuyên sâu hơn, trình bày chương chương giáo trình mơn học Xử lý số liệu trắc địa chương trình đào tạo Như biết, sai số đo vốn bao hàm khái niệm rộng cho lĩnh vực khoa học thực nghiệm, sử dụng kết phép đo lường số liệu quan trắc, giáo trình viết cho mơn học sở ngành kỹ thuật trắc địa-bản đồ, kiến thức ví dụ chương chủ yếu đề cập đến sai số trắc địa-bản đồ mà không đề cập đến sai số phép đo khác đo lường điện, đo lường nhiệt hay phép đo chuyên biệt thí nghiệm hóa học hay vật lý vv 1.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN VÀ VAI TRÒ CỦA MƠN HỌC Lý thuyết sai số mơn khoa học có mục tiêu xác định giá trị tin cậy kết đo khoa học thực nghiệm Như thấy rằng, mơn học không cần thiết cho lĩnh vực đo đạc (trắc địa) mà cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học khác có sử dụng hay liên quan đến số liệu quan trắc, đo lường vv Môn học có liên quan mật thiết với phương pháp thống kê lý thuyết xác suất Xét lịch sử phát triển khoa học kỹ thuật nhân loại, thiên văn học đo đạc đất đai lĩnh vực khoa học có lịch sử hình thành phát triển lâu đời Từ yêu cầu thực tiễn lĩnh vực khoa học sớm hình thành nên môn học lý thuyết sai số phát triển dựa lý thuyết xác suất, ngược lại, lý thuyết sai số góp phần hồn thiện lý thuyết xác suất [14,15,16] Như vậy, môn học lý thuyết sai số hình thành gắn liền với lĩnh vực trắc địa Có thể thấy rằng, xuất phát từ đặc tính ảnh hưởng sai số ngẫu nhiên sai số hệ thống đến kết quan trắc, hình thành nên nhiệm vụ phương pháp sở xử lý số liệu quan trắc mô tả chúng nhiệm vụ riêng biệt Người ta cho rằng, mơn học lý thuyết sai số hình thành từ kỷ XVIII, xem xét lịch sử hình thành phát triển với lý thuyết xác suất mơn học hình thành sớm Có thể chia thành giai đoạn phát triển mơn học sau: Giai đoạn thứ nhất, tính thừ thời Claudius Ptolemaeus (khoảng năm 90-168 sau Cơng ngun), nhà tốn học, thiên văn học, chiêm tinh học người Ai cập (sau La mã) thực quan trắc thiên thể để tính tốn quy luật chuyển động số thiên thể dựa mơ hình chuyển động thiên thể Hypparchus (khoảng năm 190-120 trước Công nguyên) xây dựng trước Ptolemaeus coi người sử dụng phương pháp số học để tính tốn tượng biến đổi thiên văn Nhờ nghiên cứu Ptolemaeus, từ thời giờ, người tính tốn vị trí khứ tương lai thiên thể mà người quan sát Giai đoạn thứ kéo dài nhiều kỷ thời kỳ Tycho Brahe (1546-1601) nhà thiên văn học người Đan Mạch, bắt đầu giai đoạn mới, sử dụng phương pháp quan trắc thiên thể tính tốn lập lịch có tiến đáng kể Trong giai đoạn thứ hai, hầu hết quan trắc, đo đạc thực dựa vào đơn vị đo lường riêng quốc gia, đáp ứng cho yêu cầu riêng quốc gia đó, theo việc xử lý chúng giữ nguyên chủ quan mà trường hợp tốt không bảo đảm độ tin cậy đầy đủ Giai đoạn thứ ba bắt đầu với phương pháp xử lý số liệu quan trắc có xét tới độ tin cậy đặc tính thống kê kết cuối đặc tính đó, sau biết đến cách rộng rãi Giai đoạn thời kỳ R J Boskovich (1711-1787) số nhà khoa học trước Trong nửa cuối kỷ XVIII, người ta nói tới khái niệm phân bố xác suất, sở sử dụng kết tính trung bình số học, ngun lý xác xuất cực đại đề cập tới vấn đề đánh giá độ xác Như vậy, nói, mơn học lý thuyết sai số hình thành từ giai đoạn này, bắt đầu đề cập tới vấn đề bình sai đại lượng đo gián tiếp dựa nguyên lý số bình phương nhỏ Giai đoạn thứ tư tính từ P S Laplace (1749-1827) C F Gauss (1777-1855) xây dựng nên sở môn học lý thuyết sai số kinh điển từ cuối kỷ XVIII Những ứng dụng sớm nguyên lý bình phương nhỏ sử dụng vào bình sai kết quan sát thiên văn [13] Phương pháp bình phương nhỏ sau Hình 1.1 C F Gauss tiếp tục hồn thiện F R Helmert (1843-1917) Lý thuyết sai số nguyên lý bình phương nhỏ trở thành vấn đề mang tính phương pháp luận, dùng để giải nhiều tốn thực nghiệm có tính khái qt sử dụng ngày Có thể thấy rằng, P S Laplace C.F Gauss người xây dựng sở cho phương pháp số bình phương nhỏ nhất, coi công cụ thực hành quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học thực nghiệm Tuy nhiên, vào kỷ XVIII XIX, hạn chế phương pháp tính tốn theo ngun lý bình phương nhỏ phương tiện tính tốn với số lượng lớn trị quan trắc Sang kỷ XX đặc biệt nửa sau kỷ XX, nhờ phát triển kỹ thuật tính tốn máy tính điện tử, phương pháp xử lý số liệu quan trắc theo nguyên lý bình phương nhỏ giải nhanh mang lại hiệu cao Như nói, nay, mơn học lý thuyết sai số hoàn thiện mặt lý thuyết phương diện phương pháp tính Dựa sở nguyên lý bình phương nhỏ nhất, nhiều thuật tốn xử lý số liệu sử dụng mơ hình ngẫu nhiên phát triển thuật toán lọc (Kalman, lọc hạt ) dự báo, làm trơn, ước lượng, nội suy vv Những người làm công tác đo lường lĩnh vực khoa học thực nghiệm nói chung cơng tác trắc địa nói riêng, nắm vững nội dung môn lý thuyết sai số, có kiến thức để khai thác sử dụng tốt thiết bị, máy móc đo, biết áp dụng phương pháp đo phù hợp nhằm giảm thiểu sai số kết đo Mơn học cịn cung cấp cho người học phương pháp xử lý dãy số liệu đo để nhận kết tin cậy tiến hành đánh giá sai số kết đo độ xác kết sau xử lý Giáo trình cung cấp cho người học sở lý thuyết phương pháp tính tốn xử lý tập hợp kết đo theo nguyên lý bình phương nhỏ Đây phương pháp sử dụng để xử lý số liệu đo để nhận kết tin cậy có trị đo thừa Trong tính tốn xử lý số liệu đo, làm báo cáo hay lưu trữ kết đo, người làm cơng tác tính tốn cần nắm vững nguyến tắc làm tròn số ảnh hưởng đến kết tính tốn Việc làm trịn số cách tùy tiện gây sai số lớn kết tính tốn ngược lại có số chứa nhiều chữ số không chắn, không cần thiết kết Môn học lý thuyết sai số cung cấp cho người học số kiến thức sai số làm trịn sai số tính tốn Trong thực tiễn cơng tác tính tốn bình sai mạng lưới trắc địa nay, người ta thường sử dụng phương pháp bình sai gián tiếp mà khơng sử dụng phương pháp bình sai điều kiện phương pháp bình sai gián tiếp thuận tiện cho tính tốn máy tính điện tử Tuy vậy, giáo trình giới thiệu trình bày phương pháp bình sai điều kiện Đây khơng vấn đề lịch sử tính tốn bình sai mà để cung cấp cho người học hiểu rõ tác dụng trị đo thừa vai trò sai số khép phương trình điều kiện việc kiểm tra đánh giá độ xác kết đo 1.2 SAI SỐ ĐO VÀ PHÂN LOẠI SAI SỐ ĐO 1.2.1 Giá trị đo nguyên nhân gây sai số đo Khi nhận thức vật để phân biệt lượng với vật khác người ta thường phải kiểm đếm đo đạc Kiểm đếm q trình đơn giản nhận trị tuyệt đối, đo đạc lại q trình phức tạp liên quan đến đơn vị đo, dụng cụ hay máy đo, điều kiện đo người thực phép đo vv Người ta định nghĩa trị đo sau: Giá trị số đại lượng xác định phép đo gọi giá trị đo [1] Kết đo người đo đọc trực tiếp thang đo hiển thị hình máy đo lưu vào nhớ máy đo tệp (file) có định dạng riêng (đối với máy đo công nghệ số) Do nhiều nguyên nhân ảnh hưởng đến kết đo, giá trị đo nhận giá trị gần với trị thực đại lượng đo, khác biệt trị thực với trị đo sai số đo (nói xác sai số thực) Trong trường hợp tiến hành đo lặp lại (với điều kiện đo), nhận trị đo khác có giá trị không trùng với giá trị đo trước Đó tính bất định (Uncertainty) giá trị đo Như kết luận rằng, sai số đo thuộc tính tất yếu giá trị đo Có thể kể số nguyên nhân gây nên sai số đo người đo, máy móc, dụng cụ đo, phương pháp đo điều kiện ngoại cảnh đo Dựa vào cách thức tiến hành để nhận kết đo, người ta phân biệt đo trực tiếp đo gián tiếp Đo trực tiếp so sánh trực tiếp đại lượng cần đo với đại lượng dùng làm đơn vị đo thực dụng cụ đo máy đo để nhận giá trị đo đại lượng Ví dụ đo nhiệt độ nhiệt kế; đo độ ẩm ẩm kế; đo khoảng cách thước thép đo góc máy kinh vĩ vv Đo gián tiếp xác định đại lượng hay yếu tố thơng qua hàm giá trị đo trực tiếp đại lượng khác Ví dụ xác định diện tích hay thể tích thơng qua trị đo kích thước vật thể; xác định vận tốc âm (v) môi trường nước thông qua giá trị nhiệt độ (t), áp suất (p) độ muối (s) nước; xác định gia số tọa độ vng góc khơng gian thông qua trị đo pha trị đo khoảng cách giả công nghệ GNSS vv Trong lĩnh vực đo ảnh (Photogrammetry), thay đo trực tiếp đối tượng cần đo, người ta tiến hành chụp ảnh đối tượng thực phép đo ảnh Cũng coi dạng đo gián tiếp hình thành nên lĩnh vực khoa học đo ảnh xử lý ảnh Dựa vào điều kiện đo ta phân biệt đo độ xác đo khơng độ xác Phép đo thực điều kiện đo như: người đo; dụng cụ hay máy đo; phương pháp đo tiến hành điều kiện ngoại cảnh; độ tin cậy kết đo giá trị đo coi độ xác Ngược lại, giá trị đo nhận điều kiện đo khác nhau, độ tin cậy kết đo khác nhau, ta gọi chúng trị đo không độ xác Đặc trưng cho độ xác đại lượng đo phương sai trị đo sai số trung phương Dựa vào đặc tính phụ thuộc không phụ thuộc đại lượng đo ta phân biệt trị đo khơng độc lập trị đo độc lập Giữa trị đo không tồn phụ thuộc chúng gọi trị đo độc lập Trường hợp ngược lại gọi trị đo không độc lập trị đo tương quan, đơi cịn gọi trị đo phụ thuộc Mức độ phụ thuộc trị đo biểu thị qua hiệp phương sai hệ số tương quan Ví dụ: Hai góc ngang kề có chung hướng đo tính từ hướng đo độc lập, chất trị đo phụ thuộc Tuy số trường hợp, người ta coi góc đo lưới tam giác trị đo độc lập với nhau, thực chất bỏ qua mối tương quan chúng Các gia số tọa độ vng góc khơng gian X ,Y ,Z cặp điểm xác định định vị GPS tương đối vừa trị đo gián tiếp vừa trị đo không độc lập Một đặc điểm công tác đo đạc tiến hành đo thừa, trường hợp cần xác định đại lượng người ta thường tiến hành đo nhiều lần (n lần) để nhận nhiều trị đo đại lượng Trong trường hợp có trị đo cần thiết số trị đo thừa n-1 Trị trung bình số học n lần đo trị xác suất kết đo Khi đo góc hình tam giác lưới tam giác, số lượng góc đo cần thiết hình tam giác hai, thông thường người ta đo ba góc để có trị đo thừa Như trị đo tồn sai số ngẫu nhiên phép đo ngồi cịn chứa thêm sai số hệ thống có sai số nhầm lẫn trình đo (gọi sai lầm, hay sai số thơ) Sau xem xét số nguyên nhân gây nên sai số đo Sai số người đo Trong đo đạc, người đo gây sai số đo sai số ngắm chuẩn bắt mục tiêu đo góc Sai số chập vạch đo cực nhỏ sai số ước đọc trên thang chia vạch.hoặc mia, sai số người đo dựng mia không thẳng đứng, sai số dọi điểm, cân máy, sai số đo chiều cao anten máy thu GNSS vv Độ lớn sai số phụ thuộc vào thân người đo Trên hình 1.2 thể trường hợp đo kích thước đối tượng thước chia vạch, thấy Hình 1.2 Hiệu ứng thị sai mắt hiệu ứng thị sai mắt người đo mà người đo gây nên sai số kết đo Kích thước vật đo r1, thị sai nên nhận kết đo r2 Người đo gây sai số lớn bắt nhầm mục tiêu đo góc nhầm lẫn đọc số (đọc lộn số) mia thước, người ghi sổ ghi nhầm số vào sổ đo Sai số loại gọi sai số thô (Gross Errors) sai lầm (Blunders) Hiện nay, với thiết bị đo đạc điện tử sử dụng công nghệ số, kết đo hiển thị hình ghi vào thẻ nhớ sau chuyển sang máy tính để xử lý, sai số người đo giảm thiểu đáng kể Tuy nhiên khơng thể loại bỏ hồn tồn sai số người đo máy móc hay dụng cụ đo cần đến thao tác người Sai số máy móc, dụng cụ đo Khi đo đạc, người ta phải sử dụng máy đo dụng cụ đo Máy đo hay dụng cụ đo cho dù chế tạo tinh xảo đến đâu khơng thể đạt mức hồn hảo tuyệt đối Những sai số chế tạo máy móc, thiết bị trình sử dụng, ảnh hưởng trực tiếp đến kết đo Sự không chuẩn xác hệ trục máy kinh vĩ ảnh hưởng đến kết đo góc, khoảng chia vạch thước thép mia khơng xác dẫn đến sai số đo chiều dài đo chênh cao Trục ống thủy dài máy thủy bình khơng song song với trục quang học ống ngắm gây sai số đo hiệu độ cao, tâm pha anten máy thu GNSS khơng trùng với tâm hình học máy gây sai số lệch tâm pha anten kết đo GNSS vv Các sai số máy móc, dụng cụ đo ảnh hưởng đến kết đo thường mang tính hệ thống, tức ảnh hưởng theo quy luật Để khắc phục ảnh 10 v4   dH R v5   dH Q  l4  dH R  l5 Số hạng tự tính sau: l1  H 0P  h1  H A  (mm) l  H 0Q  h  H 0P  (mm) l3  H 0R  h  H 0P  3 (mm) l  H 0R  h  H A  (mm) l5  H 0R  h  H 0Q  2 (mm) Lấy 30 trạm để tính trọng số đơn vị, trọng số đọan đo tính theo cơng thức: 30 pi  ni Như vậy, ta có bảng hệ số phương trình số hiệu chỉnh đoạn đo sau: li Số hiệu chỉnh pi dH P dH Q dH R v1 +1 0 v2 -1 +1 0 v3 -1 +1 -3 -3 v4 1,5 0 +1 v5 1,2 -1 +1 +2 +2 si (mm) * Lập hàm trọng số đánh giá độ xác chênh cao h sau bình sai F  h '2  H Q  H P Suy ra: f T  [ 1 0] * Viết hệ phương trình chuẩn Bảng hệ số hệ phương trình chuẩn [pa [pb [pc a] b] c] l] s] fi Si' -1 -3 11 -1 2,2 -1,2 -2,4 -2,4 1 5,7 -6,6 -5,1 1,5 196 Hệ phương trình chuẩn viết dạng:  6dH P  dH Q  3dH R      dH P  2.2dH Q  1.2dH R  2.4   3dH  1.2dH  5.7dH R  6.6  P Q  Giải hệ phương trình chuẩn * Giải hệ phương trình chuẩn sơ đồ Gauss c K.hiệu a b -e -e -e l s dHP dHQ dH R dòng Qy Qz Qx f S' -1 -3 11 0 -1 -1 0.167 0.5 -1.5 1.833 0.167 0 0.167 -0.167 b 2.2 -1.2 -2.4 -2.4 1 E1b.a 0.167 -0.5 1.5 1.833 0.167 0 -0.167 0.167 2.033 -1.7 -0.9 0.567 0.167 0.833 1.167 -1 0.836 0.443 0.279 0.082 0.492 -0.410 -0.574 c 5.7 -6.6 -5.1 0 1.5 E1c.a -1.5 4.5 5.5 0.5 0 -0.5 0.5 E2c.(b 1) 1.421 0.752 0.474 0.139 0.836 0.696 0.976 2.779 2.852 0.074 0.639 0.836 0.196 2.976 -1 1.027 0.027 0.230 0.301 0.360 -0.071 -1.071 0.330 0.744 0.360 a E1 b.1 E2 c.2 E3 0.770 1.301 1.027 [pll] = 31.8 [psl] = 31.8 -13.5 -16.5 -0.167 0.167 0.399 0.251 -0.342 -0.478 197 2.927 0.075 -0.014 -0.212 14.97 14.97 0.523 0.523 Q FF Q FF [ pvv ] [ pvv ] * Giải hệ phương trình chuẩn sơ đồ khai dH P dH Q dH R [.l] Q1 j Q2 j Q3 j fj j -1 -3 0 -1 11 2.2 -1.2 -2.4 1 -0.4 6.6 0 -4.1 2.4495 -0.770 0.4082 1.2247 3.6742 0.4082 0 0.4082 4.4907 1.4260 1.1921 0.6313 0.1168 0.7013 0.5844 1.0050 1.6670 1.7113 0.3834 0.5015 0.5999 0.1180 1.5584 1.027 16.827 0.3273 0.7433 0.3599 0.523 31.8 Q11 Q 22 Q 33 Q FF 1.301 14.97 [ pvv ] * Giải hệ phương trình chuẩn theo phương pháp tính ma trận nghịch đảo: Hệ phương trình chuẩn viết dạng ma trận: A T PAX  A T PL  đó: 1   1 A    0   1 0 2   0 0 1 ; P  0   1 0   1 0 X T  dH P 0 0 0 0 dH Q 0  0 0  1.5   1.2 dH R  LT  0   2 198 Do vậy, 1 3  6       T N  A PA    2.2  1.2 ; M  A PL   2.4   1.2 5.7    6.6     T 0.327433628 0.274336 0.230088   N 1  0.274336283 0.743363 0.300885 0.230088496 0.300885 0.359882   X T   0.770 1.027 1.301 * Tính trị sau bình sai - Giá trị trị đo sau bình sai: Chênh cao Giá trị trị đo (m) Số hiệu chỉnh vi (mm) Trị bình sai hi’ (m) h1 +1.935 -0.8 1.934 h2 +5.351 2.1 5.353 h3 +2.921 -1.2 2.920 h4 +4.853 1.0 4.854 1.7 -2.433 h5 -2,435 - Giá trị ẩn số sau bình sai: Tên điểm Trị gần (m) Số hiệu chỉnh (mm) Trị bình sai (m) P 13.935 -0.770 13.934 Q 19.286 1.301 19.287 R 16.853 1.027 16.854 * Đánh giá độ xác - Sai số trung phương trọng số đơn vị:  [ pvv ] 14.97   2.7 (mm/30 trạm) nt * Sai số trung phương ẩn số sau bình sai: m dHP   Q x  2.7 0,3274  1,5 (mm) 199 m dHQ   Q y  2.7 0,3274  1,5 (mm) m dHR   Q z  2.7 0,3599  1,6 (mm) * Sai số trung phương chênh cao h sau bình sai: mh'    QFF  2.7 ,523  2 (mm) Bài tập 4: Cho lưới độ cao hình 3.30, A B hai điểm gốc Hãy bình sai lưới độ cao đánh giá độ xác độ cao điểm R1, R2 R3 sau bình sai Hình 3.30 Sơ đồ lưới độ cao Số liệu gốc: Tên điểm Độ cao (m) A 15.435 B 9.048 Số liệu đo: Chênh cao Giá trị chênh cao đo (m) Chiều dài Giá trị chiều dài (km) h1 -4.997 L1 1.0 h2 -2.930 L2 1.5 h3 +2.042 L3 2.5 h4 -1.391 L4 1.5 h5 +6.360 L5 2.0 h6 +4.315 L6 1.0 h7 +7.752 L7 0.5 Bài giải * Số lượng ẩn số : t = 200 * Số lượng phương trình số hiệu chỉnh lưới: n = Các ẩn số cần tìm độ cao bình sai điểm R1, R2 R3, ký hiệu HR1, HR2 HR3 Trong ví dụ khơng cần tính độ cao gần điểm Theo (3.2.39) tính hệ số phương trình số hiệu chỉnh theo (3.2.40) ta tính số hạng tự phương trình số hiệu chỉnh sau: l1   h1  H A  10 ,348 m l   h2  H A  12 ,505 m l   h3  2 ,042 m l4  H B  h4  10 ,439 m l   h5  6 ,360 m l6  h6  4 ,315 m l7   h7  H B  16 ,800 m Theo cách tính này, khơng tính độ cao gần điểm giá trị tuyệt đối số hạng tự li phương trình số hiệu chỉnh lớn Trọng số đoạn đo tính theo cơng thức: pi  với Li chiều dài đoạn đo tính đơn vị km Li Như ta có bảng hệ số số hạng tự phương trình số hiệu chỉnh: Số hiệu chỉnh HR1 HR2 HR3 li Pi=1/Li v1 +1 0 -10,438 1,0 v2 +1 -12,505 0,666667 v3 -1 +1 -2,042 0,4 v4 -1 0 10,439 0,666667 v5 -1 +1 -6,360 0,5 v6 -1 +1 -4,315 v7 0 +1 -16,800 Hệ phương trình số hiệu chỉnh viết dạng ma trận: V = A.X + L đó: 201 V T  [ v1 v v v v v v ] Véc tơ số hiệu chỉnh: Ma trận hệ số phương trình số hiệu chỉnh A, véc tơ số hạng tự L véc tơ ẩn số X: 1  0   A     0   Ma trận trọng số P: 0  0 0  0 ;  1  1  1  10,438   12,505     2,042    L   10,439  ;   6,360      4,315    16,800   0 0 1  0 0 0.666667 0 0.4 0  P  0 0 0.666667  0 0.5 0 0 0 0  0 0 0  H R1  X  H R   H R  0  0 0  0  0 0  2 * Lập giải hệ phương trình chuẩn Hệ phương trình chuẩn viết dạng ma trận: A T PAX  A T PL  đó: - 0.4 - 0.5 2.566667  - 13,40053    T N  A PA   - 0.4 2.066667 -  ; M  A PL   - 4,83847   - 0.5 - 41,09500 -1 3.5  T Tính ma trận nghịch đảo ma trận hệ số phương trình chuẩn: 0.429227 0.130834 0.0986993   Q  N 1  0.130834 0.601377 0.1905126 0.098699 0.190513 0.3542464   - Từ tính nghiệm X hệ phương trình chuẩn: 202 10,441 X   N M  12,492 16,802 1 - Như độ cao sau bình sai điểm là: H R  10 ,441 m H R  12 ,492 m H R  16 ,802 m - Thay X vào hệ phương trình số hiệu chỉnh, tính véc tơ số hiệu chỉnh V: V T  [ 0.003 0.013 0.009  0.002 0.001  0.005 0.002 ] - Giá trị chênh cao sau bình sai tính: Chênh cao Giá trị chênh cao (m) Số hiệu chỉnh (m) Chênh cao sau bình sai (m) h1 -4.997 0.003 -4.994 h2 -2.930 -0.013 -2.943 h3 +2.042 0.009 2.051 h4 -1.391 -0.002 -1.393 h5 +6.360 0.001 6.361 h6 +4.315 -0.005 4.310 0.002 7.754 h7 +7.752 * Đánh giá độ xác - Sai số trung phương trọng số đơn vị:  [ pvv ] ,000190133   0 ,0069 m/km nt 3 - Sai số độ cao điểm R1, R2 R3 sau bình sai: m H R    Q11  0 ,0069 ,4292  0 ,0045 m m H R    Q22  0 ,0069 ,6014  0 ,0053 m m H R    Q33  0 ,0069 ,3542  0 ,0041 m 3.6 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập Cho lưới độ cao hình 3.31, A B hai điểm biết độ cao Hãy lập ma trận hệ số phương trình chuẩn lưới độ cao lập hàm trọng số đánh giá độ 203 xác chênh cao h7 h6 sau bình sai Giả sử sai số đo cao 5 mm/km Chiều dài (L) đoạn đo cho bảng sau: TT Ký hiệu L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 Chiều dài L (km) 2.65 2.19 1.95 2.06 2.33 1.80 1.68 1.30 1.20 Hình 3.31 Bài tập Cho lưới độ cao hình 3.32, A B hai điểm biết độ cao Hãy bình sai lưới độ cao theo phương pháp bình sai gián tiếp đánh giá độ xác chênh cao hai điểm R Q sau bình sai Hình 3.32 204 Số liệu gốc: Tên điểm A Độ cao (m) 10.600 B 10.980 Số liệu đo: Chênh cao Giá trị chênh cao (m) Chiều dài Giá trị chiều dài (km) h1 +0.572 L1 0.85 h2 h3 +0.125 +1.164 L2 L3 1.10 0.90 h4 h5 +1.028 +0.189 L4 L5 1.50 1.20 h6 +0.851 L6 1.25 h7 -0.950 L7 1.30 Bài tập Cho lưới độ cao hình 3.33 Hãy bình sai lưới độ cao cho đánh giá độ xác hiệu chênh cao h2 sau bình sai Hình 3.33 Số liệu gốc: Tên điểm Độ cao (m) A 15.329 B 16.050 Số liệu đo: Chênh cao Giá trị chênh cao (m) Chiều dài 205 Giá trị chiều dài (km) h1 + 2.126 L1 1.3 h2 - 3.621 L2 0.8 h3 - 2.219 L3 1.5 h4 - 1.408 L4 1.0 Bài tập Cho lưới mặt hình 3.34, A, B C điểm khởi tính Hãy lập ma trận hệ số phương trình chuẩn lập hàm trọng số đánh giá độ xác chiều dài cạnh PQ, cho biết góc lưới đo với sai số trung m  1,5" Tọa độ điểm A, B, C tọa độ gần điểm P, Q, R cho bảng sau: Bảng tọa độ điểm lưới: TT Điểm X(m) A 2279461.533 B 2283584.265 C 2271754.284 P 2278443.000 Q 2277856.000 R 2273240.000 Hình 3.34 206 Y(m) 547813.056 537969.352 537565.128 540150.000 533021.000 545030.000 Bài tập Cho lưới mặt hình 3.35 A, B C điểm biết tọa độ Hãy bình sai lưới đánh giá độ xác chiều dài cạnh QP sau bình sai Số liệu gốc: Tên điểm X (m) Y (m) A 2250132.052 557905.615 B 2251807.057 559012.456 C 2248581.032 558791.162 B A 10 C P Q 11 Hình 3.35 Số liệu đo: Số hiệu góc Giá trị góc đo (o ’ ”) 51 39 51.32 40 32 34.58 47 30 32.12 28 46 00.68 84 04 04.11 67 09 54.35 40 17 01.84 27 58 03.62 64 14 20.90 10 52 55 20.94 11 34 52 17.90 207 PHỤ LỤC t2 t 2 BẢNG GIÁ TRỊ HÀM TÍCH PHÂN XÁC SUẤT :  ( t )   e dt 2 t ( t ) t (t ) t (t ) t 0,00 0,05 0,0000 0,0399 0,95 1,00 0,6579 0,6827 1,90 1,95 0,9426 0,9488 2,85 2,90 0,9956 0,9963 0,10 0,0797 1,05 0,7063 2,00 0,9545 2,95 0,9968 0,15 0,20 0,1192 0,1585 1,10 1,15 0,7287 0,7499 2,05 2,10 0,9596 0,9643 3,00 3,1 0,9973 0,99806 0,25 0,30 0,1974 0,2358 1,20 1,25 0,7699 0,7887 2,15 2,20 0,9684 0,9722 3,2 3.3 0,99862 0,99904 0,35 0,2737 1,30 0,8064 2,25 0,9756 3,4 0,99932 0,40 0,45 0,3108 0,3473 1,35 1,40 0,8230 0,8385 2,30 2,35 0,9786 0,9812 3,5 3,6 0,99954 0,99968 0,50 0,55 0,3829 0,4177 1,45 1,50 0,8529 0,8664 2,40 2,45 0,9836 0,9857 3,7 3,8 0,99978 0,99986 0,60 0,4515 1,55 0,8798 2,50 0,9876 3,9 0,99990 0,65 0,70 0,4843 0,5161 1,60 1,65 0,8904 0,9011 2,55 2,60 0,9892 0,9907 4,0 4,5 0,999936 0,999994 0,75 0,80 0,85 0,90 0,5467 0,5763 0,6048 0,6319 1,70 1,75 1,80 1,85 0,9109 0,9199 0,9281 0,9357 2,65 2,70 2,75 2,80 0,9920 0,9931 0,9940 0,9949 5,0 0,9999994 208 (t ) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan văn Hiến, Vy Trường, Trương Quang Hiếu Lý thuyết sai số phương pháp số bình phương nhỏ Bộ Đại học Trung học chuyên nghiệp, Trường Đại học Mỏ- Địa chất Hà Nội-(1985) [2] Phan Văn Hiến; Đặng Quang Thịnh Cơ sở bình sai trắc địa Nhà xuất Nơng nghiệp TP, Hồ CHí Minh (2009) [3] Hồng Ngọc Hà; Trương Quang Hiếu Cơ sở toán học xử lý số liệu trắc địa Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà Nội –(2003) [4] Trần Bảo (chủ biên), Trần Quang Uy Cơ sở đo lường học Nhà xuất Giáo dục Việt Nam (2009) [5] Đặng Nam Chinh, Đỗ Ngọc Đường Định vị vệ tinh Nhà xuất khoa học kỹ thuật (1012) [6] Dương Ngọc Hảo Giáo trình Xác suất thống kê Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh (2011) [7] Đào Xuân Lộc Cơ sở lý thuyết xử lý số liệu đo đạc Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2007) [8] Ngơ Phúc Hưng, Đặng Hùng Võ Lý thuyết bình sai lưới tam giác Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nôi, (1978) [9] Harald Cramer Phương pháp toán học thống kê, Nhà xuất khoa học, Hà Nội, (1969) [10] Tạ Văn Đĩnh Phương pháp tính Nhà xuất Giáo dục Việt Nam (Tái lần thứ 15, 2009) [11] J Beluch, Dang Nam Chinh Ocena dokladnosci pomiarow katowych i dlugosciowych w osnowach geodezyjnych utworzonych z czworobokow Geodezja, Zeszyty Naukowe Nr 108, AGH, 1991 [12] V.D Bolsakov, IU.I Markuze Practikum po Teorii Matematikoi Obrabotki Geodezitreskich Izmerenhi Mockva ”Nhedra”-1984 [13] Istoria Teorii Oshibok 2007 [14] Charles D Ghilani, Ph.D Adjustment Computations-Spatial Data Analysis (Fourth Edition) Wiley, John Wiley & Sons, Inc.(2006) [15] Sante R Scuro Introduction to Error theory Visual Physics Laboratory, Texas A&M University, College Station, TX 77843 April-2004 [16] M Reichenbacher and J W Einax Challenges in Analytical Quality Assurance DOI 10.1007/978-3-642-16595-5_2 Springer Berlin Heidelberg 2011 [17] G Bomford Geodesy (Third Edition) Oxford (1971) 209 [18] Jozef Beluch Cwiczenia z Geodẹzji (I) AGH – Krakow 2007 [19] Josef Bohm, Vladimir Radouch Vyrovnavaci Pocet Ceske vysoke uceni technicke v Praze CVUT, Praha, 1974 [20] Martin Salzmann Least squares Filtering and Testing for Geodetic Navigation Applications U Deft- NetherLands, ISBN 9061322456 (1993) [21] Wlodzimierz Baran Teoretyczne podstawy opracowania wynikow pomiarow geodezyjnych Panstwowe Wydawnictwo Naukowe,Warszawa 1983 [22] Nico Sneeuw, Friedhelm Krumm Adjustment Theory Geodatisches Institut Universitat Stuttgart (Lecture Notes-2010) 210 ... sai số đo Có thể phân loại sai số đo thành ba thành phần là: sai số ngẫu nhiên, sai số hệ thống sai lầm (hay sai số thô) Tuy có số tài liệu, xét tới hai loại sai số đo sai số ngẫu nhiên sai số. .. thành nên mơn học lý thuyết sai số phát triển dựa lý thuyết xác suất, ngược lại, lý thuyết sai số góp phần hồn thiện lý thuyết xác suất [14,15,16] Như vậy, mơn học lý thuyết sai số hình thành gắn... trị đo tồn sai số ngẫu nhiên phép đo ngồi cịn chứa thêm sai số hệ thống đơi có sai số nhầm lẫn trình đo (gọi sai lầm, hay sai số thô) Sau xem xét số nguyên nhân gây nên sai số đo Sai số người đo