Đang tải... (xem toàn văn)
1 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Chủ biên TS Bùi Ngọc Hùng Tham gia ThS Nguyễn Thị Mai Anh GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT SAI SỐ (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 2 Chương 1 Lý thu[.]
BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH - -Chủ biên: TS Bùi Ngọc Hùng Tham gia: ThS Nguyễn Thị Mai Anh GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT SAI SỐ (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 Chương Lý thuyết sai số bình sai trực tiếp dãy trị đo đại lượng 1.1 Khái niệm đo đạc Phép thử nhằm xác định đại lượng trắc địa gọi phép đo Phép đo so sánh đại lượng cần xác định với đại lượng loại chọn làm đơn vị Các điều kiện tạo nên phép đo gọi điều kiện đo Kết thu phép đo theo quy trình định, thời điểm cụ thể gọi trị đo Các điều kiện phép đo bao gồm điều kiện đặc trưng cho môi trường ngoại cảnh, điều kiện đặc trưng cho độ tin cậy máy móc, dụng cụ đo điều kiện đặc trưng cho người đo Ví dụ đo dài trực tiếp thước thép Quy trình đo lúc tiến hành từ thao tác định tuyến, phân đoạn, kéo thước, đọc số đo đại lượng cần thiết để hiệu chỉnh vào đoạn nhiệt độ, hiệu chênh cao hai đầu thước,…Các điều kiện đặc trưng cho môi trường đo kể đến ảnh hưởng nhiệt độ, độ lồi lõm địa hình, tốc độ gió; Đặc trưng cho dụng cụ máy móc độ xác đọc số thước thép, máy móc dùng để đo nhiệt, đo hiệu chênh cao; Đặc trưng cho người đo cách tổ chức nhóm đo, lực kéo hai đầu thước khả đọc số Dễ nhận thấy, thao thác quy trình đo ảnh hưởng đến kết phép đo Trị đo thu cuối tổng hợp thông tin thu từ điều kiện đặc trưng điều kiện đo khoảng thời gian định Trên thực tế phép đo tiến hành phương pháp trực tiếp hay gián tiếp 1.1.1 Đo trực tiếp đo gián tiếp Đo trực tiếp: Là so sánh trực tiếp đại lượng cần đo với đơn vị đo tương ứng Ví dụ: Đo độ dài đoạn thẳng thước thép Đo gián tiếp: Là đại lượng cần xác định tính tốn thơng qua đại lượng đo trực tiếp Ví dụ: Muốn xác định diện tích hình chữ nhật ta cần phải đo tực tiếp chiều dài a chiều rộng b hay trị đo gián tiếp xác định thông qua hai đại lượng đo trực tiếp a b 1.1.2 Đo độ xác khơng độ xác Đo độ xác: Là kết đo nhận điều kiện đo Đo khơng độ xác: Là kết đo nhận điều kiện đo khác Ví dụ, kết đo góc β1, β2, β3 tam giác người đo dùng máy đo theo phương pháp với số lần đo điều kiện thời tiết ổn định kết đo góc nhận độ xác, ngược lại, điều kiện khác đi, chẳng hạn dùng máy khác, người đo khác áp dụng cách đo khác kết đo góc khơng độ xác 1.1.3 Trị đo cần thiết trị đo thừa Trị đo cần thiết (t): Là số lượng đo tối thiểu để xác định đồ hình lưới trắc địa giải toán trắc địa Trị đo thừa (r): Là đại lượng đo dư để kiểm tra nâng cao độ xác Trong bình sai điều kiện trị đo thừa số phương trình điều kiện ràng buộc trị đo với nhau, số trị đo thừa xác định là: r=n-t 1.2 SAI SỐ VÀ PHÂN LOẠI SAI SỐ 1.2.1 Sai số đo Bất kỳ phép đo dù hoàn chỉnh đến đâu tồn sai số, tức xác định trị thực đại lượng cần đo Nếu gọi Li trị đo, L0 trị thực chênh lệch trị thực trị đo gọi sai số thực trị đo, kí hiệu i i = L0 - Li (2.2) Sai số thực ln tồn ta phải tìm quy luật để xác định nó, thực tế ta khơng thể tìm trị thực mà xác định trị xác suất thông qua số hiệu chỉnh Vi: L’ i = L i + V i (2.3) Trong đó: L’i gọi trị xác suất hay trị sau bình sai 1.2.2 Ngun nhân gây nên sai số Có nhiều nguyên nhân gây sai số đo ta phân thành ngun nhân sau: + Sai số dụng cụ đo máy móc: Là sai số sử dụng dụng cụ máy móc khơng xác + Sai số người đo: Do giác quan người không chuẩn xác gây nên Ví dụ, mắt người phân biệt hai điểm cách 0.2mm nên đo chiều dài đoạn thẳng ta ước đọc không phần lẻ mm có sai số đọc số + Sai số ngoại cảnh: Do ảnh hưởng điều kiện thời tiết, điều kiện địa hình, địa vật gây nên Ví dụ, đo chiều dài đoạn thẳng thước thép đo nhiệt độ môi trường thay đổi làm chiều dài thước bị co dãn địa hình gập ghềnh thước bị cong, vênh,… kết đo xác 1.2.3 Phân loại sai số Dựa vào tính chất quy luật xuất xử lý số liệu đo đạc người ta phân làm loại sai số: 1.2.3.1 Sai số thô (sai lầm) Là sai số nhầm lẫn người đo đạc tính tốn, sai số thơ thường có giá trị lớn khơng xuất theo quy luật phát loại bỏ nhờ phép đo thừa 2.1.3.2 Sai số hệ thống Là sai số thường có trị số dấu khơng đổi biến đổi theo quy luật Các nguyên nhân sinh sai số hệ thống dụng cụ máy móc khơng hồn chỉnh, thói quen người đo điều kiện ngoại cảnh,… Ví dụ: Giả sử dùng thước thép 20m để đo đường thẳng đó, chiều dài thật thước 20,001m Như kết lần kéo thước có chứa +1mm sai số gọi sai số hệ thống Sai số hệ thống loại bỏ giảm bớt biết nguyên nhân quy luật xuất dùng phương pháp kiểm định tìm trị số để cải vào kết đo 2.1.3.3 Sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên sinh tổng hợp nhiều nguồn sai số, chúng tồn kết đo, xuất biến thiên phức tạp dấu trị số Giả sử đo đoạn thẳng thước thép sai số khắc vạch sai số giãn nở nhiệt mang tính chất hệ thống, cịn sai số lực kéo khơng đều, gió thổi,…tất sai số đồng thời tác động khoảnh khắc theo độ lớn (trị số) chiều (dấu) khác lên chúng sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên xuất không theo quy luật ta khơng khắc phục mà tìm cách hạn chế ảnh hưởng tới kết đo Vì sai số thơ sai số hệ thống tìm biện pháp loại trừ giảm bớt nên coi sai số ngẫu nhiên thành phần chủ yếu sai số đối tượng nghiên cứu lý thuyết sai số 1.3 Đặc tính sai số ngẫu nhiên 1.3.1 Ví dụ khảo nghiệm Sai số ngẫu nhiên có trị số dấu xuất khơng theo quy luật, điều kiện đo định, sai số ngẫu nhiên xuất theo quy luật Để nghiên cứu đặc tính sai số ngẫu nhiên, người ta tiến hành thực nghiệm đo góc 162 tam giác, xác định sai số thực sau: bảng 1-1 khoảng sai số -∆ +∆ tổng số lượng % số lượng % số lượng % 0'' 00 -:- 0''20 21 13,0 21 13,0 42 26,0 0'' 20 -:- 0''40 19 11,7 19 11,7 38 23,4 0'' 40 -:- 0''60 11 6,8 16 9,9 27 16,7 0'' 60 -:- 0''80 5,0 13 8,0 21 13,0 0'' 80 -:- 1''00 4,3 5,6 16 9,9 1'' 00 -:- 1''20 3,7 3,1 11 6,8 1'' 20 -:- 1''40 1,8 0,6 2,4 1'' 40 -:- 1''60 1,2 0,6 1,8 1''60 0 0 0 tổng 77 47,5 85 52,5 162 100,0 Để dễ nhận biết quy luật phân bố sai số, ta dùng số liệu bảng1-1 để vẽ đồ thị: Trên trục hoành biểu diễn khoảng sai số tương ứng với bảng diện tích hình chữ nhật biểu diễn số phần trăm xuất khoảng sai số ghi bảng 1-1 ta xác định chiều cao để vẽ hình chữ nhật sau: ví dụ sai số xuất khoảng 0'' 00 -:- 0''20 chiếm 13% chiều cao hình chữ nhật tương ứng là: h= 13 = 0.65 100x 0.2 Nếu nối điểm cạnh đáy phía hình chữ nhật ta đường gãy khúc đối xứng qua trục tung tiệm cận với trục hồnh 06 05 04 03 hình 1-1 đồ thị tính chất sai số ngẫu nhiên 0+02+04+06+08+1+12+14+16 01 -16-14-12-10 -08 -06-04 -02 1.3.2 Các đặc tính sai số ngẫu nhiên Qua thực nghiệm ta thấy sai số ngẫu nhiên có đặc tính sau đây: a Đặc tính giới hạn: Trong điều kiện đo đạc cụ thể, trị tuyệt đối sai số ngẫu nhiên không vượt giới hạn định b Đặc tính tập trung: Sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ, có khả xuất nhiều c.Đặc tính đối xứng: Sai số ngẫu nhiên dương âm với trị số tuyệt đối bé có số lần xuất gần d Đặc tính bù trừ: Khi số lần đo tiến tới vô cùng, số trung bình cộng sai số đo đạc ngẫu nhiên đại lượng tiến tới không lim n→ 1 + + + n = = lim n→ n n 1.4 Tiêu chuẩn đánh giá độ xác Một nhiệm vụ chủ yếu công tác xử lý số liệu trắc địa đánh giá độ tin cậy đại lượng đo Đánh giá độ tin cậy xây dựng đại lượng đặc trưng cho kết đo kết xử lý, làm tiêu chuẩn để so sánh gọi tiêu chuẩn đánh giá độ xác Trong thực tế, sau đo nhiều lần ta thu trị trung bình cộng trường hợp với số lần đo khác khác Nhưng trị trung bình cộng khác trị thực Nảy sinh vấn đề trị trung bình cộng trị trung bình coi đáng tin cậy Giải mâu thuẫn người ta dựa vào tiêu chuẩn sau để đánh giá 1.4.1 Sai số trung bình Khi đo đại lượng n lần, giả sử sai số thực n lần đo : 1 , 2 3 , 4 n Vì tổng đại số sai số đo theo tính chất thứ tự sai số ngẫu nhiên triệt tiêu nên khơng dùng để đánh giá độ xác kết đo được.Vì ta dùng số trung bình để đánh giá độ xác kết đo Sai số trung bình trị trung bình cộng trị tuyệt đối sai số thực thành phần, xác định công thức: = (2.5) n sai số thực n số lần đo Tuy nhiên dùng sai số trung bình θ nhiều trường hợp chưa đánh giá xác chưa phản ánh độ biến động sai số ngẫu nhiên Ví dụ: Đo đại lượng điều kiện khác (không độ xác) sau: Điều kiện 1: : -5”, -3”, +7”, +1” Điều kiện 2: : +5”, -4”, -3”, -4” Sai số trung bình: Trong đó: Điều kiện I: Điều kiện II: + + +1 = 4" 5+ 4+3+ II = = 4" I = Ta thấy I = II có nghĩa hai điều kiện đo khác cho độ xác Với kết ta lầm tưởng hai kết qủa đo hai điều kiện đo đạt độ xác nhau, Nhưng điều kiện II tốt biến động sai số điều kiện II < điều kiện I (hình 2.1) Khoảng biến động điều kiện II -5 -4 Khoảng biến động điều kiện I +5 1.4.2 Sai số trung phương (m) +7 Để phản ánh mức độ dao động sai số người ta dùng sai số trung phương để đánh giá độ xác đại lượng đo Khi có dãy sai số thực, n vơ lớn sai số trung phương tính : Cơng thức gần Gauss: m= = n 21 + 22 + + 21n n (2-6) Trong đó: sai số thực: i = L0 - Li (2.7) n số lần đo Vậy sai số trung phương (m): Là bậc hai trị trung bình cộng bình phương sai số thực thành phần Ví dụ: Với số liệu mục (2.2.1), thay vào (2-6): mI = mII = 25 + + 49 + = 4."58 25 + 16 + + 16 = 4."06 Từ kết ta thấy rõ ràng điều kiện II tốt điều kiện I 1.4.3 Sai số xác suất (r) Sai số xác suất trị số sai số ngẫu nhiên mà sai số ngẫu nhiên khác có trị tuyệt đối lớn nhỏ có khả xuất Nếu xếp sai số ngẫu nhiên theo thứ tự tăng dần coi sai số nằm sai số xác suất Bằng lý thuyết xác suất người ta chứng minh mối quan hệ sai số xác suất sai số trung phương m: r = 0.6745m m = 0.7979m m (2-8) (2-9) 1.4.4 Sai số trung phương tương đối Sai số trung bình, sai số trung phương, sai số giới hạn sai số tuyệt đối Trong đo dài dùng sai số tương đối phản ánh rõ mức độ xác kết đo Sai số tương đối tỷ số sai số đo giá trị đại lượng đo Trong tử số ln nhận mẫu số làm tròn đến bội số 10 Mẫu số sai số tương đối biểu thị cho chất lượng đo đạc, mẫu số lớn độ xác đo cao ngược lại mL = T L (2-10) Ví dụ: Đo chiều dài đoạn thẳng thước thép kết sau: m S = 5mm S1 = 50m; mS = 5mm S2 = 250m; Nừu nhìn vào trị số tuyệt đối mS ta tưởng hai cạnh đo với độ xác nhau, dùng sai số tương đối ta thấy cạnh S2 có độ xác cao Sai số trung phương tương đối: mS1 S1 mS2 S 21 = = ; 50 000 10 000 = = 250 000 50 000 1.4.5 Sai số giới hạn Theo đặc tính thứ sai số ngẫu nhiên nêu rõ: điều kiện đo định, trị số tuyết đối sai số ngẫu nhiên không vượt giới hạn định Như vậy, dãy kết đo, trị đo có sai số vượt q giới hạn trị đo không phù hợp với quy luật xem khơng đảm bảo độ xác khơng dùng để cải vào kết đo Giá trị sai số giới hạn phụ thuộc chủ yếu vào điều kiện đo.Trong lý thuyết xác suất người ta chứng minh sai số đo phù hợp với quy luật phân phối chuẩn có 3% sai số ngẫu nhiên có giá trị lớn lần sai số trung phương, 5% sai số ngẫu nhiên có giá trị vượt lần sai số trung phương Trong thực tế số lần đo không nhiều, sai số ngẫu nhiên lớn lần sai số trung phương có khả xuất Vì ta thường lấy lần sai số trung phương làm giới hạn sai số ngẫu nhiên Gọi max sai số giới hạn, ta có: max = 3m (2.11) Trong trắc địa cơng trình với u cầu độ xác cao, thường quy định: max = 2m (2.12) 1.5 Sai số trung phương hàm trị đo Trong toán trắc địa đại lượng cần xác định thường hàm số mà đối số đại lượng đo trực tiếp Vì ta cần phải xác định sai số trung phương hàm đối số trị đo trực tiếp độc lập Ví dụ: Để xác định gia số toạ độ X, Y ta phải xác định thơng qua trị đo cạnh S góc định hướng , góc lại xác định thơng qua góc 1.5.1 Sai số trung phương hàm số dạng tổng quát Giả sử ta có hàm số dạng tổng quát sau: F = f(x,y,…,u) (2.13) Trong đó: x, y, …,u đại lượng đo độc lập, có sai số trung phương tương ứng m x, my, , mu Ta cần xác định sai số trung phương hàm trị đo mf Gọi X, Y, ,U trị thực đại lượng đo độc lập, sai số thực tương ứng là: X = xi + xi →xi = X - xi Y = yi + yi →yi = Y - yi ………………………… U = ui + ui →ui = U - ui Sai số thực hàm: Fi = F - fi Hay: Fi = F ( X, Y,…, U) – fi (x, y,…,u) Hoặc: Fi = F (xi + xi, yi + yi,…, ui + ui) – f( xi, yi,…, ui) (2.15) Khai triển Taylor bỏ qua số hạng bậc cao cách lấy đạo hàm riêng hàm số F theo đối số x, y,…, u, ta có: F F F y i + + Fi = xi + u i x u y (2.16) (với i = 1,2, ,n) Bình phương vế (2-16) sau lấy tổng vế chia cho số lần đo n: F F = F x.x + F y.y + + 2 F . F x.y + + F u.u n x y n x y n n u n Theo giả thiết đại lượng x, y,…, u đại lượng đo độc lập sai số x, y,…, u sai số ngẫu nhiên độc lập Theo tính chất sai số ngẫu nhiên định nghĩa sai số trung phương ta có: F F F m y + + = m x + m u x u y m F (2.17) Hay: F F F m y + + mF = m x + m u x u y 2 (2.18) Ví dụ: Trong tam giác đo góc: 1 = 500 00’ 00”; 2 = 600 00’ 00” Với sai số m1 = 3”; m2 = 4” Hãy tính: m3 3? Giải: Ta có: f = 3 =1800 - (1 + 2) = 700 00’ 00” 𝜕𝑓 2 Vì ( ) = 𝑛ê𝑛 𝑚𝛽 = √𝑚𝛽1 + 𝑚𝛽2 = √16 + = ±5′′ 𝜕𝛽 1.5.2 Sai số trung phương số hàm đơn giản * Sai số trung phương hàm dạng: Giả sử có hàm số dạng: F = a1L1 + a2L2 + +anLn (2.19) Trong đó: số Li đại lượng đo với sai số trung phương mi Vi phân hàm F theo đối số đại lượng đo chuyển vi phân thành sai số thực ta được: F = a1L1 + a2L2 + +anLn (2.20) Và chuyển sang sai số trung phương: m F = a 21m L + a 2 m L + + a n m L n Hay: m F = a 21 m L1 + a 2 m L2 + + a n m Ln (2.21) Nếu a1 = a2 = = an =1: → m F = m L + m L + + m L n Nếu đo độ xác: m L = m L = = m L = m L ta có: n mF = mL n (2.22) * Sai số trung phương hàm số dạng: F= Giả sử hàm số có dạng: L1 L2 L3 Áp dụng cơng thức tính sai số trung phương hàm tổng quát: m F L = L3 2 L LL m L1 + m L2 + L3 L3 m L3 (2.23) Khi toán vừa hàm có trị đo góc vừa có trị đo chiều dài chênh cao sử dụng công thức hàm tổng quát ta phải biểu thị sai số trung phương đo góc dạng mβ/ρ’’ Ví dụ: Xác định chênh cao h phương pháp đo cao lượng giác: h = S tgV + i - t Với trị đo sai số trung phương là: S = 143.5m; V =2030 ; i = 1.5m; l = 2.2m, mS = ±1’; mi =ml= (coi sai số), ta có hàm: h = 143.5tg2030 +1.5 - 2.2 = 5.76m 𝑚ℎ = √𝑡𝑔2 𝑉 𝑚𝑆2 + 𝑠 𝑚𝑣2 = ±0.048𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑉 𝜌2 Ví dụ: Một cạch đường chuyền S đo thành đoạn liền kết sau: L1= 91,24m 0,20m ; L2= 79,15m 0,15m L3= 102,05m 0,35m ; L4= 117,35m 0,18m Hãy tính sai số trung phương sai số trung phương tương đối cạnh đường chuyền - Chiều dài cạnh đường chuyền : S = L1+L2+L3+L4 = 390.39m - Sai số trung phương : m S = m L + m L + m L + m L = ,m Vậy mS , = = T S , 1.5 Công thức Fererô 10 Dùng để tính sai số trung phương đo góc m lưới gồm n tam giác theo sai số khép góc w tam giác Nếu góc Ai, Bi, Ci đo độ xác m tổng trị thực: (A0+ B0+ C0) = 180 ta có sai số khép sai số thực i: ωi = i = (Ai + Bi + Ci) - 1800 (2.32) Theo định nghĩa sai số trung phương, có n tam giác sai số trung phương sai số khép góc là: 𝑚 𝜔 = ±√ [𝜔𝛽 𝜔𝛽 ] 𝑛 Vì góc đo độ xác m A = m B = mC = m , nên ta có: i 2 m ω= m Ai +m Bi i +m Ci i = m (2.33) 𝑚𝜔 = 3𝑚𝛽2 = 𝑚𝛽 = ±√ [𝜔𝛽 𝜔𝛽 ] 𝑛 [𝜔𝛽 𝜔𝛽 ] 3𝑛 Trong đó: n - số tam giác wi - sai số khép góc tam giác Ví dụ: Đo tất góc lưới 12 tam giác độ xác, tính sai số khép góc tương ứng ω1=8’’; ω2=-6’’; ω3=4’’; ω4=-2’’; ω5=-7’’; ω6=8’’; ω7= -8’’; ω8=3’’; ω9= 2’’; ω10= 9’’ω11= -1’’; ω12= 3’’ Độ xác đo góc lưới tam giác mβ=± 3.3’’ 1.6 Trọng số 1.6.1 Khái niệm trọng số Khi đo khơng độ xác đại lượng kết nhận có tầm quan trọng khác khơng thể tính trị trung bình cộng theo phương pháp thơng thường Để bình sai đại lượng khơng độ xác, người ta đưa vào số bổ trợ gọi trọng số để nêu lên chất lượng khác kết đo, tức nêu lên mức độ tin cậy khác kết đo có độ xác khác *Định nghĩa trọng số: Trọng số số tỷ lệ nghịch với bình phương sai số trung phương PL = Trong đó: c mL2 (2.48) + mL sai số trung phương trị đo + c số chọn thống cho tất phép đo tham gia bình sai Ta thấy PL m2L quan hệ tỷ lệ nghịch, tức sai số trung phương nhỏ trọng số lớn ngược lại Người ta dùng P L để so sánh độ xác trị đo *Trọng số đơn vị: 11 Nếu ta có n phép đo với sai số trung phương tương ứng m1, m2,…,mn Theo định nghĩa trọng số, ta có: P1 = c c c ; P2 = ; ., Pn = 2 m1 m2 mn (2.49) Nếu ta chọn c =m20 ta có trọng số: m02 m02 m02 m02 P0 = ; P1 = ; P2 = ., Pn = m0 m1 m2 mn P0 = 1gọi trọng số đơn vị Sai số trung phương tương ứng với trọng số P0 = gọi sai số trung phương trọng số đơn vị Nếu kí hiệu m0= , ta có: 2 PL = (2.50) mL Vai trị P quan trọng xử lý tốn trắc địa hỗn hợp có nhiều trị đo khơng độ xác Ví dụ: Cạnh S đo phương pháp khác không độ xác, nhận kết sai số trung phương sau: 𝑃1 = ( 0.12 ) =0.16 0.3 P2 =0.16 𝑃3 = ( 0.12 ) =0.44 0.18 TT Si mi Pi 48.38 0.3 0.16 48.28 0.12 48.29 0.18 0.44 1.6.2 Trị trung bình mang trọng số Giả sử có đại lượng đo n lần nhận kết là: L1, L2,…, Ln với trọng số tương ứng P1, P2,…, Pn Trị trung bình đại lượng tính theo công thức: P L + P2 L2 + + Pn Ln PL L= 1 = (2.51) P P1 + P2 + + Pn *Sai số trung phương trị trung bình mang trọng số: Từ cơng thức (2.33), để đánh giá độ xác ta dùng công thức sau: mL = (2.52) P Trong sai số trung phương trọng số đơn vị tính theo công thức Bessen: = PVV (n − 1) (2.53) 1.7 Đánh giá độ xác theo trị đo kép 1.7.1 Sai số trung phương theo hiệu kết đo kép khơng độ xác Giả sử đại lượng Xi tiến hành đo lần ta nhận cặp trị số L1' , L'2 , L'n ; L1'' , L'2' , L'n' Trọng số tương ứng P1, P2,…, Pn 12 Giả thiết trị đo chứa sai số ngẫu nhiên sai số L'i ; L'i' là: 'i = X − L'i ''i = X − L'i' Số chênh cặp trị đo là: d i = L'i − L'i' = ''i − 'i (a) Nếu trị đo xác di=0 tức trị số thật di Do sai số thật số chênh di là: d i = − d i = −d i = ''i − 'i (a’) Trọng số hiệu là: P Pdi = i = Pdi Pi (b) Theo cơng thức tính sai số trung phương tương ứng với trọng số đơn vị, ta có: Pd dd = (c) n Thay (a), (b) vào (c) ta có: Pdd = 2n Đối với trị số sai số trung bình cộng từ lần đo cặp sai số trung Pdd phương đơn vị trọng số là: = n 1.7.2 Tính sai số trung phương từ hiệu cặp đo kép trường hợp đo có độ xác Trường hợp độ xác trị đo cặp chọn trọng số lần đo Lúc sai số trung phương tương ứng với trọng số đơn vị sai số trung phương trị đo Ta có: dd mL = 2n VD: Trên tuyến độ cao chia đoạn đp, đoạn đo lần kết sau Tính sai số trung phương hiệu số độ cao toàn tuyến dd Đoạn Hiệu số độ cao d =h’-h’’ dd Si Pdd = S đo h’(m) h’’(m) (mm) (Km) 3.248 3.240 64 4.0 16.0 0.348 0.336 -8 64 3.2 20.0 4.444 4.437 49 2.0 24.5 -3.360 -3.352 -8 64 2.6 24.6 -3.699 -3.704 25 3.4 7.4 15.2 92.5 Chọn Pi = Si 13 Có = m1km dd S 92 = = = 3.06 mm 2n 10 Sai số trung phương hiệu số độ cao đoạn đo lần là: m2 = S mkm = 3,2.3,6 = 5,4mm Sai số trung phương hiệu số độ cao trung bình đoạn 2: m2TB = m2 = 5.4 = 3.8(mm) Chiều dài toàn tuyến [S] =15,2 km Sai số trung phương hiệu số độ cao toàn tuyến là: mt = mkm S = 3,06 15,2 = 11,9(mm) Sai số trung phương hiệu số độ cao trung bình tuyến: mtb = mt = 8.4(mm) 1.8 Nguyên tắc ảnh hưởng tính tốn trắc địa 1.Khái niệm chung : Dựa vào lý thuyết sai số ta tính sai số trung phương hàm số biết sai số trung phương đối số Trong trắc địa dựa vào nguyên tắc tiến hành công tác thiết kế thường gặp tốn ngược, tức cần ước tính độ xác đối số để đảm bảo độ xác cho trước hàm số 2.Thiết lập công thức ước tính độ xác đối số : Giả sử ta có hàm số dạng : F = f( L1 ,L2 , ,Ln ) Trong : L1 ,L2 , ,Ln trị đo độc lập m L , m L , , m L n sai số trung phương tương ứng trị đo áp dụng cơng thức tính sai số trung phương hàm tổng quát ta có : f m L m = L F f f m L + + m L n + L L n Ta cần ước tính độ xác đại lượng đo L1 ,L2 , ,Ln cho độ xác hàm F đạt yêu cầu đặt Tức phải tính m L , m L , , m L n cho thoả mãn mF cho trước Để giải vấn đề ta áp dụng nguyên tắc ảnh hưởng nghĩa cho ảnh hưởng sai số đại lượng đo Li sai số trung phương hàm Tức : f f f m F m L = m L = = m L n = L L L n n 14 m f f m L = m L = = F L L n f m m Li = F với f i = L fi n Hay VD: Cần phải đo khoảng cách S = 120m góc đứng 40 với độ xác để độ chênh cao h tính theo cơng thức : h = S.tgv có SSTP mh = 4.0mm Giải : Có h = tgv S h S = V cos v S mv m = tg v.m + '' cos v h S Theo nguyên tắc ảnh hưởng : S mv mh tg v.m = '' = cos v mh2 mh mS = → mS = 2tg v 2.tgv S cos v.m h cos v.m h '' m = mv = s s v Thay số vào ta : ms = 40cm mv = 0'.81 Khi áp dụng nguyên tắc ảnh hưởng ta cần kết hợp giải yêu cầu kỹ thuật kinh tế cho đảm bảo độ xác đạt hiệu kinh tế Trường hợp yêu cầu kỹ thuật đảm bảo phương án nêu đạt hiệu kinh tế áp dụng nguyên tắc ảnh hưởng tiện lợi Trường hợp sau ước tính, thấy phương tiện kỹ thuật không đảm bảo yêu cầu độ xác đại lượng đảm bảo khơng kinh tế cần giải cách hạ thấp độ xác địa lượng để đo đạc dễ dàng hơn, đồng thời tăng độ xác đại lượng khác để cuối đảm bảo độ xác hàm đặt 1.9 Sai số làm tròn 1.9.1 Một số quy tắc làm tròn số Trong trắc địa kết đo kết xử lý số viết dạng chữ số thập phân Tuỳ thuộc vào yêu cầu độ xác, mà người ta thường cắt bỏ chữ số thập phân cuối theo nguyên tắc làm tròn số 15 Khi làm tròn phải theo quy tắc sau : - Nếu phần bỏ nhỏ 0,5 đơn vị chữ số cuối giữ lại, chữ số cuối giữ nguyên - Nếu phần bỏ lớn 0,5 đơn vị chữ số cuối giữ lại, phải thêm vào chữ số cuối đơn vị - Nếu phần bỏ vừa 0,5 đơn vị chữ số cuối giữ lại mà chữ số cuối số lẻ thêm đơn vị để thành số chẵn 1.9.2 Ví dụ làm trịn số Cần làm trịn đến milimét chiều dài cạnh AB, theo kết đo sau: SAB(1) = 2,7374 m, theo quy tắc 1, kết sau làm tròn : 2,737 SAB(2) = 2,7376 m, theo quy tắc 2, kết sau làm tròn : 2,738 SAB(3) = 2,7375 m, theo quy tắc 1, kết sau làm tròn : 2,738 1.9.3.Quan hệ sai số trung phương tính trọn sai số giới hạn tính trọn : Để tìm quan hệ sai số làm trịn giới hạn sai số trung phương sai số làm tròn, ta giả thiết sai số làm tròn giới hạn chia thành n phần e, nghĩa = n.e khoảng ( -, ) sai số làm trịn nhận khả là: -n.e, -(n-1).e, ,-2e, -e, 0, e, e, 2e, ,(n-1)e, n.e Vì số khả xảy sai số làm trịn (-,) (2n+1)nên sai số trung phương sai số làm trịn có dạng : ( ) ( ) + + + n e + e + + (ne) .n(n + )( n + ) / n(n + ) m lt = = e = e = e n + n + n + mà e = n +1 mlt = 3n n n lớn ta có : m lt = Đây quan hệ sai số trung phương tính trọn sai số giới hạn tính trọn 1.10 Bình sai trực tiếp Bình sai trực tiếp trường hợp đặc biệt bình sai gián tiếp Bản chất phương pháp tiến hành đo nhiều lần đại lượng nhận nhiều trị đo, độ xác khơng độ xác Nhiệm vụ đặt tiến hành bình sai để tìm trị xác suất trị đo đánh giá độ xác trị đo trị sau bình sai 1.10.1 Nguyên tắc số bình phương nhỏ Dựa sở lý thuyết xác suất, người ta chứng minh trường hợp đo độ xác, để nhận trị sau bình sai có độ tin cậy lớn nghĩa xấp xỉ với trị thực tổng bình phương vi phải thỏa mãn điều kiện: 16 vv = Trong trường hợp trị đo khơng độ xác thì: pvv = Các điều kiện nguyên tắc số bình phương nhỏ Nếu kết đo bao gồm sai số ngẫu nhiên chúng tuân theo luật phân bố chuẩn trị sau bình sai theo nguyên tắc số bình phương nhỏ giá trị xác suất trị trung bình cộng Để chứng minh trị trung bình cộng trị xác suất ta giả thiết trị xác suất đại lượng x Các trị đo là: L1, L2,…, Ln Chênh lệch trị xác suất trị đo Vi, ta có: V = x - L1 V = x - L2 … …… V n = x - Ln Nếu sử dụng trị x khác nhau, nhận nhóm v khác Bây dựa vào nguyên lý bình phương nhỏ để tìm giá trị xác suất x cho tổng bình phương số chênh x trị đo nhỏ Tức là: [VV] = (V 12 +V 22 +…+V 2n ) = Để tìm giá trị cực tiểu hàm trên, ta viết lại quan hệ [VV] x, tức là: [VV] = (x - L1 )2 + (x – L2)2 +…+ (x – Ln)2 = =f Lấy đạo hàm bậc biến số x cho 0, ta có f = 2(x - L1) + 2(x – L2) +…+ 2(x – Ln) = x Từ ta nhận được: n.x - [L] = x= L n 2 f Vì đạo hàm bậc hai dương, tức là: = 2n x Nên giá trị x tìm theo cơng thức (2-5) thoả mãn điều kiện [vv] = Do x tìm theo ngun lý bình phương nhỏ trị trung bình cộng 1.10.2 Bình sai trực tiếp đo độ xác 1.10.2.1Trị trung bình cộng sai số trung phương trị trung bình cộng Trị trung bình cộng Khi tiến hành đo đại lượng nhiều lần độ xác số lần đo tăng lên vơ hạn trị trung bình cộng trị đo gần với trị thực Cho nên bình sai trực tiếp độ xác, trị trung bình cộng coi trị xác suất Đây 17 ngun lý trị trung bình cộng Ngun lý dựa vào đặc tính thứ tư sai số ngẫu nhiên để chứng minh Giả sử đo đại lượng n lần nhận kết L1, L2 , ,Ln Những trị số đo điều kiện có sai số thực 1, 2, ,n Trị thực của đại lượng đo X.Theo định nghĩa sai số thực ta có : 1 = L1-X 2 = L2-X n = Ln-X Lấy tổng ta : [] = [L] - n.X Chia vế cho n ta được: = L − X (2.1.1) n n Trong n chênh lệch trị trung bình cộng trị thực gọi sai số thực trị trung bình cộng Theo tính chất sai số ngẫu nhiên ta có : = lim n → n Đặt L = x n thay vào ( 2.1.2 ) ta x = limx x → Ta thấy số lần đo tăng lên vơ hạn trị trung bình cộng x xấp xỉ với trị thật X Nhưng thực tế tiến hành đo vô hạn lần Vì vậy, người ta gọi trị trung bình cộng trị số đáng tin cậy đại lượng đo ta lấy làm kết đo đạc Đó ngun tắc số trung bình cộng sở cho bình sai trực tiếp Khi tính trị trung bình cộng theo ( 2.1.1 ) nhiều phức tạp việc tính tốn trị số L n lớn Để tiện cho tính tốn ta lấy trị số gần L0 để tính lượng sai i = Li - Lo hay Li = Lo + Nếu đo n lần ta : L1 = L o + L2 = L o + Lấy tổng : [L] = n.Lo + [] Hay L = L n + = x n ( 2.1.2 ) 18 Sai số trung phương trị trung bình cộng Để xác định sai số trung phương trị trung bình cộng ta xét cơng thức : x= L = L + L + + Ln n n n n Vì trị đo độ xác có sai số trung phương m nên sai số trung phương trị trung bình cộng là: M = m + m + + m n n n 2 m 1 m Hay M x = n m = Vậy M x = ( 2.3.1 ) n n n x Tức sai số trung phương trị trung bình cộng n sai số trung phương trị đo Từ (2.3.1) ta thấy xét điều kiện m khơng đổi n lớn M x nhỏ, độ xác trị trung bình cộng nâng cao Ví dụ: n 10 20 50 100 Mx 0.71 0.58 0.05 0.45 0.41 0.35 0.32 0.22 0.14 0.10 Nhưng ta thấy số lần đo tăng lên từ 20 100 độ xác tăng lên có lần, khơng kinh tế Vì muốn nâng cao độ xác kết đo không đơn giản tăng số lần lên đạt mục đích mà phải tìm biện pháp nâng cao độ xác đo ngắm, tức phải chọn điều kiện đo, phương pháp, máy móc số lần đo thích hợp 1.10.2.2 Sai số trung phương trị đo Chúng ta biết cơng thức tính sai số trị đo theo sai số thật là: m= n Vì trị thật X thường khơng biết nên sai số thật biết Do đó, cơng thức thực tế ứng dụng Khi biết dãy trị đo L i ta tính trị xác suất x chúng, dễ dàng tìm số hiệu chỉnh Vi tức là: Vi = x -Li ( 2.4.1) Ta muốn thành lập cơng thức tính sai số trung phương trị đo theo số hiệu chỉnh Vi phải tìm quan hệ V Theo cơng thức tính sai số thực ta có : i = X - Li ( 2.4.2 ) Lấy (2.4.2) - (2.4.1) ta : 19 i - Vi = X - x Mà X - x = TB sai số thật trị trị trung bình, nên ta có : i - Vi = TB hay i = Vi + TB Bình phương hai vế lấy tổng ta : = VV + V + n Ta lại có : = m n = n n (2.4.3) n bình phương ta : TB = ( + ij n ) Vì tích số ngẫu nhiên sai số ngẫu nhiên nên ta coi [ij] = Theo trước [V] = Thay vào (2.4.3) ta : m Hay VV m = + n VV m= n − n Đây cơng thức tính sai số trung phương trị đo theo số hiệu chỉnh vi gọi công thức Bessen 1.10.2.3 Trình tự tốn bình sai trực tiếp độ xác - Tính trị xác suất (trị trung bình cộng) trị đo x= L n Vì số chênh Li tương đối nhỏ, nên tính trị trung bình cộng cần tính trị trung bình số chênh nghĩa ta chọn trị gần L0 lấy trị đo Li trừ L0 ta số chênh lệch ɛi i = Li − L0 Khi trị xác suất tính: x = L0 + n - Tính sai số trung phương trị đo theo công thức Bessen m= vv n −1 - Ghi kết cuối X = x Mx Các bước kiểm tra q trình tính tốn : [V] = [VV] = V1(x-L1) + V2(x-L2)+ +Vn(x-Ln) 20 ... Sai số xác suất (r) Sai số xác suất trị số sai số ngẫu nhiên mà sai số ngẫu nhiên khác có trị tuyệt đối lớn nhỏ có khả xuất Nếu xếp sai số ngẫu nhiên theo thứ tự tăng dần coi sai số nằm sai số. .. tới kết đo Vì sai số thơ sai số hệ thống tìm biện pháp loại trừ giảm bớt nên coi sai số ngẫu nhiên thành phần chủ yếu sai số đối tượng nghiên cứu lý thuyết sai số 1.3 Đặc tính sai số ngẫu nhiên... 1.2.3 Phân loại sai số Dựa vào tính chất quy luật xuất xử lý số liệu đo đạc người ta phân làm loại sai số: 1.2.3.1 Sai số thô (sai lầm) Là sai số nhầm lẫn người đo đạc tính tốn, sai số thơ thường