Giáo trình Lý thuyết sai số

Untitled 1 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH  Chủ biên TS Bùi Ngọc Hùng Tham gia ThS Nguyễn Thị Mai Anh GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT SAI SỐ (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 2 Chương[.]

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH - -Chủ biên: TS Bùi Ngọc Hùng Tham gia: ThS Nguyễn Thị Mai Anh GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT SAI SỐ (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 Chương Lý thuyết sai số bình sai trực tiếp dãy trị đo đại lượng 1.1 Khái niệm đo đạc Phép thử nhằm xác định đại lượng trắc địa gọi phép đo Phép đo so sánh đại lượng cần xác định với đại lượng loại chọn làm đơn vị Các điều kiện tạo nên phép đo gọi điều kiện đo Kết thu phép đo theo quy trình định, thời điểm cụ thể gọi trị đo Các điều kiện phép đo bao gồm điều kiện đặc trưng cho môi trường ngoại cảnh, điều kiện đặc trưng cho độ tin cậy máy móc, dụng cụ đo điều kiện đặc trưng cho người đo Ví dụ đo dài trực tiếp thước thép Quy trình đo lúc tiến hành từ thao tác định tuyến, phân đoạn, kéo thước, đọc số đo đại lượng cần thiết để hiệu chỉnh vào đoạn nhiệt độ, hiệu chênh cao hai đầu thước,…Các điều kiện đặc trưng cho môi trường đo kể đến ảnh hưởng nhiệt độ, độ lồi lõm địa hình, tốc độ gió; Đặc trưng cho dụng cụ máy móc độ xác đọc số thước thép, máy móc dùng để đo nhiệt, đo hiệu chênh cao; Đặc trưng cho người đo cách tổ chức nhóm đo, lực kéo hai đầu thước khả đọc số Dễ nhận thấy, thao thác quy trình đo ảnh hưởng đến kết phép đo Trị đo thu cuối tổng hợp thông tin thu từ điều kiện đặc trưng điều kiện đo khoảng thời gian định Trên thực tế phép đo tiến hành phương pháp trực tiếp hay gián tiếp 1.1.1 Đo trực tiếp đo gián tiếp Đo trực tiếp: Là so sánh trực tiếp đại lượng cần đo với đơn vị đo tương ứng Ví dụ: Đo độ dài đoạn thẳng thước thép Đo gián tiếp: Là đại lượng cần xác định tính tốn thơng qua đại lượng đo trực tiếp Ví dụ: Muốn xác định diện tích hình chữ nhật ta cần phải đo tực tiếp chiều dài a chiều rộng b hay trị đo gián tiếp xác định thông qua hai đại lượng đo trực tiếp a b 1.1.2 Đo độ xác khơng độ xác Đo độ xác: Là kết đo nhận điều kiện đo Đo khơng độ xác: Là kết đo nhận điều kiện đo khác Ví dụ, kết đo góc β1, β2, β3 tam giác người đo dùng máy đo theo phương pháp với số lần đo điều kiện thời tiết ổn định kết đo góc nhận độ xác, ngược lại, điều kiện khác đi, chẳng hạn dùng máy khác, người đo khác áp dụng cách đo khác kết đo góc khơng độ xác 1.1.3 Trị đo cần thiết trị đo thừa Trị đo cần thiết (t): Là số lượng đo tối thiểu để xác định đồ hình lưới trắc địa giải toán trắc địa Trị đo thừa (r): Là đại lượng đo dư để kiểm tra nâng cao độ xác Trong bình sai điều kiện trị đo thừa số phương trình điều kiện ràng buộc trị đo với nhau, số trị đo thừa xác định là: r=n-t 1.2 SAI SỐ VÀ PHÂN LOẠI SAI SỐ 1.2.1 Sai số đo Bất kỳ phép đo dù hoàn chỉnh đến đâu tồn sai số, tức xác định trị thực đại lượng cần đo Nếu gọi Li trị đo, L0 trị thực chênh lệch trị thực trị đo gọi sai số thực trị đo, kí hiệu i i = L0 - Li (2.2) Sai số thực ln tồn ta phải tìm quy luật để xác định nó, thực tế ta khơng thể tìm trị thực mà xác định trị xác suất thông qua số hiệu chỉnh Vi: (2.3) L’ i = L i + V i Trong đó: L’i gọi trị xác suất hay trị sau bình sai 1.2.2 Ngun nhân gây nên sai số Có nhiều nguyên nhân gây sai số đo ta phân thành ngun nhân sau: + Sai số dụng cụ đo máy móc: Là sai số sử dụng dụng cụ máy móc khơng xác + Sai số người đo: Do giác quan người không chuẩn xác gây nên Ví dụ, mắt người phân biệt hai điểm cách 0.2mm nên đo chiều dài đoạn thẳng ta ước đọc không phần lẻ mm có sai số đọc số + Sai số ngoại cảnh: Do ảnh hưởng điều kiện thời tiết, điều kiện địa hình, địa vật gây nên Ví dụ, đo chiều dài đoạn thẳng thước thép đo nhiệt độ môi trường thay đổi làm chiều dài thước bị co dãn địa hình gập ghềnh thước bị cong, vênh,… kết đo xác 1.2.3 Phân loại sai số Dựa vào tính chất quy luật xuất xử lý số liệu đo đạc người ta phân làm loại sai số: 1.2.3.1 Sai số thô (sai lầm) Là sai số nhầm lẫn người đo đạc tính tốn, sai số thơ thường có giá trị lớn khơng xuất theo quy luật phát loại bỏ nhờ phép đo thừa 2.1.3.2 Sai số hệ thống Là sai số thường có trị số dấu khơng đổi biến đổi theo quy luật Các nguyên nhân sinh sai số hệ thống dụng cụ máy móc khơng hồn chỉnh, thói quen người đo điều kiện ngoại cảnh,… Ví dụ: Giả sử dùng thước thép 20m để đo đường thẳng đó, chiều dài thật thước 20,001m Như kết lần kéo thước có chứa +1mm sai số gọi sai số hệ thống Sai số hệ thống loại bỏ giảm bớt biết nguyên nhân quy luật xuất dùng phương pháp kiểm định tìm trị số để cải vào kết đo 2.1.3.3 Sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên sinh tổng hợp nhiều nguồn sai số, chúng tồn kết đo, xuất biến thiên phức tạp dấu trị số Giả sử đo đoạn thẳng thước thép sai số khắc vạch sai số giãn nở nhiệt mang tính chất hệ thống, cịn sai số lực kéo khơng đều, gió thổi,…tất sai số đồng thời tác động khoảnh khắc theo độ lớn (trị số) chiều (dấu) khác lên chúng sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên xuất không theo quy luật ta khơng khắc phục mà tìm cách hạn chế ảnh hưởng tới kết đo Vì sai số thơ sai số hệ thống tìm biện pháp loại trừ giảm bớt nên coi sai số ngẫu nhiên thành phần chủ yếu sai số đối tượng nghiên cứu lý thuyết sai số 1.3 Đặc tính sai số ngẫu nhiên 1.3.1 Ví dụ khảo nghiệm Sai số ngẫu nhiên có trị số dấu xuất khơng theo quy luật, điều kiện đo định, sai số ngẫu nhiên xuất theo quy luật Để nghiên cứu đặc tính sai số ngẫu nhiên, người ta tiến hành thực nghiệm đo góc 162 tam giác, xác định sai số thực sau: bảng 1-1 khoảng sai số -∆ +∆ tổng số lượng % số lượng % số lượng % 0'' 00 -:-  0''20 21 13,0 21 13,0 42 26,0 0'' 20 -:-  0''40 19 11,7 19 11,7 38 23,4 0'' 40 -:-  0''60 11 6,8 16 9,9 27 16,7 0'' 60 -:-  0''80 5,0 13 8,0 21 13,0 0'' 80 -:-  1''00 4,3 5,6 16 9,9 1'' 00 -:-  1''20 3,7 3,1 11 6,8 1'' 20 -:-  1''40 1,8 0,6 2,4 1'' 40 -:-  1''60 1,2 0,6 1,8  1''60 0 0 0 tổng 77 47,5 85 52,5 162 100,0 Để dễ nhận biết quy luật phân bố sai số, ta dùng số liệu bảng1-1 để vẽ đồ thị: Trên trục hoành biểu diễn khoảng sai số tương ứng với bảng diện tích hình chữ nhật biểu diễn số phần trăm xuất khoảng sai số ghi bảng 1-1 ta xác định chiều cao để vẽ hình chữ nhật sau: ví dụ sai số xuất khoảng 0'' 00 -:-  0''20 chiếm 13% chiều cao hình chữ nhật tương ứng là: h= 13 = 0.65 100x 0.2 Nếu nối điểm cạnh đáy phía hình chữ nhật ta đường gãy khúc đối xứng qua trục tung tiệm cận với trục hồnh 06 05 04 03 hình 1-1 đồ thị tính chất sai số ngẫu nhiên 0+02+04+06+08+1+12+14+16 01 -16-14-12-10 -08 -06-04 -02 1.3.2 Các đặc tính sai số ngẫu nhiên Qua thực nghiệm ta thấy sai số ngẫu nhiên có đặc tính sau đây: a Đặc tính giới hạn: Trong điều kiện đo đạc cụ thể, trị tuyệt đối sai số ngẫu nhiên không vượt giới hạn định b Đặc tính tập trung: Sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ, có khả xuất nhiều c.Đặc tính đối xứng: Sai số ngẫu nhiên dương âm với trị số tuyệt đối bé có số lần xuất gần d Đặc tính bù trừ: Khi số lần đo tiến tới vô cùng, số trung bình cộng sai số đo đạc ngẫu nhiên đại lượng tiến tới không lim n→ 1 +  + +  n  = = lim n→ n n 1.4 Tiêu chuẩn đánh giá độ xác Một nhiệm vụ chủ yếu công tác xử lý số liệu trắc địa đánh giá độ tin cậy đại lượng đo Đánh giá độ tin cậy xây dựng đại lượng đặc trưng cho kết đo kết xử lý, làm tiêu chuẩn để so sánh gọi tiêu chuẩn đánh giá độ xác Trong thực tế, sau đo nhiều lần ta thu trị trung bình cộng trường hợp với số lần đo khác khác Nhưng trị trung bình cộng khác trị thực Nảy sinh vấn đề trị trung bình cộng trị trung bình coi đáng tin cậy Giải mâu thuẫn người ta dựa vào tiêu chuẩn sau để đánh giá 1.4.1 Sai số trung bình Khi đo đại lượng n lần, giả sử sai số thực n lần đo : 1 , 2 3 , 4 n Vì tổng đại số sai số đo theo tính chất thứ tự sai số ngẫu nhiên triệt tiêu nên khơng dùng để đánh giá độ xác kết đo được.Vì ta dùng số trung bình để đánh giá độ xác kết đo Sai số trung bình trị trung bình cộng trị tuyệt đối sai số thực thành phần, xác định công thức: =   (2.5) n Trong đó:  sai số thực n số lần đo Tuy nhiên dùng sai số trung bình θ nhiều trường hợp chưa đánh giá xác chưa phản ánh độ biến động sai số ngẫu nhiên Ví dụ: Đo đại lượng điều kiện khác (khơng độ xác) sau: Điều kiện 1: : -5”, -3”, +7”, +1” Điều kiện 2: : +5”, -4”, -3”, -4” Sai số trung bình: Điều kiện I: Điều kiện II: + + +1 = 4" 5+ 4+3+ = 4"  II = I = Ta thấy I = II có nghĩa hai điều kiện đo khác cho độ xác Với kết ta lầm tưởng hai kết qủa đo hai điều kiện đo đạt độ xác nhau, Nhưng điều kiện II tốt biến động sai số điều kiện II < điều kiện I (hình 2.1) Khoảng biến động điều kiện II -5 -4 Khoảng biến động điều kiện I +5 1.4.2 Sai số trung phương (m) +7 Để phản ánh mức độ dao động sai số người ta dùng sai số trung phương để đánh giá độ xác đại lượng đo Khi có dãy sai số thực, n vơ lớn sai số trung phương tính : Cơng thức gần Gauss: m=  =  n 21 + 22 + + 21n n (2-6) Trong đó:  sai số thực: i = L0 - Li (2.7) n số lần đo Vậy sai số trung phương (m): Là bậc hai trị trung bình cộng bình phương sai số thực thành phần Ví dụ: Với số liệu mục (2.2.1), thay vào (2-6): mI = mII = 25 + + 49 + = 4."58 25 + 16 + + 16 = 4."06 Từ kết ta thấy rõ ràng điều kiện II tốt điều kiện I 1.4.3 Sai số xác suất (r) Sai số xác suất trị số sai số ngẫu nhiên mà sai số ngẫu nhiên khác có trị tuyệt đối lớn nhỏ có khả xuất Nếu xếp sai số ngẫu nhiên theo thứ tự tăng dần coi sai số nằm sai số xác suất Bằng lý thuyết xác suất người ta chứng minh mối quan hệ sai số xác suất sai số trung phương m: r = 0.6745m  m  = 0.7979m  m (2-8) (2-9) 1.4.4 Sai số trung phương tương đối Sai số trung bình, sai số trung phương, sai số giới hạn sai số tuyệt đối Trong đo dài dùng sai số tương đối phản ánh rõ mức độ xác kết đo Sai số tương đối tỷ số sai số đo giá trị đại lượng đo Trong tử số ln nhận mẫu số làm tròn đến bội số 10 Mẫu số sai số tương đối biểu thị cho chất lượng đo đạc, mẫu số lớn độ xác đo cao ngược lại mL = T L (2-10) Ví dụ: Đo chiều dài đoạn thẳng thước thép kết sau: m S = 5mm S1 = 50m; mS = 5mm S2 = 250m; Nừu nhìn vào trị số tuyệt đối mS ta tưởng hai cạnh đo với độ xác nhau, dùng sai số tương đối ta thấy cạnh S2 có độ xác cao Sai số trung phương tương đối: mS1 S1 mS2 S 21 = = ; 50 000 10 000 = = 250 000 50 000 1.4.5 Sai số giới hạn Theo đặc tính thứ sai số ngẫu nhiên nêu rõ: điều kiện đo định, trị số tuyết đối sai số ngẫu nhiên không vượt giới hạn định Như vậy, dãy kết đo, trị đo có sai số vượt q giới hạn trị đo không phù hợp với quy luật xem khơng đảm bảo độ xác khơng dùng để cải vào kết đo Giá trị sai số giới hạn phụ thuộc chủ yếu vào điều kiện đo.Trong lý thuyết xác suất người ta chứng minh sai số đo phù hợp với quy luật phân phối chuẩn có 3% sai số ngẫu nhiên có giá trị lớn lần sai số trung phương, 5% sai số ngẫu nhiên có giá trị vượt lần sai số trung phương Trong thực tế số lần đo không nhiều, sai số ngẫu nhiên lớn lần sai số trung phương có khả xuất Vì ta thường lấy lần sai số trung phương làm giới hạn sai số ngẫu nhiên Gọi max sai số giới hạn, ta có: max = 3m (2.11) Trong trắc địa cơng trình với u cầu độ xác cao, thường quy định: max = 2m (2.12) 1.5 Sai số trung phương hàm trị đo Trong toán trắc địa đại lượng cần xác định thường hàm số mà đối số đại lượng đo trực tiếp Vì ta cần phải xác định sai số trung phương hàm đối số trị đo trực tiếp độc lập Ví dụ: Để xác định gia số toạ độ X, Y ta phải xác định thơng qua trị đo cạnh S góc định hướng , góc  lại xác định thơng qua góc  1.5.1 Sai số trung phương hàm số dạng tổng quát Giả sử ta có hàm số dạng tổng quát sau: F = f(x,y,…,u) (2.13) Trong đó: x, y, …,u đại lượng đo độc lập, có sai số trung phương tương ứng m x, my, , mu Ta cần xác định sai số trung phương hàm trị đo mf Gọi X, Y, ,U trị thực đại lượng đo độc lập, sai số thực tương ứng là: X = xi + xi →xi = X - xi Y = yi + yi →yi = Y - yi ………………………… U = ui + ui →ui = U - ui Sai số thực hàm: Fi = F - fi Hay: Fi = F ( X, Y,…, U) – fi (x, y,…,u) Hoặc: Fi = F (xi + xi, yi + yi,…, ui + ui) – f( xi, yi,…, ui) (2.15) Khai triển Taylor bỏ qua số hạng bậc cao cách lấy đạo hàm riêng hàm số F theo đối số x, y,…, u, ta có:  F   F   F  y i + +  Fi =  u i xi +   u   x   y  (2.16) (với i = 1,2, ,n) Bình phương vế (2-16) sau lấy tổng vế chia cho số lần đo n: F F  =  F  x.x +  F  y.y  + + 2 F . F  x.y  + +  F  u.u  n    x   y    n     x   y  n n    u  n Theo giả thiết đại lượng x, y,…, u đại lượng đo độc lập sai số x, y,…, u sai số ngẫu nhiên độc lập Theo tính chất sai số ngẫu nhiên định nghĩa sai số trung phương ta có:  F   F   F   m y + +  =  m u  m x +   u   x   y  m F (2.17) Hay:  F   F   F   m y + +  mF =   m x +   m u  x   u   y  2 (2.18) Ví dụ: Trong tam giác đo góc: 1 = 500 00’ 00”; 2 = 600 00’ 00” Với sai số m1 = 3”; m2 = 4” Hãy tính: m3 3? Giải: Ta có: f = 3 =1800 - (1 + 2) = 700 00’ 00” 𝜕𝑓 2 = √16 + = ±5′′ + 𝑚𝛽2 Vì ( ) = 𝑛ê𝑛 𝑚𝛽 = √𝑚𝛽1 𝜕𝛽 1.5.2 Sai số trung phương số hàm đơn giản * Sai số trung phương hàm dạng: Giả sử có hàm số dạng: F = a1L1 + a2L2 + +anLn (2.19) Trong đó: số Li đại lượng đo với sai số trung phương mi Vi phân hàm F theo đối số đại lượng đo chuyển vi phân thành sai số thực ta được: F = a1L1 + a2L2 + +anLn (2.20) Và chuyển sang sai số trung phương: m F = a 21m L + a 2 m L + + a n m L n Hay: m F = a 21 m L1 + a 2 m L2 + + a n m Ln (2.21) Nếu a1 = a2 = = an =1: → m F = m L + m L + + m L n Nếu đo độ xác: m L = m L = = m L = m L ta có: n mF = mL n (2.22) * Sai số trung phương hàm số dạng: Giả sử hàm số có dạng: F= L1 L2 L3 Áp dụng cơng thức tính sai số trung phương hàm tổng quát: m F L =   L3 2 LL L    m L1 +   m L2 +   L3  L3     m L3  (2.23) Khi toán vừa hàm có trị đo góc vừa có trị đo chiều dài chênh cao sử dụng công thức hàm tổng quát ta phải biểu thị sai số trung phương đo góc dạng mβ/ρ’’ Ví dụ: Xác định chênh cao h phương pháp đo cao lượng giác: h = S tgV + i - t Với trị đo sai số trung phương là: S = 143.5m; V =2030 ; i = 1.5m; l = 2.2m, mS = ±1’; mi =ml= (coi sai số), ta có hàm: h = 143.5tg2030 +1.5 - 2.2 = 5.76m 𝑚ℎ = √𝑡𝑔2 𝑉 𝑚𝑆2 + 𝑠 𝑚𝑣2 = ±0.048𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑉 𝜌2 Ví dụ: Một cạch đường chuyền S đo thành đoạn liền kết sau: L1= 91,24m  0,20m ; L2= 79,15m  0,15m L3= 102,05m  0,35m ; L4= 117,35m  0,18m Hãy tính sai số trung phương sai số trung phương tương đối cạnh đường chuyền - Chiều dài cạnh đường chuyền : S = L1+L2+L3+L4 = 390.39m - Sai số trung phương : m S =  m L + m L  + m L + m L  = ,m Vậy  mS ,  = =  T S ,  1.5 Công thức Fererô 10 ... Sai số xác suất (r) Sai số xác suất trị số sai số ngẫu nhiên mà sai số ngẫu nhiên khác có trị tuyệt đối lớn nhỏ có khả xuất Nếu xếp sai số ngẫu nhiên theo thứ tự tăng dần coi sai số nằm sai số. .. tới kết đo Vì sai số thơ sai số hệ thống tìm biện pháp loại trừ giảm bớt nên coi sai số ngẫu nhiên thành phần chủ yếu sai số đối tượng nghiên cứu lý thuyết sai số 1.3 Đặc tính sai số ngẫu nhiên... 1.2.3 Phân loại sai số Dựa vào tính chất quy luật xuất xử lý số liệu đo đạc người ta phân làm loại sai số: 1.2.3.1 Sai số thô (sai lầm) Là sai số nhầm lẫn người đo đạc tính tốn, sai số thơ thường