Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán Hình học Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Ứng dụng phương pháp tọa độ tốn hình chóp Phương pháp giải Cách chọn hệ trục tọa độ: - Hệ trục tọa độ nằm đường thẳng đôi vuông góc - Gốc tọa độ thường chân đường cao hình chóp, lăng trụ có đáy hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng trung điểm cạnh đó, theo giả thiết toán Một số cách chọn hệ trục tọa độ:  Tứ diện  Hình chóp đáy tứ giác lồi Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA  OB  a;OC  2a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng OM AC bằng: A 2a B 2a 5 C 2a D 2a Hướng dẫn Gắn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Trang 153 Trang 155 a a  O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0;a;0  , C  0;0; 2a  , M  ; ;0  2      a a  AC  a;0; 2a  , OC  0;0; 2a  , OM   ; ;0  2    a OM, AC    a; a;      2   a 3a OM, AC   a   a 2       2       OM, AC  OC  a  OM, AC  OC  a     Khoảng hai đường thẳng    OM, AC  OC a 2a   d  OM, AC       3a OM, AC    cách OM AC → Chọn A Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc với AB  6a, AC  7a, AD  4a Gọi M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP là: A a B 14a C 28 a D 7a Hướng dẫn Do AB; AC; AD đơi vng góc với chọn hệ trục tọa độ Oxyz theo hình vẽ Chọn a = 1, ta có tọa độ điểm: A  0;0;0  , B  0;6;0  , C  7;0;0  , D  0;0; 4 Khi để tính thể tích tứ diện AMNP ta cần tìm tọa độ A; M; N; P M; N; P trung điểm BC; CD; BD ta có tọa độ đỉnh sau: 7  M trung điểm BC nên có tọa độ M  ;3;0  , 2  7  N trung điểm CD nên có tọa độ N  ;0;  , 2  P trung điểm BD nên có tọa độ P  0;3;         AM   ;3;0  , AN   ;0;  , AP   0;3;  2  2    21 21     AM, AN    6; 7;   ;  AM, AN  AP  3.7   42      2 Tính thể tích V tứ diện AMNP là:    V   AM, AN  AP  Thay a = vào đáp án, ta thấy đáp án D đáp án → Chọn D Trang 154 Trang 156 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA   ABCD  SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) A a B a C a D a 2 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa AS Khi đó:  a  A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , M  0;0;a  , N  0; ;a        Ta có: BC   0;a;0  , BM   a;0;a    BC, BM    a ;0;a  Mặt phẳng (BCM)    n   BC, BM   1;0;1 a có vectơ pháp tuyến Phương trình (BCM) là: x + z – a = Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) là: d  A,  BCM    a 12  12  a → Chọn D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác mp  SAD   mp  ABCD  Gọi M, N, P, K trung điểm DC, BC, SB, SD Tính khoảng cách hai đường thẳng MK AP A a 10 B a 10 C a D a 12 Hướng dẫn Gọi O trung điểm AD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: a   a   a   a   A  0;  ;0  , B  a;  ;0  , C  a; ;0  , D  0; ;0           a 3 a a  N  a;0;0  ,S  0;0;  , M  ; ;0    2    a a 3 a a a 3 K  0; ;  , P  ;  ;   4  2 4    a a a  a MK    ;  ; 2;1;     4     Đường thẳng MK có vectơ phương a  2;1;    Trang 155 Trang 157   a a a  a AP   ; ;   2;1; 4      Đường thẳng AP có vectơ phương b  2;1;       3a a  Ta có: a, b   3; 4 2;0 , AK   0; ;   4     a, b  AK 3a 3a   Vậy d  MK; AP       15 a, b      → Chọn A Bài tập tự luyện Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo với đáy góc 45 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a 3 Đáp án 1-B 2-A Dạng 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ tốn hình lăng trụ Bài tập tự luyện Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M N trung điểm AD BB’ Tính thể tích khối tứ diện A’CMN A a3 B a3 C a3 16 D a3 32 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, ta có: A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , A '  0;0;a  , B'  a;0;a  , C '  a;a;a  , D '  0;a;a  Thể tích khối tứ diện A’CMN là:    V   A ' N, A ' M  A 'C Ta có: Trang 156 Trang 158 a   a    a    a    N  a;0;  , M  0; ;0   A ' N   a;0;   , A ' M   0; ; a  , A 'C   a;a; a  2   2        a    a a3 a2    A ' N, A ' M    ;a ;   A ' N, A ' M  A 'C   a   a 4 2  3 a3 Vậy thể tích khối tứ diện A’CMN là: V  a  → Chọn B Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân, AA '  2a, AB  AC  a Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ I tâm hình chữ nhật AA’B’B Tính khoảng cách hai đường thẳng IG G’C, biết hai đường thẳng song song với A 2a 41 B a 41 C 3a 41 D 4a 41 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ A  O  0;0;0  Khi tọa độ điểm là: a a  a a  a  B  a;0;0  , C  0;a;0  , A '  0;0; 2a  , B'  a;0; 2a  , C '  0;a; 2a  , G  ; ;0  , G '  ; ; 2a  , I  ;0;a  3  3  2  ( I I’ trung điểm AB’ A’B)   a a    a 2a    a 2a   IG    ; ; a  , G 'C    ; ; 2a  , GC    ; ;0     3   3    G 'C, GC    d  IG, G 'C   d  G, G 'C    G 'C    4a 2a  Ta có G 'C, GC    ; ;0    Vậy d  IG, G 'C   2a 41 → Chọn A Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình vng A’B’C’D’ M điểm thuộc đường thẳng OI cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng (MC’D’) (MAB) bằng: A 13 65 B 85 85 C 17 13 65 Trang 157 D 85 85 Trang 159 Hướng dẫn Khơng giảm tính tổng qt, giả sử cạnh hình lập phương Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cho gốc tọa độ trùng với điểm B’ Khi đó, C '  6;0;0  , D '  6;6;0  , M  3;3;1 , A  0;6;6  , B  0;0;6    MC'  3; 3; 1 , MD '   3;3; 1 Suy vectơ pháp tuyến (MC’D’) là:    n1   MC', MD '   6;0;18   1;0;3    MA  3;3;5  , MB   3; 3;5 Suy vectơ pháp tuyến (MAB) là:    n1   MA, MB   30;0;18    5;0;3  Gọi  góc hai mặt phẳng (MC’D’) (MAB), ta có   n1.n 14 cos =    340 n1 n Vậy sin    cos   85 85 → Chọn B Bài tập tự luyện Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy 60 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) A a 13 B 13a 13 C 3a 13 D a 13 Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  AD  a, AA '  b Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M A V  a 2b B V  a 2b C V  a 2b D V  a 2b 16 Đáp án 1-C 2-B Phần 2: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC là: A 10 B 5 10 C D 10 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC) A a2 16 B a 10 16 C a 10 32 Trang 158 D a2 32 Trang 160 Câu Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh AB  AD  a, AA'= a   60 Gọi M, N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Tính khoảng cách hai góc BAD đường thẳng A’C MN A a 15 10 B a 15 C a 15 20 D a 15 15 Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, có AA1  2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1 Lấy điểm M di động AA1 Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MC1D A SMC1D  3a B SMC1D  5a C SMC1D  a 42 D SMC1D  a 15 Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a mặt phẳng (C’AB) hợp với mặt đáy (ABC) góc   0    90  Tìm  để hai mặt phẳng (ABC’) (A’B’C’) vng góc với A   90 B   60 C   45 D   30 Câu Cho tứ diện S.ABC có SC  CA  AB  a 2,SC   ABC  , tam giác ABC vuông A Các điểm M  SA, N  BC cho AM  CN  t   t  2a  Tính t để MN ngắn A t  a B t  2a C t  a D t  a Câu Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh SA  4, AC  3, BC  Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính góc  tạo hai mặt phẳng (SHB) (SBC) A   8235'57 '' B   97 24 ' '' C   6330 ' D   1514 '13'' Câu Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a, đáy ABCD hình thang vng A B, AB  BC  a, AD  2a Gọi E, F trung điểm AD SC Xác định tâm I bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE A I  a; 2a;3a  , R    a 11  C I 2a;a 2;a , R   B I a;a 2;a , R  a 11 a 11  a 3a 3a  D I  ; ;  , R  2 2  a 11 Đáp án: 1-D 2-B 3-C 4-D 5-C 6-B Trang 159 7-A 8-D Trang 161 4,Ф20ј4  162 CHƯƠNG VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa véc tơ Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối   A Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta kí hiệu: AB a     Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y, B  Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vec tơ phương, hướng, hai vec tơ Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ    Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB , kí hiệu AB Ta có AB  AB Hai vectơ có giá song song trùng gọi vectơ phương Hai vectơ hướng Hai vectơ ngược hướng Hai vectơ Hai vectơ phương chúng hướng độ dài Chú ý: Vectơ – không hướng với vectơ Các quy tắc vec tơ    Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta có AB  AC  CB    Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD hình bình hành ta có: AC  AB  AD    Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB, M điểm bất kì: 2MI  MA  MB     Quy tắc trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC: GA  GB  GC      3MG  MA  MB  MC (M điểm bất kỳ)    Quy tắc tam giác hiệu hai vectơ: với ba điểm A, B, C ta có: AB  CB  CA        Vec tơ đối vectơ a kí hiệu a Đặc biệt a  a  0, AB   BA   PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho điểm khơng thẳng hàng, xác định vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểm cuối điểm trên? A 21 B 42 C 12 D Hướng dẫn Lấy điểm điểm ta đoạn thẳng, có C27  21 đoạn thẳng Trang 160 Trang 163   Mỗi đoạn thẳng tạo thành vectơ, ví dụ đoạn thẳng AB tạo hai vectơ AB BA Vậy số vectơ tạo 2C27  42 → Chọn B Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Khẳng định sau sai?         A MN  QP B QP  MN C MQ  NP D MN  AC Hướng dẫn MN / /PQ Ta có  (do song song AC ) MN  PQ Nên MNPQ hình bình hành       Do MN  QP, QP  MN , MQ  NP đáp án     Đáp án MN  AC sai MN  AC → Chọn D Bài tập tự luyện Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ không, phương với có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác là: A B C D Câu Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏi cặp vectơ sau hướng?         A MN CB B AB MB C MA MB D AN CA Câu Hai vectơ gọi khi: A Giá chúng trùng độ dài chúng B Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành C Chúng trùng với cặp cạnh đối tam giác D Chúng hướng và độ dài chúng Đáp án: 1–B 2–B 3–D Dạng 2: Các phép tốn vectơ Ví dụ minh họa     Ví dụ 1: Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  Mệnh đề sau đúng? A M trung điểm BC B M trung điểm AB C M trung điểm AC D ABMC hình bình hành Hướng dẫn          MA  MB  MC   MA  MB  MC  BA  MC Trang 161 Trang 164 Thay điểm (-4;-10;2) đáp án A vào thấy thỏa mãn  Chọn A Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;3;1), B(2;3;5) đường thẳng : x 1 y  z   Điểm M   mà MA2+MB2 nhỏ có tọa độ: 1 A M(-1;0;4) B M(1;-2;0) C M(-1;-3;1) D M(2;-3;-2) Hướng dẫn Cách 1: Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB H hình chiếu I lên đường thẳng  Khi ta có: MI  MA2  MB AB MI  AB HI  AB   MA2  MB   2 MA2+MB2 nhỏ M trùng với H  Ta có I(0;3;3), H thuộc đường thẳng  nên H(1-t;-2+t;2t) IH  (1  t ; 5  t ; 2t  3)   Do HI vng góc  nên ta có HI u   (1  t )  (5  t )  2(2t  3)   t  Vậy M(-1;0;4) Cách 2: Giả sử M(-t+1;t-2;2t)  d Ta có: MA2 = t2 + (t-6)2 + (2t-2)2 = 6t2 - 20t + 40 MB2 = (-t + 2)2 + (t - 4)2 + (2t - 4)2 = 6t2 - 28t + 36 Do MA2+MB2 = 12t2 - 48t + 76 = 12(t-2)2 + 28 ≥ 28 Vậy min(MA2+MB2) = 28  t =  M(-1;0;4)  Chọn A Bài tập tự luyện x  1 t  Câu Khoảng cách đường thẳng (d):  y  2t (d’): z   t  A B 5 C x   t   y  4t là:  z   2t  D 2 Câu Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + = đường thẳng d: x 1 y  z    Gọi Q mặt phẳng chứa d song song với (P) Khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) là: A 14 B 14 14 C 14 Câu Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: D 14 14 x 1 y z 1   mặt phẳng (P): 2 1 x + y + z + = Khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P) bằng: A B C 3 D 3 Đáp án: Trang 138 Trang 15 140 1-B 2-B 3-C PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP x  t  Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):  y  1  t Vectơ vectơ phương  z   2t  đường thẳng d?  A u  (1; 1; 2)  B u  (1; 2;0)  C u  (0; 1;6)  D u  (0;1; 6) Câu Trong không gian Oxyz, lập phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(1;-2;3)  x  1  2t  song song với đường thẳng  :  y   t  z  3  t  A d : x 1 y  z    1 1 B d : x 1 y  z    1 C d : x 1 y  z    1 D d : x 1 y  z    1 Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đường thẳng  : x 1 y 1 z   Đường thẳng d 1 qua M song song với  là: A x  y 1 z   2 1 B x  y 1 z   1 C x  y 1 z   1 D x  y 1 z   1  x  2  t  Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y  6t Đường thẳng d qua điểm  z  3  điểm sau đây: A M(-1;6;-2) B M(0;12;-3) C M(1;8;1) Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : D M(1;18;-3) x 1 y 1 z   Điểm M thuộc đường thẳng d có 2 4 cao độ có tọa độ : A M(3;-2;4) B M(4;3;-2) C M(-2;3;-1) Câu Cho điểm A(-1;0;2), B(2;1;-1), C(0;-3;4) đường thẳng d : D M(3;-2;4) x  11 y  z  14   D điểm   thỏa mãn AB  CD Tọa độ điểm đối xứng D qua đường thẳng d là:  2  A D '  ; ;  3 3 B D’(9;0;-5) C D’(5;-3;1) Trang 139 D D’(1;-6;3) Trang 16 141 Câu Cho điểm A(2;1;-3), B(-3;5;2) đường thẳng d : x  y z 1   Phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng AB qua d là:  x  1  7t '  A  y   4t ' z   t '   x   7t '  B  y   4t ' z   t '   x   7t '  C  y  3  4t ' z   t '  Câu Đường thẳng sau song song với d :  x   7t '  D  y   4t '  z  4  t '  x2 y4 z4   3 A x 1 y  z 1   3 B x2 y4 z4   1 C x 1 y  z 1   1 2 D x 1 y  z 1   1 2 x 1 y  z 1   mặt phẳng (P): 1 x + y - z + m = Với giá trị m đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: A m  B m = C m > Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: D m   x  y 1 z  x 1 y 1 z 1     d’: 2 2 Khoảng cách d d’ là: A B C D  x   2t  Câu 11 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;-1;3) đường thẳng d  y  Khoảng cách  z  t  từ A đến đường thẳng d là: A B 14 C D x y 1 z   Xác định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng 2 cách từ M đến  OM với O gốc tọa độ Câu 12 Cho đường thẳng  : A (-1;0;0) (1;0;0) B (2;0;0) (-2;0;0) C (1;0;0) (-2;0;0) D (2;0;0) (-1;0;0) x   t  Câu 13 Góc đường thẳng d :  y  mặt phẳng (P): y – z + = là: z   t  A 30o B 45o C 60o Câu 14 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : D 90o x  y 1 z    điểm A(1;7;3) Tìm 3 2 tọa độ điểm M thuộc d cho khoảng cách hai điểm A, M 30 , biết M có hồnh độ ngun Trang 140 Trang 17 142  51 1 17  A  ; ;  7 7  B (9;1;-3) C (3;-3;1) D (6;-1;2) Đáp án: 1-A 2-C 3-D 4-D 11-B 12-D 13-A 14-C 5-A 6-D Trang 141 7-B 8-D 9-A 10-B Trang 18 143 CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRONG TÂM Phương trình tắc mặt cầu Trong không gian Oxyz, mặt cầu  S tâm I  a;b;c  , Ví dụ: có bán kính R có phương trình là: Mặt cầu  S tâm I 1; 2;3 ,bán kính  x  a    y  b  z  c Phương trình tắc mặt cầu là: 2  R  x  1   y     z  3 2  16 Phương trình tổng quát mặt cầu Trong không gian Oxyz, dạng khai triển Phương trình tổng quát mặt cầu là: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với x  y  z  2x + 4y  z   2 a + b + c  d > phương trình tổng quát mặt cầu tâm I  a;  b;  c  , có bán kính R  a + b2 + c2  d Vị trí tương đối hai mặt cầu Cho hai mặt cầu: Ví dụ: S1  :  x  a1    y  b1    z  c1  I1  a1 ;b1 ;c1  , bán kính R1 2 2  R 22 có tâm Ta có: I1I  2  S2  : x   y  1   z  3 2  có tâm I  0;1;3 , bán kính R  I  a ;b ;c  , bán kính R  a  a1    b  b1    c2  c1  Cho mặt cầu:  x  1   y     z    có tâm I1 1; 2;3 , bán kính R1   S2  :  x  a    y  b    z  c2   R12 có tâm 2 Nếu: I1I  R1  R , hai mặt cầu  S1  ,  S2  lồng Ta có: I1 I    1  1      3 R1  R  Nếu I1I  R1  R , hai mặt cầu  S1  ,  S2  tiếp xúc R1  R  2  10 Do R1  R  I1 I  R1  R nên hai mặt cầu Nếu R1  R  I1 I  R1  R , hai mặt cầu S1  ,  S2  cắt theo giao tuyến đường tròn S1  ,  S2  cắt theo giao tuyến đường tròn Nếu I1I  R1  R , hai mặt cầu  S1  ,  S2  tiếp xúc Nếu I1 I >R1  R , hai mặt cầu  S1  ,  S2  Trang 142 Trang 144 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu  S tâm I  a;b;c  , bán kính R, có Ví dụ: Cho mặt cầu  S tâm I 1;2;3 bán kính R = phương trình: S :  x  a    y  b    z  c  2 có phương trình:  R S : x  y2  z  2x  4y  z   Và mặt phẳng  P  có phương trình:  P  : Ax  By  Cz  D  mặt phẳng  P  : x  y  z  Gọi H hình chiếu I lên mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu I lên mặt phẳng  P  Ta có: IH  d  I;  P    Ta có: IH  d  I;  P    Aa+Bb+Cc+D 2 A +B +C Nếu IH > R, mặt phẳng  P  không cắt mặt cầu 1+2+3 12 + 12 + 12 2 3R Vì IH > R, mặt phẳng  P  không cắt mặt cầu  S  S Nếu IH  R, mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu S Mặt phẳng  P   S gọi tiếp diện mặt cầu Nếu IH < R, mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S theo thiết diện đường tròn  C  có tâm H, bán kính r xác định theo công thức r  R  IH PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tâm bán kính phương trình mặt cầu Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x + 3   y + 1   z  1  Tâm  S có tọa 2 độ là: A  3; 1;1 B  3; 1;1 C  3;1; 1 D  3;1  1 Hướng dẫn Mặt cầu  S :  x + 3   y + 1   z  1  có tâm I  3; 1;1 bán kính R  2 2  Chọn A Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình x  y  z  2x  4y + z   Tìm tọa độ tâm I bán kính R  S A Tâm I  1; 2; 3 bán kính R  B Tâm I 1; 2;3 bán kính R  C Tâm I  1; 2;3 bán kính R  D Tâm I 1; 2;3 bán kính R  16 Trang 143 Trang 145 Hướng dẫn Dựa vào phương trình mặt cầu  S : x  y  z  2x  4y + z   0, ta có: tâm I  1; 2; 3 bán kính R   1  22   3   2   16   Chọn A Ví dụ 3: Phương trình  S : x  y  z  2mx + 4y + 2mz  m  5m  phương trình mặt cầu với điều kiện m? m  B  m  A m  m  C  m  D m  Hướng dẫn Tương ứng với dạng tổng quát x  y  z  2ax + 2by + 2cz  d  0,  S : x  y2  z  2mx  4y  2mz  m  5m  ta có phương trình có a = m, b = 2 , c = m , d = m  5m Phương trình  S phương trình mặt cầu khi: m  2 a  b  c  d  hay m   2     m    m  5m    m  5m     m   Chọn C Bài tập tự luyện Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :  x     y  1   z    16 Tìm 2 tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu  S A I  2; 1; 3 , R  16 B I  2;1; 3 , R  C I  2; 1;3 , R  16 D I  2; 1;3 , R  Câu Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x + 1   y     z  3  12 Khẳng định sai 2 khẳng định sau? A  S qua điểm N  3; 4;  B  S qua điểm M 1;0;1 C  S có bán kính R  D  S có tâm I  1; 2;3 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : x  y  z  2x  4y   Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu  S A I  1; 2;0  , R  B I  1; 2;0  , R  C I 1; 2;0  , R  D I 1; 2;0  , R  Đáp án: 1B 2A 3A Trang 144 Trang 146 Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu Phương pháp giải Các trường hợp hay gặp phương trình mặt cầu: Trường hợp 1: Mặt cầu tâm I, qua điểm A  x A  x I    yA  yI    zA  zI  Khi bán kính R  IA  2 Trường hợp 2: Mặt cầu đường kính AB,  x  x y  yB z A  z B  ; Tâm I trung điểm AB  I  A B ; A  2    x A  x I    yA  yI    zA  zI  Bán kính R  IA  2 Trường hơp 3: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bước 1: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b2  c2  d  Bước 2: Vì điểm A, B, C, D thuộc mặt cầu nên ta thay tọa độ A, B, C, D vào hệ phương trình bốn ẩn  x 2A  y 2A  z 2A  2ax A  2by A  2cz A  d   2  x B  y B  z B  2ax B  2by B  2cz B  d   2  x C  y C  z C  2ax C  2by C  2cz C  d   x  y  z  2ax  2by  2cz  d  D D D D D  D Bước 3: Giải a, b, c, d , từ tìm phương trình mặt cầu Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz cho A  2;1;0  , B  2; 1;  Viết phương trình mặt cầu  S có tâm B qua điểm A A  S :  x     y  1   z    24 B  S  :  x     y  1   z    24 C  S  :  x     y  1  z  24 D  S  :  x     y  1   z    24 2 2 2 2 2 Hướng dẫn Phương trình mặt cầu  S có tâm B  2; 1;  qua điểm A có bán kính là: R  AB       1  1     2  Vậy phương trình mặt cầu  S  :  x     y  1   z    24 2  Chọn B Trang 145 Trang 147 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho A  2;1;0  , B  2; 1;  Viết phương trình mặt cầu  S có đường kính AB A S  : x  y   z  1  24 B  S : x  y   z  1  C  S : x  y   z  1  D  S : x  y   z  1  24 2 2 Hướng dẫn Phương trình mặt cầu  S có đường kính AB có  x  x y  yB z A  z B  ; Tâm I trung điểm AB  I  A B ; A    0;0;1 2   AB  Bán kính R       1  1     2 24   Vậy phương trình mặt cầu  S : x  y   z  1   Chọn C dụ Ví 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ C 443 Oxyz, cho tứ diện D 443 10 A 1; 2; 2;  , B  1; 2; 1 , C 1;0; 1 Tìm bán kính mặt cầu  S ngoại tiếp tứ diện ABCO A B 443 ABCO với Hướng dẫn Gọi phương trình mặt cầu có dạng x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b  c  d  Vì điểm A, B, C, O thuộc mặt cầu nên ta có hệ: d   1    2a  4b  4c  d  d  a  9  2 2a  4b  4c  9 10  1    1  2a  4b  2c  d      2   1  02   1  2a  2c  2a  4b  2c =  c  10   2a  2c  2 d  b  19  10 2 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp R  a  b  c  d  443 10  Chọn D Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 1;0  mặt phẳng  P  : x  2y  z   Gọi I hình chiếu vng góc A mặt phẳng  P  Viết phương trình mặt cầu  S qua điểm A có tâm I A  S  :  x  1   y  1   z  1  2 B  S  :  x  1   y  1   z  1  Trang 146 2 Trang 148 C  S  :  x  1   y  1   z  1  2 D  S  :  x  1   y  1   z  1  2 2 Hướng dẫn   Gọi d đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng  P   ud  n P  1; 2;1 x   t  Phương trình đường thẳng d là:  y  1  2t z  t  x   t  t  1  y  1  2t x    d   P   I nên tọa độ điểm I nghiệm hệ    I 1;1; 1 z  t y   x  2y  z   z  1 Bán kính mặt cầu R  IA  Vậy phương trình mặt cầu  S là:  S  :  x  1   y  1   z  1  2  Chọn C Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y  z    điểm 1 I 1; 2;3 Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với d là: A  x  1   y     z  3  B  x  1   y     z    50 C  x + 1   y     z  3  50 D  x  1   y     z + 3  50 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn    IA; u     d qua A  1; 2; 3 có vectơ phương u   2;1; 1  d  I,d   5  u Do đó, suy mặt cầu có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  d  I,d   Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1   y +2    z    50 2  Chọn B Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1;0  , B  2;3;  đường thẳng  x  2t   d  :  y  Viết phương trình mặt cầu S qua hai điểm A, B có tâm nằm đường thẳng d z  2t  A  S  :  x  1   y  1   z    17 B  S :  x  1   y  1   z    C  S :  x  1   y  1   z    D  S :  x  1   y  1   z    16 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn Trang 147 Trang 149 Giả sử I  2t  1; t; 2 t   d tâm mặt cầu  S IA =  2t  1   t  1   2 t  2  9t  6t +2, IB =  2t     t     2t   2  9t  14t + 22 Vì IA  IB  9t  6t +2  9t  14t + 22  t  1 Tọa độ tâm I mặt cầu I  1; 1;  bán kính R  IA  17 Vậy phương trình mặt cầu  S là:  S  :  x  1   y  1   z    17 2  Chọn A Bài tập tự luyện Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E  2;1;1 , F  0;3; 1 Phương trình mặt cầu  S đường kính EF là: A  S  :  x  1   y    z  B  S  :  x  1   y    z  C  S :  x  1   y    z  D  S :  x  1   y    z  2 2 2 2 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2;3 , A 1;1;  Phương trình mặt cầu  S tâm I qua điểm A là: A  S  :  x  1   y     z  3  B  S :  x  1   y     z    C  S :  x  1   y     z    D  S :  x  1   y     z    2 2 2 2 2 2 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  2;1;1 mặt phẳng  P  : 2x  y  2z   Viết phương trình mặt cầu  S tâm I tiếp xúc với mặt phẳng  P  A  S :  x     y  1   z  1  B  S :  x     y  1   z  1  C  S :  x     y  1   z  1  D  S :  x     y  1   z  1  2 2 2 2 2 2 Đáp án: 1A 2D 3A Dạng 3: Vị trí tương đối Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  2;1; 1 mặt phẳng  P  : x  2y  2z   Bán kính mặt cầu  S tâm I tiếp xúc với mặt phẳng  P  là: A B 1 C D Hướng dẫn Trang 148 Trang 150 Bán kính mặt cầu  S là: R  d  I,  P     2.1   1  1   2   2   Chọn A Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2;  mặt phẳng  P  : 2x  2y  z   Viết phương trình mặt cầu  S tâm I cắt mặt phẳng  P  theo đường trịn có chu vi 8π A  S :  x  1   y     z    36 2 C  S :  x  1   y     z    2 B  S :  x  1   y     z    313 D  S :  x  1   y     z    313 313 2 2 Hướng dẫn Bán kính đường trịn là: r  Ta có: d  I,  P    C  2π 2.1  2.2  1.2  22  22  12  13 Do bán kính mặt cầu  S là: R  r  d  I,  P   2 313  13      3 Vậy phương trình mặt cầu  S là:  S :  x  1   y     z    2 313  Chọn C Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  điểm A  2;3;  2 Xét điểm M thuộc  S cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S , M thuộc mặt phẳng có phương trình là? A x  y  z   B 2x  2y  2z  15  C x  y  z   D 2x  2y  2z  15  Hướng dẫn Cách 1: Mặt cầu  S có tâm I 1; 2;3 bán kính R  Ta có IA = Khi AM  IA  R  Hạ MH  AI AH  hay AH = AM 2  AI    10  AI  HA  2HI   H  ; ;  3 3   Khi ta có M thuộc mặt phẳng  P  qua H nhận vectơ IA  1;1;1 làm vectơ pháp tuyến nên M   P  : x  y  z   Trang 149 Trang 151 Cách 2: Ta có AM = IA  R  M thuộc mặt cầu tâm A bán kính AM M thuộc  S Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  x  12   y  2   z  2   2  x     y  3   z    Trừ hai vế hệ phương trình ta điểm M thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z    Chọn A Bài tập tự luyện Câu Trong phương trình sau, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu  S :  x  1   y  3   z   2  49 điểm M  7; 1;5  ? A  P1  : 6x  2y  3z  55  B  P2  : 6x  2y  2z  34  C  P3  : 2x  2y  3z  27  D  P4  : 6x  2y  3z  55  Câu Trong không gian vớii hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  S : x  y   z    P  : 3x  4y  12  mặt cầu  Khẳng định sau đúng? A  P  qua tâm mặt cầu  S B  P  tiếp xúc với mặt cầu  S C  P  cắt mặt cầu  S theo đường tròn mặt phẳng  P  qua tâm mặt cầu  S D  P  khơng có điểm chung với mặt cầu  S Đáp án: 1A 2D PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình  S : x  y  z  x  y  2z  10  Khẳng định sau đúng? 1  A  S mặt cầu có tâm I  ; ; 1 2  C  S mặt cầu có bán kính R  Câu Trong không gian B  S phương trình mặt cầu  1 1  D  S mặt cầu có tâm I  ; ; 1  2  46 với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình 2 2 2 S1  :  x     y     z  3  4,  S2  :  x  1   y  2   z  1  9, 2  2 S3  :  2x  1   2y     2z  3  Trang 150 Trang 152 Có phương trình phương trình mặt cầu? A B C D Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  S : x  y  z  2m x  4my  8m   phương trình mặt cầu với điều kiện m? A m  m   B   m  C m   D m  m   Câu Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S tâm I bán kính R mặt phẳng  α  Nếu d  I,α   R vị trí tương đối mặt cầu  S mặt phẳng  α  là: A Mặt phẳng  α  tiếp xúc với mặt cầu  S B Mặt phẳng  α  cắt mặt cầu  S C Mặt phẳng  α  mặt cầu  S khơng có điểm chung D Mặt phẳng  α  cắt mặt cầu  S tiếp xúc với mặt cầu  S Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 3; 2  , gọi A giao điểm đường thẳng x  t   d  :  y   t măt phẳng  P  : x  2y  z  Viết phương trình mặt cầu  S tâm I qua điểm A z   A  S :  x  1   y  3   z    21 B  S :  x  1   y  3   z    C  S :  x  1   y  3   z    21 D  S :  x  1   y  3   z    25 2 2 2 2 2 2 Câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  y   0,  Q  : x  2y  z  Gọi  S mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P  A 1;0;  có tâm thuộc mặt phẳng  Q  Bán kính mặt cầu  S bằng: A B C D 3 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2; 3 ,A 1;0;  Phương trình mặt cầu  S tâm I qua điểm A là: A  S :  x  1   y     z    B  S :  x  1   y     z    53 C  S :  x  1   y     z    D  S :  x  1   y     z    53 2 2 2 2 2 2 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :  x  1   y     z    56 Gọi I 2 tâm mặt cầu  S Giao điểm OI mặt cầu  S có tọa độ là: A  1; 2; 3  3; 6;9  B  1; 2; 3  3; 6;9  C  1; 2; 3  3; 6; 9  D  1; 2; 3  3;6;9  Trang 151 Trang 10 153 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : x  y  z  2x  6y  4z  Biết OA đường kính mặt cầu  S Tọa độ điểm A là: A  1;3;  B 1; 2;3 C  2; 6; 4  D  2;6;  Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxzy, cho mặt cầu  S : x  y  z  2x  4y  6z + m  Tìm m để  S tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  2y  2z   A m  B m  2 C m  10 D m  10 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : x  y  z  4x  2y  10z + 14  mặt phẳng  P  : x  y  z   Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S theo đường trịn có chu vi là: A 8π B 4π C 4π D 2π Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  1; 2; 3 , gọi A giao điểm đường x 1 y  z    mặt phẳng  P  : 2x  2y  z   Viết phương trình mặt cầu  S tâm 3 I qua điểm A thẳng  d  : A  S :  x  1   y     z    21 B  S :  x  1   y     z    25 C  S :  x  1   y     z    21 D  S :  x  1   y     z    25 2 2 2 2 2 2 Đáp án: 1B 2B 11  B 12  D 3A 4D 5D 6A Trang 152 7D 8B 9C 10  D Trang 11 154 ... pháp tuyến đường thẳng   Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến (VTPT)  giá vng góc với  Nhận xét:  Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến    Nếu n vectơ pháp tuyến  kn  k   vectơ pháp... TỰ LUYỆN Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC là: A 10 B 5 10 C D 10 Câu Cho hình. .. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo với đáy góc 45 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a 3 Đáp án 1-B 2-A Dạng 2: Ứng dụng phương pháp