Chuyên đề bài tập bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Với x, y , z số thực dương cho x y.z  Chứng minh: 1    3 x  y 1 y  27 z 1 27 z  x 1 Lời giải Có: x y.z   x y.z  Ta có: x3   y   x.2 y  x  y   x   y    xy  x  y  z   Chứng minh tương tự:  y   3z  3z    x3   y    3  y    3z   x 1 1   1 3 x  2 y 1 3 xy  x  y  z  yz  x  y  z  xz  x  y  z    3z    x3    1 1      x  y  3z   xy yz 3zx  1    3 x  y 1 y  27 z 1 27 z  x 1 Bài Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   xy y 1 Lời giải A   3xy 3   y  3xy  y  1 xy y4        xy  y   3xy  y  3xy y  6         A 2 2 y  x  1   3 y 1  2 1 y   y  1   y   y     y  y       y   6 3  A với x, y Vậy AMin  x  1; y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho số dương a , b thoả mãn 3 a  b  a  b   ab  a  b   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  b2   a b Lời giải Ta có 3 a  b  a  b   ab  a  b    a  b   a  b  ab  1  a  b  ab   3 Vì a  b  ab   a,b  R  a  b   a  b  3 Khi ta có M a  b2  4   a b  a b   a b a b a b a b 4  1 4 1   M   a    b       a  b a b  Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho cặp số dương ta có:  4 a   a   a a   1 b   b   b  b    12     3 ab  a b GTNN M     a  a  a   Dấu “  ” xảy  b    b b 1  a  2b   Vậy M đạt giá trị nhỏ a  2; b  Bài Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x   y   x, y  0:  x  y y Lời giải   x  xy  y    x  y   x  xy  y   x  y    x  y   x  y   x2  y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 96 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  x  y    x  xy  y   x  xy  y  xy   x  y   xy  x y  xy x y 1   x y x y P  x 1 1 11 1 1 = 2  y  x  y      x  y  x y 2x 2y  x y  2x 2y x  y x y P2 2 2 x  y 2 Dấu "  " xảy x  y   2 2 Vậy giá trị nhỏ P x  y  Bài Chứng minh rằng: 3 2.1 1 Với x  ,ta ln có  x     x   x x     Lời giải 1 Ta có  x     x   x x     1      x3     x    x   x        x    x   3x     x  x x        x    x   x     x   2  x x x x       1       x    x  x   1   x   1   x   1   x   x  x x   x         x    x     x   1  x x x        x  1       x     x   1    x  x  x     x x 0    x  1 Vì x  nên  0 x   2 x  x    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 97 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab  bc  ac  3abc Tìm giá trị nhỏ a2 b2 c2   c  c2  a  a  a  b2  b  b2  c  biểu thức K  Lời giải ab  bc  ac  3abc  Ta có 1   3 a b c (1) Cauchy a2 a2  c2 c2 ac 1       2 2 2 2 c 2a c c  a  c c  a  c c  a  c a c  a  Tương tự, b2 1 c2 1 ,     2 2 a  a  b  a 2b b  b  c  b 2c 1  1 11 Khi K       2a b c Vậy Min K  a ,b , c   a  b  c  Bài điểm) Cho a , b số khác thỏa mãn điều kiện:  a  b  ab   a  b   ab Tìm giá trị lớn biểu thức P  1   a3 b3 Lời giải Theo giả thiết:  a  b  ab   a  b   ab  a 2b  ab  a  ab  b Do a  ; b  nên chia hai vế cho a 2b ta được: a Đặt x  ; y  1 1   2  a b a ab b ta : b x  y  x  xy  y (1)  x  y   x  y   xy  xy   x  y  Mà  x  y   xy  x  y Suy x y  x  y hay xy  x  y  x  y     x  y  4x  y   0 x y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 98 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ta có: P  1    x  y    x  y   x  xy  y     x  y   (do 1) a b Mà  x  y  nên   x  y    18 2 Vậy giá trị lớn P 18 x  y  a  b  Bài Cho số thực thỏa mãn x  y – xy  Tìm GTLN GTNN biểu thức P  x  y Lời giải +) Tìm GTLN P : Ta có x  y – xy     x  y – xy   x  y   x  y    P   x  y    P    x  y  2 Ta có  x  y   với x, y Suy P  x  y   x  y  2 Max P    2  x  y  xy  Vậy Max P  x  y  2 +) Tìm GTNN P : Ta có x  y – xy   x  y – xy     x  y   x  y    3P    x  y  2 Ta có  x  y   với x, y Suy 3P   P    x     y  x   y    x   x  y   y  x      Min P      2    x  y  xy  3x   x     x         y   Vậy Min P  2 2 ;y x  x   ; y  3 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 99 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  ab  bc  ca  a2 b2 c2   ab bc ca Lời giải a b2 c  a  b  c  , ta    x y z x yz Áp dụng bất đẳng thức: a  b  c  2a  b  c a2 b2 c2 A    a  b b  c c  a a  b  c   a  b   b  c    c  a    ab  bc  ca 4 1 Dấu "  " xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ biểu thức: A  a2 b2 c2   a  b  c  ab bc ca Bài 10 Cho x  y  z  Chứng minh: 14 x   14 y  14 z   Lời giải ĐKXĐ: x, y, z  4 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm 8   8  14x , ta có: 8  8 14 x       14 x 2   8  14 x    x   14 x    7x 1 (1) Chứng minh tương tự, ta có:  14 y  8 7y 1   14 z    7z 1 (2) (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:  14 x   14 y   14 z  24    x  y  z  1 Ta có: DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 100 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx Mà: xy  yx  zx   x  y  z  Suy ra:  x  y  z   3 x  y  z    Do đó: x  y  z  Suy ra:  14 x   14 y   14 z   24      1 1 24    1 Dấu “=” xảy x  y  z   Bài 11 Tìm cặp số (x ; y) với y số nhỏ thỏa mãn điều kiện x2 + 5y2 + 2y – 4xy – = Lời giải Phương trình có nghiệm ẩn x   y   y  y      y2  y     y  1   2  y    3  y  Giá trị nhỏ y 3 phương trình  x  12 x  36   x  6 Bài 12 Cho  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  2   x 3 5 x ( x  3)(5  x) Lời giải Ta có  x  nên x   0;5  x  Áp dụng BĐT Cauchy: A 2   x 3 5 x  x  3  x    x  3  x   x  3  x  Áp dụng BĐT Cauchy: Suy  x  3  x   x  3  x   x 35 x 1 1 Suy A  Vậy GTNN A  x    x  x  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 101 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 13 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ x biểu thức: P  x  y   24 y Lời giải x Ta có: P  x  y   24 16  x  y   y x y x y 1   16  2     15 x y Vậy giá trị nhỏ P  15 Dấu xảy x  2; y  2 2 Bài 14 Cho a, b, c  Chứng minh a2 b2 c2    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a b c a Lời giải Đặt 2 a b c    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a (*) b c a Vì a, b, c  nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm a, b, c, a b2 c2 ta , , b c a a2 a2 b2 b2 c2 c2 b  b  2a , c  c  2b , a2 a  2c b b c c a a  a b2 c2  a b2 c2 a2 b2 c2    a  b  c  2        a  b  c (1) b c a c a  b c a  b Suy Ta có a2 b2 c2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a   abc     a  b  c (2) b c a b c a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm a  ab  b b  bc  c c  ca  a , b, , c, ,a b c a ta a  ab  b b  bc  c c  ca  a  b  a  ab  b ,  c  b  bc  c ,  a  c  ca  a b c a (3)  a2 b2 c2  Từ (1), (2) (3) suy      a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a hay c a   b a b2 c2    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a b c a Do (*) chứng minh Dấu xảy dấu (1) (4) xảy Tức DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 102 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  a2 b2 c2 b c , ,   a a  b2 , b2  c2 , c2  a2  b c a    2 2 2 2 2 2 2  a  ab  b  b, b  bc  c  c, c  ca  a  a a  ab  b  b , b  bc  c  c , c  ca  a  a  b c a a  b2 , b2  c , c  a   a(a  b)  0, b(b  c )  0, c (c  a )  Vì a, b, c  nên suy dấu xảy a  b  c Bài 15 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 2 2b  2c  a  b 2 a  2c  b c  2a  2b  c Vì a, b, c cạnh tam giác nên 2a  2c  b , 2a  2b  c , 2b  2c  a đểu số dương Áp dụng 3a  2b  2c  a   Ta có: P cơng 2 thức Cauchy ta có: 3a  2b  2c  a  a2  b2  c2 a 2b  2c  a a 2b  2c  a   a2 3a  2b  2c  a  b 2a  2c  b   a2 a  b2  c c 2a  2b  c   a  b2  c  a  b2  c  Vậy GTNN P  a  b  c tam giác 2) Ta coi hình vẽ thành tốn đường trịn tâm  O  nội tiếp tam giác ABC tâm  O  đường tròn trùng với trọng tâm tam giác 3R (với R bán kinh đường tròn  O  ) Suy BC  ABC nên đường cao tam giác 2.3R  3R 3 Thể tích hình nón là: V   R h     R 3R  3 R Thể tích hình cầu là: V   R Vậy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngồi cầu kem V  3 R   R   R 3 Bài 16 Cho ba số dương a , b , c thoả mãn ab  bc  ca  a b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A    ab bc ca DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 103 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Lời giải Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có  a2 b2 c2  2  a  b  c A   a  b  b  c  c  a      (a  b  c) a b b c c a      Suy A  abc Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có a  b  ab b  c  bc c  a  ca Suy a  b  b  c  c  a  Suy  a  b  c   , hay Vậy nên A    ab  bc  ca  2.1  abc  2 abc  2 Khi a  b  c  1 A  Vậy giá trị nhỏ A Bài 17 Cho a, b  thỏa mãn 2a  ab   Tính giá trị nhỏ T  a  2b ab Lời giải Ta có 2a  ab    a   b   Kết hơp với a  ta suy b   a  Ta có T  2b a 2b a a 2b a      1 b a 8b 8b a 8b 7 T  1  1  b 2  b  2b b      DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 104 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 77 Cho a , b số không âm thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   Dự đoán dấu xảy a  b  Khi 3a  a  2b, 3b  b  2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu x y , dễ thấy 3a  a  2b 3b  b  2a a 3a  a  2b   a  2a  ab , b 3b  b  2a   b  2b  ab 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy  Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: M  a 3a  a  2b   b 3b  b  2a    a  b   2ab   2ab Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:  2ab   a  b  Từ ta có M  Dấu xảy  a  b  Bài 78 Với a , b , c số dương thoả mãn có ab  bc  2ac Tính giá trị nhỏ biểu thức P  ab cb  a  b 2c  b Với a , b , c số dương ta có: Lời giải 2ac , thay vào P ta ac 2ac c ac  2ac 2c  ac ab  bc  2ac  b  2ac ac P 2ac 2a  ac a  a  a  c   2ac c  a  c   2ac  2a  a  c   2ac 2c  a  c   2ac a  3c c  3a  2a 2c 3a c   1     1   2 c a  Vậy giá trị nhỏ P a  b  c Bài 79 Cho x  y  Chứng minh x  y  Ta có x  y   x  y 2 Lời giải 1 với x , y Thật vậy, 1  x  y  x  xy  y  x  xy  y    x  y   với giá trị x , y Áp dụng 1 ta có: DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 138 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC x  y  x 4  y  2 2 x   y2  2  x  y  x  y 2 2 Theo giả thiết ta có x  y  nên x  y  1   Suy x  y     Đẳng thức xảy x  y  Bài 80 Một công ty du lịch dự định tổ chức tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hồn tồn miền Nam 30  Công ty dự định giá tour triệu đồng có khoảng 150 người tham gia Để kích thích người tham gia, cơng ty định giảm giá lần giảm giá tour 100 nghìn đồng có thêm 20 người tham gia Hỏi công ty phải giảm giá tour để doanh thu từ tour xuyên Việt lớn Lời giải Gọi x giá tour (triệu đồng;  x  ) Giá giảm so với ban đầu  x (triệu đồng) Vì lần giảm giá tour 100 nghìn đồng có thêm 20 người tham gia nên số người tham gia tăng thêm giảm  x triệu đồng (2  x) : 0,1.20  400  200 x (người) Tổng số người tham gia là: 150  400  200 x  550  200 x ( người) Tổng doanh thu : L  x  550  200 x  ( triệu đồng) Tìm x để doanh thu L lớn với  x  Sử dụng bất đẳng thức Côsi, có: 2 1  200 x  550  200 x   550  3025 Dấ  200 x  550  200 x           200 200  200    u "  " xảy ⇔ 200 x  550  200 x  400 x  550  x  1, 375 L  x  550  200 x   Vậy giá tour 1,375000 triệu đồng 1  1  Bài 81 Cho x  0; y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ M   x     y   x  y  Lời giải Chứng minh bất đẳng thức phụ: Ta có: với a, b  a  b   a  b  ab    a  b   a  b  ab   2a  b 2 a 2  b  2ab  a  b  a  b  Lại có: với a, b  a  b 2 1   a  b  2ab   a  b  2ab  4ab  ab  a  b2  ab  4ab  a  a  b   b  a  b   4ab DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 139 * GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Vì a, b   ab  0; a  b  Do ta được:  *   a  a  b ab  a  b   b a  b ab  a  b   4ab ab  a  b  1   a b ab  2 Áp dụng bất đẳng thức 1   cho M ta được: 2    1 1 1   M  x y    x y     M   x  y   2 x y 2 x y x y  x y 2  1    M  2  (Áp dụng bđt thức Cauchy cho cặp số  x  y  ;   2 x y x y  25 (Vì x  y  )  M    3  2 Dấu "  " xảy x  y  25 Vậy giá trị nhỏ M Bài 82 Cho hai số dương x, y , có x  y 1    Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  1  1    x  y  Lời giải    x2 1 y 1    B  1      y  x2 y  x     ( x  1)( y  1)( x  1)( y  1)  xy  x  y  1 xy  x  y  1  x2 y x2 y2  xy   1 xy   1 x2 y2 x y  xy  1 2 x y xy xy   ( x  y )2  4 8 xy  1 9 B9 xy Xảy dấu “=” x  y  (TM ) Vậy GTNN B  x  y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 140 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 83 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  15 Chứng minh rằng: a  11 Lời giải Vì a  b  c   b  c   a ab  bc  ca  15  bc  15  a  b  c   15  a   a   a  7a  15 Áp dụng định lí Vi-ét đảo có b c nghiệm phương trình: x    a  x  a  a  15  (ẩn x ) Ta có:     a    a  a  15   3a  14a  11   3a  111  a  Để tồn hai số b , c     3a  111  a     a  Vậy a  11 11 Bài 84 Cho ba số thực không âm a ; b ; c thay đổi thỏa mãn a  b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M  2019a  4026ab  2019b  2019b  4028bc  2019c  2020a  4030ac  2020c Lời giải Ta có 2019a  4026ab  2019b   a  b  Thật vậy: 2019a  4026ab  2019b2   a  b   2019a  4026ab  2019b  3a  6ab  3b  2016a  4032ab  2016b   2016  a  2ab  b    2016  a  b   (luôn ) Ta có 2020b  4028bc  2020c   b  c  Thật vậy: 2020a  4028ab  2020b2   a  b   2020b  4028bc  2020c  3b  6bc  3c  2017b  4034bc  2017 c   2017  b  2bc  c    2017  b  c   ( đúng) Ta có 2021a  4030ac  2021c   a  c  Thật vậy: 2021a  4030ac  2021c   a  c   2021a  4030ac  2021c  3a  ac  3c  2018a  4036ac  2018c  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 141 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  2018  a  2ac  c    2018  a  c   (luôn đúng)  M  a  b  c  Ta có a  b  c  a b c  a b M  3     Thật vậy: a  b  c    a b c b c    a b c    2a  2b  2c  ab  bc  ac a c   (luôn đúng)  M  Vậy giá trị nhỏ M  dấu xảy a  b  c  Bài 85 Cho a, b số thực cho a  ab  b  a  b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  505a  505b Lời giải Tìm Min:   a  ab  b  a  b  a  b   a  b   b    2  P  505a  505b  505  a  b    MinP  Dấu "  " xảy  a  b  Tìm Max: a  ab  b  a  b   a  b   3ab  a  b Do ab   a  b 3 a  b  a  b   a  b  (do a  b  )  a  b  a  b   ab  4 2  P  505.4  2020 Dấu "  " xảy  a  b   MaxP  2020 a  b  Bài 86 Với số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  ab  bc  ca  abc Lời giải DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 142 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC   a  b2  c2  1  abc   Q 2 2 2 2 Với Q  a  b  c  abc Ta tìm gtln gtnn biểu thức Q Ta có P  ab  bc  ca  abc  Giả sử c  a, b, c ⇒  a  b  c  3c ⇒  c  Ta có: Q   a  2ab  b   c  2ab  abc    c   c  ab   c  Từ giả thiết có ab   c    ab  ⇒  a  b  3  c  c  3c  18   Q    c   c  Ta có: 16 c  3c  18    c  1  c    16   4    4 Dấu xay a  b  c  Do  c  ⇒ c  c  1  ⇒   c   c  2c  6c   2c  c  1  4c   Dấu đẳng thức xảy c  0, ab  0, a  b  c  hay c  0, a  3, b  c  0, a  0, b  ⇒ GTNN Q a  b  c  Và GTLN Q c  0, a  3, b  hoán vị a  b  c  GTNN P c  0, a  3, b  hoán vị Vậy GTLN P Bài 87 Cho xy  yz  xz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M   x  y   z Ta có: a  b  2ab với a, b    z  x  xz 1 Chứng minh tương tự, ta z  y  yz   x  y  xy  3 Từ 1 ;   ;  3 ta suy M  2( xy  yz  zx )    x     z    x  y  z  Dấu “ = ” xảy    xy  yz  xz    x       z   y 5 1 y 2 Vậy M đạt giá trị nhỏ DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 143 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 88 Cho a, b, c dương a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức A Ta có ab bc ca   c  ab a  bc b  ca ab ab   c  ab c  a  b  c   ab 1 1   ab    2bc ac  b  c  a  c  ab Tương tự 1 1  bc  bc   ; 2ba ca a  bc 1 1  ca  ca    2 cb ab b  ca Suy A  bc  1  ca  1  ab            ac bc ba ca  cb ca   ab bc ab ac bc ac          2 ac ac bc cb ab ab 1  a  b  c  2 Dấu “=” xảy  a  b  c  1 Vậy giá trị lớn A a  b  c  Bài 89 Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x y z   y 1 z 1 x 1 Lời giải Ta có  x xy xy xy xy Do ( x, y, z  )  x  y   y    y2 1 y2 1 y2 1 y x xy  x y 1 2 Tương tự: y yz z zx  y ;  z z 1 x 1 2 Suy P  x  y  z  xy  yz  zx Lại có xy  yz  zx  x  y  z  P  3 2  x  y  z  xy  yz  zx  3 3   Pmin  Dấu "  " xảy  x  y  z  2 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 144 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 90 Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn điều kiện: x  x  1  y  y  1  z  z  1  Tìm giá trị lớn biểu thức P , biết P  x  y  z Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: 1.x  y  1.z   12  12  12  x  y  z    x  y  z    x  y  z  Mà x  x  1  y  y  1  z  z  1  4   x2  y2  z    x  y  z   3   x  y  z    x2  y2  z     x  y  z    3 x  y  z    x  y  z   3 x  y  z     x2  y2  z2   x  y  z  1  P  x  y  z   P  x  y  z  4 P4 x yz x  y  z Vậy MaxP  x  y  z  Bài 91 Cho số thực dương x , y thỏa mãn: x  y  15 Tìm giá trị lớn biểu thức A  x 1  y  Lời giải Với số thực dương x , y A  , giá trị biểu thức A xác định A  x   y   x   y  điều kiện: x  1; y   Chứng minh công thức:  ax  by    a  b2  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  A2  x   y       x 1  y2   1   2  ( x   y  2).(1  1)  ( x  y  3).2  (15  3).2  36 Suy A  ( A  ) Dấu xảy x 1  y   x 1  y   x  y  Mà x  y  15  x  y  15  x  (15  1) : x  (Thỏa mãn điều   x  y   y  (15  1) : y  Nên ta có hệ phương trình  kiện) Vậy giá trị lớn biểu thức A x  8; y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 145 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 92 Cho số thực dương x , y số thực thỏa mãn: x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Lời giải Ta có:  x     y     x  y   với x, y 2  x  x   y  y   x  xy  y    x  y    x  y  xy    24  x  y  Dấu xảy x  y  Vậy MinP  x  y  Bài 93 Cho hai số thực x , y thỏa mãn: x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  xy Lời giải Do x  y  xy  7  xy   ( x  y) 2 7 2 Thay xy   ( x  y) vào P  x  y  xy , ta có: P  x  y     x  y    P  x  y  14  x  y   x  x +4    y  y  1    x     y  1  2  x  2  Vì  với x ; y  P   y  1  x   x  2  x      Dấu "  " xảy   y  1  2 y    y  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P x  y  Bài 94 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   x   x   x Lời giải + Điều kiện: 2  x  + Đặt t   x   x  t    x2   2 x  2x     x2  * t2  t2   Pt  P  (t  1)  2 Xét biểu thức t   x   x  t    x2 Với x thỏa mãn điều kiện xác định t   x2     x2   t    t  2 Mà t  nên t  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 146 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC t    x   x  2 (tm ) 2  x  2  x  Với x thỏa mãn điều kiện xác định  Áp dụng BĐT Cơ – si ta có: (2  x)(2  x)   x   x     x2   t2  t2 Dấu “=” xảy   x   x  x  (thỏa mãn) +Vì t  nên  t  1  (2  1)    t  1  1    t  1   1   2P  P2 Suy Pmax  t   x  2 + Vì t  2 nên     t  1  2  2      t  1   2  2      t  1    2      2P    P  2 2  Pmin  2   t  2  x  Vậy Pmax  x  2 Pmin  2  x  Bài 95 Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu x3  y3 y  z z  x3 thức P  2  2  2 x y y z z x Ta có: x  y  x  y   x  y  xy   x2  y x2  y 2  x y Tương tự ta có: xy  x  y  x y Lời giải 2  x y xy  x  y  xy  x y y3  z3 y  z z  x3 z  x  ;  y2  z2 z  x2 x3  y y  z z  x x  y y  z z  x Khi ta có: P  2  2  2    2 x y y z z x  P x yz 6 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 147 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC x  y y  z  Dấu “=” xảy    x  y  z 2 z  x  x  y  z  Vậy MinP  x  y  z  Bài 96 Cho x , y , z số dương thỏa mãn x  y  z  2020 xy yz zx   2020 z  xy 2020 x  yz 2020 y  zx Tìm giá trị lớn biểu thức P  Lời giải Thay x  y  z  2020 vào biểu thức P ta : xy P   x  y  z  z  xy xy xz  yz  z  xy yz   x  y  z  x  yz yz  x  xy  xz  yz   zx  x  y  z  y  zx zx xy  y  yz  zx Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có : xy xz  yz  z  xy yz x  xy  xz  yz zx   xy  x  z  y  z  yz  x  z  x  y  zx   x  y  y  z  Cộng vế 1 ,   ,  3 ta : xy  y  yz  zx xy xz  yz  z  xy   xy xy  xy xy      1 x z yz 2 y z x z  yz yz  yz yz      x z x y 2 x z x y   zx zx zx   zx      3 x y y z 2 x y y z  yz x  xy  xz  yz   2 zx xy  y  yz  zx  xy xy yz yz zx zx          2 y z x z x z x y x y yz   xy zx xy yz yz zx          2 y z yz x z x z x y x y  x y  z y  x  z z  x  y       2 y z xz x y  2020  x  y  z   1010 2 x  y  z 2020 Dấu “=” xảy  x yz  x  y  z  2020 Vậy giá trị lớn biểu thức P  1010 x  y  z  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 148 2020 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 97 Cho x  , y  , z  x  y  3z  20 x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z    2y z Lời giải P x y 3z  3x   y   z           4  x   2y   z  Ta có : x y 3z x  y  3z    5 4 Ta có : 3x 3x  2 3 x x Ta có : y y  2 3 2y 2y Ta có : z z     P  13 z z Vậy giá trị nhỏ P  13 dấu xảy x  ; y  ; z  Bài 98 Với x, y  , tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x  1 y  1  Ta có x y  x  y  Lời giải x y2  16  x  1 y  1  16  x  1 y  1 32 x y2 2 Khi P   x  y   64 x y2 Lại có  x  y     x  y    x  y   12   x  y   2 64 64   x  y  2  32 x y2 x y2  P  20  P  10  Pmin  10 Dấu "  " xảy  x  y   P  12   x  y    Bài 99 Cho ba số x , y , z  thỏa mãn x  y  z  xyz Tìm giá trị lớn nhấ tcủa biểu thức S  x yz 1  x   y xz 1  y   z xy 1  z  Lờigiải S x yz 1  x   y xz 1  y   z xy 1  z   x  yz  xyz.x y z  xz  xyz y xy  xyz.z Mà theo đề bài, x  y  z  xyz nên ta có: DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 149 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC S    x yz   x  y  z  x x yz  xz  x  x  y  z  x  y  xx  y x  z  x  x  y   xz   x  y  z  y y  x y  xz  yz  y  x  y   xy  zy  z  x  z  z  x  y  y  x  y y  z  y  x  y  Tacó x , y , z  nên suy  xy   x  y  z  z z  y  z  z y  x  z  z  x  z z  y  z  x  z  1 x z x y y z , , , , , số dương z x x y z y x y y z x z Với x , y , z  , áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta x x x x  2  z x x y zx x y y y y y  2  z y x y z y x y z z z z  2  yz xz y z x z x  z  x  x  y  y  z  y  x  y  z  y  z  x  z   2  3  4 Dấu "  "   ,   ,   đồng thời xảy x  y  z  Cộng vế với vế   ,   ,   ta  x x y y z z x          z x x y z y x y y z x z   z x x y      xz x y yz x y          z  x  x  y  z x x y z y   z y x y       x y z         z  x  x  y   z  y x  y y  z x  z         x y z     5  z  x  x  y   z  y  x  y   y  z  x  z  Từ 1   suy S  Dấu "  " xảy y  z  y  x  y      y  z  x  z   z    y  z  x  z   z x , y , z  x , y , z  x , y , z  x , y , z       3  x  x   x  y  z  (thỏa mãn)  x  y  z  xyz  3x  x x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z     Vậy giá trị lớn S S  đạt x  y  z  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 150 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 100 Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  xy   x y xy Lời giải 1 1 1 Cho số thực dương x , y ta có:  x  y         x y x y x y Thật x  y  xy ; 1 1 1 1 1     x  y      x  y    x y xy x y x y Ta có x  y  xy   xy  xy  A  xy  1   xy     2 x y xy xy x  y xy xy Ta có xy   xy 1    x y xy  x  y 2 5   4xy  x  y 2  A  11 Vậy giá trị nhỏ A  11 dấu xẩy x  y  1 1 Bài 101 a) Cho x, y , z ba số dương Chứng minh  x  y  z        x y z b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức ab bc ca A    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức x y   cho hai số x  0; y  ta chứng minh y x 1 1   9 x y z  x  y  z Áp dụng bất đẳng thức phần a) ta có: 9ab ab ab a 9bc bc bc b    ;    ; a  3b  2c c  a c  b b  3c  2a a  c a  b DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 151 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 9ca ca ca c    c  3a  2b b  a b  c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta ab ab a bc bc b ca ca c         ca cb ac ab ba bc 9A  bc   ab ca   bc ca  a  b  c  ab  9A         ca ac cb bc ab ba Bài 102 Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn a  b  3ab  Tìm giá trị lớn biểu thức P  12ab 2 a b ab Ta có: (a  b)2   a  b2  2ab  (a  b)2  4ab; a  b  Từ giả thiết a  b  3ab   a  b   3ab   (a  b) 2 a  b 2   a  b    a  b      a  b  2 3  a  b   2   a  b  3ab  ( a  b)   1  1  ab a b ab 2 a b P  a  b  2  2    a  b2    9 12ab 3ab 16  a  b    a  b2     ab ab 9 Giá trị lớn P a  b 16  a b a  b  3ab  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 152 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ... MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 53 Với a, b số thực a  1, b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a2 b2  b  a 1 Lời Giải Vì a  Suy a –1  , b  1suy b –1  Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta... QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 90 Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn điều kiện: x  x  1  y  y  1  z  z  1  Tìm giá trị lớn biểu thức P , biết P  x  y  z Lời giải Theo bất đẳng thức. .. QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 32 Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện Chứng minh: xy  xy  z x  y  z 1 yz  yz  x xz  xz  y Lời giải Sử dụng giả thiết x  y  z  bất đẳng thức