Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến

CHÙM BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN Những tính chất cần nhớ: 1) Nếu hai đường thẳng chứa dây AB,CD,KCD đường tròn cắt M MA.MB = MC.MD 2) Đảo lại hai đường thẳng AB,CD cắt M MA.MB = MC.MD bốn điểm A,B,C,D thuộc đường trịn D B A M A O C M C B 3) Nếu MC tiếp tuyến MAB cát tuyến MC2 = MA.MB = MO2 − R B A M C THCS.TOANMATH.com O D 4) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD,H , trung điểm CD năm điểm K,A,H,O,B nằm đường tròn A D H C O K B 5) Từ điểm K nằm đường tròn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD AC BC = AD BD A D C O K B Ta có: KAC = ADK  KAC# KAD  THCS.TOANMATH.com AC KC = AD KA Tương tự ta có: BC KC AC BC = = mà KA = KB nên suy BD KB AD BD Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD ta ln có: AC BC = AD BD CA DA = CB DB NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU Bài 1: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây DI qua M Chứng minh a) KIOD tứ giác nội tiếp b) KO phân giác góc IKD Giải: A D C M K O I B a) Để chứng minh KIOD tứ giác nội tiếp việc góc khó khăn Ta phải dựa vào tính chất cát tuyến , tiếp tuyến Ta có: AIBD tứ giác nội tiếp AB  ID = M nên ta có: MA.MB = MI.MD THCS.TOANMATH.com Mặt khác KAOB tứ giác nội tiếp nên MA.MB = MO.MK Từ suy MO.MK = MI.MD hay KIOD tứ giác nội tiếp a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD Ta có IO = OD = R  OKI = OKD suy KO phân giác góc IKD Bài 2: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Chứng minh a) CMOD tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD Giải: A A D C K O M O M K C D B B h1 h2 a) Vì KB tiếp tuyến nên ta có: KB2 = KC.KD = KO2 − R Mặt khác tam giác KOB vuông B BM ⊥ KO nên KB2 = KM.KO suy KC.KD = KM.KO hay CMOD tứ giác nội tiếp b) CMOD tứ giác nội tiếp nên KMC = ODC,OMD = OCD Mặt khác ta có: ODC = OCD  KMC = OMD THCS.TOANMATH.com Trường hợp 1: Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A bờ KO (h1) Hai góc AMC,AMD có góc phụ với tương ứng KMC,ODC mà KMC = ODC nên AMC = AMD hay MA tia phân giác góc CMD Trường hợp 2: Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B bờ KO (h2) tương tự ta có MB tia phân giác góc CMD Suy Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Vẽ dây AF qua H Chứng minh BF / /CD Giải: A D H C O K F B Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh AHK = AFB Ta có AFB = AOB ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ) THCS.TOANMATH.com Mặt khác KO phân giác góc AOB nên AOK = BOK = AOB  AFB = AOK Vì A,K,B,O,H nằm đường trịn đường kính KO nên AHK = AOK  AFB = AHK  BF / /CD Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CI ⊥ OB Giải: D A C H I O K F B Ta có HI / /BD  CHI = CDB Mặt khác CAB = CDB chắn cung CB nên suy CHI = CAB hay AHIC tứ giác nội tiếp Do IAH = ICH  BAH = ICH Mặt khác ta có A,K,B,O,H nằm đường trịn đường kính KO nên BAH = BKH Từ suy ICH = BKH  CI / /KB Mà KB ⊥ OB  CI ⊥ OB Nhận xét: Mấu chốt tốn nằm vấn đề OB ⊥ KB Thay chứng minh CI ⊥ OB ta chứng minh CI / /KB Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI Gọi I điểm đối xứng với A THCS.TOANMATH.com qua D Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt IB K Gọi C giao điểm thứ hai KD với đường tròn (O) Chứng minh BC / /AI Giải: K B C O A D I Ta cần chứng minh: AIK = KBC Mặt khác ta có: KBC = CAB = sđ CB nên ta chứng minh AIK = CAB hay  BID BCA Thật theo tính chất ta có: DA = DI  CB DB = mà CA DA CB DB = CA DI Tứ giác ACBD nội tiếp nên BCA = BDI  BID BCA  AIK = CAB Hay AIK = KBC  BC / /AI THCS.TOANMATH.com Bài Từ điểm K nằm đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây CF qua M Chứng minh DF / /AB Giải: A D H C K M B O F Kẻ OH ⊥ CD Ta chứng minh được: CMOD tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên M1 = D1 mà M1 + M2 = 900 ; D1 + DOH = 900  M2 = DOH Mặt khác ta có: CFD = 1 COD, DOH = COD  CFD = DOH Từ suy 2 M2 = CFD  DF / /AB Chú ý: DF / /AB  ABFD hình thang cân có hai đáy AB,DF  OMD = OMF THCS.TOANMATH.com Bài 7: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Kẻ OH vng góc với CD cắt AB E Chứng minh a) CMOE tứ giác nội tiếp b) CE,DE tiếp tuyến đường tròn (O) Giải: E a) Theo tốn 2, ta có CMOD D A tứ giác nội tiếp nên CMK = ODC = OCD Do góc phụ với chúng H C K M O nhau: CME = COE B Suy CMOE tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc) c) Cũng theo tốn 2, CMOD nội tiếp Mặt khác CMOE tứ giác nội tiếp nên E,C,M,O,D thuộc đường trịn Từ dễ chứng minh CE,DE tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 8) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Vẽ đường kính AI Các dây IC,ID cắt KO theo thứ tự G,N Chứng minh OG = ON Giải: A D C K THCS.TOANMATH.com G M O N I Ta vẽ hình trường hợp O A nằm khác phía CD Các trường hợp khác chứng minh tương tự Để chứng minh OG = ON , ta chứng minh IOG = AON Ta có OI = OA,IOG = AON , cần chứng minh CIA = IAN , muốn phải có AN / /CI Ta chứng minh AND = CID Chú ý đến AI đường kính, ta có ADI = 900 , ta kẻ AM ⊥ OK Ta có AMND tứ giác nội tiếp, suy AND = AMD (1) 2 Sử dụng 2, ta có CMOD tứ giác nội tiếp AMD = CMD = COD 2 (2) Từ (1) (2) suy AND = COD Ta lại có CID = COD nên AND = CID HS tự giải tiếp Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M trung điểm AB Chứng minh ADC = MDB Giải: E D A THCS.TOANMATH.com C K H O Kẻ OH ⊥ CD , cắt AB E Theo , EC tiếp tuyến đường tròn ( O ) , nên theo tốn quen thuộc 3, ta có ECMD tứ giác nội tiếp, suy EBD = ECD (2) Từ (1) (2) suy CBD = EMD Do hai góc bù với chúng nhau: CAD = BMD  CAD BMD (g.g) nên ADC = MDB THCS.TOANMATH.com ... đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD,H , trung điểm CD năm điểm K,A,H,O,B nằm đường tròn A D H C O K B 5) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD AC BC =... DB NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU Bài 1: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây DI qua M Chứng minh a) KIOD tứ giác nội tiếp b) KO... THCS.TOANMATH.com Bài 7: Từ điểm K nằm đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Kẻ OH vng góc với CD cắt AB E Chứng minh a) CMOE tứ giác nội tiếp b) CE,DE tiếp tuyến