giai bai tap sbt hinh hoc 11 nang cao bai 2 3 4 chuong 3

Giải tập SBT Hình học 11 nâng cao 2, 3, chương Câu 16 trang 117 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, cạnh bên SA = AB SA vng góc với BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC b) Gọi I, J điểm thuộc SB SD cho IJ // BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J Trả lời: a) Vì BC // AD nên góc SD BC góc SD AD Từ giả thiết, ta có SA⊥ BC nên SA⊥ AD mặt khác SA cạnh hình thoi ABCD, nên ˆSDA=450 góc phải tìm Vậy góc BC SD 45° b) Do ABCD hình thoi nên AC⊥ BD Mặt khác IJ // BD nên AC⊥ IJ tức góc IJ AC 90° không đổi Câu 17 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ˆBAD=60 ,ˆBAA′=ˆDAA′=1200 có cạnh a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A’D AC’ với B’D b) Tính diện tích hình A’B’CD ACC’A’ c) Tính góc đường thẳng AC’ đường thẳng AB, AD, AA’ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a, Trả lời Đặt AB→=x→,AD→=y→,AA′→=z→ x2→=y2→=z2→=a2 x→.y→=a2/2; x→.z→=−a2/2; x→.z→=−a2/2; a) Vì AB // A’B’ nên góc AB A’D góc A’B’ A’D, góc ˆDA′B′ 1800−ˆDA′B′ Đặt ˆDA′B′=α Ta có: A′D=a√3,A′B′=a DB′→=x→−y→+z→ ⇒ DB′2→=3a2−a2−a2+a2=2a2 Vậy 2a2=a2+3a2−2a.a√3cosα⇒ cosα=1/√3 Như góc A’D AB α mà cosα=1/√3 AC′→=x→+y→+z→ ⇒ AC′2→=3a2+a2−a2−a2=2a2 Dễ thấy AB’ = a VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Ta có ADC’B’ hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ hình vng Vậy AC’ ⊥ B’D, tức góc AC’ B’D 90° b) SA′B′CD=A′D.A′B′sinˆDA′B′=a√3.a.√6/3 Vậy SA′B′CD=a2√2 Đặt ˆACC′=β AC′2=AC2+CC′2−2AC.CC′.cosβ hay 2a2=3a2+a2−2a√3.a.cosβ ⇒ cosβ=1/√3⇒ sinβ=√6/3 Vậy SACC′A′=AC.CC′.sinβ=a√3.a.√6/3=a2√2 c) Do zAC′→=x→+y→+z→ Suy ra: AC′→.AB→=(x→+y→+z→)x→ =a2+a2/2−a2/2=a2 hay |AC′→||AB→|cos⁡γ=a2 ⇒ cos⁡γ=1/ ⇒ γ=450 Vậy góc AC’ AB 45° AC′→.AD→=(x→+y→+z→)y→ =a2/2+a2−a2/2=a2 hay AC′→|.|AD→|cos⁡φ=a2⇒ cos⁡φ=1/ ⇒ φ=450 Vậy góc AC’ AD 45° AC′→.AA′→=(x→+y→+z→)z→=−a2/2−a2/2+a2=0 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Vậy góc AC’ AA’ 90° Câu 18 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho tứ diện ABCD góc hai đường thẳng AB CD α Gọi M điểm thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0< x < AC) Xét mặt phẳng (P) qua điểm M song song với AB, CD a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện hình tứ diện ABCD cắt mp(P) đạt giá trị lớn b) Chứng minh chu vi thiết diện nêu không phụ thuộc vào x AB = CD Trả lời a) Dễ thấy thiết diện hình bình hành MNPQ SMNPQ=NM.NQ.sinˆMNQ Do MN // AB, NQ // CD nên góc MN NQ góc AB CD sinˆMNQ=sinα Ta có: MN/AB=AC−x/AC⇒ MN=AB/AC(AC−x) NQ=MR,MR/CD=AM/AC=x/AC ⇒ MR=CD/AC.x Vậy SMNQR=AB.CD/AC2(AC−x)xsinα Từ diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn x=AC/2 Như vậy, M trung điểm AC diện tích thiết diện tứ diện ABCD cắt (P) đạt giá trị lớn VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b) Gọi P nửa chu vi thiết diện, đó: p=MN+MR=AB/AC(AC−x)+CD/AC.x =CD−AB/AC.x+AB Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi: CD–AB=0 hay AB=CD Câu 19 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, mặt bên SAB tam giác vng A Với điểm M thuộc cạnh AD (M khác A D), xét mặt phẳng (α) qua điểm M song song với SA, CD a) Thiết diệm hình chóp S.ABCD cắt mp(α) hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a b; biết AB = a, SA = b, M trung điểm AD Trả lời a) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNPQ MN // QP // CD, MQ // SA Do SA ⊥ AB, AB //MN, MQ // SA nên thiết diện MNPQ hình thang vng M b) SMNPQ=1/2(MN+PQ).MQ Do M trung điểm AD nên: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí MQ=1/2SA=1/2b PQ=1/2CD=1/2a Vậy SMNPQ=1/2(a+a/2).b/2=3ab/8 Câu 20 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M N thuộc đường thẳng BC AD cho MB→=kMC→ NA→=kND→ với k số thực khác cho trước Đặt α góc hai vectơ NMN→ BA→; β góc hai vectơ MN→ CD→ Tìm mối liên hệ AB CD để α=β=450 Trả lời Kẻ MP // AB dễ thấy NP // CD Từ đó, góc MN→ BA→ góc MN→ MP→, góc PMN^ Góc MN→ CD→ góc MN→ PN→, góc PNM^ Vậy hai góc 45° khi: MP = NP ˆMPN=900 Từ đó, suy CP/CA.AB=AP/AC.CD AB⊥ CD hay AB/CD=AP/CP AB⊥ CD Mặt khác, ta có PA→=kPC→⇒ AP/PC=|k| Vậy AB CD có mối liên hệ AB/CD=|k| AB⊥ CD VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí góc hai vectơ MN→ BA→ góc hai vectơ MN→ CD→, 45°) Câu 21 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K trung điểm BC, AC, AD, BD Hãy tính góc hai đường thẳng AB CD trường hợp sau: a) Tứ giác IJHK hình thoi có đường chéo IH=√3IJ b) Tứ giác IJHK hình chữ nhật Trả lời Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng IJ IK, góc ˆJIK 1800−ˆJIK a) Vì hình tứ giác IJHK hình thoi mà IH=√3IJ, nên từ IK2+IH2=4IJ2 ta có: IK2=IJ2 hay IK = IJ Như JIK tam giác đều, ˆJIK=600 Vậy góc AB CD trường hợp 60° b) Khi tứ giác IJHK hình chữ nhật ˆJIK=900 Do đó, góc AB CD 90° Câu 22 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a) Chứng minh AD vng góc với CB b) Gọi M, N điểm thuộc đường thẳng AB DB cho MA→=kMB→,ND→=kNB→ Tính góc hai đường thẳng MN BC Trả lời: a) Gọi I trung điểm BC AI⊥ BC,DI⊥ BC Ta có AD→=AI→+ID→ Xét BC→.AD→=BC→(AI→+ID→) =BC→.AI→+BC→.ID→=0 Vậy BC⊥ AD b) Từ giả thiết MA→=kMB ND→=kNB→ ta có MN // AD Vậy góc hai đường thẳng MN BC góc hai đường thẳng AD BC Theo câu a) AD vng góc BC, nên góc MN BC 90° VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu 23 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho tứ diện ABCD có CD=4/3AB Gọi I, J, K trung điểm BC, AC, BD Cho biết JK=5/6AB, tính góc đường thẳng CD với đường thẳng IJ AB Trả lời: Ta có: IJ=1/2AB IK=1/2CD=2/3AB IJ2+IK2=1/4AB2+4/9AB2=25/36AB2 IJ=12ABIK=12CD=23ABIJ2+IK2=14AB2+49AB2=2536AB2 mà IK2=25/36AB2 nên IJ2+IK2=JK2 Vậy JI⊥ IK Do IJ // AB, IK // CD nên góc AB CD 90° Mặt khác IJ // AB mà AB ⊥ CD nên IJ ⊥ CD Vậy góc IJ CD 90° VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu 24 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Đặt α góc BC AD; β góc AC BD; γ góc AB CD Chứng minh ba số hạng a2cosα,b2cosβ,c2cosγ có số hạng tổng hai số hạng cịn lại Trả lời: Ta có: cos⁡(BC→,DA→)=2c2−2b2/2a2=c2−b2/a2 Vậy góc BC AD α thì: cosα=∣c2−b2∣/a2 hay a2cosα=∣c2−b2∣ Tương tự trên, gọi β góc AC BD thì: b2cos⁡β=|a2−c2| γ góc AB CD c2cos⁡γ=|b2−a2| Với a, b, c dộ dài BC, CA, AB, khơng giảm tính tổng qt coi a ≥ b ≥ c Khi đó: a2cosα=b2−c2 b2cosβ=a2−c2 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c2cosγ=a2−b2 Từ đó, trường hợp ta có b2cosβ=a2cosα+c2cosγ Câu 25 trang 119Sách tập Hình học 11 Nâng cao Cho tứ diện ABCD có tất cạnh Gọi M N trung điểm AB CD Lấy điểm I, J, K thuộc đường thẳng BC, AC, AD cho IB→=kIC→,JA→=kJC→,KA→=kKD→ k số khác cho trước Chứng minh rằng: a) MN ⊥ IJ MN ⊥ IK b) AB ⊥ CD Trả lời a) Từ IB→=kIC→JA→=kJC→ ta có IJ // AB Tương tự, ta có IK // CD Do cạnh tứ diện ABCD N trung điểm CD nên NA = NB Mặt khác MA = MB MN ⊥ AB, suy MN ⊥ IJ Tương tự trên, ta có MN ⊥ CD IK // CD nên MN ⊥ JK VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b) Ta có AB→=AN→+NB→ Từ giả thiết, ta có: AN⊥ CD tức AN→.CD→=0; BN⊥ CDBN⊥ CD tức BN→.CD→=0 Vậy AB→.CD→=(AN→+NB→).CD→=0 tức AB⊥ CD Xem thêm tại: https://vndoc.com/giai-bai-tap-lop-11 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ... thẳng IJ AB Trả lời: Ta có: IJ=1/2AB IK=1/2CD =2/ 3AB IJ2+IK2=1/4AB2 +4/ 9AB2 =25 /36 AB2 IJ=12ABIK=12CD = 23 ABIJ2+IK2=14AB2 +49 AB2 =25 36 AB2 mà IK2 =25 /36 AB2 nên IJ2+IK2=JK2 Vậy JI⊥ IK Do IJ // AB, IK //... SA′B′CD=A′D.A′B′sinˆDA′B′=a? ?3. a.√6 /3 Vậy SA′B′CD=a2? ?2 Đặt ˆACC′=β AC? ?2= AC2+CC? ?2? ??2AC.CC′.cosβ hay 2a2=3a2+a2−2a? ?3. a.cosβ ⇒ cosβ=1/? ?3? ?? sinβ=√6 /3 Vậy SACC′A′=AC.CC′.sinβ=a? ?3. a.√6 /3= a2? ?2 c) Do zAC′→=x→+y→+z→... có: cos⁡(BC→,DA→)=2c2−2b2/2a2=c2−b2/a2 Vậy góc BC AD α thì: cosα=∣c2−b2∣/a2 hay a2cosα=∣c2−b2∣ Tương tự trên, gọi β góc AC BD thì: b2cos⁡β=|a2−c2| γ góc AB CD c2cos⁡γ=|b2−a2| Với a, b, c dộ dài