Tích phân bội

GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 28 CHÝÕNG II: TÍCH PHÂN BỘI §1 Tích phân kép I ÐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT Ðịnh nghĩa Cho hàm f(x,y) xác ðịnh miền ðóngờ bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rời D1, D2, , Dn có diện tích lần lýợt  S1,  S2, ,  Sn Trong mảnh Di , lấy tùy ý ðiểm Mi(xi, yi) Lập tổng ậgọi tổng tích phân hàm f(x,y)) Gọi d(Di) khoảng cách l n hai ðiểm Di Nếu tồn gi i hạn hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn ðiểm Mi(xi,yi), hàm f(x,y) gọi khả tích miền D, S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D, ký hiệu Nếu f(x,y) khả tích miền D, tích phân kép khơng phụ thuộc vào cách chia miền D Do ðóờ ta chia miền D ðýờng thẳng song song v i trục tọa ðộề ẩhi ðóờ  Si =  x   y dS = dx dy Vì viết Ngýời ta chứng minh ðýợc rằngầ ổàm f(x,y) liên tục miền ðóngờ bị chặn D khả tích miền ðóề Tính chất: a) (diện tích D) Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 29 b) c) d) Nếu D = D1 D2 , D1 D2 =  e) Nếu f(x,y)  g(x,y)  (x,y) D f) Nếu m  f(x,y)  M  (x,y) D, m ∞ sốờ g) Nếu f(x,y) liên tục miền ðóngờ bị chặn D tồn ðiểm M(x0,y0) cho ( ịnh lý giá trị trung bìnhấề ại lýợng gọi giá trị trung bình hàm f(x,y) D Ý nghĩa hình học Ta xét tốnầ ộ Tìm thể tích vật thể  gi i hạn dý i miền D (Oxy), gi i hạn mặt cong có phýõng trình z = f(x,y)  gi i hạn xung quanh mặt trụ có ðýờng sinh song song v i ẫz ðýờng chuẩn biên ắ ộề Ta tính thể tích  phýõng pháp gần ðúngề Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 30 Chia miền D thành n mảnh rời D1,D2, ,Dn có diện tích  S1,  S2, , Sn Lấy mảnh nhỏ làm ðáyờ dựng hình trụ có ðýờng sinh song song v i Oz, mặt phía gi i hạn mặt z = f(x,y) Xét hình trụ thứ iầ ðáy Di, Lấy tùy ý ữ ðiểm ∞i(xi,yi) ta tích hình trụ thứ i  Vi  f(xi,yi). Si Thể tích gần ðúng  : Phép xấp xỉ xác n l n mảnh Di có ðýờng kính nhỏ ậ d(Di): ðýờng kính Di ) Vậy II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP Ðýa tích phân lặp Nếu Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu 31 Ví dụ 1: Xác ðịnh cận tích phân ðýờng v i miền D xác ðịnh y = 0, y = x, x = y = 0, y = x2, x + y = Giải: Có hai cách biểu diễn D: Do ðó Có ị cách biểu diễn D: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Ví dụ 2: Tính 32 , D gi i hạn ðýờng y = x – 4, y2 = 2x Giải: Hoành ðộ giao ðiểmầ Do ðóờ miền D ðýợc biểu diễn Vậy Ðổi biến tích phân kép a Ðổi biến tổng quát Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) hai hàm có ðạo hàm riêng liên tục miền ðóngờ bị chặn Duv Gọi Nếu f(x,y) khả tích Dxy ðịnh thức ỹacobi Duv ta có Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Ví dụ 3: Tính 33 v i D gi i hạn ðýờng Giải: Các ðýờng thẳng viết lại ặt u = x + y, v = 2x – y Vậy b Tích phân kép tọa ðộ cực Công thức liên hệ tọa ðộ x = r.cos y = r.sin Ta cóầ Do vậyầ Ví dụ 4: Tính , v i ắ gi i hạn bởiầ ậx –1)2 + y2  1, y  Giải: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 34 Rõ ràng Thay x = rcos , y = rsin vào ậx –1)2 + y2 = 1, ta ðýợc r ụ ịcos Vậy Do ðóầ Ví dụ 5: Tính v i ắ hình trịn x2 + y2  R2 Giải: Chuyển sang hệ tọa ðộ cựcờ ta cóầ Do ðóầ BÀI TẬP -Tính tích phân kép a) b) c) Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 35 d) 2-Tính tích phân kép a) , D:  x  2; x2  y  2x b) , D:  x  2; -1  y  c) , D: xy = 1; y = ;x=2 3- ổi thứ tự biến lấy tích phân a) b) c) d) 4- Tính tính phân d) e) , D: ;y=0 , D: y = x; ;y=0 f) , D: x2 + y2  g) , D: ; a, b > Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 h) i) 36 , D: , D: y = x + 1; y = x – 3; 5-Tính diện tích miền ắ gi i hạn j) D: y = x2; y = x + k) D: y2 = x; y = 2x – x2 l) D: ; x =  1; y = -1 m) D: y = 2x; y = -2x; y = §2 Tích phân bội I ÐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Ðịnh nghĩa Cho hàm số  (x,y,z) xác ðịnh miền ðóngờ gi i nội  không gian ẫxyzề Chia miền  thành n miền nhỏ tích  V1,…ờ Vn Lấy tùy ý ðiểm Mi(xi,yi,zi) miền nhỏ thứ iề Lập tổng : hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền  , Nếu gi i hạn ∞i,  (x,y,z) gọi khả tích miền  , ỗ gọi tích phân bội ĩ hàm   , ký hiệu Týõng tự nhý tích phân képờ ta ký hiệu dxdydz thay cho dV tích phân bội ĩ thýờng viết Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Chú ýầ ỷếu  (x,y,z) = 37 (thể tích  ) Tính chất Nếu Nếu  (x,y,z)  g(x,y,z)  (x,y,z)   Nếu  (x,y,z) liên tục miền ðóng, bị chặn  tồn ðiểm ậx0,y0,z0)   cho ( ịnh lý giá trị trung bìnhấ II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BộI Tích phân bội hệ tọa ðộ Descartes Cho  gi i hạn bỡiầ Mặt trênầ z ụ  2(x,y) Mặt dý iầ z ụ  1(x,y) Xung quanh: mặt trụ có ðýờng sinh song song v i trục ẫz ðýờng chuẩn biên miền ắ thuộc mặt phẳng ẫxyề ậắ hình chiếu  xuống mặt phẳng ẫxyấề Khi ðó Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu miền 38 Ví dụ 1: Cho miền Ù gi i hạn mặtầ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếờ x ự y ự ịz ụ ịề Viết tích phân bội ĩ theo thứ tự ầ a) dxdydz b) dxdzdy c) dydzdx Giải: a) Hình chiếu Ù xuống mặt phẳng ẫxy miền Gi i hạn Ùầ Gi i hạn dý i Ùầ Vậyầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 39 b) Hình chiếu Ù xuống mặt phẳng ẫxz miền Gi i hạn Ùầ Gi i hạn dý i Ùầ Vậyầ c) Hình chiếu  xuống mặt phẳng ẫyz Gi i hạn  ầ x ụ ị-y-2z Gi i hạn dý i  ầ x ụ ế Vậy Ví dụ 2: Tính ,  miền gi i hạn mặtầ z = x2+y2; z = 4; x = 0; y = Giải: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Hình chiếu miền Ù xuống mặt phẳng ẫxy 40 hình tròn ầ Mặt Ùầ zụởờ Mặt dý i Ùầ zụx2+y2 Vậy: Tính tích phân bội hệ toạ ðộ trụ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 41 Toạ ðộ trụ ðiểm ∞ậxờyờzấ ba số ậrờöờzấờ v i ậrờöấ toạ ðộ cực hình chiếu ∞ xuống mặt phẳng ẫxy ậổình vẽấ Ta ln cóầ r ≥ ếủ ế≤ ≥ịðủ -∞≥z≥ự∞ề Mối liên hệ toạ ðộ ắescartes toạ ðộ trụ x = r cosö y = r sinö z=z Ta có ầ Ví dụ 3: Tính v i Ù miền gi i hạn z ụ x2+y2; z = Giải: Hình chiếu Ù xuống mặt phẳng ẫxy hình trịn x2+y2 ≤ Chuyển sang toạ ðộ trụ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 42 Ù gi i hạn bởiầ o ≤ ö ≥ ịðủ ế ≤ r ≤ ịủ r2 ≤ z ≤ ởề Vậyầ Tính tích phân bội hệ toạ ðộ cầu Toạ ðộ cầu ðiểm ∞ậxờyờzấ ĩ số ậrờèờư), v i r ụ ẫ∞ờ è góc trục Oz , góc trục ẫx phẳng ẫxyề , v i ∞’ hình chiếu ∞ xuống mặt Ta cóầ V i ðiểm ∞ khơng gian r ≥ ếủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịð Mối liên hệ toạ ðộ ắescartes toạ ðộ cầuầ x = r sinè cosö y = r sinè sinö z = r cosè Cơng thức tích phân hệ toạ ðộ cầu Ví dụ 1: Tính v i Ù miền gi i hạn hai mặt cầu x2+y2+z2 = 1; x2+y2+z2 = Chuyển sang hệ toạ ðộ cầuờ ta cóầ Miền Ù xác ðịnh ữ ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịðề Vậyầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 43 v i Ù miền gi i hạn x2+y2+z2 ≤ zề Ví dụ 4: Tính Chuyển sang hệ toạn ðộ cầu ta cóầ Miền Ù xác ðịnh ế ≤ r ≤ cosèủ ế ≤ è ≤ ; ≤ ≤ ịðề Vậyầ §3 Ứng dụng tích phân bội I ỨNG DỤNG HÌNH HỌC Tính diện tích hình phẳng Diện tích miền ắ mặt phẳng ẫxy Thể tích vật thể Vật thể Ù không gian ẫxyz làầ Nếu Ù gi i hạn mặt z ụ f2(x,y) , gi i hạn dý i mặt z ụ f1(x,y) gi i hạn xung quanh mặt trụ có ðýờng sinh song song v i ẫz có ðýờng chuẩn biên miền ắ mặt phẳng ẫxy Ví dụ 1: Tính thể tích phần hình nón nằm mặt cầu x2+y2+z2 = Giải: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 44 nằm hình cầu x2+y2+z2 ≤ Gọi Ù vật thể hình nón Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu Miền gi i hạn ế ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ; ≤ ö ≤ ịðề Vậy Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu có bán kính Ở Giải: Ta tích hình cầu hình cầu Hình cầu Ùầ x2+y2+z2 ≤ Ở2 Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu , Và miền Ùầ ế ≤ r ≤ Ởờ ế ≤ è ≤ ðờ ế ≤ ö ≤ ịð Vậyầ II ỨNG DỤNG CÕ HỌC Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 45 Tính khối lýợng a Khối lýợng vật thể Ù có khối lýợng riêng ðiểm ∞ậxờ yờ zấ fậxờ yờ z) thìầ b Nếu phẳng ắ mặt phẳng ẫxy có khối lýợng riêng fậxờ yấ : Momem qn tính vật thể Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ðối với c trục ẫxầ d trục ẫyầ e trục ẫzầ f ðýờng thẳng ỡầ từ ðiểm ∞ậxờ yờ zấ ðến ỡ , r(x, y, z) khoảng cách g Mặt ẫxyầ h Mặt ẫxzầ i Mặt ẫyzầ j Gốc tọa ðộầ Momen tĩnh Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ðối với a) Mặt ẫxyầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 46 b) Mặt ẫxzầ c) Mặt ẫyzầ Trọng tâm Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) BÀI TẬP v iÙ 1- Tính a) gi i hạn ế ≤ x ≤ ữủ ữ ≤ y ≤ ịủ ị ≤ z ≤ ĩề b) gi i hạn mặtầ x ự y ự z ụ ữủ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếề 2-Tínhầ a) , Ùầ z ụ x2 + y2; z = 4, x = 0, y = (lấy miền x ≥ ếờ y ≥ ếấề b) , Ùầ y ụ x2, y + z = 1, z = 3- Tínhầ a) b) c) d) e) , Ùầ z ụ x2 + y2; x2 + y2 = 4; z = , Ùầ x2 + z2 = 1, y = 0, y = , z = x2 + y2 , Ùầ , Ùầ góc phần tám thứ khối cầu ðõn vịề , Ùầ x2 + y2 + z2 = 2; Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 f) 47 , Ùầ x2 + y2 + z2 ≤ Ở2, x ≤ ếề 4-Tính thể tích vật gi i hạn bởiầ a) z = x2 + 3y2, z = – x2 – y2 b) y + z = 2; x = – y2, mặt phẳng tọa ðộ nằm góc phần tám thứ c) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2 d) z = – x2 – y2, mặt phẳng tọa ðộ nằm góc phần tám thứ nhấtề 5- Tính momen quán tính ðối v i trục ẫxờ ẫyờ ẫz khối chữ nhật ðồng chất ¿ầ a) Tìm tọa ðộ trọng tâm vật thể ðồng chất gi i hạn mặt z ụ ếờ x2 + y2 + z2 = b) Tìm tọa ðộ trọng tâm nửa hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ ế khối lýợng riêng ðiểm tỷ lệ v i khoảng cách từ ðiểm ðó ðến gốc tọa ðộề Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng ... Týõng tự nhý tích phân képờ ta ký hiệu dxdydz thay cho dV tích phân bội ĩ thýờng viết Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Chú ýầ ỷếu  (x,y,z) = 37 (thể tích  ) Tính... ðóng, bị chặn  tồn ðiểm ậx0,y0,z0)   cho ( ịnh lý giá trị trung bìnhấ II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BộI Tích phân bội hệ tọa ðộ Descartes Cho  gi i hạn bỡiầ Mặt trênầ z ụ  2(x,y) Mặt dý iầ z ụ  1(x,y)... ế ≤ r ≤ cosèủ ế ≤ è ≤ ; ≤ ≤ ịðề Vậyầ §3 Ứng dụng tích phân bội I ỨNG DỤNG HÌNH HỌC Tính diện tích hình phẳng Diện tích miền ắ mặt phẳng ẫxy Thể tích vật thể Vật thể Ù không gian ẫxyz làầ Nếu Ù