de thi hsg mon toan 11 nam 2020 cum truong thpt thanh chuong

ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11- LẦN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: Tốn Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề SỞ GD&ĐT NGHỆ AN CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG Câu (6,0 điểm) a Giải phương trình b Giải phương trình + = cosx sin x x- + x 1- = x (x Ỵ ¡ ) x Câu (4,0 điểm) a Cho đa giác có 60 đỉnh Hỏi có tam giác có cạnh đường chéo đa giác đó? b Cho khai triển (x + 1)n + (x + 1) 2n = a + a 1x + a 2x + + a nx 4n , với n số tự nhiên, n ³ Tìm n biết a1, a2, a3 lập thành cấp số cộng ìï u = Câu (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) thỏa mãn ïí ïï u1 + u2 + + u n = n 2.u n ùợ ,n Ơ,n Tỡm cụng thc s hng tổng quát un tính tổng S = u1 + u2 + + u2020 Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(2; 5) H hình chiếu vng góc A lên cạnh BC Gọi I , J (2; - 1) K (6;1) tâm đường nội tiếp tam giác ABC , ABH , ACH Chứng minh I trực tâm tam giác AJK tìm tọa độ đỉnh B , C Câu (4,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, cạnh AB = a; O tâm tam giác BCD M điểm thuộc mặt phẳng (BCD ) Gọi H , K , L hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (A CD ), (A BD ), (A BC ) a Mặt phẳng (P ) qua trọng tâm G, cắt cạnh AB , AC , AD B ',C ', D ' Chứng minh AB AC AD + + = AB ' AC ' AD ' b Chứng minh đường thẳng GM qua trọng tâm E tam giác HK L Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z ³ thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x 2y + y 2z + z2x Hết -1 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí Lưu ý Thí sinh khơng phép sử dụng máy tính bỏ túi Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TOÁN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 2020 Điểm Nội dung Câu 1.a (3 đ) Điều kiện: cos x 0, sin x kp x 0.5 PT sin x + cosx = sin x cosx p ) p 2p k2p Û x = + k 2p; x = + , k ẻ Â 1 ĐK: x 0;1 0; x x x Û sin 2x = sin(x + 1.b (3 đ) C1 (Bình phương): x Nếu x ³ x - = xx 1- 0.5 x 0; x 0.5 Nếu - £ x < PT vô nghiệm x 1 = x - 2x + 1x x x Û (x - x ) - x - x + = Û x - x - = Û x = 1- (Loai ), x = C2 : (Đặt ẩn phụ chuyển HPT) ĐK PT có nghiệm x ³ Đặt a = x ïìï a + b = x a - b2 = x - ïỵ ìï a + b = x ïï x- a- b= ïïỵ x a 1.5 1+ (T/ m) ,b = x 1- x 1 (x + - ) x 1 1- 1+ )- x + 1= Û x2- x - 1= Û x = (Loai); x = (T m) x x 2 a+b , " a, b ³ C3 : (Đánh giá theo BĐT Cauchy) ĐK có nghiệm x ³ BĐT ab £ 1 1 1+ x + x- 1+ x + x- 1 1 x x x x VT + = x = VP 1(x - ) £ ; 1= (x - 1) £ 2 x x x (x - Phương trình tương đương với dấu xảy = x 2.a (2 đ) C1 : Chọn đỉnh A có 60 cách, giả sử chọn thêm đỉnh B, C thỏa mãn, hay AB, BC, CA đường chéo 1 ; = x - 1, x x x x= 1+ » , BC » ln có ¼ ,CA đa giác cung AB đỉnh đa giác Giả sử x, y, z số đỉnh đa giác nằm cung 0.5 0.5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí » ,CA » , BC ¼ , x, y, z AB ¢ ; x, y, z Bài tốn trở thành tìm số nghiệm ngun dương phương trình x + y + z = 57 57 = 1144 +42 444 +1 +42 444 +1 +42 444 +1 3+ 1144 3+ 1144 (có 56 dấu + ) x y 0.5 z Do vai trò đỉnh nên có 60.C 56 = 20C 56 0.5 tam giác thỏa mãn C2 : Số tam giác tạo thành C n3 Số tam giác có cạnh đa giác nC n1- Số tam giác có cạnh cạnh đa giác n Số tam giác thỏa mãn C n3 - nC n1- - n = 2.b (2 đ) a1 = C n1 ;a2 = C n2 + C 21n ;a3 = C n3 a1, a2, a3 cấp số công nên a1 + a3 = 2a2 C n1 + C n3 = 2(C n2 + C 21n ) Û n + (2 đ) n C n- n(n- 1)(n- 2) n(n - 1) ữ = 2ỗ + 2n ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 0.5 0.5 0.5 n - 9n - 10 = Û n = - 1(Loai ); n = 10(Tm) 0.5 (n - 1)2un - + un = n 2.un 0.5 2 Û (n - 1) un - = (n - 1).un Û un = un = 0.5 n- u n + n- 0.5 n- n- u = n+1 n n (n + 1) Tổng S = u1 + u2 + + u2020 = 20202.u2020 = 4.20202 8080 = 2020.2021 2021 0.5 Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác (2 đ) ABC trực tâm tam giác AJK · · · · · · ABC = HAC Þ ABJ = JBH = HAK = KAC · · · · · 900 = BAC = BAK + KAC = BAK + ABJ Þ AK ^ BJ Tương trự chứng minh CK ^ AJ Do I trực tâm tam giác AJK uur uuur ìï ïï AI JK = Gọi I (a; b) ta có í uur uuur ïï KI AJ = ïỵ 4(a - 2) + 2(b- 5) = a= I (4;1) 0(a - 6) - 6(b - 1) = b= Phương trình BI : x - y - = Phương trình CI : y - = 0.5 0.5 0.25 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí r uur AI = (1; - 2) Gọi vecto phương r đường thẳng chứa cạnh A B cạnh AC u '(t , k ) r r I·AB = I·AC = 450 Þ cos450 = | cos(u , u ') |Û | t - 2k |= 5(t + k ) Û 3t - k = 0, t + 3k = r r Với 3t - k = chọn t = 1, k = Þ u '(1; 3) Với t + 3k = chọn t = 3, k = - Þ u ' = (3; - 1) 0.5 Phương trình AB: 3x - y - = Phương trình AC: x + 3y - 17 = 0; { B } = BI A B B (- 1; - 4) ; { C } = CI A C C (14;1) 0.25 Một vecto phương đường thẳng AI u = uuur uuur uuur 5.a uuur Tính chất trọng tâm G tứ diện ABCD AO = GO ; AO = GA (2 đ) uuur uuur uuur 0.5 r O trọng tâm tam giác BCD nên OB + OC + OD = uuur uuur Û AB + AC + AB uuuur Û AB ' + AB ' uuur uuur AD = 3AO uuur AC uuuur AD uuuur AC ' + AD ' = 4AG AC ' AD ' Do với điểm A điểm B ',C , D ',G thuộc mặt phẳng (P) nên 0.5 AB AC AD + + = AB ' AC ' AD ' 0.5 0.5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 5.b Độ dài đường cao tam giác BCD a (2 đ) hTG = Độ dài đường cao tứ diện ABCD a MM MH Tương tự = hT D hT G hTD = MM ML MM MK ; = = hT D hT G hT D hT G Mặt khác SD BCD = Û a2 = SD MBC + SD MCD + SD MBD a2 a(MM + MM + MM ) = a Ta có MM + MM + MM = hT G Û MM + MM + MM = Û MM MM + MM = hT G hT G uuur MM uuur MM uuur MM uuur Þ GB + GC + GD = GM hT G hT G hT G hT G + 0.5 0.5 Do E trọng tâm tam giác HKL nên ta uuur uuuur uuuur uuur có 3ME = MH + MK + ML = - 0.5 0.5 uuur ỗMM uuur MM uuur MM uuur ÷ ÷ ç = GM GB + GC + GD ữ ữ ỗ hT G 3ỗ hT G hT G Giả sử y nằm x z Þ z(x - y )(y - z) ³ 2 2 2 (2 đ) Þ xyz + z(x - y )(y - z) ³ ; P = x y + y z + z x £ x y + y z + z x + xyz + z(x - y)(y - z) = x 2y + yz2 + 2xyz = y(x + z)2 1 = (2y)(x + z)(x + z) £ 2y + x + z + x + z ) = ( 2.27 đạt x = , y = , z = max P = 27 3 (2(x + y + z) ) 54 = 27 0.5 0.5 0.5 0.5 Ghi chú: Học sinh giải cách khác, cho điểm tối đa VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí ... sinh khơng phép sử dụng máy tính bỏ túi Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TỐN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 2020 Điểm Nội dung Câu 1.a (3 đ) Điều kiện: cos x 0,... = un = 0.5 n- u n + n- 0.5 n- n- u = n+1 n n (n + 1) Tổng S = u1 + u2 + + u2020 = 20202 .u2020 = 4 .20202 8080 = 2020. 2021 2021 0.5 Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác (2 đ) ABC trực... tốn trở thành tìm số nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = 57 57 = 114 4 +42 444 +1 +42 444 +1 +42 444 +1 3+ 114 4 3+ 114 4 (có 56 dấu + ) x y 0.5 z Do vai trị đỉnh nên có 60.C 56 = 20C 56 0.5