Luận văn thạc sĩ HUS bài toán biên thứ hai đối với phương trình monge ampere elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bïi văn toan Bài toán biên thứ hai phơng tr×nh monge-ampere elliptic Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI - 2012 Học viên : Bùi Văn Toan -1- K19 Toán Gi¶i TÝch LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Trang Mở đầu Ch-¬ng Bài tốn biên thứ hai phương trình det(uij )  g(x) R(Du) 1.1 Một số kiến thức bổ trợ - 1.1.1 Nón lồi, đa diện lồi - 1.1.2 Siêu mặt lồi hàm lồi 1.1.3 Nón tiệm cận - 1.1.4 Ánh xạ chuẩn tắc độ cong R hàm lồi 1.1.5 Phương trình Monge-Ampere 14 1.2 Bài tốn biên thứ hai phương trình det(uij )  g ( x) - 17 R( Du ) 1.2.1 Các nghiệm yếu nghiệm suy rộng - 17 1.2.2 Bài toán biên thứ hai - 17 1.2.3 Bài toán biên thứ hai lớp đa diện lồi 20 Ch-¬ng Bài tốn biên thứ hai phương trình tổng quát - 26 2.1 Phát biểu định lý tồn nghiệm - 26 2.1.1 Những giả thiết 26 2.1.2 Định lý tồn nghiệm - 25 2.2 Xây dựng không gian nghiệm - 28 2.3 Chứng minh Định lý - 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Häc viªn : Bùi Văn Toan -2- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Phương trình Monge-Ampere loại elliptic khơng gian R n có dạng: det(uij )  f ( x, u , Du ) , (*) x   x1 , x2 , , xn   Rn , u  u  x  ẩn hàm, uij  ux x f  x, u, Du  hàm i j số nhận giá trị dương cho trước Nghiệm cổ điển phương trình (*) hàm lồi u(x), thuộc lớp C Nhưng việc tìm lớp nghiệm cổ điển vấn đề khó Luận văn nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng cho toán biên thứ hai phương trình (*) mà xét tồn khơng gian R n dáng điệu nghiệm vô hạn cho trước Nghiệm dựa ứng dụng nguyên lý điểm bất động không gian hàm không tầm thường Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation tác giả Ilya J.Bakelman Bố cục luận văn chia làm chương: Chương 1: Bài toán biên thứ hai phương trình det( uij )  g( x ) R( Du ) Chương 2: Bài toán biên thứ hai cho phương trình tổng quát Trong chương ta xây dựng định lý tồn nghiệm toán biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere det(uij )  g ( x) tập R( Du ) nghiệm suy rộng lồi Điều kiện định lý điều kiện cần đủ Những kết thực có ý nghĩa dùng cho việc nghiên cứu tính giải tốn biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát : det(uij )  f ( x, u , Du ) Chương nghiên cứu tỉ mỉ toán biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere tổng quát lớp nghiệm suy rộng lồi, cụ thể định lý tồn Häc viªn : Bùi Văn Toan -3- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nghiệm tốn Trong phần trình bày có đưa số giả thiết nón lồi chấp nhận được, cơng thức ước lượng…Bên cạnh đó, ta xét với hàm lồi khơng bị chặn tồn khơng gian E n nên ứng dụng nguyên lý điểm bất động yêu cầu xây dựng không gian hàm đặc biệt mà tốn biên thứ hai nghiên cứu chi tiết Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 2009-2011 Tốn giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2012 Tác gi Học viên : Bùi Văn Toan -4- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Bài toán biên thứ hai phương trình det(u )  ij g(x) R(Du) 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Nón lồi, đa diện lồi Định nghĩa 1.1.1.1: Một tập K  L gọi lồi a, b  K , t 0;1  xt  (1  t )a  tb  K Định nghĩa 1.1.1.2: Một tập lồi chứa hợp tia với đỉnh chung gọi nón lồi Đỉnh chung tất tia gọi đỉnh nón Định nghĩa 1.1.1.3: Một thể lồi F E n1 gọi (n+1)-khối đa diện lồi F giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nếu khối đa diện F tập bị chặn E n1 biên F chúng gọi khối đa diện lồi đóng Nếu F khối đa diện lồi hữu hạn F gọi đa diện lồi hữu hạn Định lý 1.1.1.4 Mọi đa diện lồi bị chặn bao lồi đỉnh Hơn nữa, đa diện với đỉnh cho trước Định lý 1.1.1.5 Mọi khối đa diện lồi hữu hạn bao lồi đỉnh góc đa diện lồi tiệm cận đặt đỉnh Định lý 1.1.1.6 Cho M hệ hữu hạn điểm A1 , A2 , , Am E n1 Nếu có (n+2) điểm vị trí tổng quát M, P  Co M (n+1)-khối đa diện lồi bị chặn, đỉnh P điểm A1 , A2 , , Am Điểm Ai , ( i=1, 2,…, m) gốc P Ai không thuộc vào bao lồi tất im khỏc ca M Học viên : Bùi Văn Toan -5- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định lý 1.1.1.7 Cho A1 , A2 , , Am hệ điểm cho E n1 Khi tồn đa diện n-lồi đóng E n1 với đỉnh điểm A1 , A2 , , Am vị trí tổng quát điểm Ak không thuộc vào bao lồi điểm A1 , A2 , , Ak 1 , Ak 1 , , Am , (k=1,2,…,m) Hơn nữa, đa diện Định lý 1.1.1.8 Cho M hệ hữu hạn điểm E n1 , thỏa mãn điều kiện sau : i) có k+1 điểm vị trí tổng qt M ii) khơng có k+2 điểm vị trí tổng quát M , k = 0, 1, 2,…, n+1 Khi P  Co M khối đa diện k-lồi bị chặn đỉnh P điểm thuộc tập M Một điểm A  M gốc P A không thuộc bao lồi tất điểm khác tập M Định lý 1.1.1.9 Cho A1 , A2 , , Am hệ hữu hạn điểm, V góc đa diện (n+1)-lồi E n1 mà đỉnh điểm A1 , A2 , , Am Cho M  A1  A2   Am  V Khi P  Co M khối đa diện vô hạn (n+1) lồi E n1 , V góc tiệm cận P đỉnh P điểm A1 , A2 , , Am Hơn nữa, điểm Ak ,  k  1, 2, , m gốc P Ak không thuộc vào Co  A1   Ak 1  Ak 1   Am  V  1.1.2 Siêu mặt lồi hàm lồi Tập F gọi mặt lồi n-chiều (hoặc siêu mặt lồi) E n F miền gồm biên thể lồi (n+1)-chiều H E n1 nghĩa F tập mở, liên thông H tô pô H cảm sinh E n1 Tương tự, với miền G chứa biên thể lồi (k+1)-chiều H gọi mặt lồi k chiều Nếu k=1 G gọi đường cong lồi F gọi chóp lồi n-chiều F siêu mặt lồi thỏa mãn hai điều kin: Học viên : Bùi Văn Toan -6- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com i) F nằm siêu phẳng P E n1 ii) F có phép chiếu trực giao 1-1 P Cho H tập lồi E n1 Q  H siêu mặt lồi hoàn toàn Ta cố định đường L kí hiệu U L tập đường song song với L, qua tất điểm H Các đường nằm U L thỏa mãn ba khả đây: Mọi đường cắt Q điểm Mọi đường cắt Q hai điểm phân biệt Không đường cắt Q Ta kí hiệu F tập tất điểm giao H với đường thẳng tập U L Trong trường hợp thứ F   Ta xét trường hợp thứ nhất: Cho L tia của đường L mà giao với Q Ta kí hiệu UL tập gồm tia hướng với L xuất phát từ điểm H Khi F chứa tất điểm giao H với tia tập UL Cho P siêu phẳng trực giao với L Khi hình chiếu F P miền lồi, mở G Rõ ràng G hình chiếu tập IntH siêu phẳng P Cho x1 ,x2 , ,xn ,xn1  z tọa độ Đề E n1 cho siêu phẳng P có phương trình z  Rõ ràng F đồ thị hàm f  x1 , ,xn  xác định G Bây ta chứng minh hàm f  x1 , ,xn  liên tục G Cho X o điểm G dãy điểm X m  G hội tụ đến X o Ta kí hiệu Yi i  0,1,2,  điểm F mà chiếu lên X i , thỏa mãn Yo  lim Ym Ta m thấy Ym bị chặn Do Ym  H , giới hạn dãy hội tụ dãy điểm Ym thuộc vào H Hơn nữa, phải nằm tia tập UL Rõ ràng Yo điểm thỏa mãn điều kiện Vì vậy, Yo  lim Ym hàm f  x1 , ,xn  liên tục m Học viên : Bùi Văn Toan -7- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com G Do F đồ thị hàm liên tục f  x1 , ,xn  xác định miền lồi, mở G F  H , F siêu phẳng lồi Bây ta xét trường hợp thứ hai: Khi F phân tích thành hai thành phần Phần thứ gồm điểm giao H với tia tập UL , phần thứ hai gồm điểm giao H với tia xuất phát từ điểm H có hướng ngược với tia L Vì vậy, điểm A H có lân cận U  H mà chiếu tương ứng 1-1 lên siêu phẳng Cho W  G  tập siêu phẳng lồi E n1 mà chiếu trực giao tương ứng 1-1 lên miền lồi, mở G  P Cho x1 ,x2 , ,xn ,xn1  z tọa độ Đề E n1 cho siêu phẳng P có phương trình z  Khi siêu phẳng lồi F W G  xác định phương trình z  f  X  , X   x1 ,x2 , ,xn   G Ta kí hiệu  X ,z    x1 ,x2 , ,xn ,z   E n1 Rõ ràng X hình chiếu trực giao (X,z) lên siêu phẳng P Cho  X , f  X   điểm F Khi tồn siêu phẳng tựa Q qua điểm đó, X   x1 ,x2 , ,xn   G Nếu  X ,z    x1 ,x2 , ,xn ,z   Q , z  f  X   f  x1 ,x2 , ,xn  z  f  X   f  x1 ,x2 , ,xn  với X G Trong trường hợp thứ nhất, hàm f  x1 ,x2 , ,xn  gọi lồi, trường hợp thứ hai lõm Với X o , X hai điểm miền lồi G Khi đó, với t 0,1 điểm X t  1  t  X o  tX1  G cho zt  1  t  f  X o   tf  X1  Ta thu kết luận sau: a) Nếu f  X  hàm lồi G, với t 0,1 bất đẳng thức : f 1  t  X o  tX1   f  X t   zt  1  t  f  X o   tf  X1  với X o , X G Học viên : Bùi Văn Toan -8- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) Nếu f  X  hàm lõm G, với t 0,1 bất đẳng thức : f 1  t  X o  tX1   f  X t   zt  1  t  f  X o   tf  X1  với X o , X  G 1.1.3 Nón tiệm cận Ta kí hiệu K A  M  tập hợp điểm nằm tia xuất phát từ điểm A  M chứa M Nếu khơng có tia ta đặt K A  M   A Định lý 1.1.3.1 Nếu M tập lồi tập K A  M  tập lồi Hơn nữa, K A  M   A K A  M  nón lồi Chứng minh : Cho B C điểm thuộc KM  A Với  t 1;   , ta chứng minh   X t  A nằm M, X t  1  t  B  tC Cho  t  ;   cố định Do B, C  KM  A   B  A ,  C  AM Do M tập lồi   X t  A   1  t  B  tC  A  1  t    B  A  t  C  A nên   X t  A  M Định lý 1.1.3.2 Cho M tập lồi đóng E n LA , LB hai tia xuất phát từ hai điểm phân biệt A, B tập M Nếu LA  M LA  LB LB  M Chứng minh: Cho C điểm thuộc LA Do M tập lồi nên đoạn thẳng BC nằm M Với điểm X  LB , X giới hạn dãy điểm nằm đoạn BCn , Cn  L A Do M tập đóng nên X  M Do LB  M Häc viªn : Bùi Văn Toan -9- K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định nghĩa : Nếu M tập lồi, đóng E n nón K B  M  thu cách tịnh tiến song song nón K A  M  , A B hai điểm thuộc vào M Từ đó, nón K X  M  gọi nón tiệm cận tập lồi đóng M, với X điểm M Nếu M tập lồi, đóng E n chứa đường L M hình trụ sinh đường thẳng song song với L Định lý 1.1.3.3 Cho A điểm thuộc tập lồi đóng M Nếu K A  M   A M tập bị chặn Chứng minh : Giả sử định lý khơng Khi tồn dãy điểm X n  M cho độ dài đoạn thẳng AX n tăng vô hạn Do ta chọn dãy từ dãy AX n mà hội tụ đến tia L M lồi  AX n  M Do M tập đóng  L  M , nghĩa K A  M  chứa tia L Vô lý K A  M   A 1.1.4 Ánh xạ chuẩn tắc độ cong R hàm lồi 1.1.4.1 Một số kí hiệu Cho x1 , x2 , , xn , xn1 tọa độ Đề không gian Ơclit (n+1)-chiều E n1 cho E n siêu phẳng xn1  Ta kí hiệu xn1  z gọi x   x1 , x2 , , xn  ,  x, z    x1 , x2 , , xn , z  điểm thuộc E n E n1 Cho G miền lồi mở, bị chặn E n , ta kí hiệu S z đồ thị hàm z : G  R Cuối cùng, W   G  W   G  lớp riêng biệt tất hàm lồi Häc viªn : Bïi Văn Toan - 10 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với hàm lồi u(x) xác định E n mà đồ thị có nón tiệm cận chấp nhận phần tử A1 Do u  x   A Phần trình bày   rút từ tính compact  u E n không gian n Cho Tk tập B bao gồm tất các phần tử   B cho    u , u(x) hàm lồi xác định E n thoả mãn hai điều kiện : a) u    0, b) Nón tiệm cận u(x) nón cố định chấp nhận K, xét tốn biên thứ hai phương trình (2.1) Bổ đề 2.2.1 Tk tập lồi B Chứng minh Bổ đề 2.2.1 Cho   hai số dương cho     Nếu  f  g phần tử Tk sinh biểu diễn sở f(x) g(x) , hàm f(x) g(x) hàm lồi E n , có nón tiệm cận chấp nhận K, f    g    Rõ ràng phần tử  f   g sinh hàm  f  x    g  x  Do  f  x    g  x  lồi  f     g    Suy :  f   g   f  g (2.2) Nếu ta chứng minh K nón tiệm cận  f  x    g  x  , từ việc từ đẳng thức (2.2) suy Tk tập lồi B Rõ ràng phần trình bày liên quan đến nón tiệm cận  f  x    g  x  cần thiết lập C hàm lồi f(x) g(x), trường hợp hàm lồi tổng quát thu việc xấp xỉ đơn giản hàm lồi C tương ứng Do hàm lồi f(x) g(x) ta, giới thiệu phần đầu phần chứng minh Bổ đề 2.2.1, vi phân cấp hai E n Häc viªn : Bïi Văn Toan - 31 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Rõ ràng grad   f   g    grad f   grad g điểm x0  E n Do :            ,  ,  ,  tương ứng ánh xạ chuẩn tắc siêu diện tiếp xúc đồ thị hàm  f  x    g  x  , f(x) g(x) điểm  x,  f  x    g  x  ,  x, f  x  ,  x, g  x     E , Do    ,    điểm tập lồi  k E n , ta có :      k n (2.3) Nếu K’ nón tiệm cận hàm lồi  f  x    g  x  , từ (2.3) suy rằng: k '  E n   k  E n  , (2.4) z  k '  x  phương trình nón tiệm cận K ' , mà đỉnh điểm   En Từ (2.4) ta thu  k '  x   k  x  với x  E n Bây ta chứng minh : k '  x   k  x  với x  E n Cho trục E n ,đi qua điểm  , s tọa độ Đề s   x  x   x  Cho 2 n cho với điểm s   x1, x2 , , xn   k '  x  , k  x  , f  x  , g  x  hàm mà sinh k '  x  , k  x  , f  x  , g  x  trục Khi : '   k1s k 'x   '   k 2s nÕu s  nÕu s    k s k  x      k 2s nÕu s  nÕu s  ,  k1'  k1  k2'  k2 Do thu đẳng thức dây chuyền sau : 2    d f  d g d2 f d 2g  k1'  k2'       ds    ds    ds ds   ds ds   ds    k2  k1     k2  k1   k2  k1 ,   0;       Do k1'  k2'  k2  k1 Từ  k1'  k1  k2'  k2 , đó: Học viên : Bùi Văn Toan - 32 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com k2'  k2 k1'  k1 Như : k '  x   k  x  với x  E n , (2.5) trục tuỳ ý E n qua  Từ (2.5) suy K '  K Phần chứng minh Bổ đề 2.2.1 hoàn thành Bổ đề 2.2.2 Tk tập đóng B Chứng minh Bổ đề 18.2 Cho Tk bao đóng Tk khơng gian B Nếu   Tk , tồn phần tử 1,2 , ,q , tập Tk cho : lim q   q B  Biểu diễn sở uq  x   q hàm lồi E n với nón tiệm cận K , mà chấp nhận , uq    , q = 1,2,3,… Rõ ràng , lim uq  x   u  x  q A  , u(x) biểu diễn sở   Tk Như uq  x  hội tụ tới u(x) hình cầu đóng U m : x  M Do u(x) hàm lồi với nón tiệm cận K   Tk Phần chứng minh Bổ đề 2.2.2 hoàn thành Bổ đề 2.2.3 Tk tập compact B Chứng minh Bổ đề 2.2.3 Cho  phần tử Tk u(x) biểu diễn sở  Khi u    hàm lồi u(x) thoả mãn điều kiện Lipschitz E n với số d  diam K * Do đó:   B  u  x  A  m1 u  x m 2  m  const   1 m1 m  d0     Cho u  x  tập hợp biểu diễn sở u  x  Từ ước lượng cuối dẫn đến tồn dãy hàm lồi u q  x  mà dãy u  x   hội tụ đến hàm lồi u0  x  hình cầu U m : x  m Rõ ràng u0    K nón tiệm cận u0   Nh vy: Học viên : Bùi Văn Toan - 33 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com u Tk Nếu thiết lập lim u q  x   u  x  q   A Khi phần chứng minh Bổ đề 2.2.3 hồn thành Cho   số  Ta cố định số nguyên dương m0 cho m  1 m  m0  diam K * Khi u q  u0 m0 1 A  m1 u  u0 m 2 m    m0  1 u q  u0 m  m mm0   m1  1 u q  u0 Từ lim u q  u0 u q  u0  2  diam K m m  *  1 mm0 m   m  , có số dương Q0 cho  m0  1 u q  u0  m  , với q  q0 Vì u q  u0   với q  q0 ,   số cho trước 2.3 Chứng minh định lý Bây ta trở lại phần chứng minh Định lý 2.1.2.1, mà định lý tồn chương Cho  phần tử tập Tk u(x) biểu diễn sở  Ta xét tập hợp hàm lồi ua  x   u  x   a, a   ,    Hàm Fua  x   f  x, ua  x  , Dua  x    f  x, ua  x   a, Du  x   , không âm với x  E n Cho z = k(x) phương trình nón K Học viên : Bùi Văn Toan - 34 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi ua  x   u  x   a  k  x   a, với x  E n Từ Giả thiết 2.1.1.3 suy Fua  x   k  x, u  x   a   k  x, k  x   a  , với x  E n giá trị thực a Từ điều kiện Định lý 2.1.2.1 ta suy :  En Fua  x  dx   n k  x, k  x   a dx   , với a  ak , bk  E Từ Giả thiết 2.1.1.3 thiết lập bất đẳng thức : Fua  x   inf* k  x,  x,    a  với x  E n với x  R  K Bây ta giới thệu hàm   x   Từ   x    En  En Fua  x  dx , với a  ak , bk  f  x, u  x   a, Du  x  dx , với a  ak , bk  Khi từ Giả thiết 2.1.1.2, 2.1.1.3 từ điều kiện Định lý 2.1.2.1 suy   a  liên tục,  '  a  tồn ak , bk  có bất đẳng thức   ak    k  x, k  x   ak  dx  meas K * , (2.6)   bk   inf  k  x,  x,    bk  dx  meas K * (2.7) En En K* Từ :  '  a    f  x, u  x   a, Du  x   u En dx  0, Khi , từ (2.6), (2.7) suy tồn số a* ak , bk  cho   a*    F u En a*  x  dx  meas K * Bây với nón tiệm cận cho trước K ta xét tốn biên thứ hai phương trình: det  zij   Fua*  x  (2.8) Từ tất điều kiện Định lý 2.1.2.1 thoả mãn, tốn biên có nghiệm suy rộng lồi z(x) thoả mãn điều kiện z    a * có K nón tiệm cận đồ thị Häc viên : Bùi Văn Toan - 35 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho u  x   ua*  x   a * z  x   z  x   z   biểu diễn sở phần tử  u  x ,  u  x phần tử tập lồi compact Tk Rõ ràng toán biên thứ hai phương trình (2.8) nón lồi chấp nhận cho trước K sinh toán tử : G : Tk  Tk cho x  G u  Trong phần cuối tiểu mục thiết lập tính liên tục tính compact toán tử G tập lồi K Những điều cho phép áp dụng định lý Schauder điểm bất động với toán tử G : Tk  Tk Sự tồn Định lý 2.1.2.1 kết cuối nghiên cứu Bổ đề 2.3.1 Hàm a*: Tk  R hàm liên tục Chứng minh : Cho  phần tử Tk u  x   A1  A biểu diễn sở  Khi u(x) hàm lồi mà đồ thị chúng có K nón tiệm cận chúng, u    Số thực a*  a * u  nghiệm phương trình  En f  x, u  x   a, Du  x   dx  meas K * (2.9) Ở chứng minh phương trình có nghiệm a*  a *  u  ak , bk  Bây ta phải chứng minh a *  uq  hội tụ tới a *  u  nếu: lim uq  u q A  uq ,u  Tk Từ (2.9) suy rằng:  En   f  x, u  x   a *  u  , Du  x   dx   n f x, uq  x   a *  uq  , Duq  x  dx  meas K * E Nh vy : Học viên : Bùi Văn Toan - 36 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  f  E n u  x   uq  x   a *  u   a *  uq   0 u v  dx t   n   u  x  uq  x    f   dx ,    n   dt  E xi   0 ui v  i 1  xi t     (2.10)   vt  x   1  t  uq  x   tu  x   1  t  a * uq  ta *  u  , u  x  vt  x  u  x   1  t  q t xi xi xi ,  t  , i  1,2, , n   Từ a *  u  a * uq không phụ thuộc vào x, từ (2.10) ta thu :  f  u x  u x dt      0 u  dx q En  vt   a *  u   a *  uq     f  dt En  0 u v  dx t     u  x  uq  x    f  dt   dx   En   x1 xi   0 u vt    f  En  0 u v dt  dx t   Từ f dương liên tục E n  R  R  K * ( xem Giả thiết 2.1.1.2) ,đối với u tập compact Q E n  R  K * có số h(Q) > cho: f  x, u, p   h Q   u Với mục đích ta thế, ta cần xét tập compact Q0  U1  1,   K * , U hình cầu đơn vị x  E n số 1 ,  xác định điều kiện 1  v1  x    Giá trị hữu hạn 1 ,  phụ thuộc vào u  x  cho uq  x   u  x  A A , số ak , bk N1   q  N1 Häc viªn : Bùi Văn Toan - 37 - K19 Toán Gi¶i TÝch LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nếu x  U  v  x  , v  x   ,   K * t t với t 0,1 , vt  x   1  t  u  x   tuq  x   K * Ở ta phải nói đến u  x  uq  x  điểm tập lồi K* Do ta thu bất đẳng thức:  f  dt En  0 u v dx  h Q0  meas Q0  , t   (2.11) với q  N1 Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức :  với x  E n , với f C  n02 , u x x  m0 , u  R, p  K * ,   const  m0  const  ; Khơng tính tổng qt ta giả sử m0 số nguyên dương 1  21  lớn   1   Cho I1    f   u x  u x dt      dx , : q En   0 u vt   I1      f u  x   uq  x   dt  dx  x  m0 u vt     f u x  u x dt      q 0 u v  dx x  m0  t  f   x m0 u vt Cho C2  sup  2.12  (2.13) Rõ ràng C2 phụ thuộc vào u  x  m0 , K* số ak , bk Từ u  x  uq  x  biểu diễn sở phần tử tập Tk , u    uq    , Häc viªn : Bïi Văn Toan - 38 - (2.14) K19 Toán Giải TÝch LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com và: u  x   x diam K * ; uq  x   x diam K * (2.15) Từ (2.12-2.15) suy I1  C2 u  x   uq  x  m0 C0  n1    u  x   uq  x    mm0  1  2  2 m  m  1 m 1   ,    n 1 diện tích mặt cầu đơn vị S n 1 Từ u  x   uq  x   m02 u  x   uq  x  , A 1  m  1 m0   21  1  2  , với m  m0    1 ,  m  m  1   C    I1  C2 m02  n1  u  x   uq  x     A , (2.16) 1   m0 số nguyên thoả mã bất đẳng thức m0   2  1 , 2  số C0 C2 không phụ thuộc vào q Cho I    n  u  x  uq  x    f     0 En   x  x i i   ui   i 1    dt   dx ,  vt  Rõ ràng  n  u  x  uq  x  I2    n   R  x xi i 1 i    f   ui    dt  dx  vt  (2.17) Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức : f C  n1 ui x , i  1, 2, , n , (2.18) với x  E n , với x  m0 , u  R, p  K * Häc viªn : Bïi Văn Toan - 39 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hàm u g  x  hội tụ đến hàm xi u  x  hầu khắp nơi E n với xi x  K *, ta có: uq  x   K *, u  x   K * , (2.19) Từ (2.17-19) suy   f u  x  uq  x    m dt   0 u   x m x  x dx i 1  x m i v i i t   dx  2C1n diam K *  , n x m x n I2  m  m0 số nguyên dương tuỳ ý Từ :  dx x m x n    n1 ,  m Ta tìm m*  cho với số nguyên m  max m0 , m * ta có bất đẳng thức : 2C1n diam K *  n1   ,  m   số dương tuỳ ý cho trước Ta cố định số nguyên m  max m0 , m * Khi : sup  x m f dt  Cm   , ui v t ( i = 1,2, … ,n ), số Cm phụ thuộc vào m, ak , bk diam K * Thực f f hàm liên tục theo Giả thiết 2.1.1.2 xét supermum u i ui tập compact : x  m, ak  x diam K *  u  bk  x diam K * pK * Từ u  x  uq  x  hàm lồi, lim q Học viên : Bùi Văn Toan - 40 - x m u  x  uq  x   dx  xi xi K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do ta tìm số N cho với q  N :  f    0 u i 1  x m i   u  x  uq  x   dt    dx   x m xi xi  n vt (2.20) Như , với q  N : I2   (2.21) Bây từ (2.11) , (2.16) , (2.21) ta suy lim a *  uq   a *  u  uq  u A 0 Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.2 Toán tử G : Tk  Tk liên tục Chứng minh Cho dãy q Tk hội tụ tới phần tử   Tk không gian B Ta chứng minh lim q 0 q B 0 , (2.22)   2  G  q 0  G 0  Từ Tk tập compact B ( xem Bổ đề 2.2.3) , có dãy qi hội tụ tới phần tử   B , nghĩa lim q j   j  0 B Từ Tk tập đóng B ,   Tk Thật may mắn biết hàm tập    , v q , e hội tụ yếu tới hàm tập   , v, e  E n , vq j  x  v  x  j biểu diễn đại diện q j  thoả mãn điều kiện :   vqi    a * uqi , v    a *  u0  Mặt khác tất hàm Fuq j  a* x       f x, uq j  a * uq j , uq j , không âm thoả mãn bất ng thc Fuq Học viên : Bùi Văn Toan j  a* x   k  x, k  x   bk  , - 41 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với x  E n , z = k(x) phương trình nón lồi chấp nhận K cho trước với hàm uq j  x  Chú ý ta có điều sau: a) lim uq j  u0 j   0; A b) uq j  x   K * với x  E n số nguyên q j ; c) uq j x j hội tụ đến  u0 hầu khắp nơi E n , ( i = 1,2,…, n ); x j  d) M x, k  x   bk hàm khả tích khơng âm E n ; e) Đánh giá ( 2.11 ) với hàm uq , u0 Bây ta sử dụng định lý Lebesgue thu     , v, e   lim  , uq , e  lim  Fu q j  j q j  e qj x dx   Fu a*u   x  dx e     a* uq j 0 e tập Borel E n Chú ý ta sử dụng tính liên tục hàm a*: Tk  R đẳng thức xuất phát Vì v  x  nghiệm suy rộng lồi phương trình  2 v det   x x  i j    Fu0 a*u0   x   hàm v0  x  nghiệm suy rộng lồi phương trình   2v0 det   x x  i j    Fu0 a*u0   x   Từ v  0  v0    a * u0  nón lồi chấp nhận K nón tiệm cận hai hàm v  x  v0  x  , ta có v  x  = v0  x  với x  E n Như (2.22 ) Bây ta kết thúc phần chứng minh Định lý 2.1.2.1 Từ Tk tập compact B, G( Tk ) compact B Hơn , Tk = G( Tk ) Do   tốn tử G có điểm bất động   Tk Nhưng hàm u  x   a * u  x  Häc viªn : Bùi Văn Toan - 42 - K19 Toán Giải TÝch LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com biểu diễn đại diện với hai  G   Do u(x) nghiệm mong muốn tốn biên thứ hai phương trình det(uij )  f ( x, u, Du) Häc viªn : Bùi Văn Toan - 43 - K19 Toán Gi¶i TÝch LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN Luận văn trình bày hợp lý kết đạt Trong luận văn tìm điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm suy rộng lồi cho toán biên thứ hai cho phương trình det(uij )  g ( x) R( Du ) Hơn luận văn chủ yếu tìm điều kiện đủ vế phải phương trình tổng quát det(uij )  f ( x, u, Du) để nghiệm toán biên thứ hai tồn ton khụng gian Học viên : Bùi Văn Toan - 44 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Đức Vân (2008) , Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Ilya J.Bakelman (1994), Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation, Springer-Verlag Berlin New York [3] Rokafeler R.T (1970), Convex Analysis, Princeton, N.J [4] Pogorelov A.V (1964), Monge-Ampere equations of elliptic type, Groningen, Noordhoff, Groningen Häc viªn : Bïi Văn Toan - 45 - K19 Toán Giải Tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... - 17 1.2.2 Bài toán biên thứ hai - 17 1.2.3 Bài toán biên thứ hai lớp đa diện lồi 20 Ch-¬ng Bài tốn biên thứ hai phương trình tổng quát...  g( x ) R( Du ) Chương 2: Bài toán biên thứ hai cho phương trình tổng quát Trong chương ta xây dựng định lý tồn nghiệm toán biên thứ hai cho phương trình Monge- Ampere det(uij )  g ( x) tập... nghiên cứu tính giải tốn biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát : det(uij )  f ( x, u , Du ) Chương nghiên cứu tỉ mỉ toán biên thứ hai cho phương trình Monge- Ampere tổng quát lớp