Bài toán vận tải mở rộng

Bài toán vận tải mở rộng GV : Phạm Thị Hồi Viện Tốn ứng dụng Tin học Trường Đại học Bách khoa Hà Nội / 49 Nội dung Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Cầu lớn cung Bài toán vận tải với ràng buộc bất đẳng thức Bài toán lập kho hàng Phương pháp giải Ví dụ 3.1 Bài tốn vận tải có cấm Phương pháp giải Ví dụ 4.1 Bài tốn vận tải dạng max Phương pháp giải Ví dụ 5.1 Bài tốn phân việc Thuật tốn Hungarian Ví dụ 6.1 / 49 Bài tốn khơng cân thu phát Nội dung Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Cầu lớn cung Bài toán vận tải với ràng buộc bất đẳng thức Bài tốn lập kho hàng Phương pháp giải Ví dụ 3.1 Bài tốn vận tải có cấm Phương pháp giải Ví dụ 4.1 Bài tốn vận tải dạng max Phương pháp giải Ví dụ 5.1 Bài tốn phân việc Thuật tốn Hungarian Ví dụ 6.1 / 49 Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Bài toán đặt cung lớn cầu Tức là: m n > i=1 bj j=1 Mơ hình toán: m n f (x) = cij xij (1) i=1 j=1 n xij ≤ , i = 1, · · · , m xij = bj , j = 1, · · · , n v.đ.k j=1 m i=1 xij ≥ 0, i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n / 49 Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Phương pháp giải Ta cần thêm vào điểm thu giả với cước phí Bài tốn với m điểm phát n+1 điểm thu : m n+1 f (x) = cij xij (2) i=1 j=1 n+1 xij = , v.đ.k i = 1, · · · , m j=1 m xij = bj , m n − Với bn+1 = i=1 i=1 xij ≥ 0, j = 1, · · · , n + i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n + bj j=1 / 49 Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Ví dụ 1.1 Xét Bài tốn khơng cân thu phát cho bảng vận tải bj 80 70 100 90 9 100 160 140 / 49 Bài toán khơng cân thu phát Cung lớn cầu Ví dụ 1.1(tiếp) Ta thêm trạm thu giả n+1=5 với yêu cầu b5 = 400 − 340 = 60 đặt c15 = c25 = c35 = bj 80 70 100 90 60 9 100 160 140 / 49 Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Ví dụ 1.1(tiếp) vj ui bj −4 −2 80 70 100 90 60 −5 −5 − 40 60 − 160 −6 + −10 100 70 40 + 50 140 80 −3 60 / 49 Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Ví dụ 1.1(tiếp) vj ui bj 80 70 100 90 60 90 10 160 −6 −1 100 −3 70 −7 40 50 140 80 −3 60 −6 −1 / 49 Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Ví dụ 1.1(tiếp) vj ui bj −2 80 70 100 90 60 −5 10 −2 90 160 −6 100 70 −5 30 60 140 80 −3 60 −4 −1 10 / 49 Bài tốn vận tải có cấm Ví dụ 4.1 Ví dụ 4.1(tiếp) Từ bảng, án, ta nhận phương án cực biên tối ưu x∗ Bảng  sau lần điều chỉnh phương  100 0 20   110 90  Như vậy, phương án tối ưu toán ban đầu là: x∗ =  0 140 30 10   100 0   110 90 Kho P nhận đủ 100 đơn vị từ nhà máy I, kho Q nhận đủ 140 xopt =  0 140 30 đơn vị từ nhà máy III, kho R nhận đủ 110 đơn vị từ nhà máy II, kho S nhận đủ 120 đơn vị, 90 đơn vị từ nhà máy II, 30 đơn vị từ nhà máy I Và nhà máy I thừa 20 đơn vị, nhà máy III thừa 10 đơn vị 35 / 49 Bài toán vận tải dạng max Nội dung Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Cầu lớn cung Bài toán vận tải với ràng buộc bất đẳng thức Bài toán lập kho hàng Phương pháp giải Ví dụ 3.1 Bài tốn vận tải có cấm Phương pháp giải Ví dụ 4.1 Bài tốn vận tải dạng max Phương pháp giải Ví dụ 5.1 Bài tốn phân việc Thuật tốn Hungarian Ví dụ 6.1 36 / 49 Bài toán vận tải dạng max Bài toán vận tải dạng max Mơ hình tốn m n max f (x) = cij xij i=1 j=1 n v.đ.k xij = , i = 1, · · · , m xij = bj , j = 1, · · · , n j=1 m i=1 xij ≥ 0, i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n 37 / 49 Bài toán vận tải dạng max Phương pháp giải Phương pháp giải Do thỏa mãn điều kiện cân thu phát nên ta giải toán dạng với hàm f = −f giải trực tiếp sau: * Xây dựng phương án cực biến xuất phát từ x0 phương pháp góc Tây Bắc phương pháp cực đại chi phí, tức ưu tiên phân lượng hàng lớn vào (i0 , j0 ) cho ci0 j0 lớn chi phí ứng với ô cần xem xét * Việc xác định vị tương ứng tốn tìm min, tức giải hệ ui + vj = cij ∀(i, j) ∈ G(x0 ) * Tính đại lượng ∆ij = ui + vj − cij ∀(i, j) ∈ / G(x0 ) 38 / 49 Bài toán vận tải dạng max Phương pháp giải Phương pháp giải(Tiếp) Kiểm tra điều kiện tối ưu If ∆ij ≥ với (i, j) ∈ / G(x0 ) Then dừng thuật toán (x0 phương án tối ưu) Else (tức ∃∆ij < với ((i, j) ∈ / G(x0 )) ta chọn ô (is , js ) ô điều chỉnh ứng với ∆is js = min{∆ij < | (i, j) ∈ / G(x0 ) Sau xác định chu trình điều chỉnh xây dựng phương án cực biên x0 giống với toán 39 / 49 Bài tốn vận tải dạng max Ví dụ 5.1 Ví dụ 5.1 Đề Giải toán vận tải (P T max ) với vecto lượng phát, vecto lượng thu ma trận chi phí sau: a = (50, 70, 80)T , b = (40, 60, 100)T     C = 4  Bảng 2.7.1 biểu diễn thông tin tương ứng với phương án cực biên xuất phát x0 xác định theo "cực đại chi phí" f (x0 ) = 920 Giải: 40 / 49 Bài toán vận tải dạng max Ví dụ 5.1 Ví dụ 5.1 vj ui bj 40 60 100 − 50 40 −2 10 -2 − + 70 50 −1 + 20 80 80 Bảng 2.7.1 41 / 49 Bài tốn vận tải dạng max Ví dụ 5.1 Ví dụ 5.1(tiếp) vj ui bj 11 10 40 60 100 50 −4 50 70 60 −3 10 80 40 40 Bảng 2.7.3 42 / 49 Bài toán vận tải dạng max Ví dụ 5.1 Ví dụ 5.1(tiếp) Bảng 2.7.3 có ∆ij > nên   0 50   x =  60 10 40 40 phương án tối ưu toán với giá trị tối ưu fmax = f (x0 ) = 1020 43 / 49 Bài toán phân việc Nội dung Bài tốn khơng cân thu phát Cung lớn cầu Cầu lớn cung Bài toán vận tải với ràng buộc bất đẳng thức Bài tốn lập kho hàng Phương pháp giải Ví dụ 3.1 Bài tốn vận tải có cấm Phương pháp giải Ví dụ 4.1 Bài tốn vận tải dạng max Phương pháp giải Ví dụ 5.1 Bài tốn phân việc Thuật tốn Hungarian Ví dụ 6.1 44 / 49 Bài toán phân việc Bài toán phân việc Bài toán đặt Giả sử có n người n cơng việc Để giao cho người i, i ∈ {1, , n}, làm công việc j, j ∈ {1, , n}, cần chi phí cij Vấn đề cần tìm phương án để phân cơng cho người làm việc (mỗi người làm việc, việc cho người làm) cho tổng chi phí nhỏ Mơ hình tốn học toán là: n n cij xij minf (x) = i=1 j=1 n v.d.k xij = 1, i = 1, 2, n xij = 1, j = 1, 2, n j=1 n j=1 45 / 49 Bài toán phân việc Thuật toán Hungarian Thuật toán Hungarian Bước Chọn giá trị chi phí nhỏ hàng ci,min = min{cij |j ∈ 1, n}, i = 1, n Bước Giảm chi phí hàng giá trị chi phí nhỏ = cold cnew ij ij − ci,min Bước Làm tương tự với cột chưa có giá trị chi phí Bước Thuật toán kết thúc tất hàng cột có giá trị chi phí Khi phân cơng cơng việc đặt vị trí giá trị chi phí tốn đạt 46 / 49 Bài tốn phân việc Ví dụ 6.1 Ví dụ 6.1 Đề bài: Một nhà máy có máy tự động thực đồng thời cơng việc Bảng chi phí thực công việc máy sau: Công việc I II III 14 15 Máy 10 13 12 16 47 / 49 Bài tốn phân việc Ví dụ 6.1 Ví dụ 6.1 (tiếp) Bước 1: Chọn giá trị chi phí nhỏ hàng Công việc I II III 14 15 Máy 10 12 13 16 Bước 2: Giảm chi phí hàng giá trị chi phí nhỏ Cơng việc I II III Máy 2 0 48 / 49 Bài tốn phân việc Ví dụ 6.1 Ví dụ 6.1(tiếp) Cột máy chưa có giá trị chi phí nên lặp lại với cột 3: Công việc Công việc I II III Máy 2 0 I II III Máy 2 0 3 Bước 3: Sự phân công đặt giá trị chi phí Từ đó, ta phân: máy làm công việc I, máy làm công việc III, máy làm công việc II Tổng chi phí là: + 12 + 13 = 30 49 / 49