Bài toán vận tài

BÀI TỐN VẬN TẢI Lecturer: Phạm Thị Hồi Department of Applied Mathematics - School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Content Bài tốn vận tải khái niệm, tính chất liên quan Mơ hình tốn vận tải Điều kiện tồn nghiệm Chu trình phương án cực biên toán vận tải Thuật toán vị giải tốn vận tải Cơ sở lí thuyết Thuật toán vị Bài toán vận tải mở rộng hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Mơ hình toán vận tải Bài toán vận tải Kế hoạch: Cần phát hàng từ m kho {K1 , , Km } đến n cửa hàng {H1 , , Hn } Dữ kiện: Lượng hàng cần phát từ kho Ki ; cửa hàng Hj cần nhập lượng hàng bj Chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ kho Ki đến cửa hàng Hj cij Yêu cầu: ? cần chuyển hàng từ kho Ki đến cửa hàng Hj để tổng chi phí vận chuyển nhất? Mơ hình tốn học m n f (x) = cij xij (PT) i=1 j=1 n xij = , i = 1, , m vđk j=1 m xij = bj , j = 1, , n i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m; j = 1, , n hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Mơ hình tốn vận tải hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài tốn vận tải khái niệm, tính chất liên quan Mơ hình tốn vận tải hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài tốn vận tải khái niệm, tính chất liên quan Mơ hình tốn vận tải Mệnh đề 1: rank A = m + n − Kí hiệu: T = {(i, j) : i ∈ {1, , m}, j ∈ {1, , n}}; G(x0 ) = {(i, j) ∈ T : x0ij > 0} x0 pacb không suy biến ⇔ |G(x0 )| = m + n − Bảng vận tải toán (PT) hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan m Định lí 1: argmin (VT) = ∅ ⇔ n = i=1 Điều kiện tồn nghiệm bj j=1 Chứng minh: in class Ví dụ: Cho tốn vận tải có  7 a = (80, 110, 90, 440); b = (85, 75, 280, 280); c =  1   75 0 110   Hỏi tốn có nghiệm hay khơng? Điểm X =  85  0 160 280 chấp nhận tốn hay khơng? 5  8  5 có phải phương án hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên tốn vận tải Chu trình: Một tập thứ tự bảng vận tải gọi chu trình thỏa mãn: Hai cạnh nằm hàng hay cột; Khơng có ba nằm hàng hay cột; Ô nằm hàng hay cột với ô cuối Chú ý: Nếu K ⊂ T thỏa mãn tính chất: hàng, cột bảng vận tải không chứa ô hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên tốn vận tải Định lí 2: Cho tập K ⊂ T Khi {Aij : (i, j) ∈ K} độc lập tuyến tính K khơng chứa chu trình Hệ 1: x0 pacb ⇔ G(x0 ) không chứa chu trình Hệ 2: Nếu K ⊂ T, |K| ≥ m + n, m ≥ 2, n ≥ K chứa chu trình Hệ 3: Nếu K ⊂ T, |K| = m + n − (i0 , j0 ) ∈ / K K ko chứa chu trình Khi K ∪ {(i0 , j0 )} chứa chu trình Ví dụ: Cho tốn vận tải có   12 a = (50, 70, 41); b = (30, 60, 46, 25); c = 5 1   30 19 0 45 25 có phải pacb Hỏi tốn có nghiệm hay khơng? Điểm X =  0 41 0 tốn hay khơng? hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên tốn vận tải Cách tìm pacb tốn vận tải Phương pháp góc tây bắc Phương pháp cực tiểu chi phí Ví dụ: Phương pháp góc tây bắc Hình 1: Phương pháp góc tây bắc- Bảng 1, hoai.phamthi@hust.edu.vn / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên tốn vận tải Phương pháp góc tây bắc Hình 2: Phương pháp góc tây bắc- Bảng 3, 4, 5, hoai.phamthi@hust.edu.vn 10 / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên tốn vận tải Phương pháp góc tây bắc Hình 3: Phương pháp góc tây bắc- Bảng 7, 8, 9, 10 hoai.phamthi@hust.edu.vn 11 / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên tốn vận tải Phương pháp góc tây bắc Hình 4: Phương pháp góc tây bắc- Bảng 11, 12 Phương pháp cực tiểu chi phí Hình 5: Phương pháp cực tiểu chi phí- Bảng 1, hoai.phamthi@hust.edu.vn 12 / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên tốn vận tải Phương pháp cực tiểu chi phí Hình 6: Minh họa phương pháp cực tiểu chi phí- Bảng 3, 4, 5, hoai.phamthi@hust.edu.vn 13 / 21 Bài toán vận tải khái niệm, tính chất liên quan Chu trình phương án cực biên toán vận tải Phương pháp cực tiểu chi phí Hình 7: Minh họa phương pháp cực tiểu chi phí- Bảng hoai.phamthi@hust.edu.vn 14 / 21 Thuật toán vị giải toán vận tải Cơ sở lí thuyết Định lí 3: Cho x phương án chấp nhận tốn (PT) Khi x0 nghiệm tối ưu (PT) ∃ u1 , , um ; v1 , , ∈ R thỏa ui + vj ≤ cij ∀(i, j) ∈ T ui + vj = cij ∀(i, j) ∈ G(x0 ) Chú ý: Giả sử x0 pacb ksb Khi {Aij : (i, j) ∈ G(x0 )} độc lập tuyến tính; G(x0 ) ko chứa chu trình; |G(x0 )| = m + n − Khi hệ ui + vj = cij ∀(i, j) ∈ G(x0 ) có m + n − phương trình m + n ẩn có vơ số nghiệm Quy ước: Gán u1 = 0, từ tính u2 , , um ; v1 , , số xác định Bộ số u1 , u2 , , um ; v1 , , gọi vị tương ứng với pacb x0 Kí hiệu ∆ij = ui + vj − cij ∀(i, j) ∈ T Khi x0 ∈ argmin (P T ) ⇔ ∆ij ≤ ∀(i, j) ∈ T ∆ij = ∀(i, j) ∈ G(x0 ) hoai.phamthi@hust.edu.vn 15 / 21 Thuật toán vị giải toán vận tải Cơ sở lí thuyết Ví dụ: Xác định pacb tốn đây; kiểm tra tính tối ưu pacb tìm được? bj 30 60 46 25 12 (i) 50 70 41 bj (ii) 50 70 80 bj (iii) 10 20 30 40 50 60 30 40 70 5 60 60 20 10 10 13 14 20 15 12 17 12 16 19 hoai.phamthi@hust.edu.vn 16 / 21 Thuật toán vị giải toán vận tải Cơ sở lí thuyết Định lí 4: Giả sử biết x pacb ksb tốn (PT) vị tương ứng u1 , , um ; v1 , , Nếu tồn (ik , jk ) ∈ / G(x0 ) cho ∆ik jk > ta tìm pacb x1 tốt x0 , tức f (x ) < f (x ) Chứng minh: in class Tập ô G(x0 ) ∪ (ik , jk ) chứa chu trình K Xuất phát từ (ik , jk )+ ∈ K, đánh dấu ô dấu (−), K + = {(i, j) ∈ K : đánh dấu +}, K − = {(i, j) ∈ K : đánh dấu −} ⊂ G(x0 ) Kí hiệu θ = min{x0ij : (i, j) ∈ K − } = x0ir jr > Xây dựng x1 sau:   xij + θ, xij = xij − θ,   xij , (i, j) ∈ K + (i, j) ∈ K − (i, j) ∈ /K f (x1 ) = f (x0 ) − θ∆ik jk hoai.phamthi@hust.edu.vn 17 / 21 Thuật toán vị giải toán vận tải Thuật toán vị Sơ đồ khối thuật toán vị ∆ij = ui + vj − cij ∀ (i, j) ∈ G x0 Tính vị tương ứng u1 , , um ; v1 , , Tìm pacb xuất phát x0 chuyển bảng (is , js ) := argmax ∆ij > : (i, j) ∈ G x0 XĐ chu trình điều chỉnh K xuất phát từ (is , js )+ xi 1j x0 := x1  +  xi j + θ; (i, j) ∈ K = xi 0j − θ; (i, j) ∈ K −   xi j ; (i, j) ∈ /K Sai ∆ij ≥ ∀ (i, j) ∈ G x0 Đúng STOP Kết luận x0 nghiệm tối ưu hoai.phamthi@hust.edu.vn 18 / 21 Thuật toán vị giải toán vận tải Thuật toán vị Nhận xét: Nếu tốn vận tải ksb thuật tốn vị dừng sau hữu hạn bước lặp Nếu lượng phát lượng thu số nguyên nghiệm tối ưu thu gồm toàn số nguyên Nếu nghiệm tối ưu x0 : ∆ij < ∀(i, j) ∈ / G(x0 ) nghiệm tối ưu Ngược lại, tốn có nghiệm tối ưu khác ngồi x0 Tương tự thuật tốn đơn hình, pacb suy biến xuất θ = : Vẫn thực thuật tốn bình thường, kết điều chỉnh không thay đổi pacb thay đổi hệ vecto sở ứng với pacb θ đạt nhiều khác Khi ta loại ngẫu nhiên hoai.phamthi@hust.edu.vn 19 / 21 Thuật toán vị giải toán vận tải Giải ví dụ trước thuật tốn vị v1 = bj 30 50 v4 = 60 46 25 12 19 + 70 -7 -8 30 30 u3 = −5 v3 = 12 + 30 u2 = −6 v2 = 7 u1 = Thuật toán vị 45 25 30 30 + 41 -9 41 -2 hoai.phamthi@hust.edu.vn 20 / 21 Bài toán vận tải mở rộng Bài tốn vận tải mở rộng: Bài tốn khơng cân thu phát Bài toán vận tải với ràng buộc bất đẳng thức Bài toán lập kho nhận hàng Bài toán vận tải có cấm Bài tốn vận tải dạng max Bài toán phân việc Tự đọc! hoai.phamthi@hust.edu.vn 21 / 21