Tối ưu bài toán vận tải

Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải Tối ưu bài toán vận tải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC BÁO CÁO TIỂU LUẬN MÔN HỌC CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU BÀI TOÁN VẬN TẢI Giảng viên hướng dẫn: TS PHẠM THỊ HỒI Nhóm thực hiện: NHÓM HÀ NỘI – 2021 Danh sách thành viên nhóm Tên Mã số sinh viên Nguyễn Thị Xuân Hồng 20185364 Nguyễn Tiến Dũng 20185340 Nguyễn Quang Hiếu 20185351 Nguyễn Thị Diệu Linh 20180815 Nguyễn Thanh Long 20185380 Nguyễn Quang Minh 20185385 Nguyễn Ngọc Thìn 20185408 Nguyễn Ngọc Quang 20185395 Nguyễn Thị Bích Ngọc 20185388 Nguyễn Thị Quý 20185396 Nguyễn Thị Lương 20173550 Nguyễn Thành Nam 20185386 Luyện Đức Mạnh 20142854 Nguyễn Văn Long 20142691 Nguyễn Tiến Vĩ 20185426 Mục lục I Tổng quan toán vận tải II Thiết lập mơ hình Sự tồn phương án tối ưu III Một số khái niệm mơ hình tốn vận tải Bảng vận tải (Transportation Table) Chu trình IV V Mơ hình tốn học tốn vận tải Phương pháp vị giải toán vận tải 10 Cơ sở lý thuyết phương pháp vị 10 Thuật toán vị 16 2.1 Lý thuyết thuật toán vị 16 2.2 Một số ý 18 2.3 Ví dụ minh họa 19 Kết luận 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 I Tổng quan toán vận tải Bài toán vận tải ứng dụng thành công quan trọng tốn quy hoạch tuyến tính Theo thống kê Mỹ, có đến 85% tốn quy hoạch tuyến tính gặp ứng dụng thực tế có dạng tốn vận tải dạng mở rộng Bài tốn vận tải giải vấn đề phân phối hàng hóa từ số điểm cung cấp đến số điểm tiêu thụ cho thỏa mãn tiêu chí sau: • Tổng chi phí • Cự ly vận chuyển nhỏ • Tổng tiền lời nhiều Bài toán vận tải thường áp dụng lĩnh vực lập kế hoạch để tối ưu vận chuyển hàng hóa từ ta xác định vị trí xây dụng nhà kho, cửa hàng, nhà xưởng II Mơ hình tốn học tốn vận tải Thiết lập mơ hình Đặt vấn đề: Ta có m điểm phát (kho hàng) với trữ lượng tương ứng kho là!𝑎! , 𝑎" , … , 𝑎# Ta có n điểm thu (Nơi cần vận chuyển hàng đến) với nhu cầu (Lượng hàng cần tiếp nhận) điểm thu là: 𝑏! , 𝑏" , … , 𝑏$ 𝑐%& chi phí vận chuyển đơn vị hàng hóa từ điểm phát 𝑎% đến điểm thu 𝑏& Viết dạng ma trận 𝑐!! 𝐶 =!) ⋮ 𝑐#! 𝑐!" … 𝑐!$ ⋮ ⋮ ⋮ + 𝑐#" … 𝑐#$ 𝑥!! 𝑥 =!) ⋮ 𝑥#! 𝑥!" ⋮ 𝑥#" 𝑥%& lượng hàng vận chuyển từ điểm phát 𝑎% đến điểm thu 𝑏& ! … 𝑥!$ ⋮ ⋮ + … 𝑥#$ Cần xây dựng kế hoạch chở hàng để thỏa mãn điều kiện sau: • Các điểm phát phải phát hết hàng • Các điểm thu phải thu đủ lượng hàng mong muốn • Chi phí vận chuyển nhỏ Mơ hình tốn học (PT) 𝑓(𝑥 ) = ! 3 𝑐%& 𝑥%& # $ %'! &'! với điều kiện 𝑥%& = 𝑎% $ &'! 𝑥%& = ! 𝑏& # %'! 999999 99999 𝑥%& ! ≥ 0!!!!!𝑖 = ! 1, 𝑚, 𝑗 = ! 1, 𝑛 Vector 𝑥 = 0} ô (𝑖, 𝑗 )! ∈ !𝐺!được gọi ô chọn hay ô sử dụng ; ô (𝑖, 𝑗) ∉ !𝐺 gọi ô loại Do vậy, phương án cực biên có khơng q (𝑚 + !𝑛 − ) ô chọn phương án cực biên khơng suy biến có (𝑚 + !𝑛 − ) ô chọn Chu trình Định nghĩa: Một tập thứ tự ô bảng vận tải gọi chu trình thỏa mãn đồng thời ba tính chất sau: i Hai ô cạnh nằm hàng hay cột ii Khơng có ba nằm hàng hay cột iii Ô nằm hàng hay cột với ô cuối Ví dụ vài dạng chu trình Định lý: Phương án 𝑥 = (𝑥%& ) phương án cực biên tập ô chọn !𝐺( 𝑥) = {( 𝑖, 𝑗)! ∈ !𝑇! |𝑥%& > 0} khơng chứa chu trình Ví dụ minh họa: Cho toán vận tải với vecto lượng phát 𝑎 = (50, 70, 55)(, vector ( lượng thu 𝑏 = ! (30, 60, 60, 25)và ma trận chi phí 𝐶 = ! )5 12 1+ a) Bài toán vận tải có nghiệm hay khơng? Giải: Bài tốn có điểm phát điểm thu Tổng lượng phát ! ∑"!#$ 𝑎! = 50 + 70 + 55 = 175 Tổng lượng thu ∑)&'! 𝑏& = 30 + 60 + 60 + 25 = 175 => Tổng lượng phát tổng lượng thu Do vậy, điều kiện cân thu phát thỏa mãn, tốn ln có nghiệm tối ưu 30 20 b) Chứng minh 𝑥 * = ! ) 40 30 + phương án cực biên 0 30 25 Giải: - Kiểm tra điều kiện ràng buộc: ) !!!!∑&'! 𝑥!&* = 30 + 20 + + = 50 = ! 𝑎! * = + 40 + 30 + = 70 = ! 𝑎" Q ∑ )&'!𝑥"& * = + + 30 + 25 = 55 = ! 𝑎 ∑ )&'!𝑥+& + + * ⎧ !∑%'! 𝑥%! + * !!!! ∑%'! 𝑥%" + * ⎨!!!! ∑%'! 𝑥%+ + * ⎩ !!∑%'! 𝑥%) = 30 + + = 30 = ! 𝑏! = 20 + 40 + = 60 = ! 𝑏" = + 30 + 30 = 60 = ! 𝑏+ = + + 25 = 25 = ! 𝑏! Các điều kiện ràng buộc thỏa mãn, 𝑥 * phương án chấp nhận ); (3,)3 ; (3, 4)} - Tính 𝐺 (𝑥 *) = {( 1, 1); ( 1, ); (2, 2); ( 2, Dễ thấy 𝐺( 𝑥 *) không chứa chu trình, 𝑥 * phương án cực biên c) Tính chi phí phải trả thực theo phương án Giải: 𝑓 (𝑥 * )= !!4.30 + 7.20 + 9.40 + 6.30 + 9.30 + 1.25 = 1095 IV Phương pháp vị giải toán vận tải Cơ sở lý thuyết phương pháp vị Xét toán vận tải (PT)! 𝑓(𝑥)= ! 3 𝑐%& 𝑥%& # $ %'! &'! với điều kiện 𝑥%& = 𝑎% $ &'! 𝑥%& = ! 𝑏& # %'! 999999 99999 𝑥%& ! ≥ 0!!!!!𝑖 = ! 1, 𝑚, 𝑗 = ! 1, 𝑛 Bài toán đối ngẫu (DT) toán là: max 𝑔 (𝑦 )= ! 𝑎% 𝑢% +! 𝑏& 𝑢& # $ %'! &'! 999999 𝑚 ; !𝑗 = ! 99 1,999 𝑛!!! với điều kiện 𝑢% + ! 𝑣% ! ≤ ! 𝑐%& !!𝑖 = ! 1, Tương tự thuật tốn đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính, thuật tốn vị giải toán vận tải phải xuất phát từ phương án cực biên 𝑥 * Do tốn vận tải ln có nghiệm nên từ 𝑥 * có hai trường hợp sau xảy ra: i Nếu 𝑥 * thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu (Định lý điều kiện cần đủ để 𝑥 phương án tối ưu) dừng thuật tốn ii Ngược lại, ta chuyển đến phương án cực biên 𝑥 ! thỏa mãn 𝑓 (𝑥 !) ≤ !𝑓(𝑥 * ) lặp lại q trình tính tốn 10 Giả sử 𝑥f = (𝑥f )là phương án tốn vận tải Ta có %& $ # $ 𝑓( 𝑥f ) = ∑# %'! ∑&,! 𝑐%& 𝑥f%& ≥ ∑%'! ∑&'!< 𝑢% + 𝑣& =𝑥f %& $ $ # = ∑# %'! 𝑢% ∑ &'! 𝑥f%& + ∑ &'! 𝑣% ∑ %'! 𝑥f%& $ = ∑# %'! 𝑢% 𝑎% + ∑ &'! 𝑣& 𝑏& $ * $ # * = ∑# %'! 𝑢% ∑ &'! 𝑥%& + ∑ &'! 𝑣& ∑ %'! 𝑥%& $ * ( *) =∑# %'! ∑ &'!(𝑢% + 𝑣& )𝑥%& = 𝑓 𝑥 Vậy 𝑥 * phương án tối ưu toán vận tải xét 999999 99999 𝑚 , j=1, 𝑛 vị tương ứng với Nếu vj, i=1, Định lý: Giả sử x0 phương án cực biên không suy biến tốn vận tải ui, ∃ (𝑖- , 𝑗- ) ∉ G(x0) cho ∆%! &! !> x0 phương án tối ưu từ x0 ta chuyển đến phương án cực biên x1 tốt x0, nghĩa giá trị hàm mục tiêu giảm, hay f(x1) < f(x0) Chứng minh: x0 phương án cực biên không suy biến => i | G(x * )| = m + n − !!!!!!G(x *)!khơng!chứa!chu!trình Theo Hệ 4.3, tập G(x0) ∪ ({𝑖- , 𝑗- )} chứa chu trình K qua (𝑖- , 𝑗- ) Đánh dấu +,- xen kẽ vào ô K, xuất phát từ ( 𝑖- , 𝑗- )!với + 12 (ik,jk)! +! ! ! —! ! ! ! ! ! ! ! ! ! —! ! ! ! +! ! ! ! ! ! ! ! ! ! +! ! —! ! Ký hiệu: 𝐾 =!{các!ơ!có!dấu!+}! 𝐾 , !!=!{các!ơ!có!dấu!—}! Xây!dựng!phương!án!x1!=!(x!/0 )!theo!cơng!thức! 𝑥/0* + !𝜃!nếu!(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐾 Với! ! 𝑥/0! !=!Q𝑥/0* − !𝜃!nếu!(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐾 ,! 𝑥/0* !!!!!!!!!nếu!(𝑖, 𝑗) ∉ 𝐾 ! ! 𝜃!=!min!{𝑥/0*!|!(𝑖, 𝑗)!∈ 𝐾 , }!=!𝑥%*" &" !!!! Do x0 phương án cực biên không suy biến => 𝜃 > 0!!!!! Theo!cách!xây!dựng!chu!trình!K!và!phương!án!x1!ta!có!𝑥%!! &! =!𝜃!>!0! ! Như!vậy,!rõ!ràng!𝑥%& !≥!0!!!! ∀!(𝑖, 𝑗)! Vì!các!ơ!trong!K!!từng!đơi!thuộc!𝐾 và!𝐾 , xen!kẽ!nhau!nên:! 13 ! 3𝑥%& $ &'! # =! 𝑥%&* $ &'! # 999999 ! = ! 𝑎% , 𝑖 = 1, 𝑚 ! = !3 * = ! 𝑏 , 𝑗 = 1, 99999 𝑛! 𝑥%& 𝑥%& & %'! %'! Do!đó!x1!là!1!phương!án!chấp!nhận!được!của!bài!tốn,!dễ!thấy!! 𝐺(𝑥 ! )= (!𝐺 (𝑥 *)!!!\!{(𝑖1 , 𝑗1)}!) ! ∪ {(𝑖- , 𝑗- )}!!! Vì!K!là!chu!trình!duy!nhất!chứa!trong!𝐺 (𝑥 *)!! ∪ {(𝑖- , 𝑗- )}! (𝑖1 , 𝑗1 )! ∈ 𝐾 ! =>! (𝑖- , 𝑗- )! khơng! thể! tạo! thành! chu! trình! với! các! ơ! thuộc! 𝐺( 𝑥 *)!!!\!{( 𝑖1 , 𝑗1 )}!=>!𝐺( 𝑥 !)!khơng!chứa!chu!trình!=>!x1!là!phương!án!cực!biên! !Do:!! 𝑢% + 𝑣& = 𝑐%& !∀! (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐺(𝑥 * ) ! Ÿ * 𝑥%& = 0!!!!!!!!!!!!∀!(𝑖, 𝑗)∉ 𝐺(𝑥 * ) nên!giá!trị!hàm!mục!tiêu!tại!𝑥 * !là! * = 3(𝑢% + 𝑣& )𝑥*%&! 𝑓(𝑥 * ) = 3 𝑐%& 𝑥%& # $ # %'! &'! ! = 3𝑢% # $ %'! &'! $ %'! &'! 𝑥*%& + * ! !! 𝑣& 𝑥%& $ # &'! %'! Do!𝐺( 𝑥 *)!!!\!{( 𝑖1 , 𝑗1)}!=!𝐺 (𝑥 ! )!!!\! {(𝑖- , 𝑗- )}!nên!! 𝑢% + 𝑣& = 𝑐%& !∀! (𝑖, 𝑗 ) ∈ 𝐺¢ = 𝐺 ( 𝑥 !)!\{( 𝑖- , 𝑗-)}!,!ta!có:! ! 𝑓(𝑥 ! ) = 3 𝑐%& 𝑥%& ! # $ %'! &'! 14 ! ! * Qua!biến!đổi!ta!được!𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) − !𝜃!∆%! &!! Mà!𝜃 > 0, ∆%! &! > 0!=>!𝜃!∆%! &! > => !𝑓( 𝑥 !) < 𝑓 (𝑥 *)!! =>!Định!lý!được!chứng!minh! ! 15 Thuật toán vị 2.1 Lý thuyết thuật toán vị INPUT: Phương án cực biên không suy biến x0 = (x0ij) thỏa mãn tập chọn không chứa chu trình OUTPUT: Phương án tối ưu tốn bảng vận tải ứng với phương án Bước khởi tạo: Giả sử biết phương án cực biên không suy biến x0 = (x0ij) Tập ô chọn tương ứng với x0 G(x0) = {(i,j) | x0ij > 0} gồm (m + n − 1) phần tử không chứa chu trình Bước 1: Xác định vị ui,i = 1, ,m vj,j = 1, ,n tương ứng với phương án cực biên x0 việc giải hệ phương trình ui + vj = cij Bước 2: Tính ước lượng ∆ij = ui + vj − cij (Ln có ∆ij = ∀(i,j) ∈ G(x0)) ∀(i,j) ∈ G(x0) ∀(i,j) Ï G(x0) Điền ước lượng ∆ij với (i,j) Ï G(x0) vào góc bên phải (i,j) Bước 3: (Kiểm tra điều kiện tối ưu) If ∆ij £ ∀(i,j) Ï G(x0) Then STOP (x0 phương án tối ưu) Else Chuyển sang Bước Bước 4: (Điều chỉnh phương án) Xác định ô điều chỉnh (is,js) với 16 Dis js = max {∆ij > 0|(i,j) ∈/ G(x0)} Tìm chu trình điều khiển K tập G(x0) ∪ (is,js) Đánh dấu chu trình dấu (+) (-) với (is,js) ∈ K+ Xây dựng phương án x1 = (x1ij) với ì xij0 + q ïï xij1 = í xij0 - q ï ïỵ xij if (i, j ) Ỵ K + if (i, j ) Ỵ K if (i , j ) Ï K Ta có: G(x1) := (G(x0) (ir,jr)) ∪ (is,js) G(x1) khơng chứa chu trình (tức x1 phương án cực biên mới) Gán x0 := x1;G(x0) := G(x1) quay lại Bước 17 2.2 Một số ý Định lý 1: Nếu tốn vận tải khơng suy biến thuật tốn vị hữu hạn, tức sau hữu hạn phép tính ta dẽ nhận nghiệm tối ưu Mệnh đề 1: Nếu lượng phát ai, i=1, m lượng thu bj, j=1, n số nguyên tốn vận tải (PT) có nghiệm tối ưu với thành phần nguyên Chú ý 1.1: (Dấu hiệu nhận biết phương án cực biên suy biến cách khắc phục) Tương tự giải toán quy hoạch tuyến tính, trường hợp tốn vận tải suy biến,có hai dấu hiệu nhận biết: i) θ=0 Khi đó, ta thực thuật tốn cách bình thường, nghĩa điều chỉnh (is,js) trở thành ô chọn phương pháp cực biên x1 với chu trình điều chỉnh trở thành ô loại phương án x Tuy nhiên,kết điều chỉnh không làm thay đổi phương án cực biên mà làm thay đổi tập véc tơ sở ứng với phương án ii) θ đạt nhiều khác Khi đó, ta loại ô theo quy tắc ngẫu nhiên Chú ý 1.2: (Dấu hiệu tốn có phương án tối ưu không nhất) i) Nếu phương án cực biên không suy biến x0 thỏa mãn tiêu chẩn ∆ij = ui + vj = cij < ∀(i,j) ∈/ G(x0) phương án tối ưu toán vận tải ii) Ngược lại, phương án cực biên không suy biến x0 phương án tối ưu tồn ô (ip,jp) ∈/ G(x0) có Di j = x0 khơng phải phương án tối ưu p p tốn vận tải Tương tự thuật tốn đơn hình giải quy hoạch tuyến tính, muốn tìm phương án cực biên tối ưu khác x0, ta chọn (ip,jp) làm ô điều chỉnh thực tiếp số bước lặp theo thuật tốn vị 18 2.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải tốn vận tải thuật toán vị với vecto lượng phát a, vecto lượng thu b, ma trận chi phí C = (cij) phương án cực biên xuất phát x0 sau: a = (50,70,80)T , b = (60,30,40,70)T Bài toán có m=3 điểm phát n=4 điểm thu thỏa mãn điều khiện cân thu phát Phương án cực biên x0 có phương chọn tương ứng là: G(x0) = {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,3), (3,4)} giá trị hàm mực tiêu f(x0) = 690 Vòng lặp thứ nhất: Các số liệu tính tốn tương ứng với phương án cực biên x0 ghi Bảng (ở dưới) Cụ thể: Bước 1: Xác định vị: Giải hệ phương trình ui +vj = cij ứng với (i,j) ∈ G(x0) sau gán u1 := sau: Ô (1,1): Ô (2,1): Ô (2,2): Ô (2,3): Ô (3,3): Ô (3,4): u1 + v1 = c11 = =⇒ v1 = − = 2; u2 + v1 = c21 = =⇒ u2 = − = 1; u2 + v2 = c22 = =⇒ v2 = − = 5; u2 + v3 = c23 = =⇒ v3 = − = 3; u3 + v3 = c33 = =⇒ u3 = − = 2; u3 + v4 = c34 = =⇒ v4 = − = 1; Bước 2: Tính ước lượng tương ứng với (i,j) Ï G(x0) Ơ (1,2): ∆12 = u1 + v2 − c12 = + − = 1; Ô (1,3): ∆13 = u1 + v3 − c13 = + − = −2; Ô (1,4): ∆14 = u1 + v4 − c14 = + − = 0; 19 Ô (2,4): ∆24 = u2 + v4 − c24 = + − = −6; Ô (3,1): ∆31 = u3 + v1 − c31 = + − = 3; Ô (3,2): ∆32 = u3 + v2 − c32 = + − = 5; Bước 3: Vì có ∆12 = > 0, ∆31 = > ∆32 = > (1,2), (3,1), (3,2) không thuộc G(x0) nên phương án cực biên x0 chưa phải phương án tối ưu bj uj -2 − -6 − vj Bảng Bước 4: (Điều chỉnh phương án) Ta chọn ô (is,js) = (3,2) làm ô điều chỉnh vì: ∆32 = max{∆12,∆31,∆32} = max{1,3,5} = Ghép ô (3,2) vào tập G(x0) ta chu trình K = {(3,2),(3,3),(2,3),(2,2)} với K+ = {(3,2),(2,3)} K− = {(3,3),(2,2)} Khi đó: θ = min{x0ij|(i,j) ∈ K−} = min{x033,x022}= min{10,30} = 10 = x033 Do (ir,jr) =(3,3) Tiến hành điều chỉnh phương án ta chuyển sang phương án cực biên x1 với giá trị hàm mục tiêu f(x1) = f(x0) − θ∆32 = 690 – 10x5 = 640 sang vòng lặp thứ hai với x0 := x1 20 bj uj − -2 − -1 -2 -5 − -3 vj Bảng Vòng lặp thứ 2: Các số liệu tính tốn tương ứng với phương án cực biên x0 biểu diễn bảng Vì cịn ∆12 = > 0, ∆14 = > ô (1,2), (1,4) không thuộc G(x0) nên x0 chưa phải phương án tối ưu Dễ thấy, bước lặp ta có (is,js) = (1,4) Chu trình K thuộc tập G(x0) ∪ {(1,4)} là: K = {(1,4),(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,4)} với K+ = {(1,4),(2,1),(3,2)} K− = {(1,1),(2,2),(3,4)} Vậy θ = min{x0ij|(i,j) ∈ K−} = min{x011,x022,x034}= min{50,20,70} = 20 = x022; Do (ir,jr) = (2,2) Tiếp tục điều chỉnh phương án theo bước 4.4 thuật tóa ta chuyển sang phương án cực biên x1 với giá trị hàm mục tiêu là: f(x1) = f(x0) − θ∆14 = 640 − 20x50 = 540 Gán x0 := x1 chuyển sang vòng lặp thứ 21 Vòng lặp thứ 3: Các số liệu tính tốn tương ứng với x0 trình bày bảng vj bj uj + − 30 -4 -2 -5 -6 + − Bảng Do ∆31 = > (3,1) Ï G(x0) nên phương án x0 chưa phải phương án tối ưu Ta có điều chỉnh (is,js) = (3,1); chu trình điều chỉnh K = {(3,1),(3,4),(1,4),(1,1)} với K+ = {(3,1), (1,4)}, K− = {(3,4), (1,1)} θ = {x034, x011} = x011 = 30 Tiếp tục điều chỉnh, ta chuyển sang phương án cực biên x1 với hàm giá trị mục tiêu là: f(x1) = f(x0) − θ∆31 = 540 − 30x3 = 450 Gán x0 := x1 chuyển sang bảng vận tải tương ứng với x0 bảng Vòng lặp thứ 4: Các số liệu tính tốn tương ứng với phương án cực biên x0 trình bày bảng Vì ướng lượng ∆ij < với (i,j) Ï G(x0) nên kết thúc thuật toán ta nhận phương án tối ưu là: giá trị tối ưu là: f(x∗) = 450 22 vj bj uj -3 -4 -5 -2 -3 -3 Bảng Ví dụ 2: Giải toán vận tải thuật toán vị với vecto lượng phát a, vecto lượng thu b, ma trận chi phí C = (cij) phương án cực biên xuất phát x0 sau: a = (10,30, 20)T , b = (25, 25,10)T ỉ5 1ư ç ÷ C = ç 8÷ , ç3 2÷ è ø ỉ 0 10ư x = çç 25 ÷÷ ç 20 ÷ è ø Bài tốn có m = điểm phát n = điểm thu thỏa mãn điều khiện cân thu phát Xét phương án cực biên, ta có số chọn = < m + n -1 = => Đây phương án cực biên suy biến Vậy ta thêm ô (3,3) vào tập ô chọn ta phương án cục biên không suy biến Tập ô chọn lúc là: G( x ) = {(1,3),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3)} giá trị hàm mục tiêu f ( x0 ) = 255 Vòng lặp thứ nhất: Bước 1: Xác định vị: Gán u1 := ta được: ô (1,3): u1 + v3 = c13 = => v3 = - = 1; ô (3,3): u3 + v3 = c33 = => u3 = - = 1; ô (3,2): u3 + v2 = c32 = => v2 = - = 1; 23 ô (2,2): u2 + v2 = c22 = => u2 = - = 5; ô (2,1): u2 + v1 = c21 = => v1 = - = Bước 2: Tính ước lượng tương ứng với ô (i, j ) Ï G (x0 ) ô (1,1): D11 = u1 + v1 - c11 = + - = -3; ô (1,2): D12 = u1 + v2 - c12 = + - = -2; ô (2,3): D 23 = u2 + v3 - c23 = + - = -2; ô (3,1): D31 = u3 + v1 - c31 = + - = Bước 3: Vì D ij £ với (i, j ) Ï G( x0 ) nên kết thúc thuật tốn ta nhận phương án tối ưu phương án x giá trị tối ưu f ( x * ) = 255 æ 0 10 x * = x = ỗỗ 25 ữữ ỗ 20 ữ ố ø Bảng vận tải tương ứng: vj bj -3 -2 10 24 V Kết luận Trong bối cảnh cách mạng công nghiệp lần thứ tư, phát triển khoa học kỹ thuật liệu lớn có ảnh hưởng sâu rộng tới ngành vận tải nói riêng kinh tế xã hội nói chung Việc tìm lời giải tối ưu cho tốn vận tải với lượng lớn thơng tin khổng lồ thách thức đặt lĩnh vực vận tải hàng hóa Chính lời giải tối ưu lớp toán ngày quan tâm giữ vai trò quan trọng việc phát triển cơng ty, tập đồn lớn đất nước ta Các toán vận tải trường hợp đặc biệt quy hoạch tuyến tính nên dùng phương pháp quy hoạch tuyến tính để giải nhiên có phương pháp giải đặc thù, dành riêng cho dạng toán đặc biệt Có nhiều phương pháp đề xuất để giải, khuôn khổ báo cáo chúng em trình bày thuật tốn, sở lý thuyết số ví dụ minh họa phương pháp vị giải toán vận tải 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Các phương pháp Tối ưu Lý thuyết Thuật toán – Nhà xuất Bách Khoa Hà Nội – Nguyễn Thị Bạch Kim Quy hoạch tuyến tính – Nhà xuất Đại Học Sư Phạm 2005 – Phí Mạnh Ban Giáo trình tối ưu tuyến tính – Nhà xuất ĐHQG Hà Nội 2004 – Trần Vũ Thiệu Giáo trình Tin học quản lý xây dựng – Đại học Bách Khoa Hồ Chí Minh – Đỗ Thị Xuân Lan 26 ... nhận toán vận tải Sự tồn phương án tối ưu Định lý: Bài tốn vận tải có phương án tối ưu tổng tất lượng phát tổng tất lượng thu