Đai số Bool ̣ pptx

Nội Dung Chính Hàm Bool  Các dạng biểu diễn hàm Bool  Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool  Thuật toán tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool  Hàm Bool của mạch điện  Bài tập HÀM BOO

Đại số Bool

1

Nội Dung Chính

 Hàm Bool

 Các dạng biểu diễn hàm Bool

 Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool

 Thuật toán tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool

 Hàm Bool của mạch điện

 Bài tập

HÀM BOOL

Đại số Bool

Nội Dung Chính (tt)

1. Đại số Bool nhị phân

3. Đại số Bool của các hàm Bool

3. Đơn thức tối tiểu trong Fn

4. Đa thức trong Fn

5. Dạng nối rời chính tắc của hàm Bool

6. Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool

8. So sánh các dạng đa thức của hàm Bool

9. Công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool

Đại số Bool

3

5. Biểu đồ của 1 đơn thức

6. Biểu đồ của đa thức

HÀM BOOL

Đại số Bool 5

I Hàm Bool

Đại số Bool

George Boole

(1815-1864)

I Hàm Bool

Đại số bool của các số nhị phân cũng thỏa các trường hợp (luật) như trong mệnh đề.

Đại số Bool

7

Luât phủ định kép ¬ ¬E <=> E Luật lũy đẳng E ˄ E <=> E

I Hàm Bool

a Định nghĩa Cho và

Hàm Bool n biến là ánh xạ f : Bn → B, trong đó B = {0, 1}

Một hàm Bool n biến là một hàm số có dạng f = f(x1 ,x2,…,xn), trong đó mỗi biến trong x1, x2,…, xn và f chỉ nhận giá trị trong B = {0, 1}

Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool n biến

Ví dụ : Biểu thức logic E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn là một hàm Bool n biến.

Đại số Bool

1

≥

n n ∈ N

I Hàm Bool

Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn)

trị của f.

Đại số Bool

9

f

f = 1 −

Các Dạng Biểu Diễn

Hàm Bool

Đại số Bool 13

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Xét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1 ,x2,…,xn.

Mỗi hàm bool xi hay ¬ xi được gọi là từ đơn.

Ví dụ: x1, x2, x3,…

Là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn.

Hay có thể hiểu là: Tích Bool của 1 hay nhiều từ đơn sao cho tích này khác 0

Ví dụ: Trong F4 xét x3, x1x2, x1x2x3x4 (bậc của đơn thức là số thành phần x) Trong Fn các đơn thức có bậc từ 1 đến n

x, ¬x, y, ¬y, z, ¬z, t, ¬t là các từ đơn x¬yz ¬t, ¬x ¬yt là các đơn thức

Đại số Bool

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

3. Đơn thức tối tiểu trong Fn:

Là đơn thức có bậc cao nhất bằng n trong Fn.

Dạng tổng quát m = y1y2 yn, yi = xi hoặc ¬xi 1 ≤ i ≤n

Ví dụ: Trong F4 xét các đơn thức tối tiểu bậc 4 x1x2x3x4, x1¬x2x3x4, x1x2x3x4, ¬x1¬x2¬x3¬x4

4. Đa thức trong Fn:

Là tổng Bool các đơn thức f = u1 V u2 V u3 V…V uk, trong đó ui là các đơn thức.

Ví dụ: Trong F5 xét đa thức f(x1,x2,x3,x4) = x1¬x5 V ¬x2x3¬x4 V ¬x3 V ¬x1x3x4x5 => Tổng Bool 4 đơn thức f(1,0,1,1,0)=1¬0V¬01¬1V¬1V¬1110 = 1

Đại số Bool

15

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Cho f thuộc Fn , f có thể viết dưới dạng sau

f = m1 V m2 V m3 V …V mk, (*) với mi là các đơn thức tối tiểu bậc = n (i = 1…n )

(*) được gọi là dạng nối rời chính tắc của f

Ví dụ: Trong F4 có dạng biểu diễn sau đây f(x,y,z,t) = x¬y¬zt V ¬xyzt V xy¬z¬t có dạng (*)

Đại số Bool

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool

 Bước 1: Khai triển hàm Bool thành tổng của các đơn thức

 Bước 2: Với mỗi từ đơn thu được ở bước 1, ta nhân đơn thức đó với các tổng dạng với xi là những từ đơn bị thiếu trong đơn thức đó

 Bước 3: Tiếp tục khai triển hàm thu được ở bước 2 và loại bỏ những đơn thức bị trùng Công thức đa thức thu được chính là dạng nối rời chính tắc của hàm Bool ban đầu

Ví dụ: Trong F3 tìm dạng nối dời chính tắc f(x,y,z)= ¬x V ¬yz V xy¬z

f = ¬x(y V ¬y).(z V ¬z) V (¬x V x)¬yz V xy¬z

f = ¬xyz V ¬xy¬z V ¬x¬yz V ¬x¬y¬z V ¬x¬yz V x¬yzVxy¬z (*)

(*) Chính là dạng nối rời chính tắc

Đại số Bool

17

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool

mà f=1, tại đó Vector bool thứ k là u1, u2,…, un mà f(u1, u2,…, un) = 1.

Ví dụ: cho f(x,y) = x V ¬y Tìm biểu thức dạng nối rời chính tắc của f

Lập bảng chân trị của f

Vậy dạng nối rời chính tắc của f là f(x,y) = ¬x ¬y V x ¬y V xy

Đại số Bool

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

f F ∈ n Khi đó,

 f có thể có nhiều dạng đa thức khác nhau , ta chọn ra các công thức

đơn giản nhất có thể được Chúng chính là các công thức đa thức tối tiểu của f.

 f chỉ có một dạng nối dời chính thức duy nhất (không tính sự hoán

đổi của các đơn thức).

Đại số Bool

19

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

p ≤ q

deg(uj) ≤ deg(uj) (1 ≤ j ≤ p) chú ý:

 Có thể hoán vị v1, v2, …,vq trước khi so sánh bậc nếu cần thiết

 Có thể có những cặp đa thức không so sánh được

Đại số Bool

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Ví dụ:

a f F ∈ 4 có 3 dạng đa thức f(x,y,z,t) = x ¬y ¬t V ¬xyz V x ¬z ¬ t V xyz (1) = x ¬y ¬t V ¬xyz V xy ¬z V yzt (2) = x ¬y ¬t V ¬xyzt V ¬xyz ¬t V xy ¬z V yzt (3) (1) và (2) đơn giản ngang nhau

vì p = q = 4 deg(uj) = deg(vj) = 3

(2) đơn giản hơn (3) hay (3) phức tạp hơn (2)

vì q = 4 < r = 5 deg(vj) ≤ deg(qj)

Đại số Bool

21

II Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Ví dụ:

b g F ∈ 4 có 2 dạng đa thức g(x,y,z,t) = x ¬yz V z ¬t V ¬xyz V ¬xy ¬zt (4) = z ¬t V x ¬yzt V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5)

ta thấy: p = q = 4 d(u1) > d(v1); d(u2) < d(v2)

nên cần phải hoán vị (5)  x ¬yzt V z ¬t V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5`) (q` = 4) (4) đơn giản hơn 5`

vì p = q` = 4

deg(uj) ≤ deg(wj)

Đại số Bool

BIỂU ĐỒ KARNAUGH

Đại số Bool 23

III Biểu Đồ Karnaugh

1 Công thức đa thức tối tiểu:

Với f F ∈ n khi đó:

đa thức đơn giản nhất có thể được, đó chính là các công thức đa thức tối tiểu của hàm bool f.

biểu đồ karnaugh(Hàm bool không quá 4 biến).

Đại số Bool

III Biểu Đồ Karnaugh

III Biểu Đồ Karnaugh

z

z

Đại số Bool

III Biểu Đồ Karnaugh

4 Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool:

 Ta quan tâm các vector bool mà f =1tại đó

III Biểu Đồ Karnaugh

6 Tính chất:

f, g f F ∈ n (n ≤ 1)

Đại số Bool

7 Biểu đồ karnaugh của một đơn thức:

Cho đơn thức m F ∈ n (n ≤ 4)

III Biểu Đồ Karnaugh

8 Biểu đồ karnaugh của một đa thức:

Cho đa thức f F ∈ n (n ≤ 4)

f = u1 V u2 V … V uk (u1, u2 ,…,uk các đơn thức)

Ta có: kar(f) = kar(u1) V kar(u2) V kar(u3) V kar(u4)

III Biểu Đồ Karnaugh

III Biểu Đồ Karnaugh

9 Tế bào và tế bào lớn:

Ví dụ 4: Các tế bào lớn:

T 1 (4 ô), S chứa T 1 và không có tế bào T’ 1 thỏa T’ 1 chứa T 1 => T 1 lớn

T 2 (2 ô), T 1 chứa T 2 => T 2 không lớn

T 3 (2 ô), T 1 chứa T 3 => T 3 không lớn

T 4 (2ô), S chứa T 4 và không có tế bào T’ 4 thỏa T’ 4 chứa T 4 => T 4 lớn

Đại số Bool

35

CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Đại số Bool 36

Đại số Bool

37

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Thuật toán tìm đa thức tối tiểu

Bước 1: Vẽ biểu đồ Karnaugh của f.

Bước 2: Xác định tất cả các tế bào lớn của kar(f).

Bước 3:Chọn các ô chỉ thuộc một tế bào lớn

Đại số Bool

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Nếu các tế bào lớn chọn được ở bước 3 đã phủ được

kar(f) thì ta có duy nhất một phủ tối tiểu gồm các tế bào lớn

của kar(f)

Nếu các tế bào lớn chọn được ở bước 3 chưa phủ được

kar(f) thì:

Xét một ô chưa bị phủ, sẽ có ít nhất hai tế bào lớn chứa

ô này, ta chọn một trong các tế bào lớn này Cứ tiếp tục như

thế ta sẽ tìm được tất cả các phủ gồm các tế bào lớn của

kar(f)

Loại bỏ các phủ không tối tiểu, ta tìm được tất cả các

phủ tối tiểu gồm các tế bào lớn của kar(f)

Đại số Bool

39

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

 Bước 5: Xác định các công thức đa thức tối tiểu của f

Từ các phủ tối tiểu gồm các tế bào lớn của kar(f) tìm được ở bước 4 ta xác định được các công thức đa thức tương ứng của f

Loại bỏ các công thức đa thức mà có một công thức đa thức nào đó thực sự đơn giản hơn chúng Các công thức đa thức còn lại chính là các công thức đa thức tối tiểu của f

Đại số Bool

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Đại số Bool

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Đại số Bool

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Đại số Bool

43

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Đại số Bool

IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU

Đại số Bool

45

Đại số Bool 46

V Đại số các mạch điện

 Công tắc điện tương đương 1 biến bool (0,1)

 Trên dây dẫn 2 công tắc: mắc nối tiếp và mắc song song

t(a,b) = a b = a.b

1 nếu có điện qua dây t(a,b) = 0 nếu không có điện qua dây

t(a,b) = aVb

Đại số Bool

47

t(a,b)

A a B b

1 Hàm bool của mạch điện:

b. Mạch điện có n công tắc điện A1, A2,…An(n biến bool a1, a2,…,an).

 Hàm Bool cho mạch điện:

2. Các loại cổng cơ bản:

b Cổng OR

Bảng chân trị

Ví dụ: Cho đầu vào A = 011101, B = 100110 khi đó đầu ra của cổng OR là X=A+B =

111111

V Đại số các mạch điện

c Cổng AND

Bảng chân trị

3. Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool:

 f F ∈ n và f có dạng đa thức: f = U1 V u2 V V Uk (u1, u2,uk là các đơn thức).

 f F ∈ 3 dùng các cổng AND, OR, NOT để thiết kế mạng tổng hợp f.

V Đại số các mạch điện

4. Tối ưu hóa việc thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm bool:

 Việc thiết kế mạng cho f dựa vào 1 công thức đa thức nào đó của F F có nhiều dạng đa thức khác nhau, ta sẽ chọn 1 công thức đa thức tối tiểu của f để thiết kế mạng cho nó Như vậy ta sẽ tiết kiệm được chi phí mua cổng và dây dẫn.

Ví dụ: f F ∈ 3 có f(x,y,z) = xyz V x¬y¬z V x¬y¬z V xy¬z V ¬xy¬z (dạng đa thức)

Kar(f) = Kar(xyz) V Kar(x¬y¬z) V Kar(x¬y¬z) V Kar(¬xy¬z)

Đại số Bool

53

Đại số Bool

55