2. Tứ giác AEOF
3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn. 4. ED song song với Ac.
5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng thẳng cố định.
Bài 65 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn (O) đờng kính BC cắt AB; AC tại E và D. BD cắt CE tại H; AH cắt BC tại I. Vẽ các tiếp tuyến AM và AN của (O). Chứng minh:
1. Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp đợc. 2. CD.CA + BE. BA = BC2.
3. M; H; N thẳng hàng.
Bài 66: Cho đờng tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC . Qua B kẻ đờng thẳng song song với Mx, đờng thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đờng kính BB’. Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BB’ đờng này cắt ; BC lần lợt tại K và E . Chứng minh:
1. Tứ giác MOIC nội tiếp. 2. OI vuông góc với Mx.
3. ME có độ dài không phụ thuộc vị trí của điểm M.
4. Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đờng nào? Tại sao?
Bài 67: Cho (O; R) và điểm A ∈ (O). Một góc vuông xAy quay quanh A và luôn thoả mãn Ax; Ay cắt (O). giọ các giao điểm thứ hai của Ax; Ay với (O) lần lợt là B; C. Đờng tròn đờng kính AO cắt AB; AC tại các điểm thứ hai t- ơng ứng là M; N. Tia OM cắt (O) tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh:
1. Tứ giác AMON là hình chữ nhật. 2. MN // BC.
3. Tứ giác PHOP nội tiếp.
4. Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Một số đề thi tuyển sinh THPT
Đề số 1
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 1998 1999)–
Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đờng tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đờng tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A).
1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông. 2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2).
3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đờng tròn. 4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất.
Đề số 2
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 1999 2000)–
Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lợt là P, Q, R.
1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông.
2) Đờng thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đờng tròn. 3) Đờng thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lợt tại E và F. Chứng minh AE. CF = 2AI. CI.
Đề số 3
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 1999 2000)–
Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đờng thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q.
1) Chứng minh BP = CQ.
2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất. 3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. Tính góc AHC.
Đề số 4
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2000 2001)–
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD, AH là đờng cao của tam giác (H ∈ BC). 1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM vuông góc với AC. 3) Gọi bán kính của đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R.
Chứng minh : r + R ≥ AB.AC .
Đề số 5
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2000 2001)–
Đề số 6
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2001 2002)–
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại E và F.
1) Chứng minh AE = AF.
2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Kẻ đờng kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành.
Đề số 7
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2001 2002)–
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. 1) Chứng minh rằng MN là đờng kính của đờng tròn đờng kính AH.
2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
3) Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC.
Đề số 8
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2002 2003)–
Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD.
1) Chứng minh OI song song với BC.
2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn.
3) Chứng minh rằng CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ.
Đề số 9
Cho đờng tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB.
1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đờng tròn. 2) PQ cắt AB tại E. Chứng minh: MP2 = ME.MI.
3) Giả sử PB = b và A là trung điểm của MB. Tính PA.
Đề số 10
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2003 2004)–
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD.
1) Chứng minh :∆MIC = ∆HMK . 2) Chứng minh CM vuông góc với HK.
3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề số 11
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2003 2004)–
Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đờng tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự ở C và D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh:
1) IA vuông góc với CD. 2) Tứ giác IEBF nội tiếp.
3) Đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF.
Đề số 12
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2004 2005)–
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC. Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM với CN.
1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.
2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đờng tròn đờng kính AB và BC.
3) Kẻ đờng kính MK của đờng tròn đờng kính AB. Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng.
Đề số 13
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2004 2005)–
Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP và
ã ã
MNP PNQ= và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E. 1) Chứng minh PMI QNIã =ã .
2) Chứng minh tam giác MNE cân. 3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME.
Đề số 14
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2005 2006)–
Cho nửa đờng tròn đờng kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đờng tròn (P ≠ M, P ≠ N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đờng thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đờng thẳng MQ tại K.
1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đờng tròn. 2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ.
3) Tìm vị trí của P trên nửa đờng tròn sao cho NK.MQ lớn nhất.
Đề số 15
(Đề thi của tỉnh Hải Dơng năm học 2005 2006)–
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đờng tròn đi qua N và P. Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đờng tròn (O). (Q và K là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của NP.
1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đờng tròn.
2) Đờng thẳng KI cắt đờng tròn (O) tại F. Chứng minh QF song song với MP. 3) Nối QK cắt MP tại J. Chứng minh: