SKKN Tiếp cận lý thuyết hoạt động trong dạy học Toán, nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài tập hình học không gian

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Sự biến động phát triển không ngừng xã hội nay, đòi hỏi nhà trường phải đào tạo người có lực (NL) giải vấn đề (GQVĐ) sáng tạo (ST) học tập cũng thực tiễn sống Trong đổi giáo dục, hầu khắp nước giới, người ta quan tâm đến phát triển NL GQVĐ ST cho học sinh thông qua môn học, thể đặc biệt rõ nét quan điểm trình bày kiến thức phương pháp (PP) dạy học thông qua chương trình, sách giáo khoa Ở Việt nam, nghị số 29, Hội nghị Trung ương Khoá XI về đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ quan điểm, mục tiêu, nhiệm vụ giải pháp, đó có nhấn mạnh: Tiếp tục đổi mạnh mẽ đồng yếu tố giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, lực người học Ở trường phổ thông, có thể xem học hình học không gian (HHKG) học vận dụng sáng tạo kiến thức(KT), kĩ (KN), lực (NL) người học để giải thích tượng thực tế liên quan đến giới thực tiễn, thông qua đó phát triển ý tưởng nghiên cứu khoa học cho học sinh (HS) Dạy HHKG tổ chức hoạt động nhằm hình thành kiến thức, kĩ từ đó phát triển phẩm chất lực cho học sinh nói chung phát triển NL GQVĐ ST nói riêng Trong chương trình THPT, hình học không gian xuất nội dung: Vectơ, hình học tổng hợp hình học giải tích Kiến thức phần có liên hệ mật thiết với chúng có nhiều ứng dụng thực tiễn đời sống Vì vậy, HS không cần phải hiểu sâu sắc về HHKG mà còn phải biết vận dụng kiến thức đó vào sống Qua phân tích cấu trúc, nội dung phần HHKG kết hợp với thực tiễn dạy học thân, thấy có thể phát triển NL GQVĐ ST cho HS trình dạy học phần Xuất phát từ lí trên, chúng tơi chọn đề tài “Tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán, nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua giải tập hình học khơng gian” với mục đích góp phần thực mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông Những điểm đề tài là: Xây dựng số biện pháp tổ chức dạy học tiếp cận lý thuyết HĐ làm công cụ để phát triển NL GQVĐ ST cho HS trình dạy học tập hình học khơng gian Xây dựng số cách thức tự bồi dưỡng lực tiếp cận lý thuyết hoạt động giáo viên nghiên cứu giảng dạy Toán Xây dựng số tiêu chí đánh giá hiệu việc phát triển lực thành tố NL GQVĐ ST thông qua dạy học tiếp cận lý thuyết hoạt động PHẦN II NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Quan điểm hoạt động Trong lí luận nhận thức triết học Mác - Lênin, phạm trù HĐ đề cập đến sở để bàn về vấn đề nhận thức HĐ phương tiện để sản sinh phát triển định vị thân mình “ C Mác tạo nền móng triết học cho phương hướng tổ chức dạy học đại: dạy HS hành động sáng tạo để qua đó hiểu cải tạo giới” Cơ sở triết học cho ý nghĩa phương pháp luận rằng, nhiệm vụ GV tổ chức cho HS học tập thông qua HĐ Theo Nguyễn Bá Kim, “HĐ HS cốt lõi phương pháp dạy học” Ở cần hiểu rằng, phương pháp dạy học GV cách thức tổ chức HĐ học HS nhằm đạt mục tiêu dạy học “Quá trình dạy học gồm có hai HĐ chính: HĐ học HĐ dạy, đó HĐ dạy, phải tập trung, hướng tới HĐ học, HĐ học trung tâm” HĐ trình thực chuyển hóa lẫn cực chủ thể khách thể Có nghĩa HĐ phản ứng tổ hợp phản ứng mà HĐ cấu có tổ chức, có chuyển hóa biến đổi bên Đối tượng HĐ sinh thành quan hệ sinh thành HĐ thông qua HĐ chủ thể Như đối tượng HĐ khơng vật chất cụ thể mà các đối tượng, quan hệ trừu tượng cần hình dung, tư làm bộc lộ nó với tư cách động HĐ, với tư cách đối tượng mang tính nhu cầu Các dạng HĐ cụ thể HS dạy học toán chủ yếu HĐ trí tuệ HĐ tốn học Đặc trưng cấu thành HĐ tính đối tượng HĐ, đó tình huống, vật, kiến thức về đối tượng, quan hệ, quy luật, phương pháp… 1.2 Định nghĩa lực Hiện nay, có nhiều quan điểm khác về lực Theo dự thảo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, công bố tháng năm 2017, “Năng lực” thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể 1.3 Dạy học theo quan điểm hoạt động (QĐHĐ) Dạy học theo QĐHĐ hay vận dụng QĐHĐ dạy học trình dạy học có đặc trưng sau đây: - Quá trình dạy học trình tổ chức HĐ học cho HS - Tri thức cài đặt với dụng ý sư phạm HĐ GV thiết kế, tổ chức - HĐ học trung tâm trình dạy học - HĐ học HS chủ yếu tự học học hợp tác - HS HĐ để phát hiện, khám phá, kiến tạo tri thức, hình thành hay phát triển kĩ năng, bồi dưỡng phát triển lực Theo lý thuyết hoạt động thì việc tổ chức HĐ cho HS cần tuân thủ theo tư tưởng chủ đạo để đạt hiệu quả: - Gợi động cho HĐ học tập - Cho HS thực tập luyện HĐ HĐ thành phần tương thích với nội dung mục tiêu dạy học - Dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt tri thức phương pháp phương tiện kết HĐ - Phân bậc HĐ để làm để điều khiển trình dạy học 1.4 Các lực cốt lõi cần hình thành phát triển cho học sinh Chương trình giáo dục phổ thông hướng tới hình thành phát triển cho học sinh lực cốt lõi sau: - Những lực chung gồm: lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo - Những lực chuyên môn hình thành, phát triển chủ yếu thông qua số môn học định gồm: lực ngôn ngữ, lực tính tốn, lực tìm hiểu tự nhiên xã hội, lực công nghệ, lực tin học, lực thẩm mỹ, lực thể chất 1.5 Các lực thành tố (NLTT) NL GQVĐ ST Theo dự thảo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, công bố tháng năm 2017, lực thành tố (NLTT) NL GQVĐ ST gồm: - Năng lực nhận ý tưởng - Năng lực phát làm rõ vấn đề - Năng lực hình thành triển khai ý tưởng - Năng lực đề xuất, lựa chọn giải pháp - Năng lực thực đánh giá giải pháp giải vấn đề - Năng lực tư độc lập 1.6 Phát triển lực giải vấn đề sáng tạo Năng lực GQVĐ ST cấu thành từ NLTT, vì phát triển NL GQVĐ ST tạo trình hình thành phát triển NLTT NL Về mặt chất, hình thành NLTT NL biến đổi về lượng, còn phát triển NL biến đổi về chất Khi NLTT hình thành từ thao tác riêng lẻ đến KN kỹ xảo thì tất yếu dẫn tới phát triển NL Sự hình thành KN từ mức thao tác đơn giản đến kỹ xảo dẫn tới phát triển NL từ thấp đến cao, từ chưa hoàn thiện đến hoàn thiện Năng lực GQVĐ ST có mối quan hệ mật thiết với KN quan sát, KN so sánh, KN tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá,… Các KN đan xen, tương hỗ, gắn bó với trình nhận thức HS NL GQVĐ ST với NL học tập phần HHKG hai phận có quan hệ biện chứng gắn bó mật thiết với Học HHKG góp phần hình thành phát triển NL GQVĐ ST, đồng thời việc hình thành, phát triển NL GQVĐ ST góp phần thúc đẩy việc học tập phần HHKG đạt hiệu cao Theo dự thảo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, thực từ sau 2018, HS THPT, lực giải vấn đề sáng tạo gồm lực thành tố với biểu sau: Bảng Các NL thành tố NL GQVĐ ST Năng lực thành tố Biểu Phát - Phân tích tình học tập, sống; làm rõ vấn đề - Phát nêu tình có vấn đề học tập, sống Đề xuất, lựa - Thu thập làm rõ thông tin có liên quan đến vấn đề; - Đề xuất phân tích số giải pháp giải chọn giải pháp vấn đề; -Lựa chọn giải pháp phù hợp Thực - Thực đánh giá giải pháp giải vấn đề; đánh giá giải pháp - Suy ngẫm về cách thức tiến trình giải vấn đề để giải vấn đề điều chỉnh vận dụng bối cảnh Tư độc lập - Đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp nhận thông tin chiều; - Không thành kiến xem xét, đánh giá vấn đề; - Quan tâm tới lập luận minh chứng thuyết phục; - Sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề Nhận ý tưởng - Xác định làm rõ thông tin, ý tưởng phức tạp từ nguồn thông tin khác nhau; - Phân tích nguồn thơng tin độc lập để thấy khuynh hướng độ tin cậy ý tưởng Hình thành - Nêu nhiều ý tưởng học tập sống; triển khai ý tưởng - Suy nghĩ không theo lối mòn; - Tạo yếu tố dựa ý tưởng khác nhau; - Hình thành kết nối ý tưởng; - Nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước thay đổi bối cảnh; - Đánh giá rủi ro có dự phòng CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Trong trình thực đề tài, tiến hành quan sát sư phạm, tham khảo giáo án, dự giờ, trao đổi ý kiến với số GV, dùng phiếu thăm dò ý kiến GV số trường THPT tỉnh Nghệ An nhằm thu thập số liệu cụ thể về thực trạng dạy - học tiếp cận lý thuyết HĐ trường THPT Qua số liệu điều tra nhận thấy: - Hầu hết GV đều nhận thức cần thiết việc dạy học theo lý thuyết HĐ, nhằm phát triển NL GQVĐ ST cho HS -Tuy nhiên đa số GV còn lúng túng vì chưa hiểu rõ biện pháp, cách thức dạy học theo lý thuyết HĐ cụ thể cũng chưa thật hiểu về chất lực thành tố NL GQVĐ ST - Đa số GV có sử dụng quan điểm lý thuyết HĐ dạy học chưa thực hiệu quả, phần lớn GV đánh giá NL GQVĐ ST HS mức trung bình Chính thế, chúng tơi lần khẳng định việc sử dụng lý thuyết HĐ nhằm phát triển NL GQVĐ ST cho HS vấn đề quan trọng cần thiết MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC DẠY HỌC TIẾP CẬN LÝ THUYẾT HOẠT ĐỘNG LÀM CÔNG CỤ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC PHẦN HHKG Theo lý thuyết hoạt động thì việc tổ chức HĐ cho HS cần tuân thủ theo tư tưởng chủ đạo để đạt hiệu quả: - Gợi động cho HĐ học tập; - Cho HS thực tập luyện HĐ HĐ thành phần tương thích với nội dung mục tiêu dạy học; - Dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt tri thức phương pháp phương tiện kết HĐ; - Phân bậc HĐ để làm để điều khiển trình dạy học Trong giới hạn đề tài này, xây dựng công cụ để phát triển NL GQVĐ ST biện pháp tổ chức HĐ thông qua HĐ đó làm nảy sinh tình CVĐ Biện pháp 1: Sử dụng đối tượng có chức gợi động việc tổ chức HĐ cho HS tìm tịi kiến thức Biện pháp 2: Phát HĐ tư khoa học, tương thích với nội dung phân tách HĐ thành HĐ thành phần Biện pháp 3: Hệ thống hóa tri thức phương pháp trình bày tường minh SGK, phát triển mở rộng kiến thức, kỹ chuẩn Biện pháp 4: Thiết kế đối tượng có chức phân bậc, riêng lẻ, tổng quát việc tổ chức HĐ học 3.1.Biện pháp 1: Sử dụng đối tượng có chức gợi động việc tổ chức HĐ cho HS tìm tịi kiến thức Đây biện pháp chủ đạo dạy tập phần hình học không gian Các giáo viên có thể vào nội dung tập, phân tích giả thiết, kết luận để gợi động cơ, giúp cho HS tìm kiến thức tiến hành giải tập Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a; SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) , với M trung điểm CD Bài giải: -Phát làm rõ vấn đề + Gợi động cơ: Khi phân tích giả thiết “khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) ” giáo viên cần gợi cho học sinh liên tưởng tới chân phương chiếu hình vẽ, đó điểm A Lúc đó cần dựng khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) nhờ tính chất SA ⊥ ( ABCD ) hay SA ⊥ BM học sinh thực hoạt động tìm tòi kiến thức tương ứng - Đề xuất, lựa chọn giải pháp + Các hoạt động: H1: Chuyển từ khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) thành khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) H2: Dựng khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) - Thực đánh giá giải pháp giải vấn đề CE d ( D,( SBM )) = d (C ,( SBM )) = d ( A,( SBM )) = d ( A,( SBM )) AE Dựng AN ⊥ BM với N thuộc BM AH ⊥ SN với H thuộc SN Khi đó, BM ⊥ AN BM ⊥ SA , suy BM ⊥ ( SAN ) nên BM ⊥ AH Mà AH ⊥ SN , suy AH ⊥ ( SBM ) nên d ( A,( SBM )) = AH - Phát làm rõ vấn đề + Gợi động cơ: Để tính độ dài AN , AH giáo viên gợi cho học sinh nhiều cách tiếp cận, chẳng hạn cạnh, đường cao tam giác, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng…, từ đó học sinh đưa số cách tiếp cận kiến thức phong phú - Đề xuất, lựa chọn giải pháp + Các hoạt động: H1: Dùng cơng thức tính đường cao tam giác vng: 1 = 2+ 2 h a b H2: Tính độ dài đường cao diện tích tam giác - Thực đánh giá giải pháp giải vấn đề Ta có S ABM = S ABCD − 2S ADM = 2a − a = a 2 2S 4a nên AN = ABM = BM 17 Trong tam giác vuông SAN , vuông A với AH đường cao, ta có 1 4a = +  AH = 2 AH AN AS 33 2a Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) d ( D,( SBM )) = 33 - Tư độc lập + Gợi động cơ: Sau hồn thành hoạt động giải tốn, giáo viên nên cho học sinh suy ngẫm về giải pháp, đặt học sinh vào tình ban đầu, lúc đó lựa chọn học sinh có cịn giữ ngun không Giáo viên có thể cho học sinh hình dung lại chất toán cách vẽ sơ đồ tư + Các hoạt động: H1: Chuyển từ khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) thành khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) dựng khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) H2: Dùng cơng thức tính đường cao tam giác vng, tính độ dài đường cao diện tích tam giác - Nhận ý tưởng + Gợi động cơ: Ta nhận thấy hoạt động giải toán trên, chủ yếu tập trung nhiều vào chân phương chiếu A hình vẽ, nghiên cứu kỹ điểm A có nhiều kiến thức liên quan mà ta sử dụng Giáo viên gợi cho học sinh kiến thức liên quan như: a) Có thể xem AN đường cao tam giác vuông đỉnh A ; b) AH có thể đường cao hình chóp đỉnh A ; c) AH đường cao tứ diện vuông đỉnh A + Các hoạt động: H1: Dựng tam giác vuông đỉnh A nhận AN làm đường cao H2: Dựng hình chóp đỉnh A nhận AH làm đường cao H3: Dựng tứ diện vuông đỉnh A nhận AH làm đường cao - Hình thành triển khai ý tưởng Cách 2: Kéo dài BM cắt AD F , đó tam giác ABF vng A , có AN đường cao, AB = a; AF = 4a 1 4a = +  AN = 2 AN AB AF 17 Trong tam giác vuông SAN , vuông A với AH đường cao, ta có 1 4a = +  AH = AH AN AS 33 2a Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) d ( D,( SBM )) = 33 Với ý tưởng giúp học sinh giải tập dễ dàng đơn giản nhiều 2S 4a Cách 3: Ta có S ABM = S ABCD − 2S ADM = 2a − a = a nên AN = ABM = BM 17 4a 3V SA.S ABM  AH = Khi đó AH = SABM = S SBM S SBM 33 2a Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) d ( D,( SBM )) = 33 Cách 4: Kéo dài BM cắt AD F , đó tứ diên ABFS tứ diện vuông đỉnh A , có AH đường cao, AB = SA = a; AF = 4a 1 1 4a = + +  AH = 2 2 AH AB AF AS 33 2a Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) d ( D,( SBM )) = 33 Với ý tưởng giúp học sinh giải tập cách đơn giản nhất, cũng cách gợi ý tưởng để học sinh có thể thực phương pháp giải phương pháp vectơ phương pháp tọa độ Cách 5: Chọn hệ trục tọa độ Axyz gốc A trục song song với AB, AD, AS Khi đó : A(0;0;0) , B (1;0;0) , E (0;4;0) , S (0;0;1) Phương trình mặt phẳng ( SBE ) : x + y + z − = Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) d ( A,( SBM )) = −4 33 Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBM ) d ( D,( SBM )) = = 33 2a 33 3.2 Biện pháp 2: Phát HĐ tư khoa học, tương thích với nội dung phân tách HĐ thành HĐ thành phần Biện pháp thích hợp dạy tập phần hình học không gian Các giáo viên có thể vào nội dung tập, gợi ý đặt hoạt động tư cụ thể để học sinh thực theo, đó hoạt động có thể phân tách thành nhiều hoạt động thành phần Chẳng hạn làm tập về hình học không gian, giáo viên đặt bước tư sau: Bước 1: Vẽ hình hợp lý với nội dung bài: Hình vẽ phù hợp gì? Phương chiếu đâu? Có liên hệ gì với thực tế không gian sống? Bước 2: Gắn tất giả thiết lên hình vẽ: Các giả thiết đơn giản gắn lên hình nào? Tái hình dung giả thiết cần mô hình phụ sao? Dự định khai thác giả thiết nào? Bước 3: Nghiên cứu mục tiêu, kết luận bài: Với yêu cầu toán ta cần làm nào? Các kiến thức liên quan đến kết luận gì? Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B , AD = BC , AB = BC = a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi E trung điểm cạnh AD , khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng a Tính thể tích khối chóp S ABCD ( SCD ) Bài giải: Bước 1: Vẽ hình hợp lý với nội dung bài: -Phát làm rõ vấn đề + Tư khoa học, tương thích: GV cho HS lướt qua đề để hình thành tư cụ thể, chẳng hạn như: Tìm phương chiếu phù hợp, giáo viên để học sinh tự phát gợi ý cho em vẽ phương chiếu đường thẳng SA , mặt phẳng chiếu mặt phẳng ( ABCD ) 10 hợp sang hình toạ độ không gian, xây dựng hệ thống tập dựa vào định hướng sau: Định hướng 1: Hệ thống tập đảm bảo kiểm tra, bồi dưỡng, phát triển kiến thức, kỹ nhằm đạt mục tiêu dạy học Những kiến thức phần mặt cầu SGK hình học 12 : Trong không gian cho mặt cầu S (O; R ) , điểm M , đường thẳng  mặt phẳng ( P ) 1) Vị trí tương đối mặt cầu (S) với điểm M – Nếu OM = R thì điểm M nằm mặt cầu ( S ) – Nếu OM  R thì điểm M nằm mặt cầu ( S ) – Nếu OM  R thì điểm M nằm mặt cầu ( S ) 2) Vị trí tương đối mặt cầu ( S ) với đường thẳng  Gọi H hình chiếu vuông góc O lên  d = OH khoảng cách từ O đến  – Nếu d  R thì đường thẳng  không cắt mặt cầu ( S ) – Nếu d = R thì đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu ( S ) H đường thẳng  gọi tiếp tuyến mặt cầu ( S ) – Nếu d  R thì đường thẳng  cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt A AB (1) B Ta có H trung điểm AB R = d + 3) Vị trí tương đối mặt cầu ( S ) với mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vuông góc O lên (P) h = OH khoảng cách từ O đến mp(P) 2 – Nếu h  R thì mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu ( S ) – Nếu h = R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) H mp(P) gọi tiếp diện mặt cầu – Nếu h  R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có tâm H bán kính r = R − h (2) Định hướng 2: Hệ thống tập đảm bảo tính hệ thống, kế thừa Trong đề tài hệ thống tập phân chia theo nhóm dựa tương đồng về dạng tập như: Bài tập liên quan đến giao đường thẳng với mặt cầu, giao mặt phẳng với mặt cầu, tìm điểm thuộc mặt cầu… Mặt khác tập có kế thừa; có thể đó mở rộng toán về đường tròn biết mặt phẳng; tổng quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá toán; nâng dần mức độ khó khăn cho toán; thay đổi dự kiện, giả thiết kết luận toán; chuyển đổi tốn tương ứng từ hình khơng gian tổng hợp sang toạ độ… 34 Định hướng 3: Hệ thống tập cho phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, giúp học sinh phát triển lực toán học Số lượng tập đề tài phong phú, đa dạng áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, phù hợp cho việc dạy học phân hoá, phát huy tối đa lực học sinh Căn vào giao mặt cầu với đường thẳng mặt phẳng ta xây dựng phân loại thành nhóm tốn sau: Nhóm 1: Nhóm tốn liên quan đến đường thẳng qua điểm nằm mặt cầu Bài tập về đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt cốt lõi cần vận dụng, khai thác công thức Sau ta xây dựng giải toán về một, hai, ba đường thẳng qua điểm nằm mặt cầu thoả mãn điều kiện cho trước Trong mặt phẳng ta có tốn: Cho đường trịn ( C ) có tâm O , bán kính R điểm M nằm ( C ) cho OM = m  R Đường thẳng qua M cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị lớn nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Trong khơng gian liệu có tốn tương ứng? Giáo viên vẽ hình, học sinh hình dung thử phát biểu tốn Sau đó giáo viên nêu toán yêu cầu học sinh giải Bài toán 1: Cho mặt cầu S ( 0; R ) điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho OM = m  R Đường thẳng d qua M cắt mặt cầu ( S ) hai điểm A, B R b) Tính độ dài đoạn thẳng AB góc hai đường thẳng AB OM 600 c) Tìm giá trị lớn nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Lời giải: a) Tính độ dài đoạn thẳng AB khoảng cách từ O đến đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc O lên AB 35 R a) Ta có AB = AH = R − OH = R − =R m b) Ta có OH = OM sin 600 = , 2 2 3m AB = AH = R − OH = R − = R − 3m2 c) Ta có AB  2R không đổi Suy độ dài AB lớn 2R đường thẳng d qua điểm M tâm mặt cầu 2 Mặt khác AB = AH = R − OH  R − OM = R − m Suy độ dài AB nhỏ H trùng M Vậy AB nhỏ R − m2 đường thẳng d qua M vng góc với OM Nhóm 2: Nhóm tốn liên quan đến đường thẳng qua điểm nằm ngồi mặt cầu Bài tốn qua điểm nằm ngồi mặt cầu có hai dạng đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu Đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt ta nghiên cứu trên, phần chủ yếu xét đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu Ta có tốn: Đường thẳng qua điểm M nằm mặt cầu cắt mặt cầu hai điểm phân biệt A, B tích MA.MB khơng đổi Vậy điểm M nằm ngồi mặt cầu kết đó có khơng? Bài tốn 2: Cho mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R Điểm M nằm ngồi mặt cầu ( S ) cho OM = d  R Đường thẳng qua M cắt mặt cầu hai điểm A, B a) Tính MA.MB theo R d (Bài trang 49 SGK hình học 12) b) Tính độ dài đoạn AB biết MA = AB Lời giải: 36 a) Gọi H trung điểm AB , giả sử A nằm M H Ta có MA.MB = ( MH − AH )( MH + BH ) = ( MH − AH )( MH + AH ) = MH − AH = ( OM − OH ) − ( OA2 − OH ) = OM − OA2 = d − R Vậy MA.MB = d − R b) Ta có A trung điểm MB Áp dụng kết câu a) ta d − R2 MA.MB = 2MA = d − R  AB = MA = 2 2 Nhóm 3: Nhóm tốn liên quan đến mặt phẳng qua điểm nằm mặt cầu Mặt phẳng qua điểm nằm mặt cầu ln cắt mặt cầu theo đường trịn Bài tập về mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn cốt lõi cần vận dụng, khai thác cơng thức Ta xét toán liên quan đến mặt phẳng, hai mặt phẳng, ba mặt phẳng qua điểm thoả mãn điều kiện cho trước Bài toán 3: Cho mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R Điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho OM = d  R Mặt phẳng ( P ) qua M cắt ( S ) theo đường tròn ( C ) Tìm giá trị diện tích đường trịn ( C ) hai trường hợp sau: a) Khoảng cách từ O đến mp ( P ) b) Góc OM mp ( P ) 600 R Lời giải: Gọi H r tâm bán kính đường tròn ( C )  R  3 R a) Ta có S =  r =   R − =   b) Góc OM mp ( P ) góc OMH = 600 , OH = OM sin 600 = d 3d  r = R − OH = R − 37  3d  Diện tích đường tròn ( C ) là: S =  r =   R −    Nhóm 4: Nhóm tốn liên quan đến mặt phẳng chứa đường thẳng cắt mặt cầu Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt mặt cầu cắt mặt cầu theo đường tròn Tương tự mục ta xét toán liên quan đến mặt phẳng, hai mặt phẳng qua đường thẳng cắt mặt cầu thoả mãn điều kiện cho trước Các tập xây dựng tương tự mặt phẳng qua điểm nằm mặt cầu Bài toán 4: Cho mặt cầu ( S ) có tâm O , bán kính R đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt A B (đường thẳng d không qua tâm mặt cầu) a) Xác định mặt phẳng ( P ) chứa d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính lớn b) Xác định mặt phẳng ( P ) chứa d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính nhỏ Lời giải: a) Mặt phẳng ( P ) chứa d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính lớn mặt phẳng ( P ) qua tâm mặt cầu b) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng d Ta có d (O,( P))  OH Mặt phẳng ( P ) chứa d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính nhỏ d (O,( P )) lớn Khi mặt phẳng ( P ) qua H vng góc với OH Nhóm 5: Nhóm tốn liên quan đến mặt phẳng qua điểm đường thẳng nằm mặt cầu Mặt phẳng qua điểm nằm ngồi mặt cầu có hai dạng cắt mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu Cắt mặt cầu ta nghiên cứu kỹ mục trước Do phần xét mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Sau số hình học tổng hợp Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt mặt cầu ta nghiên cứu mục trước Sau ta mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Dễ thấy qua đường thẳng không cắt mặt cầu có hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Bài toán 5: Cho mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R Điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho OM = 2R Hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) qua M vuông góc với tiếp xúc với ( S ) A B Tính thể tích thể tích tứ diện MABO Lời giải: 38 Ta có OA ⊥ ( P), OB ⊥ (Q) suy góc mp ( P ) mp ( Q ) góc hai đường thẳng OA OB Do ( P) ⊥ (Q)  OA ⊥ OB  AB = R MA = MB = R − R = R Gọi N trung điểm AB Ta có ON ⊥ AB  AB R =   AB ⊥ (OMN ) , ON = MN ⊥ AB  2 R R 10 = R2 cos MNO = −  sin MNO =  SMNO = MN ON sin MNO = 2 5 R R VMABO = AB.SOMN = R = 3 Bài tốn 6: Cho mặt cầu ( S ) có tâm O , bán kính R đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( S ) cho d (O; ) = m  R Hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) qua ∆, tiếp xúc với ( S ) tạo với góc φ Tính cos MN = MA2 − NA2 = 3R − Lời giải: 39 Giả sử hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) tiếp xúc với mặt cầu A B Mặt phẳng ( OAB ) cắt đường thẳng ∆ M Do OA ⊥ ( P ), OB ⊥ (Q ) nên OA ⊥      ⊥ (OAB)   ⊥ MA ,  ⊥ MB OB ⊥   Góc ( P ) ( Q ) góc MA MB OA R Đặt  = OMA  sin  = = OM m m2 − R 2 cos AMB = cos2 = − 2sin  = m2 m2 − R Vậy cos = cos AMB = m2 Thực nghiệm sư phạm 5.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành để kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu việc tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Tốn quy trình rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh trình học phần hình học không gian trường THPT 5.2 Phương pháp thực nghiệm 5.2.1 Chọn trường thực nghiệm Chúng chọn trường THPT Tỉnh Nghệ An để thực nghiệm Nhằm thoả mãn yêu cầu thực nghiệm sư phạm, tiến hành tìm hiểu chất lượng học tập môn Tốn học lớp trường Chúng tơi chọn trường lớp giáo viên có lực chuyên môn tốt giảng dạy Các lớp sĩ số gần nhau, có trình độ chất lượng học tập tương đương Quá trình thực nghiệm tiến hành năm học (2020 – 2021 2021 – 2022) Trong khuôn khổ đề tài trình bày kết thực nghiệm năm học 2021 – 2022 5.2.2 Bố trí thực nghiệm Ở tiến hành thực nghiệm theo mục tiêu (không có lớp đối chứng), tiến hành lớp ( trường lớp) với số lượng 267 học sinh, gồm: Lớp Sĩ số Trường THPT Hà Huy Tập 12T1 47 Trường THPT Hà Huy Tập 12T3 46 Trường 40 Trường THPT Lê Viết Thuật 12A1 43 Trường THPT Lê Viết Thuật 12A3 46 Trường THPT Kim Liên 12A1 42 Trường THPT Kim Liên 12A5 43 - Trước thực nghiệm (sau Thể tích khối đa diện; Hệ trục tọa độ không gian), cho học sinh làm kiểm tra (Bài KT1) với câu hỏi cần lực giải vấn đề sáng tạo Đề kiểm tra số (Bài KT1) Một hộp đựng bột bắp bột đậu hình hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , chiều cao a , có đáy tam giác ABC cân C , BAC = 30o , AB = a Lúc đầu người ta chưa trộn loại bột mà ngăn chúng vách ngăn ( AMC ') , với M trung điểm BB ' Phần đựng bột bắp, phần đựng bột đậu Hãy tính thể tích phần hộp đựng bắp? A B C H M A' B' C' Hướng dẫn giải: Áp dụng định lý cosin tam giác ABC ta có BC = AB + AC − AB AC.cos A  BC = AB + BC − AB.BC.cos300  BC = AB a = =a 2cos30 2 Ta chia khối đa diện M C ' ABC thành hai khối chóp M ACC ' M ABC Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC , tam giác ABH vng H ABH = 600 BH ⊥ ( ACC ') Ta có 41 d ( M ,( ACC ')) = d ( B,( ACC ')) = BH = AB.cos ABH = a 3.cos 600 = Do VM ACC ' = d ( M ,( ACC ')).S 3 Ta có VM ABC = d ( M ,( ABC )).S Vậy VMC ' ABC = VM ACC ' + VM ABC ACC ' ABC a a3 a ( a.a) = = 2 12 a3 a = ( a.a 3.sin 300 ) = 2 24 a3 a3 a3 = + = 12 24 - Sau thực nghiệm (sau luyện tập theo đề tài Thể tích khối đa diện; Hệ trục tọa độ không gian), tiến hành kiểm tra (Bài KT2) nhằm kiểm tra tiêu chí lực thành tố qua dạy học phần hình học khơng gian Đề kiểm tra số (Bài KT2) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi cạnh a ; BAD = 1200 Mặt bên SAB tam giác đều ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) ? Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Gọi H chân đường cao khối chóp SABCD Ta có H trung điểm AB 42 d ( A; ( SBC ) ) BA =  d ( A; ( SBC ) ) = 2d ( H ; ( SBC ) ) d ( H ; ( SBC ) ) BH Kẻ HK ⊥ BC ; H  BC ; Kẻ HE ⊥ SK ; E  SK (1) Ta có: BC ⊥ HK BC ⊥ SH nên BC ⊥ ( SHK )  BC ⊥ HE ( ) Ta có: = Từ (1) (2) : HE ⊥ ( SBC )  d ( A; ( SBC ) ) = HE = SH HK SH + HK = a 15 Cách giải 2: Gọi H chân đường cao khối chóp SABCD Ta có H trung điểm AB Tam giác ABC tam giác đều cạnh a Khi : VASBC 1 a a a3 = SH S ABC = = 3 SSBC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) h = 3VASBC a 15 = S SBC Cách giải 3: Gọi H chân đường cao khối chóp SABCD Ta có H trung điểm AB Tam giác ABC tam giác đều cạnh a Dựng hệ trục tọa độ gốc H hình vẽ, trục HB, HC , HS Khi   3  1    B  ;0;0  ; C  0; ;0  ; S  0;0;  ; A  − ;0;0    2      Phương trình mặt phẳng ( SBC ) : x y z + + =1 3 2 =0 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC )  3x + y + z − d = d ( A; ( SBC ) ) =  1 3−  + + −  2 15 = 5 43 Cách giải 4: Gọi H chân đường cao khối chóp SABCD Ta có H trung điểm AB Do tam giác ABC tam giác đều cạnh a , nên tứ diện HSBC tứ diện vng đỉnh H Khi độ dài đường cao h tính cơng thức 1 1 2a 15 = + + h= 2 2 h HS HB HC Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) d ( A; ( SBC ) ) = 2h = a 15 - Ở kiểm tra không chấm điểm mà chủ yếu xem xét khả phát triển lực thành tố học sinh đạt đến mức độ cách đối chiếu làm học sinh với tiêu chí đề lực thành tố Các đề kiểm tra lớp, trường thực thời điểm, đề tiêu chí đánh giá Sau đó tiến hành đánh giá so sánh kết (theo tiêu chí bảng 1) làm học sinh trước sau tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán rèn luyện về lực thành tố 5.3 Kết thực nghiệm Đánh giá định tính Qua việc phân tích dụng ý đề kiểm tra cũng đánh giá sơ kết làm cho thấy việc tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Tốn quy trình rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo học Hình học không gian học sinh còn nhiều hạn chế Chẳng hạn : - Các em thường lúng túng, không hiểu chất hình học nội dung xuất tốn khơng khai thác giả thiết kết luận toán 44 - Khi giải tốn hình học khơng gian, em quan tâm đến việc phát liên hệ yếu tố, đại lượng xuất tốn, cũng việc sử dụng hình vẽ xác, hợp lý (nhiều gắn với hệ trục tọa độ) để phát liên hệ - Các em thường không ý đến cách phát biểu tương đương nội dung toán, cũng liên hệ chúng Nhiều em có thể cho đáp số đúng, yêu cầu giải thích chất hình học thì không thực được, em khơng phát biểu tốn về ngơn ngữ hình học khơng gian Với giáo viên : chưa trọng cách mức việc dạy cho học sinh qui tắc thuật giải, tựa thuật giải…, bên cạnh đó cũng không ý phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học hình học khơng gian Vì điều nên học sinh khả phát giải vấn đề nhiều góc độ khác còn hạn chế, khơng biết bắt đầu tốn nào… Sau nghiên cứu kĩ vận dụng quan điểm xây dựng vào trình dạy học nội dung hình học khơng gian, giáo viên dạy thực nghiệm đều có ý kiến : Các quan điểm, đặc biệt gợi ý về cách đặt câu hỏi cách dẫn dắt hợp lí, hoạt động vừa sức học sinh, cách hỏi dẫn dắt vừa kích thích tính tích cực, độc lập học sinh lại vừa tạo động lực cho học sinh lĩnh hội tri thức phương pháp trình giải vấn đề Dạy học tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Tốn quy trình rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo thông qua dạy học phát triển lực cho học sinh giáo viên học sinh ủng hộ, tham gia nhiệt tình, thu nhiều kết tốt Đánh giá định lượng Sau kiểm tra, tiến hành đối chiếu kết làm học sinh với tiêu chí đề So sánh với kết kiểm tra trước thực nghiệm, kết thu theo bảng sau: Bảng Bảng tổng hợp mức độ rèn luyện tiêu chí lực phát làm rõ vấn đề Thời điểm kiểm tra Số Mức độ Mức 3(%) Mức (%) Mức 1(%) Bài KT1 - Trước TN 267 11,0 19,7 69,3 Bài KT2 - Sau TN 267 18,0 27,2 54,8 Bảng Bảng tổng hợp mức độ rèn luyện tiêu chí lực đề xuất, lựa chọn giải pháp 45 Thời điểm kiểm tra Bài KT1 - Trước TN Số 267 Mức độ Mức 3(%) Mức 2(%) Mức 1(%) 7,8 15,8 76,4 Bài KT2 - Sau TN 267 13,3 23,8 62,9 Bảng Bảng tổng hợp mức độ rèn luyện tiêu chí lực thực đánh giá giải pháp giải vấn đề Thời điểm kiểm tra Bài KT1 - Trước TN Số 267 Mức độ Mức 3(%) Mức 2(%) Mức 1(%) 10,3 87,7 Bài KT2 - Sau TN 267 7,7 18,1 74,1 Bảng Bảng tổng hợp mức độ rèn luyện tiêu chí lực tư độc lập Thời điểm kiểm tra Bài KT1 - Trước TN Số 267 Mức độ Mức Mức Mức (%) (%) (%) 5,5 93,5 Bài KT2 - Sau TN 267 5,3 15,2 79,5 Bảng Bảng tổng hợp mức độ rèn luyện tiêu chí lực nhận ý tưởng Thời điểm kiểm tra Bài KT1 - Trước TN Số 267 Mức độ Mức 3(%) Mức 2(%) Mức 1(%) 2,8 95,2 Bài KT2 - Sau TN 267 1,6 9,0 89,4 Bảng Bảng tổng hợp mức độ rèn luyện tiêu chí lực hình thành triển khai ý tưởng Thời điểm kiểm tra Số Mức độ Mức 3(%) Mức 2(%) Mức 1(%) Bài KT1 - Trước TN 267 3,6 96,4 Bài KT2 - Sau TN 267 8,6 90,4 46 Qua bảng bảng – cho thấy: Giai đoạn trước thực nghiệm, tiêu chí số học sinh đạt mức độ cao, đến tiêu chí 3,4 ,5,6 thì số HS đạt mức độ lại thấp, mức độ thì tiêu chí có HS đạt được, chứng tỏ HS có kiến thức chưa biết vận dụng lập luận để tìm vấn đề Sau tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán quy trình rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo, chúng tơi thấy tiêu chí, mức độ giảm rõ rệt, mức độ mức độ tăng lên cách đáng kể Điều chứng tỏ việc tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán sử dụng tình có vấn đề, cũng qui trình rèn luyện đề tài đề xuất có tác dụng tốt việc rèn luyện phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh Qua đó cũng chứng tỏ việc việc tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán, rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo có tác động lớn việc dạy học theo định hướng phát triển lực, đánh giá hiệu việc phát triển lực giải vấn đề sáng tạo theo tiêu chí biện pháp tốt, có tính khả thi Vì vậy, xây dựng hệ thống hoạt động, có tình hình thành phát triển lực giải vấn đề sáng tạo phù hợp, có phương pháp sử dụng hệ thống tình đó vào việc dạy học theo định hướng phát triển lực cách linh hoạt mang lại hiệu cao dạy học, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán học trường THPT PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: mục đích thực nghiệm hồn thành, hiệu quan điểm thu kết tốt Thực biện pháp sư phạm đề xuất góp phần tăng cường bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu dạy học phát triển lực cho học sinh trường trung học phổ thông Thực mục đích nghiên cứu, đối chiếu với nhiệm vụ đặt ra, đề tài đạt số kết sau: 1.1 Nêu mối quan hệ vai trò việc việc tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Tốn quy trình rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh trình dạy học theo định hướng phát triển lực 1.2 Đề xuất số biện pháp sư phạm đề tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Tốn hình thành phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học theo định hướng phát triển lực phần Hình học không gian 47 1.3 Minh họa số ví dụ theo định hướng tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán phát triển lực dựa việc hình thành phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh 1.4 Xây dựng tiêu chí đánh giá việc rèn luyện lực thành tố lực giải vấn đề sáng tạo (3 mức độ cho tiêu chí lực thành tố) cho học sinh Đây hướng góp phần tiếp cận xây dựng chương trình, sách giáo khoa theo hướng tiếp cận lực – nội dung quan trọng chiến lược đổi bản, toàn diện giáo dục sau 2018 1.5 Kết thực nghiệm sư phạm trường: THPT Hà Huy Tập, THPT Lê Viết Thuật (Thành phố Vinh); THPT Kim Liên (Huyện Nam Đàn) bước đầu chứng tỏ nội dung xây dựng để rèn luyện phát triển lực giải vấn đề sáng tạo việc đánh giá trình rèn luyện lực thành tố theo tiêu chí có hiệu có tính khả thi Kiến nghị Trên sở kết thu được, có số kiến nghị sau: 2.1 Tiếp tục mở rộng nghiên cứu, thực nghiệm tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán quy trình rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo vào hoạt động dạy học theo định hướng phát triển lực phần hình học khơng gian phần khác chương trình toán học THPT 2.2 Mở rộng nghiên cứu việc tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán quy trình rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh nhiều loại công cụ khác nhau, phần khác mơn Tốn học 2.3 Để nội dung đề tài có thể áp dụng đại trà đối tượng học sinh, trình sử dụng giáo viên có thể biến đổi linh hoạt mức độ khó, dễ tình nhiều cách khác 2.4 Trên sở nội dung đề tài có thể triển khai hướng nghiên cứu để thiết kế sử dụng nhằm rèn luyện lực cần thiết khác cũng xây dựng tiêu chí đánh giá việc rèn luyện lực khác góp phần tiếp cận việc xây dựng chương trình, sách giáo khoa theo hướng tiếp cận lực chiến lược đổi bản, toàn diện giáo dục sau 2018 Trên kết nghiên cứu trình thực đề tài Mặc dù cố gắng phần trình bày cũng nội dung tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp quí báu Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp Xin trân trọng cảm ơn! 48 ... việc tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Toán, rèn luyện lực giải vấn đề sáng tạo có tác động lớn việc dạy học theo định hướng phát triển lực, đánh giá hiệu việc phát triển lực giải vấn đề sáng. .. phạm đề tiếp cận lý thuyết hoạt động dạy học Tốn hình thành phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học theo định hướng phát triển lực phần Hình học khơng gian 47 1.3 Minh... rõ vấn đề - Năng lực hình thành triển khai ý tưởng - Năng lực đề xuất, lựa chọn giải pháp - Năng lực thực đánh giá giải pháp giải vấn đề - Năng lực tư độc lập 1.6 Phát triển lực giải vấn đề sáng