Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mới

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mớiSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc và phát triển bài toán mới

1 MỞ ĐẦU • Lí chọn đề tài Trong đề thi Đại học năm gần đây, chủ đề hệ phương trình đại số ngày đa dạng khó Đây câu phân loại học sinh giỏi, học sinh đại trà, trung bình khơng dám học , ơn luyện chủ đề Nguyên là, chủ đề hệ phương trình tương đối đa dạng với nhiều phương pháp giải, với lực học thân, em không dám học ngại học Hơn nữa, thời lượng phân phối khóa cho “Một số ví dụ hệ phương trình bậc hai hai ẩn” Đại số 10 tiết 38-39 (ghép với ‘ Câu hỏi tập ôn tập chương III’), nói đến hai tiết tự chọn để luyện tập thêm làm em bỡ ngỡ, sợ sệt với chủ đề hệ phương trình Để giúp em tự tin, tiếp cận nâng cao lực giải toán chủ đề hệ phương trình, tơi nghiên cứu viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc phát triển tốn mới” • Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nhận dạng, giải hệ phương trình có yếu tố đồng bậc, sáng tạo thêm nguồn tập thuộc dạng này, khai thác phát triển thành dạng khác hệ phương trình Bước đầu tiếp cận đa dạng với chủ đề hệ phương trình Bồi dưỡng cho học sinh kĩ toán học, nâng cao lực tư duy, sáng tạo thân học tốn nói chung nâng cao khả giải tốn hệ phương trình đề thi Quốc gia nói riêng • Đối tượng nghiên cứu Các hệ phương trình có yếu tố đồng bậc (đẳng cấp): có phương trình đồng bậc, hệ đồng bậc, hệ quy đồng bậc Một số hệ phương trình bậc hai, hệ có phương trình bậc cao, có thức áp dụng cách giải hệ có yếu tố đồng bậc • Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu viết đề tài, sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin, đàm thoại, vấn đáp ( nghiên cứu phân phối chương trình, lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết ( nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, chuyên môn liên quan đến đề tài.) - Phương pháp thống kê xử lí số liệu ( tiến hành thực đề tài số lớp giảng dạy, phân tích đánh giá kết đề tài qua việc thống kê xử lí số liệu kiểm tra) NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Toàn nghành giáo dục thực nhiệm vụ học tập giảng dạy với phương pháp dạy học tích cực lấy người học trung tâm Các em học sinh tiếp thu tri thức, phát triển thân trở thành chủ thể tích cực, sáng tạo Các em biết vượt qua khó khăn, thiếu tự tin( sợ sai), hứng thú tiếp cận tri thức, biết dựa kiến thức biết, tìm hiểu, khai thác, sáng tạo tìm vấn đề Các em có khả tự học, tự nghiên cứu tìm kiến thức dựa kĩ tốn học đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân thấy chủ đề hệ phương trình có yếu tố đồng bậc tương đối dễ tiếp cận học sinh đại trà lớp 10, chủ quan em thấy dạng toán hệ phương trình đại số đa dạng, đề thi câu hệ phương trình tương đối khó nên em khơng có ý định tiếp cận chủ đề bỏ qua chủ đề hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Nếu làm, em dừng lại tốn đơn giản, áp dụng máy móc, chưa linh hoạt, chưa sáng tạo học nên kết nối dạng tốn hệ phương trình có yếu tố đồng bậc với dạng khác hệ phương trình 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp tổ chức thực - Bổ sung, hệ thống kiến thức bản, liên quan mà học sinh cần sử dụng - u cầu học sinh nhận diện dạng tốn thơng qua ví dụ, phân tích hình thành phương pháp giải - Đưa toán để học sinh củng cố kiến thức kĩ Học sinh phân tích, trình bày lời giải Hướng dẫn em hình thành, sáng tạo toán tương tự - Áp dụng kĩ đặc biệt hóa, hướng dẫn em sáng tạo toán - Thực nghiên cứu ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy chia nội dung thành ba phần dạy cho học sinh vào ba buổi, buổi ba tiết 2.3.2 Nhận diện hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Phương trình có yếu tố đồng bậc (đẳng cấp ) Phương trình có yếu tố đồng bậc (đồng bậc n) phương trình có dạng an x n + an −1 x n −1 y1 + an − x n −2 y + + a1 x1 y n −1 + a0 y n = Thực cách giải theo bước: Bước 1: xét x = (hoặc y = 0) thay vào phương trình kiểm tra trực tiếp kết luận Bước 2: xét x ≠ (hoặc y ≠ 0), đặt y = tx,chia hai vế phương trình cho x ( yn), giải phương trình ẩn t, tìm y theo x Ví dụ Phương trình x3 + xy + x y + y = phương trình đồng bậc (đẳng cấp) bậc Khi y = x = 0, Khi y ≠ đặt x = ty, phương trình có dạng x3 + x3t + x3t + x 3t = n ⇔ x (8t + 2t + t + = 0) ⇔ (8t + 2t + t + = 0) ⇔ (t + 2)(t − t + 4) = ⇔ t = −2 hay x = -2y Ví dụ Phương trình x + 3x3 y − x y − xy − y = phương trình đồng bậc ( đẳng cấp) bậc bốn Khi x = y = Khi x ≠ đặt y = tx, phương trình có dạng x + 3tx − 2t x − t x − 2t x = ⇔ x (2 + 3t − 2t − t − 2t ) = ⇔ + 3t − 2t − t − 2t = ⇔ (t − 1)(2t + 1)(−t − t − 2) = ( dùng máy tính Casio fx-570VN PLUS tìm nghiệm) ⇔ t = ∪ t = − (phương trình đồng bậc bậc bốn viết dạng (x - y)(x + 2 2y)(- y - yx - 2x2) = 0) Ta có x = y ∪ x = -2y Hệ phương trình đồng bậc (đẳng cấp)  P k ( x, y ) = c1 (c1 , c2 ∈ ¡ ) , P k ( x, y ) , Q k ( x, y ) đa hệ có dạng  k Q ( x, y ) = c2 k k −i i thức bậc k, không chứa thành phần nhỏ bậc k: P ( x, y ) = ∑ pi x y ; Q k ( x, y ) k i =0 q = ∑ q i x k −i y i ( p i , q i ∈ ¡ ) i =0 Cách giải • Xét x = (hoặc y = 0), tìm nghiệm dạng (0;y)( (x;0)) hệ (nếu có) • Xét x ≠ Đặt y = tx ( ⇔ t = y ), đưa hệ dạng x  P k ( x, tx) = c1  x k P k (t ,1) = c1 (1) ⇔ k k  k Suy c2 P k (t ,1) = c1Q k (t ,1) phương trình ẩn t  x Q (t ,1) = c2 (2) Q ( x, tx ) = c2 Tìm t thay vào ( 1) (2) tìm x, từ có y  x − xy + y = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x − 13 xy + 15 y = (2) Giải • Xét x = thay vào (2) y = 0, thay vào (1) khơng thỏa mãn • Xét x ≠ Đặt y = tx, phương trình (2) có dạng 2 x − 13tx + 15t x = ⇔ x (2 − 13t + 15t ) = ⇔ t = ∪ t = Do y = x ∪ y = x 3 Với y = x thay vào (1) ta có x = ⇔ x = ±3 Khi (x; y) = (3 ; 2),(-3; -2) 3 25 5 1 Với y = x thay vào (1) ta có x = ⇔ x = ± Khi (x; y) = ( ; ), 2 (− ;− ) 2 5 ; ), (− ; − ) 2 2 2 ( x − y )( x + y ) = 13 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  2 ( x + y )( x − y ) = 25 (2) Hệ cho có nghiệm (x; y) = (3 ; 2), (-3 ;-2), ( Giải  x = 13 • Xét y = hệ trở thành  Vơ lí  x = 25  y (t − 1)(t + 1) = 13 • Xét y ≠ Đặt x = ty, hệ trở thành   y (t + 1)(t − 1) = 25 (t − 1)(t + 1) 13 = Chia tương ứng vế hai phương trình ta (t + 1)(t − 1) 25 ⇔ 25(t + 1) = 13(t + 1) ⇔ 12t − 26t + 12 = ⇔ t = ∪ t = 2 Với t = hay x = y thay vào phương trình (1) ta có y = −27 ⇔ y = −3 ⇒ x = −2 3 Vậy (x ; y) = (-2 ; - 3) Với t = 3 hay x = y thay vào phương trình (1) ta có y = ⇔ y = ⇒ x = Vậy 2 (x ; y) = (3 ; 2) Hệ cho có nghiệm (x ; y) = (-2 ; - 3), (3 ; 2) Chú ý Trong thực hành ta viết dạng sau nhanh gọn : Từ x ≠ y, x ≠ − y, nhân chéo vế hai phương trình ta có : 25( x − y)( x + y ) = 13( x + y)( x − y ) ⇔ 25( x + y ) = 13( x + y ) ⇔ x − 13xy + y = ⇔ (2 x − y )(3 x − y ) = ⇔ x = y ∪ x = y 3 Hệ quy đồng bậc m  P ( x, y ) = a a Hệ có dạng  n a ≠ , m + n = k k Q ( x, y ) = R ( x, y ) Cách 1: Khi rút phương trình đẳng cấp bậc k cách phương trình thứ vào phương trình thứ hai hệ Tìm x theo y, thay vào phương trình thứ tìm y, từ tìm nghiệm hệ Cách 2: Xét x = (hoặc y = 0) thay vào hệ tìm nghiệm dạng (0 ; y)( nghiệm (x; 0) ) Xét x ≠ 0, đặt y = tx thay vào hệ Chia tương ứng vế hai phương trình hệ phương trình ẩn t, tìm t, tìm x suy y  P1k ( x, y ) = P2m ( x, y ) b Hệ có dạng  q , với k - q = m - n; m, n, p, q∈ ¥ n Q1 ( x, y ) = Q2 ( x, y ) Cách giải Như cách mục a 2  x − x ( y − 1) + y = y Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x + xy − y = x − y ( Trích “ 90 đề thi thử Tốn tập - Gia sư trực tuyến ” Giải Hệ phương trình cho tương đương với 2  x − xy + y = − x + y (1)  2  x + xy − y = x − y Nhân chéo vế hai phương trình lại với ta ( 2x − xy + y )( x − y )=( x + xy − y )( − x + y ) ⇔ x − x y − xy + y =  x = y  ⇔ ( x − y )( x + y )(3x − y ) = ⇔  x = − y  x = y  Với x = y (1) ⇔ x − x = ⇔ x = ∪ x = Khi (x; y) = (0; 0), (1; 1) Với x = − y (1) ⇔ x + x = ⇔ x = ∪ x = −1 Khi (x; y) = (0; 0), (-1; 1) 86 7 Với x = y (1) ⇔ x − x = ⇔ x = ∪ x = Khi (x; y) = (0; 0), ( ; ) 49 43 43 43 Hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 1), (-1; 1), ( ; ) 43 43 3  x + y = y + 16 x Ví dụ Giải hệ phương trình  2 1 + y = 5(1 + x )  x − y = 4(4 x − y ) (1) Giải Hệ phương trình cho tương đương với  2  y − x = (2) Thế hệ số (2) vào (1) ta có x3 − y = ( y − x )( x − y ) ⇔ 21x − x y − xy =  x =  ⇔ x (3 x + y )(7 x − y ) = ⇔  y = −3x  x = y   y = y ⇔ y = ⇔ y = ±2 Vậy (x; y) = (0; 2), (0; - 2) Với x = hệ có dạng  1 + y =  x − 12 x = −27 x + 16 x 28 x( x − 1) = ⇔ ⇔ x = ⇔ x = ±1 Với y = 3x hệ có dạng  2 1 + x = 5(1 + x ) 4( x − 1) = Vậy (x; y) = (1; -3), (-1; 3) 74  64  279 46 y + y = y + y  343  343 y + y = ⇔ ⇔ y ∈∅ Với x = y hệ có dạng  16 31 2 1 + y = 5(1 +  y = −4 y )   49 49 Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 2), (0; -2 ), (1; -3), (-1; 3)  x x − y y = 2(4 x + y ) (1)  x − y = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình  Phân tích: Vế trái (1) có bậc 3/2, vế phải (1) có bậc 1/2 Vế trái (2) có bậc 1, vế phải (2) có bậc Hệ thuộc dạng quy hệ đồng bậc a Giải Điều kiện x ≥ 0, y ≥ Thế hệ số = x − 3y từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta (phương trình đồng bậc bậc 3/2): x − 3y (4 x + y ) x ( x + xy − 12 y ) = x x−y y = ⇔ ⇔ x ( x − y )( x + y ) =  x =0 x =  ⇔  x − y = ⇔  x = y   x = y =  x + y = Với x = từ (2) suy y = - 2( loại) Với x = 9y từ (2) suy y = 1, x = Với x = y = từ (2) suy = ( loại) Vậy hệ có nghiệm (x ; y) = (9; 1) Nhận xét Phần nhận diện thực cách giải hệ phương trình có yếu tố đồng bậc, học sinh đại trà khối 10 tiếp cận cách tự nhiên, thực tốt giải, em tự tin hoàn toàn chủ động tiếp nhận kiến thức Bài tập tự luyện : 2  x − xy + y = −1 Bài Giải hệ phương trình  2  x + xy − y = ( Đáp số : ( x; y ) = (1;1), (−1; −1) ) 3  y − x = Bài Giải hệ phương trình  2  x y + 3xy = 16 ( Đáp số : ( x; y ) = (1; 2) )  x + y − xy =  Bài Giải hệ phương trình  4  2 x + y − x − y = ( Đề đề nghị Olympic 30/4/2009) 1 ( Đáp số : ( x; y ) = (1;0), (0; ), (1; ), ( 3 ; ) ) 25 25 2 x + y − xy + x = y  Bài Giải hệ phương trình  2   x − y + xy = x − y ( Đáp số : ( x; y ) = (0; 0), (1;1), (−1;1), ( ; ) ) 43 43  x + xy + y =  Bài Giải hệ phương trình  x5 + y 31  x3 + y =  ( Đáp số : ( x; y ) = (−2;1), (2; −1), (1; −2), (−1; 2) )  x3 + y = x y Bài Giải hệ phương trình  2 y + x = 3xy 11 + 37 + 37 11 − 37 − 37 ; ), ( ; ) ) ( Đáp số : ( x; y ) = (0;0), (1;1), ( 9 3   x − 8x = y + y Bài Giải hệ phương trình  2   x − y = 6 6 ; ), ( ;− ) ) ( Đáp số : ( x; y ) = (3;1), (−3; −1), (− 13 13 13 13  5 x − y = x − xy Bài Giải hệ phương trình  2  x − x = y − 3y (Trích đề thi thử Đại học năm 2013-Trường THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội.) 1 2 2   x + y = xy + y Bài Giải hệ phương trình  2  2 x + xy = y + 3x y ( Đáp số : ( x; y ) = (0; 0), (1;1) ) ( Đáp số : ( x; y ) = (0; 0), (−1;1), ( ; ) ) 2.3.3 Một số cách sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Từ nghiệm chọn trước hệ tạo phương trình hệ  x + y = 15  Do y = -2x nên 3 x y + xy − y = −6 x giải hệ ta giải phương trình bậc ba ẩn t (với t = y ), phương trình có  x = −1 Ví dụ Với  ta có y = nghiệm đẹp t = -2 Vậy ta có tốn sau  x + y = 15 Bài toán Giải hệ phương trình  2 3 x y + xy − y = −6 Giải  y = 15 ⇔ y ∈∅ Xét x = 0, hệ cho trở thành   − y = −6 Xét x ≠ 0, từ hệ cho ta có : 2( x3 + y ) + 5(3x y + xy − y ) = y y y y ⇔ x − y + 15 x y + xy = ⇔ −( )3 + 5( ) + 15( ) + = ,đặt t = , có: x x x x t = 2  −t + 5t + 15t + = ⇔ (t + 2)(−t + 7t + 1) = ⇔  ± 53 t=  Với y = tx phương trình thứ hệ trở thành x3 + 2t x3 = 15 15 15 ⇔ x3 = ⇔ x= + 2t + 2t Vậy ứng với ba nghiệm t tìm hệ cho có nghiệm − 53 + 53 ) 15( ) 15 15 2 ( x; y ) = (−1; 2), ( ;3 ),( ;3 ) − 53 − 53 3 + 53 + 53 + 2( ) + 2( ) + 2( ) + 2( ) 2 2 15( Nhận xét Khi tạo hệ đồng bậc bậc ba từ nghiệm chọn hệ phương trình ẩn t thu ln giải nghiệm, tìm tất nghiệm hệ x = Ví dụ Tương tự, với  ta có y =  x + x y + y =   x y + xy + y = −2 Ta có tốn sau 3  x + x y + y = Bài toán Giải hệ phương trình  2  x y + xy + y = −2 Chú ý Để tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc cần xây dựng phương trình hệ cho độ chênh lệch bậc số hạng tương ứng vế hai phương trình hệ   x = −1  x + x y = (1) Ví dụ Với  ta có  4  y =  x + y + x − y = (2) Từ phương trình (1) ta xây dựng (2) khơng có hệ số tự do, bậc số hạng tương ứng vế hai phương trình có độ lệch bậc Ta có tốn sau  x + x y = (1)  Bài tốn Giải hệ phương trình  4   x + y + x − y = (2) Phân tích 0 = Với x = 0, hệ trở thành   y − y = Vậy hệ khơng có nghiệm dạng (0; y) Với x ≠ 0, đặt y= tx thay vào hệ  x + 2tx =  x (1 + 2t ) =   ⇔  4 4  x + t x + x − 8tx =  x (1 + t ) = x (8t − 1)   Chia tương ứng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ + t 8t − = ta có + 2t ⇔ 3t + = 16t + 6t − ⇔ 3t − 16t − 6t + = ⇔ (t + 2)(3t − 6t − 4t + 2) = t = −2 ⇔  3t − 6t − 4t + = (1) Phương trình (1) khó khăn việc tìm nghiệm Nhận xét Như , tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc, cần lưu ý tạo phương trình ẩn t mà tìm tất nghiệm Nếu chọn phương trình bậc cao ẩn t (bậc ba, bậc bốn, ) có nghiệm vơ tỉ nên chọn t hai nghiệm vơ tỉ phương trình bậc hai Ta tham khảo cách tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc từ phương trình bậc cao sau Từ phương trình bậc cao giải tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Ví dụ Muốn có hai nghiệm vơ tỉ t phương trình bậc cao, ta lấy chúng nghiệm từ phương trình bậc hai có nghiệm vơ tỉ sau 4t + 6t − = , sau ghép tam thức bậc hai 4t + 6t − nhân với nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai khác, Từ tạo phương trình bậc ba, bậc bốn ẩn t giải nghiệm Chẳng hạn, phương trình ( 4t + 6t − ) (t + 1) = ⇔ 4t + 10t + 5t − = ⇔ t + = t + 4t + 10t + 5t ⇔ t + = t (t + 4t − 10t + 5) t ⇔ = = y ( đặt t + t + 4t − 10t + y , bậc mẫu thức tử thức ba bậc.) t = y (t + 1) Ta có  3 1 = y (t + 4t − 10t + 5) 4  x + y = x Đặt x = ty, ta có hệ  Ta có tốn sau 2  x + x y − 10 xy + y = 4  x + y = x Bài tốn Giải hệ phương trình  2  x + x y − 10 xy + y = Ví dụ Phương trình ( 4t + 6t − ) (4t + 22t + 39) = ⇔ 16t + 112t + 284t + 212t − 39 = ⇔ 17t + 112t + 284t + 212t = 39 + t ⇔ t (17t + 112t + 284t + 212) = 39 + t ⇔ t = = y ( đặt t + 39 17t + 112t + 284t + 212 y , bậc mẫu thức tử thức ba bậc.) t = y (t + 39) Ta có  (y ≠0) 3 1 = y (17t + 112t + 284t + 212)  yt = ( yt )4 + 39 y ⇔ 2 1 = 17( yt ) + 112 y.( yt ) + 284 y ( yt ) + 212 y  x = x + 39 y Đặt x = ty, ta có hệ ⇔  2 1 = 17 x + 112 yx + 284 y x + 212 y Ta có tốn sau  x = x + 39 y Bài tốn Giải hệ phương trình  2 1 = 17 x + 112 yx + 284 y x + 212 y Nhận xét Khi giải toán 2, học sinh phải giải phương trình ẩn t ( có nghiệm vơ tỉ) 16t + 112t + 284t + 212t − 39 = (*) Học sinh cần sử dụng máy tính Casio (Fx-570VN PLUS) để tìm nhân tử ( 4t + 6t − ) vế trái (*) Thực máy tính Fx-570VN PLUS theo trình tự sau : 16/ ALPHA / ) / x W/4/+/112/ ALPHA/ ) / x W/3/+/284/ ALPHA/ ) /x2/+/212/ ALPHA/ ) /-/39/ ALPHA/CALC(SOLVE)/0 (để phương trình 16t + 112t + 284t + 212t − 39 = ) SHIFT/ CALC(SOLVE)/(-)/9/= (chờ máy tính cho nghiệm t ≈ -7,026348198 ) ALPHA/ ) /SHIFT/RCL/(-)/ ( để gán nghiệm t cho biến A) 16/ALPHA/ ) /x W/4/=/112/ALPHA/x W/3/+/284/ALPHA/ ) /x2 / +/212/ALPHA/ ) /-/39/ALPHA/CALC(SOLVE)/0 ( để nhập phương trình 16t + 112t + 284t + 212t − 39 = vào máy) SHIFT/CALC(SOLVE)/9/= ( chờ máy tính cho nghiệm thứ hai t ≈ 0,1513878198 ) ALPHA/ ) /SHIFT/RCL/ °,,, / ( để gán nghiệm thứ hai t cho B) ALPHA/(-)/+/ALPHA/ °,,, /= ( để có A + B = − ) ALPHA/(-)/x/ALPHA/ °,,, /= ( để có A.B = − ) 1 4 2 tương đương: ( 4t + 6t − ) (4t + 22t + 39) = Từ tìm nghiệm xác Từ vế trái (*) có nhân tử (t + t − ) = (4t − 6t − 1) Vậy phương trình (*) t, suy nghiệm hệ phương trình toán 10 Chú ý Chúng ta nên tạo phương trình bậc cao từ tích nhị thức bậc tam thức bậc hai để chắn phương trình bậc cao giải nghiệm máy tính Casio Từ đó, ta xây dựng hệ phương trình có yếu tố đồng bậc giải nghiệm hệ Từ đẳng thức xây dựng hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Học sinh biết: • ( x + y )2 = x + xy + y • ( x − y )2 = x − xy + y • ( x + y)3 = x3 + 3x y + xy + y • ( x − y )3 = x3 − 3x y + 3xy − y Suy ra: • ( x + y )4 = ( x + y )3 ( x + y ) = x + x y + x y + xy + y • ( x − y )4 = ( x − y )3 ( x − y ) = x − x y + x y − xy + y • ( x + y )5 = ( x + y ) ( x + y ) = x + x y + 10 x y + 10 x y + 5xy + y • ( x − y )5 = ( x − y) ( x − y) = x − x y + 10 x y − 10 x y + xy − y • ( x + y )3 = 27  x + x y + xy + y = 27 x + y = ⇔ ⇔ Ví dụ Ta có  2 ( x − y ) =  x − x y + xy − y = x − y = Cộng tương ứng vế hai phương trình hệ có x3 + xy = 28 Trừ tương ứng vế hai phương trình hệ có y + x y = 26 14  x + 3y2 = (1)  x  x + 3xy = 14  Ta có hệ phương trình  (Suy xy ≠ 0) ⇔   y + x y = 13  y + x = 13 (2) y  13 2 Cộng tương ứng vế hai phương trình (1) (2) có: x + y = x + y 13 2 Trừ tương ứng vế hai phương trình (1) (2) có: y − x = x − y Ta có tốn sau 13  2 2( x + y ) = +  x 2y  Bài tốn Giải hệ phương trình   y − x = − 13  x 2y ( x + y )5 = 243 x + y = ⇔ Ví dụ Ta có  ( x − y ) = −32  x − y = −2 243 = x + x y + 10 x y + 10 x y + xy + y (1) ⇔ 2 −32 = x − x y + 10 x y − 10 x y + xy − y (2) Cộng tương ứng vế hai phương trình (1) (2) có: 11 211 = 10 x y + 20 x y + y Trừ tương ứng vế hai phương trình (1) (2) có: 275 = x + 20 x y + 10 xy  275 = x + 20 x y + 10 xy (⇒ xy ≠ 0) Ta hệ phương trình   211 = 10 x y + 20 x y + y  275 2  x = x + 10 x y + y (3) ⇔  211 = x + 10 x y + y (4)  y Cộng, trừ tương ứng vế phương trình (3), (4) ta hệ phương trình  275 211 2  x + y = x + 20 x y + y  ⇔  275 − 211 = −4 x + y (4)  x y (3)  275 211 2  x + y = x + 10 x y + y  ⇔  275 − 211 = − x + y  x y Ta có toán sau  275 211 2  x + y = 3x + 10 x y + y  Bài toán Giải hệ phương trình   275 − 211 = ( y − x )( y + x )  x y 2.3.4 Một số cách phát triển tốn từ hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Đặc biệt hóa yếu tố phương trình đồng bậc Ví dụ Ta có phương trình đồng bậc : ( x − y )( x + y )(2 x + xy + y ) = ⇔ x + x3 y − x y − xy − y = ⇔ x + x y + y = 3x − y + 3x y − xy ⇔ ( x + y ) = ( x + y )(3 x − y ) 3 Đặt x + y = ta có 3x − y = x + y Ta có tốn sau  x2 + y =  Bài tốn Giải hệ phương trình  3 3 x − y = x + y  Ví dụ Ta có phương trình đồng bậc : 24 x + 38 xy − y = ⇔ (24 x + 17 xy − y ) + 21xy = ⇔ 21xy = y − 17 xy − 24 x ⇔ 21xy = (7 y − 24 x)( y + x) 12 y − 24 x Với xy ≠ có x + y = 21xy ⇔ Giả thiết x > 0, y > 0, lại có Đặt 1= 1 = − x + y 3x y 1 2 2 =( − )( + ) x+ y 3x 7y 3x 7y 2 1 2 + = − (1) có (2) x+ y 3x 7y 3x 7y Cộng tương ứng vế phương trình (1), (2) ta có + x + y = 3x Trừ tương ứng vế phương trình (1), (2) ta có − x + y = 7y Ta có hệ phương trình   x (1 + x + y ) =    y (1 − ) =  x+ y Ta có tốn sau Bài tốn Giải hệ phương trình   3x (1 + x + y ) =    y (1 − ) =  x+ y Đặt ẩn phụ từ ẩn phụ ban đầu hệ phương trình có yếu tố đồng bậc u + uv − 2v = 18 Ví dụ Từ hệ phương trình đồng bậc :  , đặt  2u − 3uv + v = 21 ( x − 2) + ( x − 2)( y + 3) − 2( y + 3) = 18 Khi có hệ phương trình  2  2( x − 2) − 3( x − 2)( y + 3) + ( y + 3) = 21  x − y + xy − x − 14 y = 38 ⇔ 2 2 x + y − xy − 17 x + 12 y = −14 u = x −  v = y + Ta có toán sau  x − y + xy − x − 14 y = 38 (1) Bài tốn Giải hệ phương trình  2  x + y − xy − 17 x + 12 y = −14 (2) x = u + Nhận xét Như vậy, đặt  hệ phương trình đưa hệ y = v −3 phương trình đồng bậc( đẳng cấp) bậc hai Tìm (u ; v) suy nghiệm ( x ; y) hệ ban đầu x = u + a toán 1, làm để biết a = 2, y = v +b Vấn đề nêu đặt  b = - hệ cho đưa hệ đồng bậc Ta thay x = u + a, y = v + b vào phương trình ( 1) hệ, có (u + a ) − 2(v + b) + (u + a )(v + b) − (u + a ) − 14(v + b) = 38 ⇔ u − 2v + uv + 2ua + a − 4vb − 2b + ub + va + ab − u − a − 14v − 14b = 38 13  2a + b − =  a − 4b − 14 = Để phương trình (1) phương trình đồng bậc( đẳng cấp) cần có  a = x = u + ⇔ Từ đặt  b = −3  y = v − Lưu ý rằng, sau thay x, y vào phương trình (2) hệ thấy (2) khơng đưa phương trình đồng bậc hệ phương trình cho giải theo cách khác 2 u = x + u + 4uv + v = Ví dụ Từ hệ phương trình đồng bậc  , đặt  ta  2u + 2uv + 4v = v = y − 2  x + y + xy − 18 x − 22 y + 31 = có hệ phương trình  2  x + y + xy + x − 46 y + 175 = Ta có toán sau 2  x + y + xy − 18 x − 22 y + 31 = Bài tốn Giải hệ phương trình  2  x + y + xy + x − 46 y + 175 = x = u + a tốn 1, y = v +b Nhận xét Ngồi cách tìm a, b từ việc đặt  học sinh sau học đạo hàm tìm a, b cách : Đạo hàm vế trái  x + y − 18 =  x = −5 ⇔ 6 y + x − 22 = y = phương trình thứ theo biến x, y ta  x = u − y = v + Do đó, đặt  x = u + a tồn cặp (u ; v) (x ; y) tương y = v +b Với việc đặt ẩn phụ  đương Như vậy, đặt ẩn phụ theo cách khác mà đảm bảo tương quan 2 (3a + 4b )b = 14  a = x + y Ví dụ Từ hệ đồng bậc  đặt  (a + 12b )a = 36 b = xy , (b ≥ 0) (Khi x, y nghiệm phương trình bậc hai t − at + b = ) Ta có hệ phương trình [3( x + y ) + xy ] xy = 14  [( x + y ) + 12 xy ]( x + y ) = 36 (3 x + y + 10 xy ) xy = 14 ⇔ 2 ( x + y + 14 xy )( x + y ) = 36 ( x + y)(3 x + y ) xy = 14 ⇔ 2 ( x + y )( x + y + 14 xy ) = 36 Ta có tốn sau ( x + y )(3 x + y ) xy = 14 Bài toán Giải hệ phương trình  2 ( x + y )( x + y + 14 xy ) = 36 14 Ví dụ Từ ( a ; b) =( ; 2) có hệ đồng bậc 3ab(a + b) + 6ab(a + b) = 432 (= 2.216)  (a + b) = 216 3ab( a + b) + 6ab( a + b) = 2( a + b) ⇔ a + b = 3ab( a + b) = 2( a + b)3 − 6ab( a + b) ⇔ a + b = 3ab( a + b) = 2[( a + b) − 3ab( a + b)] ⇔ a + b = 3ab(a + b) = 2(a + b3 ) ⇔ a + b =  a = x Đặt  ta có hệ phương trình b = y 3( x y + xy ) = 2( x + y ) 3  x + y = Ta có tốn sau  2( x + y ) = 3( x y + xy ) Bài toán Giải hệ phương trình   x + y =   a + b − ab = a = (⇒ a ≠ 0) đặt  x ta có hệ Ví dụ Từ hệ đồng bậc  2  2a − b = b = y y 1  x + y − x = 1 + x y − xy = x  x y − xy = 3x − ⇔ ⇔ phương trình  2 2 2 − x y = x 2 = x (1 + y )  − y2 =  x Ta có tốn sau Bài tốn Ví dụ  x y − xy = x −  Giải hệ phương trình  2   x (1 + y ) = 3  a − 4b = 3a − 4b Từ hệ có yếu tố đồng bậc  2  3a − 4b = đặt a = x −  b = y ta có hệ 3 ( x − 1) − 3( x − 1) − y + y = phương trình  2 3( x − 1) − y − = 3  x − y − x + y + = ⇔ 2 3 x − y − x − = Ta có tốn sau 3  x − y − x + y + = Bài toán Giải hệ phương trình  2 3 x − y − x − = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 15 Ý tưởng ‘ Nhận dạng phương pháp giải hệ phương trình có yếu tố đồng bậc ’ hình thành đầu từ năm học ‘2011-2012’ Tôi áp dụng vào giảng dạy cho học sinh đại trà lớp 10 năm học thấy em hứng thú học tập, giải tốt tập cô giáo đưa Trải qua bốn năm sau, khóa học 20152016, tiếp tục áp dụng kinh nghiệm cho em học sinh đại trà lớp 10 Tôi thấy em hứng thú học tập kiến thức em phát triển kĩ nhận dạng, thông hiểu vận dụng thấp Các em chưa phát triển tốt kĩ vận dụng cao Tư em theo đường mòn, chưa phát huy hết lực người học Vì thế, nghiên cứu phát triển tiếp thành đề tài‘ Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc phát triển toán mới’ , áp dụng vào giảng dạy năm học 2015-2016 để phát triển tư cho em Tôi vui thấy em có tư tốn học linh hoạt, sáng tạo biết sáng tác toán để giải vấn đề học Hơn nữa, em cịn biết khai thác dạng tốn học để phát triển thành dạng tốn Có thể nói rằng, em hồn tồn chủ động, tích cực hoạt động học tập trung tâm q trình giảng dạy thầy, Với cách thực này, em bước chinh phục đỉnh cao kiến thức toán học chủ đề ‘Hệ phương trình’ đề thi Quốc gia khơng xa với em Sau áp dụng ‘ Kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc phát triển tốn mới’ tơi đánh giá kết học tập học sinh điểm số Tôi chọn lớp 10C4 làm lớp dạy thực nghiệm lớp 10C1 làm lớp dạy học đối chứng Kết sau kiểm tra thống kê qua bảng sau : Kết Lớp Sĩ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 10C4 47 12 25,5 17 36,2 15 31,9 6,4 0 10C1 40 12,5 22,5 19 47,5 17,5 0 Như vậy, qua trình dạy học thực nghiệm kết thống kê cho thấy đề tài nghiên cứu có tính khả thi áp dụng rộng rãi việc dạy học chủ đề ‘ Hệ phương trình có yếu tố đồng bậc’ nói riêng chủ đề ‘ Hệ phương trình’ nói chung Mặt khác, giai đoạn nay, hệ thống tập tài liệu tham khảo Vấn đề tập bắt nguồn từ đâu ? tạo nào, dừng việc sử dụng mà khai thác, sáng tạo thêm thầy lẫn trị lúng túng việc sử dụng nguồn tài liệu, tạo nguồn kiến thức Thơng qua cách áp dụng đề tài vào giảng dạy , thầy cô phát huy tính sáng tạo học trị mình, nâng cao lực chun mơn làm nhiều thêm kho tài liệu kiến thức Nhà trường 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ • Kết luận Qua trình nghiên cứu áp dụng đề tài vào giảng dạy, tơi nhận thấy đề tài có tính khả thi ứng dụng cao Học sinh nâng cao lực tư toán học, em linh hoạt học tốn, biết đặc biệt hóa, tương tự hóa, vấn đề tốn học từ biết cách khai thác phát triển thành vấn đề hơn, cao Với kinh nghiệm chưa nhiều, kiến thức hạn chế, tơi mong góp ý bè bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện áp dụng rộng vào thực tiễn • Kiến nghị Sở Giáo dục Đào tạo cần tập hợp sáng kiến kinh nghiệm hay thành tạp san phổ biến tới trường học để giáo viên với tổ chuyên môn thảo luận, học tập kinh nghiệm áp dụng linh hoạt vào thực tiễn trường Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Kí ghi rõ họ tên) Phạm Thu Hằng 17 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .Trang • Lí chọn đề tài Trang • Mục đích nghiên cứu Trang • Đối tượng nghiên cứu .Trang • Phương pháp nghiên cứu Trang NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trang 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trang 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trang 2.3.1 Giải pháp tổ chức thực Trang 2.3.2 Nhận diện hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Trang Phương trình có yếu tố đồng bậc (đẳng cấp ) Trang 2 Hệ phương trình đồng bậc (đẳng cấp) Trang 3 Hệ quy đồng bậc Trang 2.3.3 Một số cách sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Trang Từ nghiệm chọn trước hệ tạo phương trình hệ Tran g7 Từ phương trình bậc cao giải tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc .Trang Từ đẳng thức xây dựng hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Trang 10 2.3.4 Một số cách phát triển toán từ hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Trang 12 Đặc biệt hóa yếu tố phương trình đồng bậc Trang 12 Đặt ẩn phụ từ ẩn phụ ban đầu hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Trang 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .Trang 17 • Kết luận Trang 17 • Kiến nghị Trang 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 18 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung, Sáng tạo giải phương trình hệ phương trình bất phương trình, NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh [2] Lê Văn Đồn, Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình bất phương trình hệ phương trình đại số vô tỷ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Thành Nam, Những điều cần biết luyện thi Quốc gia kĩ thuật giải nhanh hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Phạm Bình Ngun - Nguyễn Ngọc Duyệt, Bí chinh phục kì thi Quốc gia chủ đề phương trình bất phương trình hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Mai Xuân Vinh - Phạm Kim Chung- Phạm Chí Tuân- Đào Văn Chung Dương Văn Sơn, Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nhóm tác giả Lovebook, Chinh phục hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 19 ... nghiên cứu phát triển tiếp thành đề tài‘ Một số kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng bậc phát triển toán mới? ??... ? ?Hệ phương trình? ?? đề thi Quốc gia khơng cịn q xa với em Sau áp dụng ‘ Kinh nghiệm phát huy tính sáng tạo cho học sinh đại trà lớp 10 nhận diện cách giải, sáng tạo hệ phương trình có yếu tố đồng. .. buổi, buổi ba tiết 2.3.2 Nhận diện hệ phương trình có yếu tố đồng bậc Phương trình có yếu tố đồng bậc (đẳng cấp ) Phương trình có yếu tố đồng bậc (đồng bậc n) phương trình có dạng an x n + an −1