SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và ứng dụng

t SÁNG KIẾN KINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG” Năm học: 2021 - 2022 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT PHAN THÚC TRỰC - Đề tài: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG” \ Họ tên: Phan Bá Giáp; Trần Văn Kiên Đơn vị: Trƣờng THPT Phan Thúc Trực Điện thoại: 0987507024 Năm học: 2021 - 2022 MỤC LỤC Phần II Đặt vấn đề Trang 1 Lý chọn đề tài Trang Mục đích nghiên cứu Trang Đối tượng nghiên cứu Trang Kế hoạch nghiên cứu Trang Phương pháp nghiên cứu Trang Đóng góp đề tài Trang Phần II Nội dung Trang I Thực trạng vấn đề trước áp dụng Trang II Kết đạt kinh nghiệm rút Trang III Khả ứng dụng triển khai kết Trang IV Cơ sở lý luận Trang Năng lực toán học Trang Dạy học hình thành phát triển lực tốn học cho học sinh Trang Tiêu chí, báo hành động mà học sinh thực Trang Đánh giá kết giáo dục mơn tốn Trang Các kiến thức liên quan sử dụng đề tài V Nội dung đề tài Trang Trang 11 Bài tốn tìm số hạng tổng qt dãy số dựa vào hệ thức phương pháp quy nạp toán học Trang 12 Bài tốn tìm số hạng tổng qt dãy số cách quy cấp số cộng cấp số nhân Trang 17 3 Ứng dụng toán tìm số hạng tổng quát dãy số vào toán dãy số Trang 30 Hệ thống tập tự ôn luyện Trang 31 Kết nghiên cứu Trang 34 C Kết luận Trang 34 I Những kết luận Trang 34 II Những kiến nghị, đề xuất Trang 35 Danh mục tài liệu tham khảo Trang 36 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực thành cơng hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi ln tự hỏi làm để nâng cao chất lượng dạy học Bản thân nhận thấy phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá điều chưa biết Để có giảng thu hút học sinh, giúp học sinh phát triển lực tốn học địi hỏi giáo viên phải tìm tịi, cập nhật phương pháp, kĩ thuật dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Dạy học dựa phát triển lực chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy học Do dạy học theo hướng phát triển lực học sinh trọng lấy học sinh làm trung tâm giáo viên người hướng dẫn, giúp em chủ động việc đạt lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Thơng qua dạy học nội dung tìm số hạng tổng quát dãy số toán ứng dụng, học sinh cần hình thành phát triển lực toán học, biểu tập trung lực tính tốn Năng lực tốn học bao gồm thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hóa toán học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Các tốn tìm số hạng tổng quát dãy số tốn ứng dụng tốn gây nhiều khó khăn cho học sinh trình vận dụng kiến thức để giải Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm mình: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận tốn tìm số hạng tổng qt dãy số toán ứng dụng Phát triển lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề tốn học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Đặc biệt, học sinh lớp 11 có thêm tài liệu tham khảo tốt để luyện thi học sinh giỏi toán ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp 11 THPT Giáo viên giảng dạy mơn tốn bậc THPT KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU Quá trình giảng dạy áp dụng cho lớp đối tượng học sinh khác để hồn thiện dần Từ tìm kiếm thêm khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp Trao đổi chun mơn q Thầy, Cơ mơn Tốn tổ, ngồi trường diễn đàn tốn học Đề tài thực năm học 2021-2022 với kế hoạch cụ thể PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nguồn liên quan đến tốn tìm số hạng tổng qt dãy, phương pháp dạy học theo phát triển lực Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực Giảng dạy lớp 11 trường THPT Phan Thúc Trực Phối hợp với giáo viên môn Toán trường THPT huyện Yên Thành để dạy thử nghiệm lớp 11 Đề tài thực năm học 2021 – 2022 với kế hoạch cụ thể TT Thời gian Nội dung công việc Chọn đề tài, Sản phẩm 20/9/2021 đến 20/10/2021 Đăng ký đề tài SKKN 21/10/2021 đến Viết đề cương nghiên cứu 21/12/2021 Trình xét duyệt đề cương SKKN 22/12/2021 đến 15/1/2022 Đọc tài liệu lý thuyết, viết sở lý luận Tập hợp tài liệu 16/1/2021 đến 30/1/20127 Trao đổi với đồng nghiệp, đề xuất sáng kiến Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp 1/2/2022 đến 30/2/2022 Dạy thử nghiệm lớp 11A, 11A1 11A2 trường THPT Phan Thúc Trực Thống kê kết thử nghiệm 1/3/2022 đến – 15/4/202022 Hồn thiện đề tài Đề tài thức ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI - Về mặt lí luận: Góp phần làm sáng tỏ cách dạy học theo định hướng phát triển lực cho học sinh - Về mặt thực tiễn: + Đưa hệ thống lý thuyết dạng liên quan đến số hạng tổng quát dãy số nhằm phát triển lực tư cho học sinh + Thông qua giải toán theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ nội dung đơn lẻ đến tích hợp, từ cụ thể đến trừu tượng, khái quát hóa sáng tạo tốn theo trình tự từ dễ đến khó học sinh có hội phát triển lực giải vấn đề; lực khái quát hóa; lực tương tự hóa lực sáng tạo + Đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục nay; tài liệu để học sinh giáo viên tham khảo cho kỳ THPT PHẦN II: NỘI DUNG I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƢỚC KHI ÁP DỤNG Trường THPT Phan Thúc Trực đóng địa bàn có nhiều xã khó khăn kinh tế, việc học tập phấn đấu em học sinh chưa thực quan tâm từ bậc học THPT kiến thức sở mơn Tốn học sinh hầu hết tập trung mức độ trung bình Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học nâng cao lực giải tập tìm số hạng tổng quát dãy số toán liên quan, em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp làm mẫu, em chưa ý thức việc tìm tịi, sáng tạo tạo niềm vui, hứng khởi khám phá, giải toán Kết khảo sát học sinh số lớp giáo viên Toán THPT địa bàn huyện Yên Thành nội dung tìm số hạng tổng quát dãy số toán liên quan có khoảng 10% học sinh hứng thú với tốn dạng II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua khảo sát cho thấy Có 80% em học sinh có hứng thú với học 50% số biết cách tìm tịi, xây dựng tốn tương tự, tốn III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ Đề tài tài liệu tham khảo cho lớp chọn, đội tuyển học sinh giỏi THPT Đề tài áp dụng để phát triển thêm lớp toán khác cho giáo viên Toán trường THPT Đề tài ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho học sinh giáo viên phục vụ học tập giảng dạy môn toán IV CƠ SỞ LÝ LUẬN Năng lực toán học Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực thành cơng hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Năng lực toán học khả cá nhân biết lập công thức, vận dụng giải thích tốn học nhiều ngữ cảnh Năng lực tốn học phổ thông khả nhận biết ý nghĩa, vai trị kiến thức tốn học sống; vận dụng phát triển tư toán học để giải vấn đề thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống tương lai cách linh hoạt; khả phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu thơng qua việc đặt ra, hình thành giải vấn đề tốn học tình huống, hồn cảnh khác nhau, trọng quy trình, kiến thức hoạt động Năng lực tốn học phổ thông không đồng với khả tiếp nhận nội dung chương trình tốn nhà trường phổ thơng truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh kiến thức toán học học, vận dụng phát triển để tăng cường khả phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa phát tri thức toán học ẩn dấu bên tình huống, kiện 1.1 Năng lực tƣ lập luận Năng lực tư tổng hợp khả cá nhân ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng vào thực tiễn Năng lực lập luận toán học khả cá nhân dựa vào tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, phương pháp luận để đưa kết luận 1.2 Năng lực mơ hình hóa tốn học Năng lực mơ hình hóa tốn học khả cá nhân phiên dịch vấn đề thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu, bảng biểu, đồ thị… 1.3 Năng lực giải vấn đề toán học Năng lực giải vấn đề khả cá nhân sử dụng hiệu trình nhận thức, hành động thái độ, động cơ, xúc cảm để giải tình mà khơng có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thơng thường 1.4 Năng lực giao tiếp toán học Năng lực giao tiếp toán học khả cá nhân sử dụng ngơn ngữ tốn học để tiếp nhận, chuyển tải ý tưởng, kiến thức, đưa lập luận, chứng minh, phản ánh, thảo luận trình giao tiếp để đạt mục tiêu dạy học 1.5 Năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện học tốn Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện dạy học toán khả cá nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản công cụ, phương tiện khoa học để đạt mục tiêu dạy học Dạy học hình thành phát triển lực toán học cho học sinh 2.1 Phƣơng pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức học sinh Phương pháp dạy học phải từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó; khơng coi trọng tính logic khoa học tốn học mà cần ý cách tiếp cận dựa vốn kinh nghiệm trải nghiệm học sinh 2.2 Quán triệt tinh thần “lấy ngƣời học làm trung tâm” Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, ý nhu cầu, lực nhận thức, cách thức học tập khác cá nhân học sinh; tổ chức trình dạy học theo hướng kiến tạo, học sinh tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải vấn đề 2.3 Linh hoạt việc vận dụng phƣơng pháp kỹ thuật dạy học tích cực Kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp hoạt động dạy học lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Cấu trúc học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng thành phần khác 2.4 Sử dụng đƣợc phƣơng tiện, thiết bị dạy học Sử dụng đủ hiệu phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định mơn Tốn; sử dụng đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin phương tiện, thiết bị dạy học đại cách phù hợp hiệu Tiêu chí, báo hành động mà học sinh thực đƣợc TT Thành tố lực mơn tốn Các tiêu chí, báo Năng lực tư - Thực thao tác tư duy: So sánh, lập luận tốn học phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái qt hóa; 10 Ví dụ 2.9 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức truy hồi u1   n un1  2un   n  1 ; n  Hƣớng dẫn giải Xét hàm số g  n   an  b cho un1  g  n  1 3n1  un  g  n  3n   un1   a  n  1  b  3n1  2un   an  b  3n  un 1  2un    an  b  3a  3n a  a  1  Mà un 1  2un   n  1 3n nên ta phải có  b  3a  b   g  n   n  Đặt  un  g  n  3n  v1  u1  g 1 31  vn1  2vn Do   cấp số nhân có công bội q  nên  v1.q n1  3.2n1  3.2n 1  un  g  n  3n  un  3.2n 1   n   3n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  3.2n1   n   3n Ví dụ 2.10 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức u1   n un 1  2un   n   ; n  Hƣớng dẫn giải Xét hàm số g  n   an  bn  c cho un1  g  n  1 2n1  un  g  n  2n   un1  a  n  1  b  n  1  c  2n1  un   an2  bn  c  2n     un 1  2un   4an  2b  2a  2n 27 4a  1  a   ;b   Mà un1  2un   n   2n nên ta phải có  4 2b  2a   g  n    n2  n 4 Và un1  g  n  1 2n1  un  g  n  2n  Đặt  un  g  n  2n  v1  u1  g 1 21  2 vn1  2vn Do   cấp số nhân có cơng bội q  nên  v1.q n1  2.2n1  2n    2n  un  g  n  2n  un  2n    n2  n  2n  2n   n  9n  2n2   Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  2n   n  9n  2n2 Từ kết hai tốn trên, ta có tốn tổng qt sau: Bài tốn 2.4: Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới: u1    n un  aun 1  f  n   ; n  Trong a, ,  số cho, f  n  đa thức theo biến số n Định hướng lời giải: * Nếu q    ta tìm đa thức g  n  có bậc bậc f  n  cộng với cho un 1  g  n  1  un  g  n  Khi ta đưa tốn tìm số hạng tổng quát cấp số nhân * Nếu   1và q  1, ta có đề với cách giải tương tự ví dụ 2.6 * Nếu   , q   , ta tìm đa thức g  n  có bậc bậc f  n  cho un1  g  n  1  n1  q un  g  n   n  * Nếu q    , ta tìm đa thức g  n  có bậc bậc f  n  cộng với cho un1  g  n  1  n1  q un  g  n   n  Từ dạng tập trên, ta tiếp tục mở rộng cho dãy số cho công thức truy hồi với un biểu diễn thơng qua hai số hạng đứng trước un1; un2 dạng un  f (un1; un2 ) 28 Ví dụ 2.11 (Ví dụ trang 116 sách Bài tập đại số giải tích 11 bản) Dãy số (un ) cho sau: u1  2004; u2  2005   2un  un1 ;n  un1  a lập dãy (vn ) với  un1  un Chứng minh (vn ) cấp số nhân b Lập cơng thức tính un theo n Hƣớng dẫn giải: a Ta có un1  2un  un1  3un1  2un  un1  un1  un   (un  un1 ) 3 1    vn1 Vậy (vn ) cấp số nhân có q   , v1  3 b Tính un theo n ta có: un  (un  un1 )  (un1  un2 )  (un2  un3 )   (u2  u1 )  u1  vn1  vn2  vn3  v1  u1 n 1  1 n 1    1 3 1 3   2004   2004      4 3  1 Ví dụ 2.12 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : u1  2; u2   un  7un 1  12un  ; n  Hƣớng dẫn giải: Ta có un  7un1  12un2  un  3un1  4(un1  3un2 ) v1  3 Gọi vn1  un  3un1 (*) (vn ) xác định bởi:  cấp số vn  4vn 1 nhân  3.4n1 Thay vào (*) ta un  un1  3.4n2 hay un  un1  3.4n2 u1  Dãy un  un1  3.4n2 viết lại dạng  n2 un  3un 1  3.4 ; n  29 Áp dụng kết biết ta có cơng thức tổng qt dãy (un ) un  5.3n1  3.4n2 Nhận xét: Cả hai toán giải việc khéo léo liên hệ un1  un un  un1 nhằm mục đích đưa tốn biêt Đó hướng tư để giải tốn dạng này, điều làm rõ toán tổng quát 2.6 sau Bài toán 2.6 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : u1  m1 ; u2  m2  un  aun 1  bun  ; n  Với m1 , m2 , a, b hẳng số a  4b Định hướng tìm lời giải:     a Bước Tìm số  ,  thỏa mãn     b Bước un  aun1  bun2  un  un1   (un1  un2 ) Bước Xét dãy số (vn ) với  un   un1 ta suy (vn ) cấp số nhân đưa dạng biết Bằng cách kết hợp toán 2.6 với tốn 2.2, tốn 2.3, tốn 2.4 ta xây dụng số lớp toán giải với hướng giải kết hợp toán sau Bài toán 2.7 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : u1  m1 ; u2  m2  un  aun 1  bun 2  f (n); n  Với m1 , m2 , a, b số a  4b Bài toán 2.8 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : u1  m1 ; u2  m2  n un  aun 1  bun 2    ; n  Với m1 , m2 , a, b số a  4b Bài toán 2.9 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : 30 u1  m1 ; u2  m2  n un  aun 1  bun 2  f (n)  ; n  Với m1 , m2 , a, b số a  4b Nhận xét: Đầu đề tài, ví dụ 1.3 xử lý cách dựa vào hệ thức phương pháp quy nạp toán học Sau tiếp cận với tốn 2.1 đến 2.9 có định hướng tìm lời giải rõ ràng cho kiểu Câu hỏi đặt ra: Liệu có hướng giải khác cho ví dụ 1.3 đơn giản dễ dàng hay không? Ta làm rõ vấn đề phần đề tài Ví dụ 2.13 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : u1   un  , n   u n    u n  * Hƣớng dẫn giải Ta có un  0, n  * Khi un1  Với n  * , đặt  un 1   2 un1 un 2un  1  v1  1; 1   2, n  un * Suy ra, dãy số   cấp số cộng có v1  cơng sai d  Do đó,  v1   n  1 d  2n  1, n  Vậy un  * 1  2n  un 1    dạng un1 un 2un  ví dụ 2.1 nhận công thức cấp số cộng Nhận xét: Trong lời giải ví dụ un1  Vậy (un ) dạng tổng quát un1  aun  b ta nghĩ đến việc đưa pun  q thành dạng cấp số cộng việc thể công thức dãy un qua công thức dãy số dạng  Avn1 Lúc tốn tiến hành tương tự Bvn1  C ví dụ 2.13 Bài tốn tổng qt thể sau 31 Bài tốn 2.10 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho bởi: u1    aun  b  u   n 1 pu  q , n  n  * với  , a, b, p, q số Định hướng tìm lời giải: (a  pt )vn1  pt  ( a  q)t  b Đặt un   t  pvn1  pt  q Chọn giá trị t để  pt  (a  q)t  b   Đặt xn  (a  pt )vn1 pvn1  pt  q ta tìm xn từ có , un Tiếp tục mở rộng tốn 2.10 ta có số tốn sau Đầu tiên ta quay lại nhìn nhận Ví dụ 1.3 toán mở rộng toán 2.10 để tìm hướng giải khác Ví dụ 2.14 (ví dụ 1.3) Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức: u1   un u  ;n  n     2n   un  Hƣớng dẫn giải Từ giả thiết suy Đặt  1   2n  3 un 1     2n  3; n  un1 un un1 un  v1  vn1   2n  3; n  un Tiếp tục tiến hành theo toán 2.2 ta có số hạng tổng quát dãy cho un  n  2n  Ví dụ 2.15 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : u1  1  2un u  ;n 1  n  n u     n  Hƣớng dẫn giải 32 Theo đề suy Đặt  1   3n  5 un 1     n  ;n 1 un1 un1 2un 2un 1  v1   1 1   n  ; n  (*) 2 un 1 Xét g  n   an  b cho 1  g  n  1  vn  g  n    vn1  a  n  1  b  vn  an  b 1  vn1   an  a  b 2 a  3 Kết hợp với (*)   b   g  n   3n  1  g  n  1  vn  g  n   2 Đặt xn   g  n   x1  v1  g 1  3 xn 1  Do  xn  cấp số nhân có cơng bội q    xn  g  n   3.21n  3n   un  xn nên xn  x1.q n1  3.21n 3.21n  3n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  3.21n  3n  Từ hai ví dụ trên, ta có tốn sau với định hướng giải tương tự Bài toán 2.11 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho bởi: u1    aun u  ;n 1  n 1 b   f  n   g  n   n  u n    với a, b, ,  số thực,   ; f  n  g  n  đa thức theo n 33 Ứng dụng tốn tìm số hạng tổng qt dãy số vào toán dãy số Bài toán ứng dụng số hạng tổng quát dãy số ứng dụng tương đối nhiều vào tốn dãy số như: Tìm giới hạn dãy số, xét tính bị chặn đơn điệu dãy số, tính tổng dãy số… Ngồi tốn ứng dụng số hạng tổng quát dãy số kết hợp với toán dãy số nêu để tạo tốn có mức độ tư cao hơn, đòi hỏi kiến thức kỹ cao hơn, qua nhằm rèn luyện tư lực tốn cho người học Ví dụ kết hợp tốn Ví dụ 1.1 với tốn tính giới hạn, ta thu tốn sau u1   Ví dụ 3.1 Cho dãy số (un ) xác định  Tính lim un     u u n 2; n n  n 1 Hướng phân tích để tìm lời giải: Rõ ràng tốn kết hợp tốn tìm số hạng tổng qt với tốn tính giới hạn, nên cần tìm cơng thức tổng qt un sau tính giới hạn định lý giới hạn biết xong u1   Ví dụ 3.2 Cho dãy số (un ) xác định  Tính lim un un  2021 u ; n    n 1 u  2022 n  Hướng phân tích để tìm lời giải: Bài tốn đơn kết hợp trường hợp riêng tốn 2.10, với tốn tính giới hạn  u   Ví dụ 3.3 Cho dãy số (un ) xác định  u n  un  ;n  2(2n  1)un1   n Tính lim  ui n  i 1 Hướng phân tích để tìm lời giải: Bài toán kết hợp trường hợp riêng tốn 2.11, với tốn tính giới hạn Hƣớng dẫn giải: Từ un  un1 1    2(2n  1) 2(2n  1)un1  un un1 34 Đặt  ta thu  vn1  2(2n  1) un Từ toán 2.2 ta suy  4n   un  2 4n  n n n     u   lim 2lim Ta có lim    i     n  n  n  i 1 i 1  4n   i 1  (2n  1)(2 n  1)  n Sử dụng hệ thức (5)  lim  ui  n i 1 2n 2n  Ví dụ 3.4 (HSG Long An 2011) Cho dãy số (un ) xác định  u1    un1  3un  2; n  a Xác định số hạng tổng quát dãy (un ) b Tính S  u12  u22  u32  u2011 Hƣớng dẫn giải: a Từ un1  3un2   un21  3un2   un21   3(un2  1) Đặt  un2  ta thu vn1  3vn Từ toán 2.1 ta suy un  2.3n1  b Tính S  u12  u22  u32  u2011  (2.30  1)  (2.31  1)   (2.32010  1) 2011   3i  2011  32011  2012 i Hệ thống tập tự ôn luyện Bài tập Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức u1   a)  un  un 1  2n  1; n  u1    b)  un  ;n 1 u n    n u n  35 u1   c)  un  un 1  n  2n  1; n  u1  1; u2   d)  un 1  2un  un 1  2n; n  Bài tập Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho công thức : u1  2; u2  a)  un  3un 1  2un 2 ; n  u1  b)  un 1  un  2n  n; n  u1  c)  un1  2un  n  3n  1; n  d) u1   n un1  3un  2n    n  1.3 ; n  Bài tập Tìm số hạng tổng quát dãy số cho bới công thức u1  a)  un  un1  n  2n; n  u1  b)  un 1  2un  3n  1; n  u1  c)  n un  un 1   n  1 ; n   u1  10 d)  n  un1  3un   2n  1 ; n   u1  e)  n  un  3un1   n  n  ; n  f) u1   n un 1  un  3n   2.5 ; n  36 u1  g)  n un1  3un    3n  1 ; n  Bài tập Tìm số hạng tổng quát dãy số công thức sau: u1   a)  un u ;n 1   n n  u  n  u1   un 1 b)  un  ;n  2 n  n n u      n 1  u1   3un c)  un1  ;n   n n u      n  u1   d)  un un 1    n  1 2n.u ; n  n  u1   e)  un 1 u ;n   n    2n  1 3n.un 1  37 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trước tìm hiểu, nghiên cứu dạy học tốn tìm số hạng tổng quát dãy số toán ứng dụng thân tơi thấy có khó khăn định hướng lời giải; giải thích, lập luận; tổng quát hóa, tương tự hóa, khái qt hóa tốn Việc dạy học hình thành phát triển lực tốn học cho học sinh gặp khó khăn học sinh thụ động tiếp thu kiến thức học sinh gặp nhiều sai lầm giải toán Sau nghiên cứu, thân hệ thống dạng tốn thường gặp tốn tìm số hạng tổng quát dãy số toán ứng dụng; tổng quát hóa, đặc biệt hóa tốn Việc tổ chức dạy học theo hướng kiến tạo phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác học sinh; học sinh hứng khởi hơn; sáng tạo trình giải vấn đề nảy sinh; từ giúp học sinh hình thành phát triển lực toán học Sau khóa học, trải nghiệm tập tốn tìm số hạng tổng quát dãy số toán ứng dụng học sinh tiến hơn; tự lập tương tác tốt hơn; tự tin chủ động hơn; sáng tạo đam mê mơn tốn PHẦN III KẾT LUẬN I NHỮNG KẾT LUẬN Trong đề tài nêu sở lý luận lực toán học; phương pháp dạy học hình thành phát triển lực tốn học cho học sinh; hoạt động học sinh để hình thành phát triển lực toán học; đánh giá kết giáo dục mơn tốn Trong dạy học hình thành phát triển lực toán học cần coi trọng tính logic khoa học tốn học ý đến cách tiếp cận dựa vốn kinhnghiệm trải nghiệm học sinh Đề tài hệ thống dạng tập từ dễ đến khó, tập xây dựng thành thuật toán để giải quyết; tập tương tự hóa, đặc biệt hóa,và tổng quát hóa Đề tài xây dựng phát triển thành hệ thống tốn tìm số hạng tổng quát dãy số toán ứng dụng, tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên 38 II NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT Trong dạy học hình thành phát triển lực tốn học cho học sinh, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn; xây dựng tập từ dễ đến khó; xây dựng hệ thống tập theo hướng tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác học sinh, học sinh tìm tịi, phát hiện, suy luận giải vấn đề; đặc biệt hóa, tổng quát hóa, tương tự hóa dạng tập Phát triển nhân rộng đề tài có tính ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên Yên Thành, ngày tháng năm 2022 Tác giả 39 PHẦN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TT [1] Nhà xuất Trường ĐH sư phạm Hà Nội, năm 2019 Tên Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Trong chương trình Giáo dục phổ thơng 2018) [2] Tạp chí giáo dục số 309 năm Phát triển lực tư cho học sinh 2013 phổ thơng dạy học giải tốn – Tác giả: ThS Bùi Thị Hường [3] Tạp chí giáo dục số 422 năm Phát triển lực mơ hình hóa Tốn 2018 học cho học sinh trung học sở dạy học giải tốn cách lập phương trình Tác giả: Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà [4] Tạp chí giáo dục số 243 năm Rèn luyện lực giải vấn đề 2019 cho học sinh dạy học toán phần lượng giác trường THPT Tác giả: Nguyễn Thụy Thùy Trang [5] Tạp chí giáo dục số 369 năm 2015 Dạy học phát triển lực giao tiếp tốn học cho học sinh trung học phổ thơng thơng qua biểu diễn trực quan toán học [6] Nhà xuất Giáo dục Giải tích 11 (SGK + SBT) Bộ Giáo dục Đào tạo [7] Internet Đề thi HSG tỉnh [8] Internet Một số tài liệu số hạng tổng quát dãy số khác 40 ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƢỜNG ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 41 ... thức theo n 33 Ứng dụng tốn tìm số hạng tổng qt dãy số vào toán dãy số Bài toán ứng dụng số hạng tổng quát dãy số ứng dụng tư? ?ng đối nhiều vào toán dãy số như: Tìm giới hạn dãy số, xét tính bị... TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận tốn tìm số hạng tổng qt dãy số toán ứng dụng Phát triển lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư lập... phương pháp quy nạp toán học Trang 12 Bài tốn tìm số hạng tổng qt dãy số cách quy cấp số cộng cấp số nhân Trang 17 3 Ứng dụng toán tìm số hạng tổng quát dãy số vào toán dãy số Trang 30 Hệ thống