Đề tài một số ứng dụng của đại số tuyến tính vào các lĩnh vực khác

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang Chương:1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hệ phương trình tuyến tính .9 1.1.1 Dạng hệ phương trình tuyến tính Error! Bookmark not defined 1.1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính Error! Bookmark not defined 1.1.3 Hệ phương trình Error! Bookmark not defined 1.1.4 Phương pháp Gauss Error! Bookmark not defined 1.2 Đại số ma trận 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Các dạng đặc biệt ma trận 1.2.3 Các phép toán ma trận .2 Chương:2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ 12 2.1 Xây dựng đường cong bề mặt qua điểm định 12 2.1.1 Giới thiệu Error! Bookmark not defined 2.1.2 Ví dụ Error! Bookmark not defined 2.1.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 2.2 Giải hệ phương trình vi phân 16 2.2.1 Giới thiệu Error! Bookmark not defined 2.2.2 Ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.3 Bài tập Error! Bookmark not defined Chương:3 ỨNG DỤNG HỆ SỐ MA TRẬN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 21 3.1 Ứng dụng Di truyền học 21 3.1.1 Giới thiệu .21 3.1.2 Ví dụ Error! Bookmark not defined 3.1.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng mật mã học 25 3.2.1 Giới thiệu .25 3.2.2 Ví dụ Error! Bookmark not defined Ví dụ 3: Error! Bookmark not defined 3.2.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 3.3 Ứng dụng hóa học 31 3.3.1 Giới thiệu Error! Bookmark not defined 3.3.2 Ví dụ Error! Bookmark not defined 3.3.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 3.4 Ứng dụng mơ hình kinh tế Leonteif Error! Bookmark not defined 3.4.1 Giới thiệu .35 3.4.2 Ví dụ 37 3.4.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 3.5 Ứng dụng chuỗi Markov 38 3.5.1 Giới thiệu Error! Bookmark not defined 3.5.2 Ví dụ 42 3.5.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 3.6 Ứng dụng mạch điện Error! Bookmark not defined 3.6.1 Giới thiệu .46 3.6.2 Ví dụ Error! Bookmark not defined 3.6.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 3.7 Ứng dụng phân luồng giao thông 52 3.7.1 Giới thiệu .52 3.7.2 Ví dụ 52 3.7.3 Bài tập Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN……………………………………………………………………………………………….63 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………….64 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán Ứng Dụng với Đề tài “Một số ứng dụng đại số tuyến tính vào lĩnh vực khác” kết trình cố gắng không ngừng nghỉ thân giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ thầy cô, bạn bè người thân Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến người giúp đỡ em thời gian học tập vừa qua Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Cần Thơ tạo điều kiện sở vật chất với hệ thống thư viện đại, tài liệu đa dạng tạo điều kiện thuận lợi cho em việc tìm kiếm thơng tin tài liệu tham khảo Xin cảm ơn quý Thầy Cô mơn Tốn học, đặc biệt Cơ Phạm Bích Như tận tình giúp đỡ, định hướng cách tư cách làm việc khoa học cho em nhận xét quý báu, chỉnh sửa sai sót thảo luận văn em Trong thời gian làm luận văn em có thêm cho nhiều kiến thức bổ ích, tinh thần học tập hiệu quả, nghiêm túc Đó góp ý q báu khơng q trình thực luận văn mà hành trang tiếp bước cho em trình học tập lập nghiệp sau Những kiến thức em học suốt năm quan từ quý Thầy Cô Bộ mơn vơ hữu ích có tính ứng dụng cao Chương trình đào tạo đảm bảo cung cấp đủ kiến thức, gắn liền với nhu cầu thực tiễn xã hội Mặc dù, em có nhiều cố gắng thân chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài số hạn chế mặt kiến thức luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ phía q Thầy Cơ, bạn để luận văn hoàn thiện Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè bên cạnh, ủng hộ, động viên Em xin chân thành cảm ơn! Cần Thơ, tháng 12 năm 2022 Trần Đình Chiến LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giai đoạn tồn cầu hố kinh tế trở thành xu bật tất yếu chi phối thời đại yếu tố quan trọng phát triển kinh tế nước Cùng với cách mạng khoa học công nghệ lần thứ diễn với nhịp độ ngày mạnh mẽ, mà cốt lõi dựa việc ứng dụng phát minh khoa học cơng nghệ dựa tảng tốn học phát triển ngành công nghệ cao công nghệ truyền thông tin học, công nghệ vật liệu mới, công nghệ sinh học… làm thay đổi mặt đời sống kinh tế - trị xã hội nhân loại Toán học xương sống ngành, đóng vai trị quan trọng kinh tế quốc dân Trong phương pháp tính tốn truyền thống tốn nhiều thời hiệu lại giảm sút hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận gần trở thành lựa chọn số cho lĩnh vực toán học để phát triển ngành nghề Số lượng ngành nghề sử dụng cơng cụ ứng dụng tốn học ngày tăng, ngân sách cho toán học ngày cao đủ để chứng tỏ tiện lợi lợi ích mà tốn học mang lại cho ngành khơng nhỏ Nhận thức tầm quan trọng hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận ảnh hưởng đến hiệu ngành nghề sao, chọn đề tài “Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận toán thực tế” đề tài cho khóa luận Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số ma trận 1.1.1 Các khái niệm Ma trận A cấp m  n R bảng số hình chữ nhật gồm m hàng n cột biểu diễn sau: Trong đó:  ∈  : phần tử thuộc dòng i cột j ma trận A m : số dòng ma trận A n : số cột ma trận A (  …   ) : dòng thứ i ma trận A : cột thứ j ma trận A Ký hiệu   tập hợp ma trận cấp m  n R Ví dụ Xét ma trận B = ( ) Ma trận B ma trận cấp  3 1.1.2 Các dạng đặc biệt ma trận 1)Ma trận dịng Ma trận dịng ma trận có dòng n cột, ký hiệu A = (1 2 …   ) 2) Ma trận cột 1 Ma trận cột ma trận có m dịng cột, ký hiệu : A = (  )  Trang 3) Ma trận không: Ma trận khơng ma trận có tất phần tử 0, ký hiệu =  4) Ma trận vuông cấp n: Ma trận vuông cấp n ma trận có số dịng số cột n, ký hiệu Tập hợp ma trận vuông cấp n ký hiệu: A ∈  (R) Đường thẳng qua phần tử 11 , 22 , 33  ,…, gọi đường chéo trận A Đường thẳng qua phần tử 1 ,  2(−1),  3(−2) , … ,  gọi ma đường chéo phụ ma trận A 5) Ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo 6) Ma trận chéo Ma trận chéo ma trận vng có phần tử khơng nằm đường chéo 7) Ma trận đơn vị cấp n Ma trận đơn vị cấp n ma trận chéo có phần tử nằm đường chéo Ký hiệu I= 8) Ma trận chuyển vị Chuyển vị ma trận A ma trận có từ A cách viết hàng ma trận A theo thứ tự thành cột, ký hiệu  9) Ma trận đối xứng Ma trận vuông A=() gọi ma trận đối xứng  =  , ∀, j=1̅̅ 1.1.3 Các phép toán ma trận , ̅̅, tức A   1) Hai ma trận Trang Hai ma trận cấp A ∈ (R) B ∈ (R) gọi phần tử tương ứng chúng nhau, tức là: A = B ⇔ = (∀, ) 2) Phép nhân số với ma trận Cho c≠0 ma trận A=() ∈ (R) Khi : cA= ( ) 3) Phép cộng hai ma trận Cho A=( ) B=( ) Tổng A B ma trận C=( ) xác định sau:  =  +  , (∀ = 1, ,  = 1, ) Nhận xét Phép cộng hai ma trận thực hai ma trận cấp 4) Phép nhân dịng với cột Cho A ∈  (R) B ∈  1(R) Khi AB gọi tích (vơ hướng) dịng với cột: AB=1 1 +2  + ⋯ +    5) Phép nhân hai ma trận Trang 1.2.4 Các tính chất phép toán ma trận Phép cộng hai ma trận có tính chất sau: Trang 1.2.5 Ma trận bậc thang 1.2.6 Hạng ma trận Trang Có thể A ma trận quy  tiến tới ma trận Q có tất cột vectơ xác suất q gọi vectơ trạng thái dừng chuỗi Markov quy 1   2 A quy  →  = [  1 2  ] với 1 + 2 + ⋯ +  = Có thể vectơ xác suất  (0)nào n lớn lên,   (0)sẽ tiệm cận với vectơ trạng thái dừng 1 2 q= [ ] Đó 1 2  (0)   → q= [ ] với 1 + 2 + ⋯ +  = Cũng vectơ trạng thái dừng q vectơ cho Aq = q Lưu ý điều cho thấy q vectơ riêng A giá trị riêng A Trang 45 1.11 Ứng dụng mạch điện 1.11.1 Giới thiệu Một mạch điện đơn giản kết nối khép kín Pin , Điện trở , Dây dẫn Một mạch điện bao gồm vòng điện áp nút Các đại lượng vật lý sau đo mạch điện Dòng điện: Dòng điện định nghĩa dòng hạt mang điện – chẳng hạn electron ion – di chuyển qua vật dẫn điện khơng gian Nó tốc độ dịng điện tích qua mơi trường dẫn theo thời gian Dòng điện khái niệm tồn khoa học điện điện tử – dòng điện cốt lõi khoa học điện Được biểu thị  đo Ampe () Điện trở thước đo lực đối kháng tác dụng lên dịng điện mạch Có thể bỏ qua điện trở dây dẫn mạch nhỏ Động cơ, bóng đèn cuộn dây đốt nóng ví dụ điện trở Biểu thị  đo Ohms (Ω) Chênh lệch điện thế: Đối với hai điểm mạch điện, có điện đo vôn gọi độ sụt điện áp Trong thực tế, điện áp rơi đo thiết bị gọi vôn kế Sự sụt giảm điện áp âm gọi tăng điện áp Georg Simon Ohm xây dựng mối quan hệ điện áp, dòng điện điện trở cho mạch điện theo định luật sau: Trang 46     = = = =  Trong Điện áp () Dịng điện () Điện trở (ohms) Được biểu thị  đo vôn () Ba định luật chi phối dịng điện mạch điện: Định luật Ơm định luật vật lý phụ thuộc vào cường độ dòng điện hiệu điện điện trở Nội dung định luật cho cường độ dòng điện qua điểm vật dẫn điện tỷ lệ thuận với hiệu điện qua điểm đó, với vật dẫn điện có điện trở số   =  Định luật bảo toàn lượng Kirchhoff : Xung quanh vịng kín (vịng điện áp), tổng điện áp giảm tổng điện áp tăng Định luật Kirchhoff bảo tồn điện tích: Tổng cường độ dịng điện chạy vào điểm tổng cường độ dịng điện khỏi điểm Các mạch đơn giản phân loại thành hai loại: Mạch nối tiếp: Mạch nối tiếp mạch có đường dẫn Khơng có nhánh mạch điện theo tuyến Trang 47 Tổng điện trở mạch nối tiếp tổng điện trở riêng lẻ Trong hình trên, R tổng = R1 + R + R Mạch song song: Một mạch gọi mạch song song có thành phần điện kết nối theo cấu hình song song, hay đầu chúng kết nối với điểm chung Nó tạo thành nhiều vịng đường dẫn cho dòng điện chảy R tổng = R1 R R1 + R Đối với mạch có phần nối tiếp song song, chia mạch thành phần nối tiếp song song, sau tính giá trị cho phần sử dụng giá trị để tính điện trở tồn mạch Đó là,trước tiên, đường dẫn chuỗi riêng lẻ, tính tổng điện trở cho đường dẫn Thứ hai, sử dụng giá trị này, cách giả sử đường dẫn điện trở nhất, tính tổng điện trở mạch Quy tắc Ta áp dụng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính để giải toán liên quan đến mạch điện Trong mạch cho biết đủ giá trị cường độ dòng điện, điện trở hiệu điện thế, ta tìm giá trị chưa biết khác đại lượng Bài toán Xây dựng hệ phương trình tuyến tính cho cường độ dịng điện mạch mạng sau Trang 48 Giải Hãy gán dòng điện cho phần mạch điểm nút Ta có hai điểm nút cung cấp cho ta ba dòng điện khác Giả sử dòng điện chạy theo chiều kim đồng hồ Vậy cường độ dòng điện đoạn  I1 , đoạn  I3 đoạn  I Sử dụng Định luật Kirchhoff bảo tồn điện tích cho nút  mang lại phương trình 1 + 2 =  Trang 49 Đối với nút E, nhận phương trình tương tự Sau đó, ta sử dụng định luật điện áp Kirchhoff −51 + (− )− 1  − 3 6 − +   =0 Khi qua acquy từ (-) sang (+) đoạn  có hiệu điện − , đoạn  qua điện trở 4 Ω hiệu điện −41  tương tự cách tìm thấy kháctiềm đoạn khác vịng lặp  biệt Trong vòng lặp , Định luật bảo tồn lượng Kirchhoff mang lại phương trình sau: −  +  −  +  = 3962 Bây ta có ba phương trình với5ba ẩn số:  + + {(−5 −4 −1 ) 62  −  3 = 0 =  3+  −  3= − 3− Ma trận mở rộng hệ 1 = 0 = 3 + 8 ](10) [−5 −4 −1  − 6− 5= − 3− Ví dụ : Tìm cường độ dòng điện mạch cho mạng sau Giải Trang 50 Áp dụng công thức (10) ta  + 3 = 0 = 90 {−19  +10  −10  −30  3= −180 Ma trận tăng cường dạng bậc thang rút gọn hệ sau: 1 [−19 10 0 −10 −30 −180 Hệ có nghiệm sau: 90 ]→ [0 1 29 19 −23.45 −149 90 ]  = −1.698 2 = 5.7736  3= 4.0755 Bài tốn Xây dựng hệ phương trình tuyến tính cho cường độ dòng điện mạch mạng sau Giải Hãy gán dòng điện cho phần mạch điểm nút Ta có hai điểm nút cung cấp cho ta ba dòng điện khác Giả sử dòng điện chạy theo chiều kim đồng hồ Vậy cường độ dòng điện đoạn  I1 , đoạn  I 2, đoạn  I đoạn  I Trang 51 Sử dụng Định luật Kirchhoff bảo toàn điện tích cho nút  mang lại phương trình 1 + 2 +3  = I Đối với nút , nhận phương trình tương tự Sau đó, ta sử dụng định luật điện áp Kirchhoff 1.12 Ứng dụng phân luồng giao thông 1.12.1 Giới thiệu Trong năm gần đây, khái niệm cơng cụ phân tích mạng chứng minh hữu ích nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn lý thuyết thông tin nghiên cứu hệ thống giao thơng Phân tích sau lưu lượng giao thông qua mạng lưới đường thời kỳ cao điểm minh họa cách hệ phương trình tuyến tính có nhiều nghiệm phát sinh thực tế Nó đại diện cho khu vực trung tâm thành phố Các đường phố chiều, với mũi tên hướng lưu lượng giao thông Lưu lượng truy cập vào khỏi mạng đo phương tiện (vph) Bài tốn Mơ tả lưu lượng giao thơng hệ phương trình tuyến tính Trang 52 Giải Giả sử luật giao thông sau áp dụng: Tất phương tiện vào giao lộ phải rời khỏi giao lộ Sự bảo tồn giới hạn dịng chảy (so sánh với quy tắc điểm Kirchhoff) dẫn đến hệ phương trình tuyến tính: Giao lộ A: Giao thơng vào =  +  Giao thông  +  1+ = +  Giao lộ B: Giao thông vào  +  Giao thông =  +  1+ = +  Giao lộ C: Giao thông vào =  3+  Giao thơng =  4+  3+ = +  Giao lộ D: Giao thông vào =  6+  Giao thông  +  Trang 53 2+ = +  Những ràng buộc lưu lượng mô tả hệ phương trình tuyến tính sau:  + =  +  + 4=  + 3 {1 + =  +  (10) 2 + 3=  6+  Ví dụ Giá trị nhỏ  3không dẫn đến tắc nghẽn giao thông Giải Áp dụng công thức (10) ta  + = 625  + 4= 475 { 3+ 4= 900  + 3= 1050 Ma trận tăng cường dạng bậc thang rút gọn hệ sau: 1 [ 0 10 625 10 −1 475 0 1475 10 −1 150 ]→ [ ] 11900 0 1 900 110 1050 0 0 Hệ phương trình tương ứng với điều rút gọn Trang 54  + 4= 475 { − 4= 150  3+ 4= 900 Thể biến theo biến lại, ta  = − 4+475 {  =  4+150  3= − 4+900 Tất luồng lưu lượng phải không âm (âm luồng hiểu phương tiện di chuyển sai hướng đường chiều) Do đó, giá trị nhỏ  3là 475 + 900 425 Bất kỳ công việc làm đường Võ Nguyên Giáp phải cho phép lưu lượng giao thơng 425 vph Bài toán Giả sử phố chiều số lượng xe đạp trung bình vào rời khỏi đoạn đường 10km nghỉ lớp đưa biểu đồ Mô tả lưu lượng giao thông hệ phương trình tuyến tính Giải Giả sử số lượng xe đạp vào giao lộ với số lượng xe đạp rời khỏi giao lộ Đối với giao điểm, thực tế hiển thị phương trình 4+  = 1+  Trang 55 +  = 4+  +  = 3+  1+  = 2+ Viết lại hệ phương trình tuyến tính này: − =  −  +  31− 4=  6− {  − 3=  5− (11)  − =  3− Ví dụ Giả sử phố chiều số lượng xe đạp trung bình vào rời khỏi đoạn đường 10 dặm nghỉ lớp đưa biểu đồ Tìm số lượng giao thơng bốn giao điểm Giải Áp dụng công thức (11) ta −  = 130 − = 60 { 3  − 3= −240 1 − = 50 Ma trận tăng cường dạng bậc thang rút gọn hệ sau: Trang 56 −1 0 130 0 −1 60 [ ]→ −1 −240 −1 50 10 −1130 10 −1−180 [ ] 0 1−1 60 10 0 Hệ phương trình tương ứng với điều rút gọn  =  4+130 { =  4−180  3=  4+60 Vì có biến tự nên tốn có nhiều nghiệm khả thi,  4> 180 Nếu x = 400 hệ  1= 530 {  2= 220  = 460 KẾT LUẬN Hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận ứng dụng phổ biến từ tốn đơn giản , số lượng tính tốn cỡ nhỏ sống hàng ngày tốn vơ trừu Trang 57 tượng phức tạp với số lượng phép tính lớn lĩnh vực lý thuyết trị chơi, khoa học máy tính, tài - kinh tế, y học, mật mã,… Luận văn đề cập đến vấn đề y học, hóa học, vật lý, mật mã vấn đề tốn học nhằm góp phần tìm lời giải đáp hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận Với chương trình giáo dục tích hợp tiên tiến, thơng qua Tốn học dựa tảng kiến thức hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận với hỗ trợ máy tính ta giải thích tốn vơ trừu tượng phức tạp với số lượng phép tính lớn, vượt xa khỏi khả tự nhiên người TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) ANTON, H C RORRES Đại số tuyến tính sơ cấp: Phiên ứng dụng , tái lần thứ New York: John Wiley & Sons, Inc., 1994 Trang 58 2) WILLIAMS, GARETH Đại số tuyến tính với ứng dụng , tái lần Iowa: Wm Nhà xuất C Brown, 1991 3) Stewart, W J Giới thiệu Giải pháp Số Chuỗi Markov Princeton, NJ: Nhà xuất Đại học Princeton, 1995 4) KOLMAN, B Nhập mơn Đại số tuyến tính với ứng dụng New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1997 5) TUCKER, ALAN Tổ hợp ứng dụng , tái lần thứ New York: Wiley, 1994 Trang 59 ... LUẬN……………………………………………………………………………………………….63 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………….64 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn Ứng Dụng với Đề tài ? ?Một số ứng dụng đại số tuyến tính vào lĩnh vực khác? ?? kết q... quan trọng hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận ảnh hưởng đến hiệu ngành nghề sao, tơi chọn đề tài ? ?Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận tốn thực tế” đề tài cho khóa luận Chương... – r(A) Chương ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO CÁC LĨNH VỰC KHÁC 1.4 Xây dựng đường cong bề mặt qua điểm định Phương trình đường thẳng  +  +  = 2 + 2 > Phương trình của đường tròn