Một số ứng dụng của đại số tuyến tính vào các lĩnh vực khác

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang Chương:1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.1.1 Dạng hệ phương trình tuyến tính 1.1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính 1.1.3 Hệ phương trình 1.1.4 Phương pháp Gauss 1.2 Đại số ma trận 10 1.2.1 Các khái niệm 10 1.2.2 Các dạng đặc biệt ma trận 10 1.2.3 Các phép toán ma trận 12 Chương:2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 19 2.1 Xây dựng đường cong bề mặt qua điểm định 19 2.1.1 Giới thiệu 19 2.1.2 Ví dụ 19 2.1.3 Bài tập 20 2.2 Giải hệ phương trình vi phân 21 2.2.1 Giới thiệu 21 2.2.2 Ví dụ 21 2.2.3 Bài tập 25 Chương:3 ỨNG DỤNG HỆ SỐ MA TRẬN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 25 3.1 Ứng dụng Di truyền học 25 3.1.1 Giới thiệu 25 3.1.2 Ví dụ 26 3.1.3 Bài tập 32 3.2 Ứng dụng mật mã học 32 3.2.1 Giới thiệu 32 3.2.2 Ví dụ 33 Ví dụ 3: 37 3.2.3 Bài tập 38 3.3 Ứng dụng hóa học 39 3.3.1 Giới thiệu 39 3.3.2 Ví dụ 39 3.3.3 Bài tập 43 3.4 Ứng dụng mơ hình kinh tế Leonteif 43 3.4.1 Giới thiệu 43 3.4.2 Ví dụ 45 3.4.3 Bài tập 47 3.5 Ứng dụng chuỗi Markov 47 3.5.1 Giới thiệu 47 3.5.2 Ví dụ 48 3.5.3 Bài tập 52 3.6 Ứng dụng mạch điện 53 3.6.1 Giới thiệu 53 3.6.2 Ví dụ 55 3.6.3 Bài tập 57 3.7 Ứng dụng phân luồng giao thông 58 3.7.1 Giới thiệu 58 3.7.2 Ví dụ 58 3.7.3 Bài tập 61 KẾT LUẬN……………………………………………………………………………………………….63 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………….64 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán Ứng Dụng với Đề tài “Một số ứng dụng đại số tuyến tính vào lĩnh vực khác” kết trình cố gắng không ngừng nghỉ thân giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ thầy cô, bạn bè người thân Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến người giúp đỡ em thời gian học tập vừa qua Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Cần Thơ tạo điều kiện sở vật chất với hệ thống thư viện đại, tài liệu đa dạng tạo điều kiện thuận lợi cho em việc tìm kiếm thơng tin tài liệu tham khảo Xin cảm ơn quý Thầy Cô mơn Tốn học, đặc biệt Cơ Phạm Bích Như tận tình giúp đỡ, định hướng cách tư cách làm việc khoa học cho em nhận xét quý báu, chỉnh sửa sai sót thảo luận văn em Trong thời gian làm luận văn em có thêm cho nhiều kiến thức bổ ích, tinh thần học tập hiệu quả, nghiêm túc Đó góp ý q báu khơng q trình thực luận văn mà hành trang tiếp bước cho em trình học tập lập nghiệp sau Những kiến thức em học suốt năm quan từ quý Thầy Cô Bộ mơn vơ hữu ích có tính ứng dụng cao Chương trình đào tạo đảm bảo cung cấp đủ kiến thức, gắn liền với nhu cầu thực tiễn xã hội Mặc dù, em có nhiều cố gắng thân chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài số hạn chế mặt kiến thức luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ phía q Thầy Cơ, bạn để luận văn hồn thiện Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè bên cạnh, ủng hộ, động viên Em xin chân thành cảm ơn! Cần Thơ, tháng 12 năm 2022 Trần Đình Chiến LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giai đoạn tồn cầu hố kinh tế trở thành xu bật tất yếu chi phối thời đại yếu tố quan trọng phát triển kinh tế nước Cùng với cách mạng khoa học công nghệ lần thứ diễn với nhịp độ ngày mạnh mẽ, mà cốt lõi dựa việc ứng dụng phát minh khoa học công nghệ dựa tảng tốn học phát triển ngành cơng nghệ cao công nghệ truyền thông tin học, công nghệ vật liệu mới, công nghệ sinh học… làm thay đổi mặt đời sống kinh tế - trị xã hội nhân loại Toán học xương sống ngành, đóng vai trị quan trọng kinh tế quốc dân Trong phương pháp tính tốn truyền thống tốn nhiều thời hiệu lại giảm sút hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận gần trở thành lựa chọn số cho lĩnh vực toán học để phát triển ngành nghề Số lượng ngành nghề sử dụng cơng cụ ứng dụng tốn học ngày tăng, ngân sách cho toán học ngày cao đủ để chứng tỏ tiện lợi lợi ích mà tốn học mang lại cho ngành khơng nhỏ Nhận thức tầm quan trọng hệ phương trình tuyến tính đại số ma trận ảnh hưởng đến hiệu ngành nghề sao, chọn đề tài “Một số ứng dụng đại số tuyến tính vào lĩnh vực khác” đề tài cho khóa luận Chương:1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.1.1 Dạng hệ phương trình tuyến tính Dạng tổng qt hệ phương trình đại số tuyến tính viết sau 𝑎11 𝑥1 + 𝑎11 𝑥2 + 𝑎11 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 { 21 (1.1) ………………………………… 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Hệ viết dạng ma trận Ax = b A ma trận thành lập từ hệ số biến (1.2) A=(𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 x: véc tơ cột biến (1.3) b: véc tơ cột hệ số tự (1.4) Hệ phương trình đại số tuyến tính gọi là:  tất 𝑏𝑖 = 0, i = 1, 2, , m;  không có 𝑏𝑖 ≠ 0;  tương thích hệ có nghiệm, tức tồn giá trị 𝑥1, 𝑥2,…, 𝑥𝑛 mà thay vào hệ phương trình ta nhận đẳng thức đúng;  khơng tương thích khơng có nghiệm nào;  xác định hệ có nghiệm nhất;  bất định tồn nghiệm Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính trước hết phải xác định xem hệ cho Trang tương thích hay khơng tương thích Nếu hệ tương thích lại phải xem hệ xác định hay bất định Nếu hệ phương trình xác định ta tìm nghiệm Ví dụ 1: { x+y= 2x − 3y = hệ hai phương trình ẩn Ví dụ 2: 2x + 3y + 4z = { x−y+z = 4x − 2y + z = hệ phương trình ẩn Ví dụ 3: { 3x + y − 2z = x − 3y + z = hệ hai phương trình ẩn 1.1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính xảy hai trường hợp: m= n m ≠ n Trường hợp m=n Lúc ma trận A có dạng Định nghĩa: Hệ (1.2) gọi hệ Cramer det (A) ≠ (ma trận A khơng suy biến) Khi đó, ma trân hệ số A tồn ma trận nghịch đảo 𝐴−1 Định lí 1.1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm tính cơng thức Giải thích Delta, Delta i gì?? Chứng minh: Ta nhân hai vế đẳng thức (3.2) với 𝐴−1 bên trái, ta được: Trang Bởi 𝐴−1A E − = , mà nhân ma trận với E ma trận đó, nên (1.5) Sau 𝐴−1 biểu thức thay véc tơ cộ t x b, ta có: Vì hai ma trận phần tử tương ứng chúng nên (1.6) Theo định lí khai triển: Định thức tổng tích phần tử hàng cột với phần phụ đại số chúng Vì hàng biểu thức (3.6) thay định thức tương ứng với véc tơ b cột nó, chẳng hạn 𝑥𝑖 có (1.7) Điều có nghĩa muốn tìm 𝑥𝑖 phải chia định thức 𝛥𝑖 thiết lập từ định thức |𝐴| = 𝛥 cách thay cột i định thức (delta) cột hệ số tự do, tức (1.8) Vì vậy, phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm ma trận hệ số hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn khác hệ có nghiệm tính cơng thức (1.8) Trang Ví dụ: Giải hệ −2x + 4y = { −2x + 2z = −4x + 2y + 6z = Giải: Ta có: −2 A=(−2 2) , b= [2] −4 −2 −2 𝐴1 =(2 2) 𝐴2 =(−2 2) 𝐴3 =(−2 2) 2 −4 −4 2 Ta tính det(A) =24≠ 0; det(𝐴1 )=-64 (𝐴2 ) = 16 (𝐴3 ) = −16 Ta có nghiệm hệ cho là: 𝑋1= −64 24 = −8 ; 𝑋2 = 16 24 −16 24 = ; 𝑋3 = = −2 Trường hợp m≠ n Ta gọi A= (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛là ma trận hệ số hệ phương trình Sau thêm cột số hạng tự b vào ma trận A, ta lập ma trận mở rộng B Để giải trường hợp này, ta dựa vào định lí sau: Định lí 1.2 (Croneker – Capeli): Điều kiện cần đủ để hệ (1.1) có nghiệm hạng ma trận A hạng ma trận mở rộng B Nếu r(A)=r(B)=n hệ (1.1) có nghiệm Nếu r(A)=r(B)