Chuỗi fourdier

Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier 8.1 Chuỗi Fourier 275 8.1.1 Phương pháp trung bình cộng chuỗi Fourier 276 8.1.2 Tính đầy đủ hệ đa thức 279 8.1.3 Tính chất hệ số Fourier 282 8.1.4 Đạo hàm, tích phân tính hội tụ chuỗi Fourier 284 8.1.5 Dạng phức chuỗi Fourier 288 8.1.6 Thí dụ 289 8.2 Tích phân Fourier 290 8.2.1 Biểu diễn hàm số tích phân Fourier 290 8.2.2 Dạng khác công thức Fourier 293 8.3 Biến đổi Fourier 295 8.3.1 Định nghĩa 295 8.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier 296 8.3.3 Biến đổi Fourier đạo hàm đạo hàm biến đổi Fourier 297 8.3.4 Tích chập biến đổi Fourier 299 8.4 Một số ví dụ ứng dụng 301 8.4.1 Bộ lọc điện 301 8.4.2 Sự truyền nhiệt kim loại 302 8.1 Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích hàm số biến, làm quen với khái niệm chuỗi Fourier hàm khả tích xem xét sơ tính hội tụ Đây lĩnh vực quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ, quan tâm nghiên cứu nhiều Các kết lĩnh vực vơ phong phú, đa dạng, biết giáo trình giải tích nói kiến thức ban đầu 276 Giải tích hàm nhiều biến Tồn chương dành để tiếp tục cơng việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị 8.1.1 Phương pháp trung bình cộng chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại chuỗi Fourier hàm f khả tích tuần hoàn đoạn [−π, π] chuỗi lượng giác ∞ a0 + ∑ [an cos nx + bn sin nx] , n=1 hệ số tính công thức sau π an = ∫ f ( x) cos nxdx, n = 0,1, 2,3, π −π π bn = ∫ f ( x)sin nxdx, n = 1, 2,3, π −π Tổng riêng chuỗi S n ( x) = n a0 + ∑ [ak cos kx + bk sin kx] = k =1 π n −π π n = ∫ [1 + 2∑ (cos kt cos kx + sin kt.sin kx)] f (t )dt = 2π k =1 = ∫ [1 + 2∑ cos k (t − x)] f (t )dt 2π k =1 −π n Để ý + 2∑ cos ku = k =1 sin[(2n + 1)u / 2] u ≠ 2mπ , m ∈ ] , ta suy sin(u / 2) π S n ( x) = ∫ Dn (t − x) f (t )dt , 2π −π ( ) sin 2n + u Dn (u ) = , có tên gọi nhân Dirichlet, cịn tích phân vế sin u phải biểu thức có tên gọi tích phân Dirichlet Dễ thấy nhân Dirichlet hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π () π D (u )du = π∫ n Thiết lập trung bình cộng tổng riêng nhân Dirichlet 277 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier σn = S0 ( x) + S1 ( x) + + S n ( x) , n +1 Φ n ( x) = D0 ( x) + D1 ( x) + + Dn ( x) , n +1 gọi Φ n ( x) nhân Fejer, σn ( x) tổng Fejer, từ cơng thức tích phân Dirichlet ta có π σn ( x) = ∫ Φ n (u ) f ( x + u )du 2π −π Bổ đề Nhân Fejer Φ n ( x) có tính chất sau đây: (i) Nhân Fejer Φ n ( x) chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π ; (ii) Φ n ( x ) ≥ , ∀x ; π (iii) ∫ Φ n ( x)dx = ; 2π −π (iv) Với δ ∈ (0, π) ta có lim max Φ n ( x) = n→∞ δ≤| x|≤π Chứng minh Từ định nghĩa ta có (n + 1)Φ n ( x) = ∑ Dk ( x) = n k =0 n sin[(2k + 1) x / 2] = sin( x / 2) ∑ k =0 n n = 1 2sin[(2k + 1) x / 2]sin( x / 2) = ∑ ∑ [cos kx − cos(k + 1) x] 2 2sin ( x / 2) k =0 2sin ( x / 2) k =0 = − cos(n + 1) x 2.sin [(n + 1) x / 2] = 2sin ( x / 2) 2sin ( x / 2) Từ suy Φ n ( x) = sin [(n + 1) x / 2] ( n + 1)sin ( x / 2) Đẳng thức với x khác Nhưng vế phải hàm liên tục vế trái có giới hạn n+1 x tiến tới 0, ta suy Φ n (0) = n + Từ công thức ta suy tính chất (i)-(ii) Tính chất (iii) có từ cơng thức tích phân nhân Dirichlet (bằng với n) tính chẵn nhân Fejer Tính chất (iv) suy từ nhận xét sau đây: 278 Giải tích hàm nhiều biến max Φ n ( x) = δ≤| x|≤π max sin [(n + 1) x / 2] ≤ n + δ≤| x|≤π sin ( x / 2) (n + 1)sin (δ / 2) Bổ đề chứng minh xong Định lý (Fejer) Nếu hàm số f liên tục đoạn [−π, π] f (−π) = f (π) tổng Fejer σn ( x) hội tụ tới hàm f đoạn n → ∞ Chứng minh Do điều kiện định lý, ta thác triển hàm f thành hàm liên tục, tuần hoàn toàn trục số (với chu kỳ 2π) Từ bổ đề ta suy π π −π −π | f ( x) − σn ( x) |= f ( x) ∫ Φ n (u )du − ∫ Φ n (u ) f ( x + u ) du = 2π 2π = 2π π ∫ −π π Φ n (u )[ f ( x) − f ( x + u )]du ≤ ∫ Φ n (u ) | f ( x) − f ( x + u ) | du 2π −π Do hàm f liên tục tuần hồn liên tục toàn trục số Suy ra, với số ε > cho trước, tồn số δ > cho ϖ(δ; f ) := max | f ( x) − f ( y ) | ≤ ε / | x− y|≤δ Từ công thức trên, cách tách tích phân vế phải thành tích phân đoạn, ta có −δ δ π −π −δ δ | f ( x) − σ n ( x) | ≤ ∫ + ∫ + ∫ 2π 2π 2π Đối với tích phân ta có đánh giá δ δ −δ −δ Φ (u ) | f ( x) − f ( x + u ) | du ≤ ϖ(δ; f ) Φ (u )du ≤ 2π ∫ n 2π ∫ n π ≤ ϖ(δ; f ) ∫ Φ n (u )du < ε 2π −π Dễ thấy hàm f bị chặn số M cho nên, từ tính chất (iv) bổ đề trên, ta suy tồn số tự nhiên nε đủ lớn cho với n ≥ nε tích phân lại nhỏ ε / , tổng hợp lại ta có | f ( x) − σn ( x) | ≤ ε , ∀n ≥ nε Định lý chứng minh xong Nhận xét Ta biết chuỗi Fourier hàm liên tục không thiết hội tụ điểm, khả thiết lập lại hàm số từ chuỗi Fourier mỏng manh Tuy nhiên, định lý đưa phương pháp mới, thiết 279 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier lập lại hàm số trực tiếp từ tổng riêng chuỗi Fourier, mà từ trung bình cộng chúng (tức tổng Fejer) Phương pháp ưu việt chỗ khơng đem lại tính hội tụ, mà cịn hội tụ đều, tới hàm f Như vậy, việc nghiên cứu chuỗi phân kỳ có lúc đem lại hiệu bất ngờ Phương pháp nghiên cứu chuỗi (không thiết chuỗi lượng giác) cách thiết lập trung bình cộng tổng riêng khảo sát tính hội tụ chúng gọi phương pháp lấy trung bình cộng 8.1.2 Tính đầy đủ hệ đa thức Ta biết đa thức đại số bậc n Bây ta có thêm khái niệm đa thức lượng giác bậc n, hàm có dạng n A0 + ∑ Ak cos kx + Bk sin kx , An2 + Bn2 ≠ k =1 Định lý (Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục đoạn [−π, π] f (−π) = f (π) thì, với ε > , tồn đa thức lượng giác T ( x) cho | f ( x) − T ( x) | < ε , ∀x ∈ [−π, π] Chứng minh Suy từ định lý trên, tổng Fejer đa thức lượng giác Định lý (Weierstrass II) Nếu hàm f liên tục đoạn [a,b] thì, với ε > , tồn đa thức đại số P( x) cho | f ( x) − P( x) | < ε , ∀x ∈ [ a , b ] Chứng minh Dùng phép đổi biến x = a + b − a t với t ∈ [0, π] , ta hàm số π f * (t ) = f a + b − a t xác định đoạn [0,π] Thác triển hàm phía trái π trục số theo cơng thức f * (−t ) = f (t ) ta hàm liên tục xác định đoạn [−π, π] thỏa mãn f * (−π) = f * (π) Từ định lý trên, với số ε > , ta tìm đa thức lượng giác T ( x) thỏa mãn điều kiện ( ) | f * (t ) − T (t ) | < ε / , ∀t ∈ [−π, π] Vì đa thức lượng giác hàm giải tích, khai triển dạng chuỗi lũy thừa (hội tụ toàn trục số), tồn số tự nhiên nε cho với n ≥ nε đa thức Taylor bậc n T ( x) , ký hiệu Pn (t ) , thỏa mãn điều kiện | T (t ) − Pn (t ) | < ε / , Lấy đa thức P (t ) = Pnε (t ) ta có ∀t ∈ [−π, π] 280 Giải tích hàm nhiều biến | f * (t ) − P (t ) | ≤ | f * (t ) − T (t ) | + | T (t ) − P (t ) | < ε + ε = ε 2 Quay trở với biến x , tức lấy t = π x − a , ta có b−a f ( x ) − P π x − a < ε , ∀x ∈ [ a , b ] , b−a ( ) P π x − a rõ ràng đa thức Định lý chứng minh b−a ( ) Nhận xét Định lý cho thấy rằng, với hàm f liên tục đoạn [a,b], ta ln tìm dãy đa thức Pn ( x) hội tụ đoạn tới hàm f Và từ suy hàm liên tục đoạn ln biểu diễn dạng chuỗi hội tụ đa thức (trên đoạn đó) Điều này, theo nghĩa đó, cho thấy hàm liên tục (vốn đưa cách trừu tượng tổng quát) không khác biệt với đa thức, vốn quen thuộc với Và ngồi ra, làm thỏa mãn người hay hình dung hàm liên tục “biểu thức” Định nghĩa Một hệ hàm số ϕ1 , ϕ2 , , ϕn , xác định đoạn [a,b] gọi đầy đủ họ hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ hàm họ xấp xỉ tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm hệ nói với độ xác tuỳ ý Nghĩa là, với ε > , tồn hữu hạn hàm ϕi số λ i (i = 1, 2, , k ) cho | f ( x) − [λ1ϕ1 ( x) + + λ k ϕk ] | < ε, ∀x ∈ [ a , b ] Từ định lý ta có mệnh đề sau Mệnh đề Hệ hàm lượng giác 1, cos x, sin x, cos x, sin x, ,cos nx,sin nx, đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ tập hàm liên tục đoạn [−π, π] nhận giá trị đầu mút đoạn Chứng minh Suy từ định lý Weierstrass I Mệnh đề Hệ hàm lũy thừa 1, x, x , , x n , đầy đủ tập hàm liên tục đoạn (theo nghĩa xấp xỉ đều) Chứng minh Suy từ định lý Weierstrass II Chú ý Hệ hàm lượng giác đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ họ hàm liên tục đoạn [−π, π] (bởi khơng từ tính chất T (−π) = T (π) đa thức lượng giác kéo theo f (−π) = f (π) với hàm liên tục f ) 281 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier Người ta coi độ lệch tồn phương trung bình hàm f g xác định đoạn [a,b] đại lượng b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a Đại lượng có tên gọi độ lệch tồn phương trung bình f so với g (hay g so với f ) Định nghĩa Một hệ hàm số ϕ1 , ϕ2 , , ϕn , xác định đoạn [a,b] gọi đầy đủ họ hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình như, với hàm f ∈ ℜ với số ε > , tồn tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm hệ nói có độ lệch tồn phương trung bình so với hàm f nhỏ ε Mệnh đề Hệ hàm lượng giác 1, cos x, sin x, cos x, sin x, ,cos nx,sin nx, đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình tập hàm liên tục đoạn [−π, π] nhận giá trị đầu mút đoạn Chứng minh Từ tính đầy đủ hệ hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ ta suy ra, với số ε > , tồn đa thức lượng giác T ( x) cho | f ( x) − T ( x) |< ε / 2π , ∀x ∈ [−π, π] Từ ta suy π ∫ [ f ( x) − T ( x)] −π dx < ε 2π π ∫ dx −π = ε Mệnh đề chứng minh xong Nhận xét Trong chứng minh trên, để sử dụng tính đầy đủ hệ hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ mà ta phải giả thiết hàm liên tục nhận giá trị đầu mút đoạn Sau ta thấy rằng, theo nghĩa xấp xỉ tồn phương trung bình, hệ hàm lượng giác đầy đủ lớp hàm liên tục nói chung (nhận giá trị đầu mút cuối đoạn), mà đầy đủ lớp hàm rộng hẳn: lớp hàm với bình phương khả tích Và lớp hàm này, với cách xấp xỉ theo nghĩa tồn phương trung bình, tổng riêng Fourier thể đầy đủ ưu mình, khơng bị “yếu thế” (so với tổng riêng Fejer) phép xấp xỉ thấy trước Lớp hàm thường ký hiệu L2 [−π, π] Mệnh đề Hệ hàm lũy thừa 1, x, x , , x n , đầy đủ tập hàm liên tục đoạn theo nghĩa xấp xỉ tồn phương trung bình Chứng minh Tương tự mệnh đề 282 Giải tích hàm nhiều biến 8.1.3 Tính chất hệ số Fourier Trong phần này, ta ln hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng Khi tính khả tích hàm số khơng kéo theo tính khả tích bình phương (và ngược lại) Thí dụ, hàm f ( x) = 1/ | x | khả tích đoạn [−1,1] , cịn bình phương khơng Tuy nhiên, hàm f có số hữu hạn điểm đặc biệt (điểm khơng xác định) khả tích Riemann đoạn khơng chứa điểm từ tính khả tích f suy tính khả tích f , ta ln có | f | ≤ (1 + f ) / Đối tượng mà nghiên cứu phần hàm khả tích với bình phương đoạn [−π, π] , ta gọi chúng cách ngắn gọn hàm với bình phương khả tích Kết sau cho thấy tổng Fourier bậc n xấp xỉ tồn phương trung bình tốt số xấp xỉ đa thức lượng giác bậc n hàm bình phương khả tích Định lý Cho f hàm số với bình phương khả tích đoạn [−π, π] Nếu S n ( x) tổng Fourier bậc n f π ∫ [ f ( x) − Sn ( x)] −π π dx = ∫ [ f ( x) − Tn ( x)]2 dx , Tn ( x ) −π minimum vế phải lấy theo đa thức lượng giác Tn ( x) có bậc khơng q n Nếu a0 , a1 , b1 , , an , bn , hệ số Fourier f ta có bất đẳng thức Bessel sau đây: π ∞ a02 + ∑ (an2 + bn2 ) ≤ ∫ f ( x) dx n=1 π −π Chứng minh Với Tn ( x) = n A0 + ∑ Ak cos(kx) + Bk sin(kx) , sử dụng tính vng k =1 góc hệ hàm lượng giác, ta có π n  A2  2 2  +  T x dx π [ ( )] = ∫ n  ∑ Ak + Bk    k =1 −π π ∫ [ f ( x) − Tn ( x)] dx = −π π ∫ −π n  A2  f ( x) dx + π  + ∑ Ak2 + Bk2  −   k =1 283 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier A −2   π = ∫ −π π π ∫ −π π π  n f ( x)dx + ∑ Ak ∫ f ( x) cos(kx)dx + Bk ∫ f ( x)sin( kx)dx = k =1 −π −π  n n  A2  a A  f ( x) dx + π  + ∑ Ak2 + Bk2  − 2π  0 + ∑ ak Ak + bk Bk  =   k =1 k =1   n  ( A − a )2 = ∫ f ( x)dx + π  + ∑ ( Ak − ak ) + ( Bk − bk ) 2  k =1 −π ( Từ suy π ∫ [ f ( x) − Tn ( x)] −π ) − π  a20 + ∑ (ak2 + bk2 )     n  k =1  dx đạt giá trị cực tiểu đa thức Tn ( x) trùng với tổng riêng Fourier S n ( x) (bậc n) f , tức phần thứ định lý chứng minh Phần thứ hiển nhiên, từ công thức ta suy π π n f ( x)dx − a0 + (an2 + bn2 ) = ∫ [ f ( x) − Sn ( x)]2 dx ≥ , ∑ π∫ π n=1 −π −π cho n tiến vơ ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bất đẳng thức Bessel cho thấy hàm có bình phương khả tích chuỗi ∞ a02 + ∑ ( an2 + bn2 ) n=1 hội tụ Định lý Nếu f hàm liên tục đoạn [−π, π] nhận giá trị đầu mút đoạn hệ số Fourier a0 , a1 , b1 , , an , bn , f thỏa mãn đẳng thức Parseval sau đây: π ∞ f ( x)dx = a0 + ( ak2 + bk2 ) ∑ π∫ k =1 −π Chứng minh Ta biết hệ hàm lượng giác đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ tồn phương trung bình tập hàm liên tục đoạn [−π, π] có giá trị đầu mút nhau, cho nên, với ε > , tồn đa thức lượng giác T ( x) thỏa mãn π [ f ( x) − T ( x)]2 dx < ε π∫ −π 284 Giải tích hàm nhiều biến π π −π −π Theo định lý ta có ∫ [ f ( x) − S n ( x)]2 dx ≤ ∫ [ f ( x) − T ( x)]2 dx < ε , π π áp dụng đẳng thức (*) S n suy π π 2 ∞ n   f ( x) dx −  a0 + f ( x)dx −  a0 + 2  + ≤ a b ( ) (ak2 + bk2 ) = ∑ ∑ k k  ∫ ∫   k =1 k =1 π π     −π −π π π −π −π = ∫ [ f ( x) − S n ( x)]2 dx ≤ ∫ [ f ( x) − T ( x)]2 dx < ε π π Do ε số dương nhỏ tuỳ ý mà vế trái luôn không âm (theo bất đẳng thức Bessel), nên phải Định lý chứng minh Hệ Với giả thiết định lý, có π lim n→∞ ∫ [ f ( x) − Sn ( x)] −π dx = Chứng minh Suy từ chứng minh định lý 8.1.4 Đạo hàm, tích phân tính hội tụ chuỗi Fourier Lưu ý chuỗi Fourier hàm hội tụ đến hàm đó, ta dùng biểu thức f ( x) ≈ ∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx) n=1 để biểu thị hàm f có khai triển Fourier chuỗi vế phải Mệnh đề Cho hàm f liên tục đoạn [−π, π] với f (−π) = f (π) có khai triển Fourier f ( x) ≈ ∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx) n=1 Nếu hàm f khả vi khúc đoạn [−π, π] chuỗi Fourier f ' chuỗi đạo hàm số hạng chuỗi Fourier hàm f , nghĩa f '( x) ≈ ∞ ∑ (−nan sin nx + nbn cos nx) n=1 Chứng minh Giả sử hàm f ' có chuỗi Fourier f '( x) ≈ ∞ α0 + ∑ (α n cos nx + βn sin nx) n=1 289 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier 8.1.6 Thí dụ Trong phần ta nghiên cứu ví dụ đơn giản để nắm vững thêm lý thuyết chuỗi Fourier Phần thực hành tính tốn máy cho phép đề cập đến hàm phức tạp đa dạng chủng loại Tìm chuỗi Fourier hàm f ( x) = x khoảng (−π,π) Sau cho hàm số nhận giá trị đầu mút khoảng, ta thác triển cách tuần hồn thu −π x π hàm xác định tồn trục số, có đồ thị sau: Hình 8.1 Vì f ( x) = x hàm lẻ nên khơng cần tính ta khẳng định π π a0 = ∫ f ( x)dx = , an = ∫ f ( x) cos nxdx = π π −π π −π Tìm bn theo cơng thức bn = ∫ f ( x)sin nxdx = π −π (−1) n+1 Như chuỗi n Fourier f ( x) = x khoảng (−π,π) sau ∞ x = ∑ −2 n=1 (−1) n sin nx n Để thấy khả xấp xỉ tổng riêng chuỗi Fourier hàm số f ( x) = x khoảng chu kỳ, ta quan sát đồ thị hàm số với tổng riêng (các đồ thị vẽ máy, trình bày chương trước, đề cập lại phần tính tốn thực hành chương này) (−1) n Đồ thị hàm f ( x) = x tổng riêng S = ∑ −2 sin nx sau: n n=1 290 Giải tích hàm nhiều biến Hình 8.2 12 Đồ thị hàm f ( x) = x tổng riêng thứ 12, S12 = ∑ −2 n=1 (−1) n sin nx , mơ tả n hình vẽ sau Hình 8.3 Một điều dễ nhận thấy tổng riêng chuỗi Fourier xấp xỉ tốt khoảng hở (vì điểm đầu mút hàm số f gián đoạn) 8.2 Tích phân Fourier 8.2.1 Biểu diễn hàm số tích phân Fourier Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trục số thực Nếu, cách hình thức, ta thay việc tính tổng số hạng theo số n việc lấy tích phân theo tham số y, chuỗi Fourier thay tích phân sau (gọi tích phân Fourier hàm f ) ∞ ∫ [a( y) cos( yx) + b( y)sin( yx)] dy , a ( y ) = π ∞ ∫ −∞ f (t ) cos( yt ) dt , b( y ) = π ∞ ∫ f (t )sin( yt ) dt −∞ Dễ dàng thấy ∞ ∫ [a( y) cos( yx) + b( y)sin( yx)] dy = ∞ ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ = ∫ dy ∫ f (t )[cos(ty ) cos( xy ) − sin(ty )sin( xy )] dt = ∫ dy ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )]dt π π 291 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier Tương tự thấy tổng chuỗi Fourier hàm cho giá trị hàm số (trong số điều kiện định), chứng minh tích phân Fourier hàm số cho biểu diễn hàm số Trước hết ta cần kết bổ trợ sau Bổ đề Nếu hàm f khả tích tuyệt đối khoảng (a,b), hữu hạn vơ hạn, b ν→∞ lim ∫ f ( x) cos(νx) dx = a b ν→∞ lim ∫ f ( x)sin(νx) dx = a Chứng minh Tương tự chứng minh hệ số Fourier hàm khả tích tiến đến n tiến vơ (xem giáo trình Giải tích biến) Định lý Cho hàm số f liên tục khúc đoạn hữu hạn khả tích tuyệt đối tồn trục số Nếu điểm x hàm số có đạo hàm phải f '+ ( x) đạo hàm trái f '− ( x) ta có ∞ ∞ −∞ f ( x + 0) + f ( x − 0) = ∫ dy ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )] dt , π f ( x + 0) , f ( x − 0) , theo thứ tự, giới hạn phải, giới hạn trái f x Chứng minh Với số η > , ta xét tích phân η ∞ −∞ S (η) = ∫ dy ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )] dt π Rõ ràng tích phân Fourier hàm f lim S (η) Với số ξ > , η→∞ theo định lý tích phân tích phân phụ thuộc tham số, ta có η ∫ ξ dy ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )] dt = −ξ ξ ∫ −ξ η f (t )dt ∫ cos[ y ( x − t )] dy = ξ ∫ −ξ f (t ) sin[η( x − t )] dt x −t (*) (Bởi vì, tính liên tục khúc f , ta phân chia hình hộp −ξ ≤ t ≤ ξ , ≤ y ≤ η thành số hữu hạn hộp nhỏ (bởi đường song song với trục Oy) cho hộp hàm liên tục theo biến đến tận biên, biên ta lấy giá trị giới hạn phải giới hạn trái hàm) Lưu ý | f (t ) cos[ y ( x − t )] | ≤ | f (t ) | , tính khả tích tuyệt đối hàm f ta suy tính hội tụ theo tham số y đoạn [0, η] tích phân sau 292 Giải tích hàm nhiều biến ∞ ∫ F ( y) = f (t ) cos[ y ( x − t )] dt −∞ Như vậy, hàm số ξ F ( y , ξ) = ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )] dt −ξ hội tụ (trên đoạn[0, η] ) đến hàm F ( y ) ξ → ∞ Dễ dàng chứng minh hàm F ( y, ξ) liên tục theo y từ công thức (*), cách cho qua giới hạn dấu tích phân vế trái, ta thu S (η) = π ∞ ∫ f (t ) −∞ sin[η( x − t )] dt x −t Đặt u = t − x , ta có S (η) = π ∞ ∫ f (u + x) −∞ ∞ Bằng cách tách tích phân thành khúc ∫ −∞ sin(ηu ) du u ∞ = ta làm phép đổi biến u = −t ta thu ∫ −∞ + ∫ khúc thức S (η) = ∫ [ f ( x + t ) + f ( x − t )] π ∞ sin(ηt ) dt t ∞ Trong mục nói tích phân Dirichlet (Chương 5) ta biết với η > , S (η) − f ( x + 0) + f ( x − 0) = ∞ = ∫ [ f ( x + t ) + f ( x − t )] π ∫ sin(ηt ) dt = π , t f ( x + 0) + f ( x − 0) sin ηt sin(ηt ) dt − ∫ t dt π t ∞ f ( x + t ) − f ( x + 0) f ( x − t ) − f ( x − 0) sin(ηt ) dt + ∫ sin(ηt ) dt =1∫ π t π t ∞ ∞ 0 Rõ ràng định lý chứng minh ta tích phân vế phải tiến tới η → ∞ Điều suy từ nhận xét sau (chứng minh chi tiết xin dành cho người đọc) 293 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier Do tồn đạo hàm phải hàm f điểm x mà hàm f ( x + t ) − f ( x + 0) liên tục khúc (theo biến t) điểm khả t tích (tuyệt đối) đoạn[0,1] Do bổ đề ta có f ( x + t ) − f ( x + 0) sin(ηt ) dt = t η→∞ lim ∫ Trên miền t ≥ hàm số f ( x + t ) / t bị chặn hàm khả tích | f ( x + t ) | khả tích, theo bổ đề ta có ∞ ∫ η→∞ lim ∞ Vì ∫ f (x + t) sin(ηt ) dt = t f ( x + 0) sin x dx hội tụ nên lim sin(ηt ) dt = f ( x + 0) lim ∫ sin u du = x t u η→∞ ∫ η→∞ ∞ ∞ η Kết hợp lại ta suy điều cần chứng minh Nhận xét Với điều kiện định lý, hàm số f liên tục x tích phân Fourier điểm x cho giá trị hàm f 8.2.2 Dạng khác công thức Fourier Để việc trình bày đơn giản hơn, phần cịn lại ta giả thiết f hàm liên tục thỏa mãn điều kiện định lý Khi ấy, theo nhận xét nêu, ta có cơng thức Fourier sau đây: ∞ ∞ f ( x) = ∫ dy ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )]dt π (*) −∞ biểu thức dấu tích phân theo dy hàm chẵn theo y nên f ( x) = 2π ∞ ∫ −∞ ∞ dy ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )]dt −∞ Lưu ý | f (t )sin[ y ( x − t )] | ≤ | f (t ) | cho nên, theo dấu hiệu Weierstrass, tích phân ∞ ∫ f (t )sin[ y ( x − t )]dt −∞ hội tụ (theo y toàn trục số) hàm liên tục theo biến y Vì vậy, với η > , tích phân 294 Giải tích hàm nhiều biến η ∫ −η ∞ dy ∫ f (t )sin[ y ( x − t )]dt −∞ tồn và, hàm dấu tích phân lẻ theo y, tích phân Tuy nhiên, điều khơng đảm bảo cho tồn tích phân suy rộng ∞ ∫ −∞ ∞ dy ∫ f (t )sin[ y ( x − t )]dt , −∞ (vì khơng định nghĩa giới hạn tích phân với cận đối xứng qua gốc, mà với cận tuỳ ý) ∞ ∫ Chính lẽ này, người ta đưa khái niệm giá trị tích phân ϕ( x)dx (với ϕ hàm khả tích đoạn hữu hạn bất kỳ) định nghĩa −∞ sau η ∞ ∞   v p ∫ ϕ( x) dx := v p. ∫ ϕ( x) dx := lim ∫ ϕ( x) dx η→∞ −∞  −∞ −η Một cách tương tự, người ta định nghĩa giá trị tích phân suy rộng điểm (chứ khơng thiết ∞ trên) Rõ ràng, tích phân hội tụ giá trị tích phân thân tích phân ∞ Thí dụ Các tích phân suy rộng ∫ x dx −∞ ∫ −1 dx khơng hội tụ, giá trị x chúng tồn Trở lại với tích phân Fourier ta có ∞ ∞ −∞ −∞ v p ∫ dy ∫ f (t )sin[ y ( x − t )]dt = Nhân tích phân với i cộng với (*) ta suy 2π f ( x) = v p 2π ∞ ∫ −∞ ∞ dy ∫ f (t )eiy ( x−t ) dt −∞ Đây dạng khác cơng thức tích phân Fourier 295 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier 8.3 Biến đổi Fourier 8.3.1 Định nghĩa Nếu ta đặt Φ( y) = ∞ f (t )e−iyt dt , ∫ 2π −∞ dạng nói cơng thức tích phân Fourier trở thành f ( x) = v p ∫ Φ ( y )eixy dy 2π −∞ ∞ Người ta gọi phép ứng hàm f với hàm số fˆ ( y ) := Φ ( y ) = v p ∫ f (t )e−iyt dt 2π −∞ ∞ phép biến đổi Fourier thường ký hiệu F Nghĩa fˆ = F [ f ] = Φ Như vậy, phép biến đổi Fourier xác định với hàm khả tích tuyệt đối Trong định nghĩa này, f hàm (với biến số thực) nhận giá trị phức, ảnh F [ f ] nói chung hàm nhận giá trị phức f hàm nhận giá trị thực Tương tự người ta định nghĩa phép biến đổi Fourier ngược phép ứng hàm f với hàm số Ψ ( y ) = v p ∫ f (t )eiyt dt , 2π −∞ ∞ thường ký hiệu F −1 Như F −1[ f ] = Ψ Tên gọi bắt nguồn từ mệnh đề sau Mệnh đề Nếu hàm f liên tục, khả tích tuyệt đối tồn trục số, có đạo hàm phía điểm, F −1 [ F [ f ]] = F  F −1[ f ] = f   Chứng minh Công thức F −1 [ F [ f ]] = f cơng thức tích phân Fourier dạng khác Ta phải chứng minh F  F −1[ f ] = f Vì hàm   cosin chẵn cơng thức tích phân Fourier (dạng thơng thường) đổi vị trí t x , nghĩa f ( x) = 2π ∞ ∫ −∞ ∞ dy ∫ f (t ) cos[ y (t − x)] dt −∞ 296 Giải tích hàm nhiều biến Mặt khác, tính lẻ hàm sin , ∞ ∞ −∞ −∞ v p ∫ dy ∫ f (t )sin[ y (t − x)] dt = Cho nên, tích phân Fourier có thêm dạng f ( x) = v p 2π ∞ ∫ −∞ ∞ dy ∫ f (t )eiy (t−x ) dt , −∞ ∞  ∞  f ( x) = v p ∫  ∫ f (t )eiyt dt e−ixy dy , 2π −∞  2π −∞   cơng thức cần chứng minh 8.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier Mệnh đề Phép biến đổi Fourier (và ngược nó) tuyến tính, nghĩa là, F [λ1 f1 + λ f ] = λ1F [ f1 ] + λ F [ f ] F −1[λ1 f1 + λ f ] = λ1F −1[ f1 ] + λ F −1[ f ] ; (các công thức hiểu theo nghĩa: vế phải tồn vế trái tồn có đẳng thức xảy ra) Chứng minh Suy từ định nghĩa Mệnh đề Phép biến đổi Fourier (cũng ngược nó) phép ứng 1-1 Chứng minh Thật vậy, F [ f1 ] = F [ f ] ⇒ F −1 [ F [ f1 ]] = F −1 [ F [ f ]] ⇒ f1 = f (theo mệnh đề phần trên) Mệnh đề Biến đổi Fourier hàm khả tích tuyệt đối (trên tồn trục số) hàm bị chặn (trên toàn trục số), ∞ | fˆ ( y ) | ≤ ∫ | f ( x) | dx 2π −∞ Chứng minh Suy từ định nghĩa với lưu ý | e−ixy | = Hệ Nếu hàm khả tích tuyệt đối f dãy hàm khả tích tuyệt đối { f n } thỏa mãn điều kiện 297 Chương Chuỗi Fourier tích phân Fourier ∞ lim n→∞ dãy hàm ∫ | f n ( x) − f ( x) | dx = 0, −∞ { fˆn ( y)} hội tụ đến hàm fˆ ( y ) toàn trục số thực Chứng minh Suy từ bất đẳng thức mệnh đề Mệnh đề Biến đổi Fourier hàm khả tích tuyệt đối tồn trục số thực hàm liên tục tiến tới biến số tiến −∞ +∞ Chứng minh Ta biết với hàm ϕ khả tích tuyệt đối tìm dãy hàm bậc thang ϕn thỏa mãn ∫ | ϕn ( x) − ϕ( x) | dx = , ∞ lim n→∞ −∞ từ hệ ta thấy cần chứng minh mệnh đề cho lớp hàm bậc thang Mặt khác, ta lại biết hàm bậc thang tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) hàm bậc thang đơn (nhận giá trị nửa khoảng [a,b) miền cịn lại) Từ tính tuyến tính phép biến đổi Fourier ta suy cần chứng minh mệnh đề cho lớp hàm bậc thang đơn Giả sử ϖ hàm bậc thang đơn, nghĩa 1 a ≤ x < b  ϖ( x) =   0 x < a hay b ≥ x Khi ta có ˆ ( y ) = ∫ e−ixy dx = ∫ (cos xy − i sin xy )dx = ϖ 2π a 2π a b b [(sin by − sin ay ) + i (cos by − cos ay )]/( y 2π ) y ≠ =  (b − a) / 2π = y  Dễ dàng kiểm tra hàm liên tục tiến tới y tiến vơ (về hai phía) Mệnh đề chứng minh xong 8.3.3 Biến đổi Fourier đạo hàm đạo hàm biến đổi Fourier Mệnh đề Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có đạo hàm đến cấp n liên tục khả tích tuyệt đối tồn trục số F [ f ( k ) ] = (iy ) k F [ f ] , k = 0,1, , n , 298 Giải tích hàm nhiều biến tồn số M > cho | F [ f ] | ≤ Mn |y | Chứng minh Ta có x f ( x) = f (0) + ∫ f '(t ) dt , nên, tính khả tích f ' tồn trục số, giới hạn lim f ( x) tồn x→±∞ (do tính khả tích thân hàm f tồn trục số) Sử dụng cơng thức tích phân phần tích phân Fourier ta suy +∞ F [ f '] = ∫ f '( x)e−ixy dx = 2π −∞ f ( x)e−ixy 2π +∞ +∞ + −∞ iy −ixy ∫ f ( x)e dx = iyF[ f ] 2π −∞ Như mệnh đề chứng minh với k = Trường hợp tổng quát chứng minh dễ dàng phương pháp quy nạp toán học Lưu ý hàm F [ f ( n ) ] bị chặn toàn trục số (theo mệnh đề phần trên), tồn số hữu hạn M = sup −∞< y