SKKN một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số lớp 9

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong trình giảng dạy nghiên cứu Đại số lớp 9, nhận thấy năm gần đề thi học kỳ, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT đề ôn thi tham khảo, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi toán học sinh lớp thường có tốn u cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Đây dạng toán em làm quen số dạng tốn chương trình đại số lớp - chương I Tuy nhiên toán liên quan đến tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp dạng tốn khó đa dạng em học sinh kiến thức nâng cao dần phức tạp Để giải dạng toán địi hỏi em nắm vững kiến thức tốn, biết tổng hợp kiến thức vận dụng tư sáng tạo sử dụng phương pháp khác từ dễ đến khó q trình làm Câu hỏi đặt : “Làm để giúp em tìm phương pháp gặp tốn tìm Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Sau năm phân công giảng dạy ơn thi tuyển sinh Tốn 9, tơi ln suy nghĩ làm cho em làm quen tự tin không sợ sai đặt bút làm tập dạng toán số phương pháp giải bản, dễ hiểu xác Với mong muốn tơi xin đưa sáng kiến “Một số phương pháp tìm Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Mục đích đề tài: Với đề tài ““Một số phương pháp tìm Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9”, mong muốn giúp học sinh lĩnh hội Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung kiến thức mới, tiếp thu dạng tốn khó tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, hiểu chất toán tìm quy luật tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp Ngồi mong muốn tơi nhằm trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để đề tài ngày hồn thiện vận dụng cho giáo viên trường giáo viên trường khác dạy Toán Nhiêm vụ đề tài: - Hướng dẫn học sinh giải tập khó tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số mốt số phương pháp từ dễ đến khó - Giúp em tự tin gặp dạng toán này, kích thích tính tự học, say mê mơn học tự nhiên nói chung mơn tốn nói riêng - Là phương tiện góp phần phát triển tư duy, lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức cho học sinh - Giúp học sinh phát triển tâm lý nhanh nhẹn, làm việc khoa học, sáng tạo Phạm vi giới hạn đề tài: Đề tài xoay quanh vào dạng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp minh họa trực quan dạng toán số toán biểu thức đại số chương trình tốn lớp 9, có giải rõ ràng, số tập ví dụ cho thêm để tham khảo cho phương pháp Đối tượng phương pháp nghiên cứu: 5.1 Đối tượng nghiên cứu: Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung Giáo viên dạy toán THCS học sinh khối 8; 5.2 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sách tham khảo để tìm dạng cụ thể từ tổng hợp thành số phương pháp giải cho dạng toán - Nghiên cứu phương pháp giải toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số chương trình THCS - Cho học sinh làm số tập tương tự để rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh trình giảng dạy tiết luyện tập - Chỉ số sai lầm trình học sinh làm hướng khắc phục cụ thể cách trình bày giải - Tham khảo ý kiến học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Điểm đề tài: - Các tốn tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số đa dạng, phong phú, sách kiểu dạy, cách trình bày khác làm học sinh khó định hướng phương pháp giải ngán ngẩm làm toán dạng Đề tài góp phần phát triển khả tự suy luận, tổng hợp vấn đề học sinh; Giúp em thấy hay, đẹp, sức hấp dẫn tốn học, kích thích tị mị, khám phá, tìm hiểu bớt áp lực đứng trước tốn khó - Trình bày cụ thể dạng toán theo mức độ từ dễ đến khó, từ đến phức tạp, kèm theo tơi mạnh dạn đưa số mẹo làm để học sinh cần đọc đề áp dụng phương pháp hướng dẫn mà không cần phải suy nghĩ nhiều hướng giúp tiết kiệm thời gian đạt trọn số điểm kì thi quan trọng Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung B NỘI DUNG I Quá trình tìm hiểu, khảo sát thực trạng: Thuận lợi: - Được quan tâm sâu sát đạo tận tình Ban giám hiệu trường THCS Dĩ An - Có nhiều phương tiện tham khảo, tra cứu sách, báo, mạng internet từ nguồn đáng tin cậy… - Học hỏi đồng nghiệp giàu kinh nghiệm thông qua họp tổ, thao giảng trường, thị xã Được tham gia chuyên đề, lớp bồi dưỡng chun mơn hè - Tơi có tinh thần học hỏi đầu tư nghiên cứu chuyên môn giao nhiệm vụ làm sáng kiến Khó khăn: - Học sinh chưa quen thuộc có tâm lý “sợ” gặp với dạng tốn tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số - Học sinh tiếp xúc nhiều thơng tin, nhiều phương tiện giải trí khiến em khơng hứng thú với việc học, chưa có thói quen tự học, tự nghiên cứu để tự tìm vấn đề - Số tiết luyện tập theo phân phối chương trình cịn nên giáo viên khó triển khai, bồi dưỡng dạng tốn cho học sinh lớp Thực trạng: Qua thuận lợi khó khăn tơi vừa nêu tơi rút rằng: - Học sinh chưa nhạy bén việc vận dụng phương pháp học Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung áp dụng vào giải tập khó; Suy luận cịn kém, cách trình bày thiếu logic, chưa có tính khoa học Tính tự học chưa cao, gặp tốn khó em khơng biết phải làm gì? Phải hướng nào? - Học sinh chơi game nhiều (do khơng có quan tâm gia đình) nên việc học ngày giảm sút, lớp nhiều học sinh yếu Tốn - Tốn học khó, tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cịn khó nên dễ làm nản lịng em khơng có hướng dẫn tỉ mỉ, thực tế II Biện pháp khắc phục: Đối với giáo viên: - Hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, rõ ràng; Động viên kịp thời học sinh; Khích lệ tinh thần học tập học sinh Hãy xem học sinh con, em ruột mình, đem hết tồn tâm, tồn ý để dạy em - Phải hệ thống kiến thức trọng tâm chuyên đề Trong dạng toán cần khai thác triệt để cách giải - Phải đưa theo dạng tập (có kiến thức tổng quát), có mẫu cho học sinh dễ hiểu - Giáo viên cần phải nghiên cứu, tham khảo tài liệu, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp để tìm phương pháp giải, cách giải ngắn gọn, dễ hiểu Đối với học sinh: - Có tính kiên trì, nhẫn nại, ham học - Cần nắm vững kiến thức trọng tâm mơn tốn - Có ý thức tự giác học tập Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung - u thích mơn học III Nội dung: Dạng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số biểu thức khó đa dạng, không nắm vững kiến thức dễ mắc sai lầm giải, học sinh giỏi làm sai gặp tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số Trong trình giảng dạy nghiên cứu, tơi rút số dạng toán phương pháp giải dạng tốn đó; giúp học sinh khối 9, biết phương pháp làm, tránh sai lầm rèn luyện kỹ giải toán Các dạng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: Có nhiều cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, số dạng trọng tâm chia thành phần sau: a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đa thức ☻ Biểu thức tam thức bậc hai ☻ Biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến ☻ Biểu thức đa thức bậc cao ☻ Biểu thức có tổng hai số tích hai số số khơng đổi b) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức phân thức : ☻ Biểu thức nghịch đảo tam thức bậc hai ☻ Biểu thức có mẫu tử chứa biến c) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức thức: d) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức có thêm điều kiện : Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung ☻ Biểu thức đa thức có thêm điều kiện ☻ Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị Phương pháp hướng dẫn ví dụ minh họa: a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đa thức: ☻ Biểu thức tam thức bậc hai: Đối với dạng này, hướng dẫn học sinh cách giải theo phương pháp sau: Bằng cách nhóm, thêm, bớt tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc không dương) số • Tìm giá trị nhỏ (GTNN hay min) F(x) = g2(x) ± M ≥ ± M Dấu “=” xảy g(x) = 0, GTNN F(x) ±M • Tìm giá trị lớn (GTLN hay max) N(x) = – h2(x) ± M’ ≤ ±M’ Dấu “=” xảy h(x) = 0, giá trị lớn N(x) ±M’ Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = 4x2 – 8x + 15 Phân tích biểu thức A thành tổng (hoặc hiệu) bình phương đa thức biến x với số; sau tìm giá trị nhỏ A Ta có: A = ( x ) − 2.2 x.2 + 22 − 22 + 15 = ( x − ) + 11 ≥ 11 (Với x ∈ R) 2 Dấu “=” xảy (2x–2)2 = hay 2x – = ⇔ x =1 Khi A đạt giá trị nhỏ 11 Ví dụ: Tìm giá trị lớn B = –3x2 +6x –2  2 Ta có: B = − 3x + x − = −  x − x +  4 1  ÷ = −  ( x − 1) +  = − ( x − 1) − ≤ − 3 3  Dấu “=” xảy x = 1, giá trị lớn B –1 * Nhận xét : - Nếu hệ số a tam thức số phương ta để ngun tách thành đẳng thức - Nếu hệ số a khơng số phương trước tách thành đẳng thức ta đặt hệ số a làm nhân tử chung * Một số tập tự luyện : Bài : Tìm giá trị nhỏ a) x2 – 5x –7 Trường THCS Dĩ An b) 2x2 + 20x – 43 Trang c) 9x2 + 3x +2 Giáo viên : Đặng Minh Trung Bài 2: Tìm giá trị lớn a) –3x2 +12x +11 b) –x2 – 43 c) –16x2 + 8x +2 ☻ Biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ C = x2–6x+y2+2y–15 Gặp đa thức bậc hai có nhiều biến, tơi hướng dẫn em biến đổi đa thức cho dạng tổng hiệu bình phương nhiều đa thức với số từ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Trong ví dụ tập, ta có : C = x − x + y + y − 15 = x − x.3 + 32 − 32 + y + y + − − 15 = ( x − 3) + ( y + 1) − 25 ≥ −25 2 Dấu “=” xảy x = y = –1 Khi giá trị nhỏ C –25 * Một số tập tự luyện: Tìm giá trị nhỏ của: a) A = x2 + 2y2 + 9z2 – 2x + 12y + 6z + 24 b) B = x2 + 15y2 + xy + 8x + y + 1992 ☻ Biểu thức đa thức bậc cao: Phương pháp chung : Đưa đa thức dạng tổng hiệu bình phương đa thức với số từ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Trường THCS Dĩ An Trang Giáo viên : Đặng Minh Trung Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x –1)(x+2)(x+3)(x+6) Với ví dụ trên, tơi gợi ý cho em cách làm sau: Nhóm nhị thức thành đôi cho nhân cặp nhị thức sau nhóm xuất tích hai đa thức bậc hai có hệ số a b Biến đổi đưa dạng tổng bình phương đa thức với số tìm cực trị Ta có: A = (x–1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x–1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2+5x–6)(x2+5x+6) = (x2+5x)2 – 62 = (x2+5x)2 – 36 ≥ −36 Dấu “=” xảy x = –5 x = Khi giá trị nhỏ A –36 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = (x–1)(x–2)(x–5)(x–6) Ta có: B = (x–1)(x–6)(x–2)(x–5) = (x2–7x+6)(x2–7x+10) = ( x − x + ) −  ( x − x + ) +  = ( x − x + ) − ≥ −4 Trường THCS Dĩ An Trang 10 Giáo viên : Đặng Minh Trung a) A = x − 30 x + 53 x − x + 10 b) B = 4x + x2 c) C = − 3x + x + x2 Bài 2: Tìm giá trị lớn của: 3x + x + 13 a) A = x + 2x + x + 17 b) B = x +2 c) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức thức : Phương pháp : Biến đổi biểu thức dạng tổng bình phương đa thức với số dương, sau tìm cực trị chúng Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = x2 − x + Ta có B = x − x + = ( x − 1)2 + ≥ = Dấu “=” xảy x = Khi giá trị nhỏ B d) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức có thêm điều kiện: ☻ Biểu thức có điều kiện: Phương pháp : - Đưa biểu thức dạng tổng hiệu bình phương đa thức với số (Chú ý đến điều kiện đề cho để làm sở việc tách thành đẳng thức) - Tìm cực trị biểu thức Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Trường THCS Dĩ An S = x2 +y2 Trang 16 Giáo viên : Đặng Minh Trung Biết x y có mối liên hệ sau: 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 Ta biến đổi biểu thức S dạng tổng hai đa thức cho đa thức đầu có liên quan đến điều kiện cho đa thức sau đưa bình phương tổng (hoặc hiệu) đa thức chứa biến x, y Sau tìm cực trị S Ta có S = x2 + y2 = 5x2 + 8xy + 5y2 – (4x2 +8xy +4y2) = 36 – 4(x+y)2 ≤ 36 Vậy giá trị lớn S 36 Ta lại có : 2 2 2 9S = ( x + y ) = x + xy + y + (4 x − xy + y ) = 36 + ( x − y ) ≥ 36 ⇒S≥ Vậy giá trị nhỏ S = Chú ý: Đứng trước bình phương tổng (hoặc hiệu) đa thức chứa biến dấu (–) biểu thức tìm cực trị đạt giá trị lớn nhất, dấu (+) biểu thức tìm cực trị đạt giá trị nhỏ Ví dụ : Cho x ≥ x ≤ −3 , Tìm giá trị nhỏ A = 4x2 + 16x + 44 Với dạng toán học sinh dễ mắc sai lầm giải mà không quan sát đến điều kiện đề cho Cách giải sai học sinh : Trường THCS Dĩ An Trang 17 Giáo viên : Đặng Minh Trung Có : A = 4x2 + 16x + 44 = (2x)2 + 2.2x.4 + 42 + 42 +44 = (2x + 4)2 + 28 ≥ 28 A đạt giá trị nhỏ x = –2 Khi giá trị nhỏ A 28 Sai học sinh em không để ý đến điều kiện đề cho (x = –2 không thỏa mãn điều kiện đề x ≥ x ≤ −3 ) nên giá trị nhỏ A khơng Cách giải : Có : A = 4x2 + 16x + 44 = (2x)2 + 2.2x.4 + 42 – 42 +44 = (2x + 4)2 + 28 = 4(x + 2)2 +28 Có: x ≤ −3 ⇒ x + ≤ −1 ⇒ ( x + ) ≥ ⇒ ( x + ) ≥ 2 ⇒ ( x + ) + 28 ≥ 32 ⇒ A ≥ 32 x ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ ( x + ) ≥ 25 ⇒ ( x + ) ≥ 100 2 ⇒ ( x + ) + 28 ≥ 128 ⇒ A ≥ 128 Vậy giá trị nhỏ A 32 ( ) 3 2 Ví dụ : Cho x + y + x + y + ( x + y ) + = xy >0 Tìm giá trị lớn M = Trường THCS Dĩ An 1 + x y Trang 18 Giáo viên : Đặng Minh Trung Trong tập trên, ta biến đổi phần điều kiện để tìm mối liên hệ x y, sau tìm cực trị biểu thức cho Ta có: x3 + y + ( x + y ) + ( x + y ) + = ⇔ x3 + y3 + 3x + y + x + y + = ⇔ x + 3x + 3x + + y + y + y + + x + + y + ⇔ ( x + 1) + ( y + 1) + ( x + 1) + ( y + 1) = 3 Đặt X= x+1 ; Y = y +1 (1) (2) Từ (1) (2) ⇒ X3+Y3+X+Y = ⇔ ( X + Y ) ( X − XY + Y ) + ( X + Y ) = ⇔ ( X + Y ) ( X − XY + Y + 1) = 2 Y  Y  Y2 Y  3Y  Vì : X − XY + Y + = X − X +  ÷ − + Y + =  X − ÷ + + 1>  2 2  2 (với X, Y) Nên X+Y = hay x+1+y+1=0 ⇒ x+y = –2 Có: ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ x + xy + y 2 2 ( x + y) ≥ xy ⇔ ≥ xy 4 = =1 với xy > nên xy ≥ ( x + y) Mặt khác: M = 1 x + y −2 + = = x y xy xy Từ (3) (4) ⇒ M = (3) ≥ (4) xy −2 ≤ −2 xy Dấu “=” xảy x = y = –1, giá trị lớn M –2 Trường THCS Dĩ An Trang 19 Giáo viên : Đặng Minh Trung ☻ Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị : a) Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm Cho x ≥ 0; y ≥ x + y ≥ xy hay x+ y ≥ xy b) Bất đẳng thức Côsi cho nhiều số không âm (mở rộng) + Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ x+ y + z ≥ xyz + Cho x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; ; xn ≥ x1 + x2 + x3 + + xn n ≥ x1 x2 x3 xn n Trường THCS Dĩ An Trang 20 Giáo viên : Đặng Minh Trung xy + yz + xz = Ví dụ : Cho x, y, z số không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + z Vì x ,y, z số khơng âm, áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có : x + y ≥ xy ; y + z ≥ yz ; x + z ≥ xz ⇒ 2( x + y + z ) ≥ ( ) xy + yz + xz = 2.1 = ⇒ x + y + z ≥1 Ta lại có : x + y ≥ xy; y + z ≥ yz; x + z ≥ xz (Bất đẳng thức Côsi) 2( x + y + z ) ≥ xy + yz + xz ⇔ 3( x + y + z ) ≥ x + y + z + xy + yz + xz ⇔ 3( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) = ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ Dấu “=” xảy x = y = z = Khi giá trị nhỏ A Ví dụ : Cho x >0 ; y > x2 + y2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau :  1  1 P = ( + x )  + ÷+ ( + y )  + ÷  x  y  1     Ta có : P = ( + x ) 1 + ÷+ ( + y ) 1 + ÷ y x Trường THCS Dĩ An  Trang 21  Giáo viên : Đặng Minh Trung =1 + =x+ x y + x + +1 + + y + y y x x 1 x y 1 +y+ + + + + +2 2x y y x 2x y     x y 11   =x + ÷+  + ÷+  + ÷+ ÷+  y + 2x   2y   y x   x y   Do x > ; y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có : x+ ≥ ; 2x 1 + ≥ x y xy y+ (1) Do x + y ≥ xy (BĐT Côsi) ⇒ xy ≤ Nên ≥ xy 2 = = 2 x +y Thay (2) vào (1) : x y + ≥2 y x ≥ ; 2y x2 + y2 (2) 1 + ≥ , ta có : x y xy 1 + ≥ ≥2 x y xy   x (3) y 11 1   Ta có : P =  x + ÷+  y + ÷+  + ÷+  + ÷+ (4) 2x   2y   y x   x y   1 Từ (1), (3) ; (4), ta P ≥ + + + 2 = + (5) Dấu (5) xảy đồng thời có dấu (1) (3) ⇔x= y= Khi giá trị nhỏ P + * Chú ý: Với toán học sinh dễ mắc sai lầm tìm giá trị nhỏ Trường THCS Dĩ An Trang 22 Giáo viên : Đặng Minh Trung mà không xét đến điều kiện đề cho có thỏa mãn hay khơng Cách giải sai học sinh:  1  1 P = ( + x )  + ÷+ ( + y )  + ÷  x  y = 1+ x y + x + + 1+ + y + y y x x  1  =  x + ÷+  y +  x  1  x y ÷+  + ÷+ y  y x (1) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm, ta : x+ ≥2 ; x y+ ≥2 ; y x y + ≥2 ; y x (2) Từ (1) (2) ⇒ P ≥ Dấu “=” xảy x = y = Khi giá trị nhỏ P Để ý dấu “=” xảy bất đẳng thức P ≥ x= y= Tuy nhiên x2 + y2 = (không thỏa mãn điều kiện đề cho x2 + y2 = 1) Vậy xảy dấu “=” bất đẳng thức P ≥ Ví dụ : Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = x y z + + x +1 y +1 z +1 Ta viết P dạng sau : Trường THCS Dĩ An Trang 23 Giáo viên : Đặng Minh Trung x y z + + x +1 y +1 z +1 x + 1−1 y + 1−1 z + −1 = + + x +1 y +1 z +1 1 = 1− +1− +1− x +1 y +1 z +1 P=  1  = 3−  + + ÷  x +1 y +1 z +1 Vì x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Áp dụng bất đẳng thức mở rộng cho số khơng âm Ta lại có : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) ≥ 3 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) (1) 1 1 1 + + ≥ 3 x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 (2) Nhân (1) với (2), vế theo vế, ta : ( x + 1) ( y + 1( z + 1) )  1   ( + x ) + ( + y ) + ( + z )   + + =9 ÷ ≥ 3.3 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1)  x +1 y + z +1  1  + + ÷≥ x + y + z +   Mà x+y + z =1 nên ( + 1)   1  + + ÷≥ x + y + z +   ⇔   1  −9 ⇔ − + + ÷≤  x +1 y +1 z +1  1  ⇔ − + + ÷≤  x +1 y +1 z +1  Hay P ≤ x = y = z ⇔x = y = z = x + y + z =1 Dấu “=” xảy  Trường THCS Dĩ An Trang 24 Giáo viên : Đặng Minh Trung Khi giá trị lớn P Trường THCS Dĩ An Trang 25 Giáo viên : Đặng Minh Trung C KẾT LUẬN Kết đạt được: Học sinh lớp giảng dạy tự tin mạnh dạn đặt bút làm gặp toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ em biết hướng giải tốn Đây thực động lực giúp vững tin tâm chuyên mơn giúp học sinh tự học đường dạy học, học sinh có điểm cao gặp dạng toán kiểm tra 15 phút lớp Tỉ lệ phần trăm điểm kiểm tra trung bình trước sau tơi dạy chun đề lớp tăng rõ rệt Lớp 9.10 9.B Trước dạy 38% 42% Sau dạy 64,5% 78% Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số dạng tốn khó em học sinh, đặc biệt học sinh khối Để giải toán này, em cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác cách linh hoạt Trên số phương pháp mà trình giảng dạy thực tế hay sử dụng để giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số Với phương pháp hướng dẫn học sinh từ tập cụ thể, khái quát thành dạng tổng quát từ giúp học sinh vận dụng để giải Trường THCS Dĩ An Trang 26 Giáo viên : Đặng Minh Trung Kết hoạc tập học sinh động lực thúc đẩy việc đầu tư nghiên cứu giảng dạy Qua thể kinh nghiệm, say mê, khơng ngừng tìm tịi phát điều mẻ sáng kiến khác năm Kinh nghiệm rút ra: 3.1: Đối với học sinh: Cần trang bị kiến thức cách chắn; Có hứng thú mơn học; Có tính kiên nhẫn vận dụng cách linh hoạt kiến thức học để giải vấn đề nâng cao hơn, khó 3.2: Đối với giáo viên: - Nghiên cứu kỹ kiến thức, đưa dạng bản, từ lồng ghép kiến thức nâng cao; Cần tạo tình gây hứng thú cho học sinh kích lệ tính tự học tự nghiên cứu tài liệu học sinh - Nghiên cứu tài liệu từ nhiều nguồn khác - Phải thực yêu thích mơn tốn; Kiên trì q trình bồi dưỡng - Hệ thống hóa kiến thức cách trọng tâm - Học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, bạn bè Kiến nghị, đề xuất: - Tổ chức chuyên đề, hội thảo để giáo viên học tập, rút kinh nghiệm - Cần trang bị thêm sách tư liệu bồi dưỡng ôn thi tuyển sinh lớp 10 Lời kết: Là giáo viên dạy toán lớp với số năm kinh nghiệm ỏi, tơi ln tự nhủ phải cố gắng nhiều công tác giảng dạy, tìm tịi Trường THCS Dĩ An Trang 27 Giáo viên : Đặng Minh Trung phương pháp mới, trọng tâm, dễ hiểu, dễ tiếp thu để truyền đạt kiến thức cho học sinh; Trang bị cho em vốn kiến thức làm hành trang bước đường học tập sau Đề tài “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” nằm mục tiêu Đề tài tơi cịn tiếp tục nghiên cứu cịn có nhiều thiết sót, kính mong đóng góp ý kiến q đồng nghiệp để đề hồn thiện hơn, góp phần dạy tốt học tốt nhà trường TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa, sách tập toán, sách giáo viên chương trình THCS - “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi” PGS-TS Phan Huy Khải - “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị” Thạc sĩ Lê Hồng Đức - Các tài liệu mạng internet, tài liệu đồng nghiệp - Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học sở Dĩ An, ngày 14 tháng 12 năm 2019 Người viết Trường THCS Dĩ An Trang 28 Giáo viên : Đặng Minh Trung Đặng Minh Trung Trường THCS Dĩ An Trang 29 Giáo viên : Đặng Minh Trung MỤC LỤC Trường THCS Dĩ An Trang 30 Giáo viên : Đặng Minh Trung ... toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: Có nhiều cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, số dạng trọng tâm chia thành phần sau: a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đa thức ☻ Biểu thức tam thức. .. phương nhị thức x với số ý : Nếu tử Thức phân thức khơng đổi phân thức dương có giá trị lớn mẫu thức đạt giá trị nhỏ phân thức dương có giá trị nhỏ mẫu thức đạt giá trị lớn Ví dụ: Tìm giá trị lớn A=... ☻ Biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến ☻ Biểu thức đa thức bậc cao ☻ Biểu thức có tổng hai số tích hai số số khơng đổi b) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức phân thức : ☻ Biểu thức nghịch đảo tam thức