GIỚI THIỆU mô HÌNH TOÁN KINH tế

Chương 1: GIỚI THIỆU MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ I Khái niệm, cấu trúc, phân loại mơ hình tốn kinh tế Khái niệm mơ hình kinh tế mơ hình tốn kinh tế: I Khái niệm, cấu trúc, phân loại mơ hình tốn kinh tế Cấu trúc mơ hình tốn kinh tế: 3.Phân loại mơ hình tốn kinh tế: II Nội dung phương pháp mơ hình nghiên cứu phân tích kinh tế III Áp dụng phân tích mơ hình Khái niệm mơ hình kinh tế mơ hình tốn kinh tế: a Mơ hình kinh tế: - Mơ hình đối tượng phản ánh thực khách quan đối tượng; hình dung tưởng tượng đối tượng ý nghĩ người nghiên cứu việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ…hoặc ngơn ngữ chun ngành - Mơ hình bao gồm: nội dung mơ hình hình thức thể nội dung b Mơ hình tốn kinh tế: - Là mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ tốn học Ví dụ : Giả sử ta muốn nghiên cứu phân tích q trình hình thành giá loại hàng hóa A thị trường với giả định yếu tố khác điều kiện sản xuất hàng hóa A, thu nhập, sở thích người tiêu dùng…đã cho trước khơng thay đổi - Mơ hình đối tượng hoạt động lĩnh vực kinh tế gọi mơ hình kinh tế + Mơ hình lời: thị trường hàng hóa A người + Mơ hình hình vẽ: Q bán người mua gặp làm xuất mức giá ban S D đầu Với mức giá lượng hàng hóa người bán muốn bán gọi mức cung, lượng hàng hóa người mua muốn mua gọi mức cầu Nếu cung lớn cầu Q người bán phải giảm giá hình thành mức giá thấp Nếu cầu lớn cung người mua sẵn P2 sàng trả giá cao để mua hàng mức giá P P1 P cao hình thành Với mức giá xuất mức cung, cầu Quá trình tiếp diễn đến cung cầu + Mơ hình tốn kinh tế: Gọi S, D đường cung, đường cầu tương ứng Ứng với mức giá P ta có: S = S(p), D = D(p) Ta có mơ hình cân thị trường, ký hiệu MHIA đây: dS S = S(p) 0 S  D = D(p) S=D dP dD 0 D  dp Khi muốn đề cập đến tác động thu nhập (M), thuế (T) tới trình hình thành giá, ta có mơ hình MHIB đây: S = S(p,T) D = D(p,M,T) S=D S 0 P D 0 p Ví dụ : Mơ hình biễu diễn lợi nhuận: Profit = revenue – expense = revenue – (fixed cost + variable cost) = sX - (f + vX) s: giá bán đơn vị sản phẩm v: chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm Từ phương trình ta tìm điểm hịa vốn sX – f – vX = => X Cấu trúc mô hình tốn kinh tế: -Mơ hình tốn kinh tế tập hợp gồm biến số hệ thức toán học liên hệ chúng nhằm diễn tả đối tượng liên quan đến kiện, tượng kinh tế => Mơ hình gồm: biến, phương trình, bất phương trình f sv a Các biến số mơ hình: - Biến nội sinh (biến giải thích): + Là biến mà chất chúng phản ánh, thể trực tiếp kiện, tượng kinh tế giá trị chúng phụ thuộc giá trị biến khác có mơ hình + Nếu biết giá trị biến khác mô hình ta xác định giá trị cụ thể biến nội sinh cách giải hệ thức - Biến ngoại sinh (biến giải thích): biến độc lập với biến khác có mơ hình, giá trị chúng tồn bên ngồi mơ hình Ví dụ: Trong mơ hình MHIB có M, T biến ngoại sinh Ví dụ: Trong mơ hình MHIA ta có S, D, p biến nội sinh - Tham số (thông số): biến số mà phạm vi nghiên cứu chúng thể đặc trưng tương đối ổn định, biến động Các tham số mơ hình phản ánh xu hướng,mức độ ảnh hưởng biến tới biến nội sinh   Ví dụ: Nếu mơ hình MHIB có S   p T  ,  , b Mối liên hệ biến số – Các phương trình mơ hình: - Phương trình định nghĩa: phương trình thể quan hệ định nghĩa biến số hai biểu thức hai vế phương trình tham số Lưu ý, biến số mơ hình khác đóng vai trị khác mơ hình mục đích sử dụng khác Ví dụ: + Lợi nhuận (LN) định nghĩa hiệu số tổng doanh thu (TR) tổng chi phí (TC) : LN = TR – TC + Trong mơ hình MHIA phương trình: S p  dS  dD phương trình định nghĩa , D ( p)  dp dp + Xuất ròng quốc gia (NX) khoản chênh lệch xuất (EX) nhập (IM) quốc gia đó: NX = EX(Y, P, ER) – IM(Y, P, ER) - Phương trình hành vi : phương trình mơ tả quan hệ biến tác động quy luật giả định Từ phương trình hành vi ta biết biến động biến nội sinh – « hành vi » biến biến số khác thay đổi Ví dụ : Trong mơ hình MHIA có S = S(p), D = D(p) chúng thể phản ứng người sản xuất người tiêu dùng trước thay đổi giá -Phương trình điều kiện : phương trình mơ tả quan hệ biến số tình có điều kiện mà mơ hình đề cập Ví dụ : Phương trình S = D mơ hình MHIA 3.Phân loại mơ hình tốn kinh tế: a Phân loại mơ hình theo đặc điểm cấu trúc cơng cụ tốn học sử dụng: - Mơ hình tối ưu: mơ hình phản ánh lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hóa tiêu định trước - Mơ hình cân bằng: lớp mơ hình xác định tồn trạng thái cân có phân tích biến động trạng thái biến ngoại sinh hay tham số thay đổi b.Phân loại theo quy mô, phạm vi, thời gian: - Mơ hình vĩ mơ: mơ tả tượng kinh tế liên quan đến kinh tế, khu vực kinh tế gồm số nước - Mơ hình vi mơ: mơ tả thực thể kinh tế nhỏ tượng kinh tế với yếu tố ảnh hưởng phạm vi hẹp mức độ chi tiết - Mơ hình tất định, mơ hình ngẫu nhiên: - Mơ hình tĩnh, mơ hình động: II Nội dung phương pháp mơ hình nghiên cứu phân tích kinh tế 1.Nội dung phương pháp mơ hình: (SGK) Phương pháp phân tích so sánh tĩnh: Phương pháp phân tích so sánh tĩnh: 1) Bài toán 1: Đo lường thay đổi biến nội sinh theo biến ngoại sinh a) Đo lường thay đổi tuyệt đối: Xét hàm Y = F(X1, X2, …,Xn), X = Xo gọi thay đổi Y có Xi thay đổi lượng nhỏ là: Yi  F  X 1, , X i  X i , , X n   F ( X , , X i , , X n ) Yi + Lượng thay đổi trung bình Y theo Xi là:   X i + Đạo hàm riêng: Nếu F khả vi theo Xi ta có tốc độ thay đổi tức thời điểm X = Xo là:   X i   F  X o  X i Do X i nhỏ   X i    , X i =   X i   Yi Mối quan hệ biến mối quan hệ trực tiếp gián tiếp thông qua biến số khác theo nhiều khâu trung gian Ví dụ: + Vi phân toàn phần: - Nếu tất biến ngoại sinh thay đổi với lượng nhỏ X , X , X n thay đổi biến Tiêu dùng Thuế Thu nhập nội sinh Y tính: Y  F X  F X   F X n X X X n Giá yếu tố sx Chi phí sx Mức cung Lọi nhuận Trình độ cơng nghệ + Đạo hàm hàm hợp hàm ẩn: Nếu thân Xi lại biến nội sinh phụ thuộc vào - Nếu biến nội sinh Y có liên hệ với biến ngoại sinh X1, X2, …,Xn dạng F(Y, X1,…,Xn) = nhiều biến khác để đo thay đổi Y theo Thì ta có: Xi ta dùng đạo hàm hàm hợp số ví dụ sau: Ví dụ 2: Giả sử Y = F(X1, X2), X2 = G(X1) Y, X2 biến nội sinh, X1 biến ngoại sinh Khi ta có : Y F F    i  1, , n  X i X i Y dY F dX F   dX X dX X Ví dụ 3: Giả sử Y2 = X13 - X2 Tính Y (i = 1, 2) X i Ta có: F(Y, X1, X2) = Y2 – X13 + X2 = => Y F F 3 X 12 X 12     X X Y 2Y 2Y b Đo lường thay đổi tương đối : hệ số co giãn + Hệ số co giãn biến Y theo biến Xi X = X0, ký   hiệu  YX X định nghĩa công thức : i  XY i + Hệ số co giãn chung (toàn phần): n  Y  X o     XY  X o  i 1 Y X i  X i Y i Hệ số cho biết X = Xo tỉ lệ % thay đổi Y Hệ số cho biết X = X0, biến Xi thay đổi 1% tất biến Xi thay đổi 1% Y thay đổi % + Nếu  YX  X  > X , Y thay đổi hướng i i ngược lại + Nếu 1 Y   o X X X n tham số ta có: Do đó: n 2 n với  o ,1 , , n + Nếu gọi MFi   YX  X    i  i  1, , n  i AFi   Y   i i 1 Thì ta có:  XY  i F hàm cận biên X i Y hàm trung bình Xi MFi AFi Ví dụ: 2) Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) Cho hàm tổng chi phí: Hệ số tăng trưởng biến đo tỷ lệ biến động biến theo đơn vị thời gian TC = 3Q2 – 2Q + Tính hệ số co giãn TC theo Q Q = dTC  6Q  dQ Ta có:  QTC  dTC Q dQ TC   QTC (Q  2)  1,25 VD: Theo cơng thức tính lãi gộp liên tục thời điểm ta có: vt = v0ert có hệ số tăng trưởng rv = r Nếu lãi suất tính theo kỳ vt = v0(1+r)t có hệ số tăng trưởng rv = ln(1+r)  r Cho Y  F ( X , , X i , , X n , t ) hệ số tăng trưởng Y là: rY  Y Y t +Nếu Y = F(X1(t), X2(t),…, Xn(t)) : n n rY    XYY i rX i rY    r i 1 X i X i i 1 Cho: u = u(t); v = v(t) Nếu y = uv  ry = ru + rv Nếu y = u/v  ry = ru – rv Nếu y = u + v  ry = u v ru  rv uv uv Nếu y = u - v  ry = u v ru  rv uv uv 3) Bài toán 3: Tính hệ số thay (bổ sung, chuyển đổi) Ví dụ: Giả sử X = Xo có Y = F(Xo) = Yo Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2.K0,4.L0,8 Cho biến Xi, Xj biến đổi Xk (k Hãy tính hệ số tăng trưởng sản xuất biết hệ số tăng trưởng vốn K 20%, lao động 8% hệ số thay hai biến tỉ lệ thay đổi  i, j) khơng đổi hai biến cho Y = Yo (tức Y không đổi) F X j dX i  F dX j X i + Nếu dX i  Xi thay cho Xj dX j (X = Xo) + Nếu dX i  Xi, Xj bổ sung cho dX j (X = Xo) + Nếu dX i hệ số thay (cận biên) dX j dX i dX j dX i cho biết ta thay đổi đơn vị dX j yếu tố j cần thay đổi yếu tố i tương ứng Tỉ lệ để giữ nguyên Y hệ số bổ sung (cận biên) dX i  Xi, Xj khơng thể thay bổ dX j sung cho X = Xo III Áp dụng phân tích mơ hình 1) Mơ hình hàm sản xuất tối ưu kỹ thuật Mơ hình hàm sản xuất tối ưu kỹ thuật Mơ hình hàm sản xuất tối ưu kinh tế Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp Mơ hình thỏa dụng Hành vi doanh nghiệp liên quan tới: -Tình trạng cơng nghệ doanh nghiệp - Các điều kiện thị trường sản xuất, doanh nghiệp với tư cách người mua - Các điều kiện thị trường sản phẩm, doanh nghiệp với tư cách người bán 37 + Mơ hình hàm sản xuất: Để mơ tả tình trạng cơng nghệ doanh nghiệp sử dụng mơ hình hàm sản xuất Mơ hình hóa cơng nghệ: Giả sử với trình độ cơng nghệ có doanh nghiệp sử dụng n loại yếu tố để tạo sản phẩm yếu tố sử dụng mức X1, …,Xn doanh nghiệp thu Q đơn vị sản phẩm Có mối quan hệ mức sử dụng yếu tố mức sản lượng Và quan hệ đặc trưng cho tình trạng cơng nghệ doanh nghiệp Quan hệ mô tả qua hàm số: Q = F(X1,…,Xn) VD1: Với số liệu Việt Nam năm 1986-1995, người ta ước lượng hàm sản xuất: Q = 75114K0.175 L0.904 e0.0124t Q giá trị sản xuất, K vốn, L lao động VD2: Với số liệu nước Áo năm 1951-1955 nông nghiệp người ta ước lượng hàm sản xuất là: Q = 2.439X0.0635 K0.6172 L0.3193 Q giá trị sản xuất, K vốn, L lao động, X nguồn tài nguyên khai thác VD3: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas là: Q = aKα Lβ a,α,β tham số, Q sản lượng, K vốn, L lao động 10 Phân tích tác động yếu tố sản xuất tới sản lượng: + Về mặt ngắn hạn: - Năng suất trung bình yếu tố i: APi  F(X ) Xi  XQ F   X    F  X  cơng nghệ sản xuất gọi tăng quy mơ có hiệu cơng nghệ sản xuất gọi tăng F   X    F  X  quy mơ khơng có hiệu công nghệ sản xuất gọi tăng i - Hệ số thay yếu tố i yếu tố j: Cho hàm sản xuất Q = F(X1, …,Xn) với  X    X , ,  X n  Ta nói quy mơ sản xuất tăng với hệ số     1 F -Năng suất biên yếu tố i: MPi  X i - Độ co giãn Q theo yếu tố i: + Về mặt dài hạn: MPj dX i  dX j MPi F   X    F  X  quy mô không thay đổi hiệu  Để đo hiệu quy mô (tương đối) ta dùng độ co giãn n Q toàn phần Q theo yếu tố: Q    X i 1 VD: Xét hàm sản xuất Cobb-Douglas Q=aKαLβ Khi tăng quy mơ sản xuất lên >1 lần ta có: Q(K, L)= α+βQ, kết sản xuất tăng α+β lần Như hàm này, hiệu việc tăng quy mô sản xuất tùy thuộc vào α+β i 2) Mơ hình hàm sản xuất tối ưu kinh tế Ta đo tính hiệu việc tăng quy mơ sản xuất, mơ hình qua hệ số co giãn toàn phần Q = QK + QL = α+β, tăng K,L thêm tỷ lệ 1% Q gia giảm (α+β)% 11 * Nhắc lại: + Bài toán cực tiểu hóa chi phí:  Bài tốn tìm cực trị: f(x1, x2,…,xn) + Tìm điểm dừng : f  0, i  1, , n xi Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp Q = F(X1, X2,…,Xn) giá yếu tố w1, w2,…, wn + Xét dạng toàn phương d2f Q0 mức sản lượng dự kiến sản xuất  Bài tồn tìm cực trị có điều kiện f(x1,…,xn);  Ta có tốn: (x1,…,xn) = + Lập hàm Lagrăng: L(x1,…,xn,  ) = f(x1, x2,…,xn) + + Tìm điểm dừng:   (x1,…,xn) z= n w X i 1 i i => Min Với điều kiện: F(X1, X2,…,Xn) = Q0 L L 0 0 ;  xi + Lập ma trận Hessian Giải: Lập hàm Lagrăng : n L(X1,…,Xn,  ) =  wi X i i 1 +  ( Q0 - F(X1, X2,…,Xn) )  L  wi F xi  i j  x  0, i  1, , n  i   w j F x j   L   Q  F X1, , X n     + AC  Q   + MC  Q   TC Q TC Q  : chi phí trung bình : chi phí biên + Với hàm tổng chi phí TC(Q, w1, w2,…, wn) xác định wi mơ hình thì: MC  Q    *  ; TC  X * , i  1, , n i ; F Ví dụ: Hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Q = 25K0.5L0.5 Q sản lượng, K: vốn, L: lao động Cho giá vốn pk = 12, giá lao động pL = a Tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q = Qo= 1250 với chi phí nhỏ b Tính hệ số co giãn tổng chi phí theo sản lượng Q0 c Nếu giá vốn lao động tăng 10% với mức sản lượng trước mức sử dụng vốn, lao động tối ưu thay đổi nào? d Phân tích tác động giá vốn, lao động tới tổng chi phí X i wi 12 + Bài tốn tối đa hóa sản lượng Gọi K kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua yếu tố với mức X1, X2,…,Xn để sản xuất giá yếu tố w1, w2,…, wn Giải toán ta có điều kiện cần sau: wi F X i  ,i  j w j F X j Mức sản lượng tương ứng: Q = F(X1,X2,…,Xn) Ta có tốn: Max Q = F(X1,X2,…,Xn) n Với điều kiện: w X i 1 i i K 3) Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp Ký hiệu TR(Q) doanh thu doanh nghiệp cung ứng tiêu thụ thị trường sản lượng Q + Doanh thu biên: MR(Q)  + Doanh thu trung bình:  Nếu doanh nghiệp độc quyền: TR AR(Q)  Q Giá bán phụ thuộc vào mức cung tức p = p(Q)   Q   TR(Q)  TC (Q ) Xác định sản lượng tối đa hóa lợi nhuận ta có toán   Q   max Điều kiện cần tối ưu dTR dTC  dQ dQ Giá bán p biến ngoại sinh nên TR(Q) = pQ Và (*) trở thành: p = MC(Q) dTR dQ + Gọi TC(Q) chi phí tương ứng để sản xuất sản lượng Q + Gọi lợi nhuận là:  Nếu doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo: (*) Ta có: TR = P(Q).Q nên MR = p Q   dp Q dQ Và (*) thành : p  Q   dp Q  MC  Q  dQ 13 Ví dụ: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q2 + hàm tổng chi phí TC = 1/3Q3 – 8,5Q2 Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận VD: Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=f(K,L), pK pL giá vốn lao động, p giá bán sản phẩm Xác định mức sử dụng vốn lao động đạt lợi nhuận cao Với sản phẩm cạnh tranh hồn hảo có mơ hình  = pf(K,L) – pKK – pLL Max Với sản phẩm độc quyền có mơ hình  = p(f(K,L)f(K,L) – pKK – pLL Max Người ta chứng minh được:  *  * Với loại sản phẩm:  K*;   L* p K Với sản phẩm cạnh tranh hồn hảo: Ví dụ: Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có hàm sản xuất Q= K0.5+L0.5, với pK=6, pL=4, p=2 a- Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động để lợi nhuận lớn b- Phân tích tác động giá vốn, giá lao động tới mức lợi nhuận tối đa HD: a- K*=1/36; L*=1/16 b- d/dpK=-1/360 Ý nghĩa hệ số a,b,α,β: Cho S=0 (không có cung)  p=a/b, a/b mức giá tối thiểu mà người sản xuất chấp nhận Cho D=0 (khơng có cầu)  p=α/β, α/β mức giá tối đa người tiêu dùng chấp nhận Giá cân bằng:p    a ,lượng hàng cân bằng: q  b  a  b b 16 Mô cân vĩ mô Bài tập : Hàm cầu loại hàng D=1.5M0.3p-0.2 hàm cung S = 1.4p0.3, M thu nhập, p giá a- Tính hệ số co giãn hàm cầu theo p, theo M b- Xem xét tác động thu nhập M tới giá p HD: a- Hàm cầu có dạng Cobb-Douglas suy Dp=-0.2; DM=0.3 b- Tính p/M>0 (theo cơng thức đạo hàm hàm ẩn từ phương trình S = D) Suy thu nhập tăng giá cân tăng ngược lại +Tiêu dùng dân cư C=C0+β(Y-T); T thuế, Y-T thu nhập khả dụng, 00; 00; 0