cấu trúc đại số

1 Nửa nhóm - Vị nhóm 1.1 Định nghóa • Cấu trúc đại số (X, *) với * phép toán X có tính chất kết hợp gọi nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Một nửa nhóm giao hoán phép toán có tính giao hoán • VÍ DỤ: 1) Tập số tự nhiên ∠ với phép toán cộng thông thường nửa nhóm giao hoán Tập số tự nhiên(với số 0) ∠0 với phép toán cộng thông thường vị nhóm giao hoán 2) Tập số tự nhiên ∠ với phép toán a* b = (a, b) (ƯCLN a b) nửa nhóm giao hoán 3) Tập P(X) tập X với phép toán ∪ ( ∩ ) vị nhóm giao hoán 4) Tập M(X) ánh xạ từ X vào X với phép tóan hợp ánh xạ vị nhóm không giao hoán 1.2 Tích n phần tử nửa nhóm • Trong nửa nhóm (X • ) tích n phần tử a1, a2, …, an X xác định qui nạp sau: a1 • a2 • a3 = (a1 • a2) • a3 a1 • a2 • a3• a4 = (a1 • a2 • a3) • a4 a1 • a2 • … • an–1 • an = (a1 • a2 • … • an–1) • an • Tích n phần tử a1, a2, …, an kí hiệu ∏ a i Nếu nửa nhóm (X,+) n i =1 viết theo lối cộng ta viết dấu tổng thay dấu tích: ∑ a i = a1 + a2 + … + an–1 + an = (a1 + a2 + … + an–1) + an n i =1 1.3 Định lí Giả sử a1, a2, …, an n phần tử nửa nhóm (X, •) Khi a1 • a2 • … • an–1 • an = (a1• … • ai) • (a i+1• … • aj) • … • (am+1• … • an) Chứng minh: Ta chứng minh định lí phương pháp qui nạp theo n Vì (X, •) nửa nhóm nên khẳng định với n = Giả sử khẳng định cho k phần tử ,với ≤ k ≤ n –1, ta phải chứng minh khẳng định với n phần tử phần tử Xét tích x = (a1• … • ai) • (a i+1• … • aj) • … • (am+1• … • an) ta có x = = = = = (a1• …• am)•(am+1• …• an) (giả thiết qui nạp) (a1• …•am)• [(am+1• …•an–1)• an] (định nghóa tích nhiều phần tử ) [(a1• …•am)•(am+1• …•an–1)] • an (tính kết hợp) (a1• …•am • am+1• …• an–1) • an (giả thiết qui nạp) a1 • a2 • … • an–1 • an (định nghóa tích nhiều phần tử ) ฀ Từ khẳng định với n phần tử • Trong nửa nhóm (X • ) ta gọi tích n phần tử a lũy thừa n phần tử a kí hiệu an Từ định lí 1.2 suy qui tắc: am an = am + n (am)n = am n 1.4 Định lí Trong nửa nhóm giao hoán (X, •) tích a1• a2 • … • an–1 • an không phụ thuộc vào thứ tự nhân tử Chứng minh: Ta chứng minh định lí phương pháp qui nạp theo n Vì (X, •) nửa nhóm giao hoán nên khẳng định với n = Giả sử khẳng định cho k phần tử ,với ≤ k ≤ n –1, ta phải chứng minh khẳng định với n phần tử Ta (với σ hoán vị 1, 2, …, n ) a1• a2 • … • an–1 • an = a σ(1) • a σ( 2) • … • a σ( n ) Nếu an = a σ( k ) ta viết vế phải đẳng thức sau nhờ định lí 1.3 tính giao hoán phép toán • : a σ(1) …a σ( k −1) a σ( k ) a σ( k +1) … a σ( n ) a σ( n ) )] = (a σ(1) …a σ( k −1) ) [a σ( k ) (a σ( k +1) … (do an = a σ( k ) tính giao hoán) = (a σ(1) …a σ( k −1) ) [(a σ( k +1) … a σ( n ) )an] ( định lí 1.3) = [(a σ(1) …a σ( k −1) )(a σ( k +1) … a σ( n ) )]an = (a σ(1) …a σ( k −1) a σ( k +1) … a σ( n ) )an ( theo giả thiết qui nạp) = (a1.a2 … an–1).an = a1.a2 … an–1.an ( tính kết hợp) ฀ Nhóm 2.1 Định nghóa • Vị nhóm (X, *) gọi nhóm phần tử X tồn phần tử nghịch đảo Hay nói cách khác, cấu trúc đại số (X, *) gọi nhóm : a) (x * y) * z = x * (y * z) với x, y, z ∈ X b) Tồn phần tử e ∈ X cho e * x = x * e = x với x ∈ X c) Với x ∈ X tồn taïi y ∈ X cho x * y = y * x = e • VÍ DỤ: 1) Tập số hữu tỉ Θ với phép cộng thông thường nhóm Tập số hữu tỉ khác 0, kí hiệu Θ*, với phép nhân thông thường nhóm Tập số thực số phức , ∀ với phép cộng thông thường nhóm Tập số thực số phức khác 0, kí hiệu 3*, ∀*, với phép nhân thông thường nhóm 2) Tập hợp số phức có modul với phép nhân thông thường nhóm 3) Tập hợp gồm hai số , –1 với phép nhân nhóm Tập hợp gồm bốn số 1, –1, i, – i với phép nhân nhóm 4) Với X ≠ ∅, tập S(X) song ánh từ X vào X nhóm phép toán hợp ánh xạ Nhóm gọi nhóm hoán vị tập X 5) Cho {(XI, •)} i∈I họ nhóm Đặt X = ∏ X i = {(xi) i∈I : xi ∈ Xi } laø i∈I tích Descartes họ {Xi} i∈I Với (xi) i∈I (yi) i∈I hai phần tử X, ta xác định tích chúng : (xi) i∈I • (yi) i∈I = (xI • yi) i∈I Khi (X, • ) nhóm, phần tử đơn vị = (1 Xi ) i∈I phần tử nghịch đảo (xi) i∈I (x i−1 ) i∈I Ta gọi X tích Descartes hay tích trực tiếp họ nhóm {(Xi, •)} i∈I • Một nhóm gồm phần tử gọi nhóm tầm thường Một nhóm nói chung có vô hạn hữu hạn phần tử Nếu X có hữu hạn phần tử ta nói X nhóm hữu hạn, số phần tử X gọi cấp nhóm X Các nhóm ví dụ 3) nhóm hữu hạn cấp hai cấp Nếu phép toán X có tính giao hoán ta nói X nhóm giao hoán hay nhóm abel Nhóm ví dụ 4) nhóm không giao hoán • Trong nhóm nhân (X, • ) người ta nói đến lũy thừa phần tử với số mũ số nguyên cách đặt: an n > ⎧ ⎪ an = ⎨ n = ⎪ (a −1 ) −n n < ⎩ 2.2 Các tính chất nhóm Tính chất 1: Phần tử đơn vị nhóm Chứng minh: Giả sử nhóm (X, • ) có hai phần tử đơn vị 1* = 1•1* = 1* ฀ Tính chất 2: Mỗi phần tử nhóm có phần tử nghịch đảo Chứng minh: Giả sử phần tử a nhóm (X, • ) có hai phần tử nghịch đảo b b* b = 1• b = (b*• a) • b = b* • (a • b) = b*• = b* ฀ Tính chất 3: Trong nhóm luật giản ước thực với phần tử, tức từ đẳng thức a • b = a • c hoaëc b • a = c • a kéo theo b = c Chứng minh: Giả sử a, b, c phần tử nhóm (X, •) thỏa mãn đẳng thức a b = a c Nhân bên trái hai vế đẳng thức với a–1, ta có a–1(a b) = a–1(a c), hay (a–1a) b = (a–1a) c, hay 1b = 1c, tức b = c ฀ Tính chất 4: Trong nhóm (X,• ) ta có 1) (a b)–1 = b–1 a–1, tổng quát hơn, (a1 a2 … an–1 an)–1 = a −n a −n 1−1 …a −2 a 1−1 , đặc biệt, (an)–1 = (a–1)n, n ∈ ∠ 2) an am = an+m (an)m = an m Chứng minh: 1) Vì với n, m ∈ (ab)(b–1a–1) = a(bb–1)a–1 = aa–1 = (b–1a–1)(ab) = b–1(a–1a)b–1 = b–1b = 2) Nếu n = m = hiển nhiên Nếu n, m > , công thức suy rừ định lí 1.2 Nếu m , n < an am = (a–1)–n(a–1)– m = (a–1)(–n) + (–m) = (a–1)– (n + m) = an+m (an)m = [(a–1)– n] m = [(a–n)–1]m = (a–n) – m = an m Neáu m < < n (an)m n a a ฀ m = ((an)–1 )– m = ((a–1)n)– m = (a–1)n (– m) = (a–1) – n m = an m ⎧ a n + m a − m (a − m ) −1 = ⎨ n −1 n −1 −m−n ⎩ a (a ) (a ) n + m ≥ n + m < = an + m Tính chất 5: Cho (X, • ) nửa nhóm Khi ba điều sau tương đương: 1) (X, • ) nhóm 2) Với phần tử a, b X, phương trình ax = b phương trình ya = b có nghiệm 3) Trong X tồn phần tử đơn vị trái ( tương ứng: đơn vị phải) phần tử X có nghịch đảo trái(tương ứng: nghịch đảo phải) Chứng minh: (1 ⇒ 2) Ta thấy giá trị x = a–1b nghiệm phương trình Đó nghiệm c nghiệm phương trình, tức ac = ax = b c = x (2 ⇒ 3) Gọi e nghiệm phương trình ya = a Ta e phần tử đơn vị trái Thật vậy, với phần tử b X , gọi c nghiệm phương trình ax = b, ta có eb = e(ac) = (ea)c = ac =b Giả sử a phần tử X, phần tử nghịch đảo trái a nghiệm phương trình ya = e (3 ⇒ 1) Giả sử X tồn phần tử đơn vị trái e phần tử X có nghịch đảo trái Lấy phần tử a X gọi a–1 nghịch đảo trái a (a–1)–1 nghịch đảo trái a–1 Khi ta có aa–1 = e(aa–1) = ((a–1)–1 a–1) (aa–1) = (a–1)–1(a–1 a)a–1 = (a–1)–1(ea–1) = (a–1)–1a–1 = e Mặt khác, với phần tử b X, gọi b–1 nghịch đảo trái (và nghịch đảo phải) b ta có : be = b(b–1b) = (bb–1)b = eb = b Vậy, e phần tử đơn vị X a–1 phần tử nghịch đảo a X ฀ nhóm Nhóm 3.1 Định nghóa • Cho (X, • ) nhóm , H tập X H gọi ổn định (đối với phép toán • X) a • b ∈ H với a, b ∈ H Khi người ta nói rằng, phép toán X cảm sinh phép toán H • Ta nói phận ổn định H nhóm X nhóm X H với phép toán cảm sinh nhóm CHÚ Ý: Nếu H nhóm nhóm (X, • ) phần tử đơn vị X 1X nằm H Thật vậy, gọi 1H phần tử đơn vị nhóm (H,• ) Khi ta có 1H • 1H = 1H 1H • 1X = 1H , từ suy 1H • 1H = 1H • 1X , luật giản ước nhóm ta có 1X = 1H ∈ H 3.2 Định lí (tiêu chuẩn để nhận biết nhóm con) Giả sử H tập khác ∅ nhóm (X, • ) Khi ba điều sau tương đương: 1) H nhóm X 2) ab ∈ H a–1 ∈ H với a, b ∈ H 3) ab–1 ∈ H với a, b ∈ H Chứng minh: (1 ⇒ 2) Vì H phận ổn định nhóm X nên ab ∈H với a, b ∈ H Xét a phần tử H , giả sử a −H1 phần tử nghịch đảo a H a −X1 −1 nghịch đảo a X Khi a −H1 a = 1H = 1X = a X a, luật giản ước nhoùm ta coù a −X1 = a −H1 ∈ H (2 ⇒3) Điều rõ ràng (3 ⇒1) Vì H ≠ ∅ nên tồn phần tử a ∈H, từ theo giả thiết 1X = aa–1 ∈ H Với b ∈ H, gọi b −X1 phần tử nghịch đảo b X, từ 1X ∈ H từ giả thiết suy b −X1 =1X b −X1 ∈ H Bây với a, b ∈H, b–1 ∈ H giả thiết ab = a (b–1)–1 ∈H Điều chứng tỏ • phép toán H, phép toán cho X có tính kết hợp nên (H • ) nửa nhóm Ngòai H có phần tử đơn vị 1H :=1X phần tử a ∈ H có phần tử nghịch đảo a −H1 := a −X1 Từ (H, • ) nhóm ฀ • VÍ DỤ: 1) Cho nhóm (X, • ) Bộ phận {1X} X hai nhóm nhóm X, chúng gọi nhóm tầm thường nhóm X 2) (Θ ,+) nhóm (3 , +) Nhóm số phức có modul nhóm nhóm nhân (∀*, • ) Nhóm ({1, –1}, •) nhóm nhóm ({1, –1, i, –i}, •) 3) Cho (G,• ) nhóm Khi Z(G) = {x ∈ G : xg = gx, với g ∈ G} nhóm giao hoán nhóm G Thật vậy, với a, b ∈ Z(G) với g ∈G ta coù (ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b = g(ab), tức ab ∈ Z(G) Mặt khác, từ ag = ga suy a–1 (ag)a–1 = a–1 (ga)a–1 (a–1a)(ga–1) = (a–1g)(aa–1) ga–1 = a–1g, tức a–1 ∈ Z(G) Tính giao hoán (ZG) rõ ràng Nhóm Z(G) gọi tâm nhóm G 4) Cho (9, +) nhóm nhân số nguyên Đặt n9 = {nk : k ∈ 9} Khi n9 nhóm (9, +) Hơn nữa, nhóm (9, +) có dạng m9 với m số nguyên Thật vậy, n9 nhóm nx – ny = n(x – y) ∈ n9 Bây giờ, gọi H nhóm nhóm (9, +) Nếu H ={0} H = 09 Nếu H ≠ {0} tồn số nguyên k ∈ H với k ≠ Khi – k thuộc H H nhóm Như vậy, H có số dương Gọi m số dương nhỏ H Ta H = m9 Trước hết H ⊂ m9, thật vậy, lấy x phần tử H Từ phép chia ta x = mq + r, với ≤ r < m Nếu < r < m từ r = x – mq ∈ H dẫn đến mâu thuẫn với việc m số dương nhỏ H, ta phải có r = Từ x = mq ∈ m9 Bao hàm thức ngược lại m9 ⊂ H rõ ràng 4) Giao họ nhóm nhóm G nhóm nhóm G Thật vậy, xét họ {Xi} i∈I nhóm (G, • ) X giao chúng Lấy hai phần tử x, y X, x,y ∈ Xi với i ∈I Vì Xi nhóm nên xy–1 ∈ Xi với i ∈I, xy–1 ∈ X Từ định lí 3.2 suy X nhóm G • NHẬN XÉT: Nếu A tập nhóm G, A chứa nhóm G, chẳng hạn G Theo ví dụ 4) giao tất nhóm G chứa A nhóm chứa A Có thể kiểm tra dễ dàng nhóm bé chứa A, tức chứa nhóm chứa A G 3.3 Nhóm sinh tập nhóm • Có đường tổng quát để thu nhóm từ nhóm Xét S tập khác ∅ nhóm (G, •) Ñaët: ε < S > = {a 11 a 22 … a εnn : ∈ S, ε i = ± 1, n ∈ ∠} ε Khi đó, < S > nhóm G nhóm bé chứa S Thật vậy, x, y ∈ < S > rõ ràng xy–1 ∈ < S >, tức < S > nhóm G Gọi H giao tất nhóm G chứa S Vì nhóm H chứa phần tử a ∈ S nên < S > ⊂ H Vì < S > hiển nhiên chứa S nên < S > = H Vậy, < S > nhóm bé G chứa S • < S > gọi nhóm sinh S Ta nói S tập phần tử sinh < S > • Nếu S = {a} < S > gồm tất phần tử có dạng an với n ∈ Trong trường hợp ta thường viết (a) thay cho < {a}> gọi nhóm cyclic G sinh a • VÍ DỤ: 1) Xét nhóm cộng số nguyên (9 , +) Khi (1) = 2) Xét nhóm nhân số phức ( ∀, • ) Khi ( i ) = {1, –1, i, – i } Nhóm chuẩn tắc - Nhóm thương 4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác định nhóm • Cho (G, • ) nhóm, H nhóm a phần tử G Tập hợp tất phần tử ax với x ∈ H gọi lớp kề trái ( hay lớp ghép trái) H G Ta kí hiệu aH • Cho (G, • ) nhóm, H nhóm Trên G ta xác định quan hệ ~ sau x ~ y ⇔ x–1y ∈ H Quan hệ ~ xác định quan hệ tương đương Thật vậy, H nhóm nên x–1x = ∈ H , tức x ~ x (tính phản xạ) Giả sử x y hai phần tử G cho x ~ y, tức x–1y ∈ H Vì H nhóm nên ta có (x–1y)–1 = y–1x ∈ H, tức y ~ x Vậy ~ có tính đối xứng Cuối cùng, giả sử x, y, z ba phần tử G cho x ~ y vaø y ~ z, tức x–1y, y–1z ∈ H Từ H nhóm suy (x– y)( y–1z) = x–1(y y–1)z = x– 1z ∈ H Vậy ~ bắc cầu • NHẬN XÉT: 1) Quan hệ tương đương ~ nói đến chia G thành lớp tương đương Kí hiệu a dùng để lớp tương đương chứa phần tử a, a = aH = {ax : x ∈ H} Thật vậy, giả sử b phần tử thuộc lớp tương đương a , a~b, tức a–1b ∈ H, từ b = a (a–1b) ∈ aH Vậy a ⊂ aH Ngược lại, giả sử b phần tử thuộc aH, tồn phần tử x thuộc H cho b = ax hay x = a–1b, tức a–1b ∈ H Vậy a ~ b từ aH ⊂ a Từ nhận xét 1) suy rằng, hai lớp kề aH bH H G chúng trùng chúng rời 2) Lớp kề aH trùng với H a ∈H Thật vậy, giả sử có aH = H Gọi e phần tử đơn vị G, H nhóm nên e ∈H, từ a = ae ∈ aH = H Ngược lại, giả sử a ∈H, ta aH = H Vì H nhóm nên từ a ∈H suy ax ∈ H với x ∈ H điều có nghóa aH ⊂ H Bây giả sử b phần tử H Vì H nhóm nên a–1 ∈ H a–1b ∈ H, từ b = (a a–1)b = a(a–1b) ∈ aH Vaäy H ⊂ aH • Hoàn toàn tương tự, ta kí hiệu Ha lớp kề phải H G, gồm tất phần tử xa với x ∈ H, trùng với lớp tương đương a chứa phần tử a quan hệ tương đương xác định x ~ y ⇔ xy–1 ∈ H Trong phần sau, không rõ, ta nói lớp kề có nghóa lớp kề trái • Nếu dùng dấu + để kí hiệu phép toán nhóm G, lớp kề trái phải H G viết a + H = {a + x : x ∈ H}; H + a = {x + a : x ∈ H} Còn quan hệ tương đương viết x ~ y ⇔ (– x )+ y ∈ H ; x ~ y ⇔ y + (– x) ∈ H ) 4.2 Mệnh đề Cho G nhóm, H nhóm Khi số phần tử lớp kề aH số phần tử H Chứng minh: Xét ánh xạ H → aH, x a ax Ánh xạ song ánh, rõ ràng tòan ánh, đơn ánh từ ax = ax' suy x = x' (luật giản ước nhóm) Vì G hữu hạn nên H hữu hạn, từ số phần tử H phải số phần tử aH ฀ • Cho G nhóm, H nhóm Số lớp kề rời H G gọi số H G Chỉ số tất nhiên vô hạn Nếu G nhóm hữu hạn, số nhóm hữu hạn Chỉ số nhóm H G kí hiệu (G : H) 4.3 Định lí (Lagrange) Cho G nhóm hữu hạn H nhóm Khi (cấp G) = (G : H) × (cấp H) Chứng minh: Vì G hữu hạn nên số lớp kề (G : H) hữu hạn, G phân hoạch thành (G : H) lớp, số phần tử lớp, theo mệnh đề 5.3, cấp H Từ suy đẳng thức cần chứng minh ฀ • NHẬN XÉT: 1) Định lí Lagrange cấp nhóm nhóm hữu hạn ước cấp nhóm 2) Sau ứng dụng định lí Lagrange Giả sử G nhóm hữu hạn cấp n Khi đó, với x ∈ G ta có xn = e Thật vậy, xét nhóm cyclic G sinh x : H =(x) = {xk, k ∈ 9}.Vì H hữu hạn nên tồn lũy thừa cuả x nhau, chẳng hạn xk = xm (với k > m) Khi đó, xk –m = xm – m = a0 = e Vậy tồn số mũ nguyên dương l cho xl = e Gọi s số nguyên dương nhỏ có tính chất Ta phần tử x0 = e, x, x2, …, xs – khác nhau, phần tử H phần tử Trước hết phần tử nói khác nhau, xk = xm với ≤ m < k ≤ s –1, ta có xk –m = e với < k – m < s, điều mâu thuẩn với giả thiết s Bây giờ, giả sử a phần tử H, tức a = xk với k số nguyên Chia k cho s ta k = sq + r với ≤ r < s Khi a = xk = xsq + r = (xs)qxr = exr = xr Từ suy cấp H s Theo định lí Lagrange s ước n, tức n = sp.Từ xn = xsp = (xs)p = ep = e 4.4 Nhóm chuẩn tắc • Một nhóm H nhóm G gọi nhóm chuẩn tắc xH = Hx với x ∈ G Ta thấy rằng, Ta song ánh, thật vậy, đơn ánh ax = ay x = y (luật giản ước nhóm); toàn ánh với x ∈ G ta có x = Ta(a– x) Từ Ta ∈ S(G) Người ta gọi Ta phép tịnh tiến trái a Bây xét ánh xạ a a Ta từ nhóm (G, • ) đến nhóm (S(G), o) hóan vị tập hợp G Có thể đơn cấu Thật vậy, đồng cấu với a, b ∈ G ta coù Tab(x) = abx = Ta(Tb(x)), đơn ánh Ta(x) = Tb(x), tức ax = bx, luật giản ước ta có a = b Tên gọi ánh xạ Ta lấy từ hình học Euclide Đặt G = 32 = × , ta hình dung G mặt phẳng phần tử G vector Khi với A ∈3 × , ánh xạ TA : G → G, TA(X) = X + A phép tịnh tiến theo vector A thông thường 4) Cho (G, +) (H,+) hai nhóm giao hoán Ta làm Hom(G, H) trở thành nhóm sau Nếu f, g ∈ Hom(G, H) ta xác định f + g : G → H ánh xạ cho (f + g)(x) = f(x) + g(x) với x ∈ G Việc kiểm tra nhóm không khó, phần tử đơn vị đồng cấu x a 0, phần tử nghịch đảo f đồng cấu x a – f(x) 5) Cho H nhóm nhóm G Khi ánh xạ i : H → G, i(x) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc 6) Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G Khi ánh xaï π : G → G/H, π (x) = xH, đồng cấu nhóm từ nhóm G đến nhóm thương G/H Thật vậy, ta có π (xy) = xyH = xH yH = π (x) π (y) Hôn nữa, đồng cấu toàn cấu, gọi tòan cấu tắc 5.2 Ảnh nhân đồng cấu • Cho f : G → H đồng cấu từ nhóm (G, •) đến nhóm (H, •), phần tử đơn vị G H kí hiệu 1G 1H Ta gọi tập hợp Imf = f(G) = {f(x), x ∈ G} vaø Kerf = f –1(1H) = {x ∈ G : f(x) = 1H} ảnh nhân đồng cấu f 5.3 Các tính chất đồng cấu nhóm • Tính chất Hợp hai đồng cấu nhóm đồng cấu nhóm Hơn nữa, hợp hai đẳng cấu đẳng cấu Chứng minh: Giả sử f : (X •) → (Y, •) vaø g : (Y, •) → (Z, •) laø hai đồng cấu nhóm Gọi a, b hai phần tử X Khi go f đồng cấu (go f)(ab) = g(f(ab)) = g [f(a)f(b)] = g(f(a))g(f(b)) = (go f)(a) (go f)(b) ฀ • Tính chất 2: Cho f : (G, •) → (H, •) đồng cấu nhóm; 1G ,1H phần tử đơn vị G H Khi ñoù a) f(1G) = 1H b) f(a– 1) = [f(a)]–1 với a ∈ G Chứng minh: a) Ta có f(1G)1H = f(1G) = f(1G1G) = f(1G)f(1G), từ f(1G) = 1H (luật giản ước) b) Suy từ f(a)f(a– 1) = f(aa– 1) = f(1G) = 1H ฀ • Tính chất 3: Giả sử f : (G, •) → (H, •) đồng cấu nhóm Khi a) Nếu A nhóm G f(A) nhóm H Hơn A chuẩn tắc f (A) chuẩn tắc b) Nếu B nhóm H f –1(B) nhóm G Hơn B chuẩn tắc f –1(B) chuẩn tắc Chứng minh: a) Vì A nhóm nên 1G ∈A, f(1G) = 1H ∈ f(A), tức f(A) ≠ ∅ Giả sử y1, y2 hai phần tử f(A) Khi đó, tồn x1, x2 ∈ A cho y1 = f(x1), y2 = f(x2) Ta coù y1y 2−1 = f(x1) [f(x2)]–1 = f(x1) f(x −2 ) = f(x1x −2 ) Mặt khác, A nhóm G nên x1x −2 ∈ A, y1y −2 = f(x1x −2 ) ∈ f(A) Vậy f(A) nhóm b) Vì B nhóm nên 1H ∈ B, ñoù f(1G) = 1H ∈ B, suy 1G ∈ f –1(B), tức f –1(B) ≠ ∅ Giả sử x1, x2 hai phần tử f –1(B) Khi f(x1), f(x2) ∈ B Ta có f(x1x −2 ) = f(x1) f(x −2 ) = f(x1) [f(x2)]–1 Mặt khác, B nhóm H neân f(x1) [f(x2)]–1 = f(x1x −2 ) ∈ B Từ x1x −2 ∈ f –1(B) Giả sử B chuẩn tắc Với a ∈ f –1(B) x ∈ G, f đồng cấu nên ta có f(x– ax) = f(x–1)f(a)f(x) = [f(x)]–1f(a)f(x) Vì f(a) ∈ B B chuẩn tắc nên [f(x)]–1f(a)f(x) thuộc B Từ suy x–1ax thuộc f –1(B), tức f –1(B) chuẩn tắc ฀ • NHẬN XÉT: Từ tính chất suy rằng, Ker f = f –1(1H) Im f = f(G) nhóm G H, Ker f nhóm chuẩn tắc • Tính chất 4: Giả sử f : (G, •) → (H, •) đồng cấu nhóm Khi a) f đơn cấu Kerf = {1G} b) f toàn cấu Imf = H Chứng minh: a) • Giả sử f đơn cấu Trước hết ta có {1G} ⊂ Kerf f(1G) = 1H Với x thuộc Kerf, ta có f(x) = 1H = f(1G), f đơn ánh nên suy x =1G, từ Kerf ⊂ {1G} • Bây giả thiết Kerf = {1G} giả sử f(x1) = f(x2) với x1, x2 ∈ G Khi ta có f(x1)[f(x2)]–1 =1H, suy f(x1x −2 ) =1H, từ x1x −2 ∈ Kerf = {1G}, tức x1x −2 = 1G hay x1 = x2 Vậy f đơn ánh b) Suy trực tiếp từ định nghóa toàn ánh ฀ • Tính chất 5: Giả sử f : (G, •) → (H, •) đồng cấu nhóm Khi f(an) = [f(a)]n với n ∈ Chứng minh: Qui nạp cho n ∈ ∠, lại sử dụng định nghóa lũy thừa âm ฀ 5.4 Định lí ( đồng cấu nhóm) Cho f đồng cấu từ nhóm G đến nhóm H π : G → G/Kerf toàn cấu tắc từ nhóm G đến nhóm thương G/kerf Khi tồn đồng cấu f* : G/kerf → H cho f = f*o π , tức biểu đồ sau giao hoán: G π f H f* G/Kerf Hơn nữa, f* đơn cấu Im f* = f(G) = Imf Chứng minh: Đặt K = Kerf đồng cấu cần tìm f* : G/K → H, f*(xK) = f(x) • Trước hết f xác định đắn, giả sử xA = yA ta có x– y ∈A = Kerf, từ f(x–1y) = f(x–1)f(y) = [f(x)]–1f(y) = 1H, hay f(x) = f(y) * • f* đồng cấu f*(xA.yA) = f*(xyA) = f(xy) = f(x)f(y) = f*(xA)f*(yA) • f* nhất, giả sử có đồng cấu khác g* : G/A → H cho f = g*o π Khi với xA ∈ G/A ta có g*(xA) = g*( π (x)) = (g*o π )(x) = f(x) = (f*o π )(x) = f*( π (x)) = f*(xA) tức la ø g* = f* • f* đơn ánh, giả sử có f*(xA) = f*(yA), suy f(x) = f(y), từ f(x–1y) = f(x–1)f(y) = [f(x)]–1f(y) = 1H, tức x–1y ∈ Kerf = A, xA = yA • Vì π toàn cấu nên f(G) = (f*o π )(G) = f*( π (G)) = f*(G/K) = Im f* ฀ 5.5 Hệ 1) Với đồng cấu nhóm f : G → H ta có f(G) ≅ G/Kerf 2) Với toàn cấu nhóm f : G → H ta có H ≅ G/Kerf • VÍ DỤ: Với m ∈∠, xét đồng cấu f : (9, +) → (∀*, •), f(k) = cos 2kπ 2kπ , ta + isin m m 2kπ 2kπ , k = 0, 1, 2,…, m –1} = m + isin m m 2kπ 2kπ + isin = 1} = {km, m ∈ } = m9 Kerf = {k ∈ : cos m m coù Imf = f(9 ) = { cos Theo hệ 5.5 f(9 ) ≅ 9m = /m Nhóm cyclic 6.1 Định nghóa • Một nhóm G gọi cyclic, tồn phần tử a ∈ G cho G = (a) = {an, n ∈ 9}, a gọi phần tử sinh G Nếu nhóm cyclic G viết theo lối cộng phần tử x ∈ G có dạng x = na, n ∈ • VÍ DỤ: 1) Nhóm (9, +) nhóm cyclic với phần tử sinh hay –1 Đó phần tử sinh 9, giả sử có a ≠ ± phần tử sinh na ≠ vói n ∈ nên ∉ 2) Nhóm (9m , +) nhóm cyclic với phần tử sinh Chú ý nhóm hữu hạn cấp m 6.2 Cấp phần tử nhóm • Cho (G, •) nhóm Một phần tử a ∈ G gọi có cấp hữu hạn tồn số nguyên k > cho ak = 1G Trong trường hợp ta gọi số nguyên dương nhỏ m cho am = 1G cấp phần tử a, kí hiệu m = ord(a) • Phần tử a ∈ G gọi có cấp vô hạn với số nguyên k ≠ ta có ak ≠ 1G 6.3 Định lí ( phân loại nhóm tuần hoàn) Giả sử G = (a) nhóm cyclic với phần tử sinh a Khi a) Nếu a có cấp n G ≅ (9n , +) b) Nếu a có cấp vô hạn G ≅ (9, +) Chứng minh: Xét toàn cấu f : (9, +) → G, f(k) = ak a) Nếu a có cấp n Kerf = n9, theo hệ 5.5 định lí đồng cấu ta có G ≅ 9n = /n b) Nếu a có cấp vô hạn rõ ràng Kerf = {0}, theo hệ 5.5 định lí đồng cấu ta có G ≅ /{0} ≅ (9, +) ฀ NHẬN XÉT: Từ định lí 6.3 suy nhóm cyclic G mà phần tử sinh có cấp n G nhóm hữu hạn cấp n, cụ thể G = {a0 = e, a, a2, …, an–1}; coøn phần tử sinh có cấp vô hạn G nhóm vô hạn Tác động nhóm lên tập hợp 7.1 Định nghóa: • Cho tập hợp X nhóm G Nói nhóm G tác động lên tập hợp X tồn ánh xạ G × X → X, (g, x) a g.x cho a) e.x = x với x ∈ X, e phần tử đơn vị G b) (g.h).x = g.(h.x), với g, h ∈ G, với x ∈ X • VÍ DỤ: 1) Có thể cho nhóm G tác động lên theo cách sau a) Phép tịnh tiến trái G × G → G, (g, x) a g.x b) Phép tịnh tiến phải G × G → G, (g, x) a xg–1 G × G → G, (g, x) a gxg–1 c) Phép liên hợp Ta ra, chẳng hạn phép liên hợp tác động nhóm, rõ ràng ta có e.x = exe–1 = x vaø (g.h).x = (gh)x(gh)–1 = g(hxh–1)g–1 = g(h.x)g–1 = g.(h.x) 2) Nhóm G tác động liên hợp lên tập tập P(G) theo cách sau: G × P(G) → P(G), (g, A) a gAg–1 = { gag–1, a ∈A} 7.2 Nhoùm ổn định phần tử • Cho nhóm G tác động tập X x ∈ X Khi đó, tập hợp Gx = {g ∈ G : g.x = x} nhóm G, e ∈ Gx nên Gx ≠ ∅ Mặt khác, với g, h ∈ Gx ta có x = g.x = g.(h–1.h.x) = (g.h–1)(h.x) = (g.h–1)x, tức h.g–1 ∈ Gx Ta gọi Gx nhóm ổn định phần tử x ∈ G • VÍ DỤ: 1) Nếu nhóm G tác động lên liên hợp Gx = {g ∈ G : g.xg–1 = x} = {g ∈ G : g.x = x.g} Tập hợp gọi tâm hóa x 2) Nếu nhóm G tác động lên tập P(G) tập nó liên hợp GA = {g ∈ G : g.Ag–1 = A} = {g ∈ G : g.A = A.g} Tập hợp gọi chuẩn hóa A 7.3 Quỹ đạo phần tử • Cho nhóm G tác động tập X x ∈X, tập G.x = {g.x, g ∈ G} gọi qũi đạo phần tử x nhóm G • NHẬN XÉT: Hai qũi đạo hai phần tử x, y X rời trùng Thật vậy, s ∈ Gx ∩ Gy s = gx = g'y với g, g' hai phần tử G Do đo G.s = G.g.x = G.g'.y Vậy, Gx = Gy = Gs Như tập X hợp qũi đạo rời X = U G.x i , xi i∈I phần tử qũi đạo khác nhau, I tập số Nhóm đối xứng 8.1 Định nghóa • Nếu X tập khác rỗng, S(X) tập song ánh từ X lên X phép hợp ánh xạ, S(X) nhóm mà ta thường gọi nhóm đối xứng (hoặc gọi nhóm hoán vị) X Một tính chất lý thú nhóm đối xứng kết sau 8.2 Định lí (Ceyley) Mọi nhóm (G, •) nhóm nhóm đối xứng S(G) Chứng minh: Xét đơn cấu f : G → S(G), f(a) = fa với fa(x) = ax ∀x ∈ G ฀ 8.3 Nhóm đối xứng Sn • Nếu X = {1,2, ,n}, n ≥ 2, nhóm S(X) gọi nhóm đối xứng bậc n kí hiệu Sn Mỗi phần tử σ ∈ Sn gọi phép thế, hay hóan vị {1,2, ,n}, thường viết dạng : ⎛ n ⎞ ⎟⎟ σ = ⎜⎜ ⎝ σ (1) σ (2) σ (n ) ⎠ hay đơn giản hôn σ = ( σ(1) σ( 2) σ( n ) ) 8.4 r - chu trình • Một hóan vị σ ∈ Sn gọi la ø r-chu trình có tập {j1, , jr} gồm r phần tử {1,2, ,n} cho ⎧ σ( ji ) = ji+1 , ∀j = 1,2, , r − 1, σ( jr ) = j1 ⎨ , ∀m ≠ j1 , j2 , , jr ⎩ σ( m ) = m • Tập hợp {j1, , jr} gọi giá r - chu trình σ , thường kí hiệu σ = (j1, , jr) hay j1 → j2 → → jr → j1 • VÍ DỤ: ⎛1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ - chu trình (2,5,3) ⎠ ⎝ • Một 2-chu trình gọi chuyển vị • Hai chu trình (j1, , jr) (h1, , hs) gọi rời {j1, , jr} ∩ {h1, , hs } = ∅ • NHẬN XÉT: 1) Ta xem σ = id 1-chu trình, id = (i), thường viết id = (1) 2) Nếu σ chuyển vị σ = σ –1 3) Tích chu trình rời có tính chất giao hoán 4) Trong r-chu trình σ = (j1, , jr) ta có jk+1 = σ k (j1 ), k = 1, 2, , r –1 8.5 Tính chất 1) (j1, j2, , jr) = (j2, j3, , jr, j1) = … = (jr, j1, , jr–2, jr–1) ⎛ j1 2) (j1, j2, , jr)m = ⎜⎜ ⎝ jm+1 j2 jm+ jr ⎞ ⎟, jm+ r ⎟⎠ hàng jr + h = jk neáu h ≡ k( mod r) 3) ord (j1, j2, , jr) = r Chứng minh: 1) suy từ định nghóa, 2) chứng minh qui nạp 3) suy trực ฀ tiếp từ 2) 8.6 Định lí Mọi σ ∈ Sn phân thành tích số hữu hạn chuyển vị Chứng minh : Ta chứng minh quy nạp theo n Với n = hiển nhiên, giả sử định lí với n –1 Xét σ ∈ Sn giả sử σ (n) = k Gọi ρ chuyển vị (k, n) Suy : ( ρ σ )(n) = n, tức ρσ xem phần tử Sn–1 Theo giả thiết quy nạp ρ σ tích chuyển vị ρ σ = σ σ k Vì ρ = ρ –1 neân : σ = ρ σ σ k ฀ 8.7 Định liù Mọi phần tử Sn phân tích thành tích chu trình đôi rời nhau, phân tích (sai khác thứ tự chu trình) Chứng minh : 1) Sự tồn Ta bắt đầu với dãy 1, σ (1), σ 2(1), …., σ k(1),… (1) n Vì n + số tự nhiên 1, σ (1), σ (1), …., σ (1) thuộc {1, 2, …, n} nên tồn s, t ∈ {0,1, 2, …, n} cho s < t σ s(1) = σ t(1) Nếu đặt m = t – s ∈ {1, 2, …, n} ta có σ m(1) = Vậy tập hợp {q ∈{1, 2, …, n} : σ q(1) = 1} khác rỗng có số bé p Khi p số tự nhiên 1, σ (1), …., σ p–1(1) khác đôi một, tồn taïi s, t ∈{0,1, 2, …, p –1} cho s < t σ s(1) = σ t(1) có σ m(1) = với m = t – s ∈ {1, 2, …, p –1}, trái với tính chất p Như từ dãy (1) ta tìm p - chu trình → σ (1) → σ 2(1) → … → σ p–1(1) → Neáu ∉ (1, σ (1), σ 2(1), …., σ p–1(1)) xét dãy 2, σ (2), σ 2(2), …, σ k(2),… lập luận tương tự trên, từ dãy tìm q - chu trình → σ (2) → σ 2(2) → … → σ q–1(2) → Bằng cách này, sau số hữu hạn bước, ta tìm chu trình rời mà hợp chúng σ 2)Sự Giả sử σ = c1 o c2 o … o cr = d1 o d2 o … o ds hai dạng phân tích σ thành chu trình đôi rời Nếu σ = id khẳng định rõ ràng Giả sử σ ≠ id, tồn i ∈{1, 2, …, n} cho σ (i) ≠ i va ø m ∈ {1, 2, …, r}, k ∈ {1, 2, …, s} cho i thuộc giá chu trình cm giá chu trình dk Do ta hoán vị vòng quanh phần tử chu trình mà không làm thay đổi 1) tồn số tự nhiên p cho cm = dk = ( i, σ (i), …., σ p–1(i)) Lặp lại lí luận tương tự cho chu trình lại, ta suy r = s vaø { c1, c2, … ,cr } = {d1, d2, … ,ds} ฀ ⎛ 8⎞ ⎟⎟ = (1,2,3,7)o(5,8,6) VÍ DỤ: Xét σ = ⎜⎜ ⎝ 6⎠ Ta bắt đầu tìm chu trình → → → → 1, sau bắt đầu với số nhỏ lại , trường hợp 5, không thay đổi, → → → • Cho σ ∈Sn Ta nói cặp ( σ (i), σ (j)) nghịch hoán vị σ (hoặc nghịch σ ) có i < j σ (i) > σ (j) Ta kí hiệu số nghịch I ( σ) σ I( σ ), gọi ε ( σ ) = (–1) kí số σ Ta nói hoán vị σ chẵn(tương ứng: lẻ) ε ( σ ) = 1(tương ứng: ε ( σ ) = –1) 8.8 Hệ Giả sử σ ∈ Sn t1, t2, …, tN chuyển vị {1, 2, …,n} cho σ = t1 o t2 o … o tN Khi đó, ε ( σ ) = (–1)N Như hoán vị chẵn (tương ứng: lẻ) phân tích thành số chẵn (tương ứng: lẻ) chuyển vị Chứng minh: Do 8.7, giả sử σ phân tích cách thành tích chu trình đôi không giao sau σ = (i1 i2 ir)(j1 j2 js) .(m1 m2 mk) (1) Xét ánh xạ ϕ : Sn → , ϕ ( σ ) = (r – 1) + (s – 1) + …+ (k – 1) Hiển nhiên ϕ (1) = ϕ (id) = Ta chứng minh tính chất chẵn, lẻ ϕ ( σ ) tính chất chẵn, lẻ số chuyễûn vị cách phân tích σ thành tích chuyển vị Ta có nhận xét rằng, {a, c1, c2 ch } ∩ {b,d1, dk}ø = ∅ (a c1 c2 …ch b d1 … dk )(ab) = (a d1… dk)(b c1 c2 …ch) vaø (a c1c2 …ch)(b d1 … dk)(ab) = (ad1 …dkb c1c2 …ch) , Từ suy ϕ ( σ o(ab)) = ϕ ( σ ) ± (2) dấu + hay – phụ thuộc vào việc a, b hai chu trình khác nhau, hay chu trình (1) Bây giờ, giả sử σ tích m chuyển vị sau : σ = (ab)(cd) .(pq) (khi ϕ ( σ ) số chuyển vị phân tích).Vì (ab)–1 = (ab) nên σ o(pq) (cd)(ab) = Từ (2) (3) suy : (3) ±4 ±4 12 ± = ϕ(σ) ± 114 m Như vậy, tính chẵn, lẻ ϕ ( σ ) tính chẵn, lẻ m ฀ • VÍ DỤ: Đặt An = { σ ∈Sn : ε ( σ ) = 1}, An nhóm chuẩn tắc Sn cấp An nửa cấp Sn Thật vậy, xét ánh xạ ε : (Sn, o) → ({–1, 1} • ), σ a ε ( σ ) Khi ε toàn cấu nhóm Ker ε = An Vậy An nhóm chuẩn tắc Sn Sn/An ≅ {–1, 1} nên (Sn : An) = Từ theo định lí Lagrange, cấp An nửa cấp Sn Nhóm An gọi nhóm luân phiên BÀI TẬP Cho G = { a,b} phép toán G xác định + a b ⋅ a b a b a b b a a b b a a b a) Chứng minh (G,+),(G,.) nhóm giao hoán b) Ánh xạ đồng id : (G,+)→ (G, ) có phải đẳng cấu nhóm? Cho G = { 1,2,3,4 } phép toán * G xác định * 1 2 3 4 Chứng minh (G,*) nhóm giao hoán Cho G = {1, 2, 3} * phép tóan G Biết cấu trúc đại số (G, *) nhóm Hãy xác định phép tóan * Cho tập số nguyên xác định phép toán m * n = m + n – với m, n ∈ * sau : a) Chứng minh ( ,+) nhóm giao hoán b) Ánh xạ đồng id : (9,+) → (9,*) có phải đẳng cấu nhóm ? Cho G = 3* × * phép toán G xác định (x, y) * (x', y') = (xx', xy' + y) a) Chứng minh ( G ,*) nhóm không giao hoán b) Chứng minh *+ × nhóm G ( *+ tập số thực dương) Cho G = 3* × * phép toán G xác định (x, y) * (x', y') = (xx', xy' + a) b) c) d) y ) x' Chứng minh ( G ,*) nhóm Hãy xác định tâm Z(G) = {a ∈ G : ag = ga với g ∈ G} G Chứng minh 3*×{0}, {1} × 3, Θ* ×Θ nhóm G Chứng minh với k ∈3, tập hợp Hk = {(x, k(x – x–1)), x ∈ 3*} nhóm giao hoán G Cho (G,.) nhóm cho x ∈ G có x2 = Chứng minh G nhóm giao hoán Giả sử (G,.) nhóm có tính chất tồn ba số nguyên dương liên tiếp i cho (ab)i = bi Chứng minh G nhóm giao hoaùn Cho E = {a + b : a,b ∈ Q } Chứng minh a) (E,+) nhóm (R,+) b) (E*, •) nhóm (R*, •), E* = E – {0} 10 Cho (G, •) nhóm, x ∈ G vaø C(x) = {g ∈ G : gx = xg } Chứng minh C(x) nhóm G 11 Cho (G, •) nhóm, x ∈ G Chứng tỏ tập xGx–1 = {xgx-1, g ∈G} nhóm G 12 Cho G nhóm nhóm (∀, +) thỏa mãn : x + ix2 ∈ G với x ∈[0,1] Chứng minh G = ∀ 13 Cho nhóm G hữu hạn cấp sinh S ={x, y} cho x2 = y2 = e xy = yx Hãy xác định tất nhóm G Chỉ G = {e, x, y, xy} 14 Cho nhóm G cấp sinh phần tử x, y cho x4 = y2 = e vaø xy = yx3 Chỉ phần tử xiyj ,với i = 0, 1, 2, vaø j = 0,1 phần tử phân biệt G từ chúng tất phần tử G Xác định tất nhóm G 15 Cho nhóm G cấp sinh phần tử i, j, k cho ij = k, jk = i, ki = j, i2 = j2 = k2 Kí hiệu i2 m Chỉ e, i, j, k, m, mi, mj, mk phần tử phân biệt G Xác định tất nhóm G (Nhóm G gọi nhóm quaternion, người ta viết – 1, – i, –j, – k thay cho m, mi, mj, mk ) 16 Cho nhóm G cấp 12 sinh phần tử x, y cho x6 = y2 = e xy = yx5 Chỉ phần tử xiyj , với i = 0, 1, 2, 3, 4, j = 0,1, phần tử phân biệt G Xác định tất nhóm G 17 Cho (G, • ) nhóm a) Chứng minh (Aut(G), o) nhóm.( o phép tóan hợp ánh xạ) b)Với a ∈ G , xét ánh xạ fa : G → G, fa (g) = aga–1, g ∈ G Chứng minh fa ∈ Aut(G) c) Chứng minh Int(G) = {fa : a ∈G} nhóm Aut(G) d) Chứng minh nhóm H G chuẩn tắc fa(H) = H với fa ∈ Int(G) e) Chứng minh ánh xạ ϕ : G → Int(G), a a fa đồng cấu Ker ϕ = Z(G) = tâm G (xem 6.b) f) Chứng minh ánh G/Z(G) ≅ Int(G) 18 Cho f : ( ,+) → ({–1, 1},• ) , f(n) = (–1)n Chứng minh f toàn cấu nhóm Hãy xác định Kerf 9/Kerf ⎛a b⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ : a,b,d ∈ vaø ad ≠ } ⎝0 d⎠ a) Chứng minh (V, ) nhóm (GL3(2), •) 19 V= { ⎛a b⎞ ⎟⎟ a a, toàn cấu nhóm b) Chứng minh f : (V,•) → (3*, •), ⎜⎜ ⎝0 d⎠ 20 Cho (G, • ) nhóm a phần tử G Chứng tỏ rằng: a) f : (9, +) → (G, • ), f(n) = an, đồng cấu nhóm b) Mọi đồng cấu f: (9, +) → (G, • ) thỏa f(1) = a có dạng f(n ) = an c) Hãy xác định tập End(9,+) = {tự đồng caáu f : (9, +) → (9 ,+ )} 21 Cho (G, • ) nhóm cho f : G → G, f(x) = x3, toàn cấu nhóm Chứng tỏ G nhóm giao hóan 22 Cho (G, • ) nhóm cho tồn số tự nhiên n thỏa mãn tính chất fn : G → G, fn(x) = xn, toàn cấu nhóm Chứng tỏ xn–1y = yxn–1, với x, y ∈ G 23 Cho (G,+) nhóm giao hoán Gọi End(G) tập tự đồng cấu G Trên End(G) xác định phép toán cộng sau : (f + g)(x) = f(x) + g(x) a) Chứng minh (End(G),+) nhóm giao hoán b) Chứng minh End(9,+) đẳng cấu với (9,+) 24 a) Chứng minh tập A = {2n3m , m, n ∈ 9} nhóm nhóm (Θ, •) b) Chứng minh A đẳng cấu với nhóm B = {a + bi, a, b ∈ 9} nhóm (∀, +) 25 Chứng minh nhóm nhóm cyclic nhóm cyclic 26 Chứng tỏ ảnh đồng cấu nhóm cyclic nhóm cyclic 27 Cho (G,•) nhóm cyclic cấp n m ∈ ∠ ứớc n Chứng minh G có nhóm cấp m 28 Chứng minh nhóm cyclic vô hạn có phần tử sinh Tìm tất phần tử sinh nhóm tuần hoàn cấp n 29 Tìm tất tự đồng cấu nhóm nhóm cyclic cấp n 30 Cho (G, • ) nhóm; a, b hai phần tử G f ∈ End(G) Chứng minh a) ord(ab) = ord(ba) b) ord(a) = ord(a-1 ) c) ord(a) bội ord(f(a)) 31 Tìm tất nhóm a) Nhóm cyclic cấp b) Nhóm cyclic cấp 24 32 Chứng minh nhóm có cấp ≤ giao hoán 33 Chứng minh nhóm giao hoán cấp có chứa phần tử cấp nhóm cyclic 34 Chứng minh nhóm thương nhóm cyclic nhóm cyclic 35 Giả sử (G, • ) nhóm cyclic vô hạn có phần tử sinh x Với m ∈ ∠ đặt Hm = { xkm : k ∈ } Chứng minh a) Hm nhóm G b) Nếu m ≠ n Hm ≠ Hn c) Mọi nhóm G có dạng Hm với m số tự nhiên 36 Chứng minh Int(G) (xem 13.) chuẩn tắc Aut(G) 37 Cho (G, • ) nhóm; A B nhóm chuẩn tắc cho A ∩ B = {1} Chứng minh ab = ba , với a ∈ A , b ∈ B 38 a) Cho (G, • ) nhóm giao hoán, H nhóm G Chứng minh G/H nhóm giao hoán b) Cho (G, • ) nhóm, H nhóm chuẩn tắc G Chứng tỏ G/H nhóm giao xyx–1y–1 ∈ H, với x, y ∈ G c)Ta goïi C(G) = { xyx–1y–1, x, y ∈ G} nhóm hoán tử G, phần tử gọi hoán tử Chứng tỏ C(G) nhóm chuẩn tắc G d) Chứng minh G/C(G) giao hoán 39 Cho (G,•) nhóm; A, B nhóm chuẩn tắc G Đặt AB = { ab : a ∈ A ; b ∈ B } Chứng minh a) AB nhóm G b) A nhóm chuẩn tắc AB, A ∩ B nhóm chuẩn tắc B c) AB/A ≅ B/A ∩ B 40 Cho (∀,+) nhóm cộng số phức, (3,+) nhóm cộng số thực ánh xạ f : (∀ ,+) ⎯→ (3, +), f(a + bi) = b ; a,b ∈ a) Chứng minh f toàn cấu nhóm b) Xác định Kerf, ∀/Ker(f) c) Chứng minh ∀/3 41 Một phép đối xứng hình hình học mộõt phép tập hợp X điểm hình bảo toàn khoảng cách Chứng minh tập hợp phép đối xứng hình hình học nhóm phép hợp ánh xạ 42 Kí hiệu ∆3 nhóm đối xứng tam giác gọi nhóm tam giác a) Chứng minh : ∆3 = {1, R, R2, D1, D2, D3 } Trong : - R phép quay tâm O, góc quay 1200 - Di phép đối xứng qua đường cao qua đỉnh thứ i b) Hãy lập bảng toán cho ∆3 Suy raèng : ∆3 ≅ S3