Luận văn ĐỒNG CẤU TRÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN T HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN KHTN 6 SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 1 Giới thiệu về khoa học tự nhiên Câu 1 1 Khoa học tự nhiên nghiên cứu về lĩnh vực nào dưới đây? A Các sự. HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN KHTN 6 SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 1 Giới thiệu về khoa học tự nhiên Câu 1 1 Khoa học tự nhiên nghiên cứu về lĩnh vực nào dưới đây? A Các sự. HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN KHTN 6 SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 1 Giới thiệu về khoa học tự nhiên Câu 1 1 Khoa học tự nhiên nghiên cứu về lĩnh vực nào dưới đây? A Các sự. HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN KHTN 6 SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 1 Giới thiệu về khoa học tự nhiên Câu 1 1 Khoa học tự nhiên nghiên cứu về lĩnh vực nào dưới đây? A Các sự. HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN KHTN 6 SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 1 Giới thiệu về khoa học tự nhiên Câu 1 1 Khoa học tự nhiên nghiên cứu về lĩnh vực nào dưới đây? A Các sự. HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN KHTN 6 SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 1 Giới thiệu về khoa học tự nhiên Câu 1 1 Khoa học tự nhiên nghiên cứu về lĩnh vực nào dưới đây? A Các sự. HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN KHTN 6 SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 1 Giới thiệu về khoa học tự nhiên Câu 1 1 Khoa học tự nhiên nghiên cứu về lĩnh vực nào dưới đây? A Các sự.HƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN CĐề tài ĐỒNG CẤU TRÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Giảng viên hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Hùng Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Tiê.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: ĐỒNG CẤU TRÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Thanh Hùng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Mỹ Tiên MSSV:B1700044 Lớp: SP1701A1 Cần Thơ - 2022 LỜI CẢM ƠN Cảm ơn tất trải qua chặng đường đại học! Cảm ơn người đồng hành ta cách trực tiếp hay gián tiếp! Kết thúc hành trình bước đệm tiến tới hành trình mới! Và chân thành mà nói em xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trường Đại học Cần Thơ dành cho chúng em tất chân tình tri thức Cảm ơn Thầy Nguyễn Thanh Hùng, người hỗ trợ giúp em hoàn thành luận văn sn sẻ Em chúc Thầy gia đình ln khỏe mạnh vui vẻ để tiếp tục hướng dẫn hệ sinh viên Trong q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp không tránh khỏi việc tồn số thiếu sót Em mong nhận đóng góp q báu từ Thầy, Cơ bạn đọc để luận văn em hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! TP Cần Thơ, ngày tháng năm 2022 Sinh viên thực Nguyễn Thị Mỹ Tiên MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC LIÊN QUAN I.1 Phép toán hai I.2 Quan hệ thứ tự I.3 Nhóm I.4 Vành I.5 Mơđun vành giao hốn I.6 Dàn I.7 Đại số Boole CHƯƠNG II ĐỒNG CẤU TRÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ II.1 Đồng cấu nhóm II.2 Đồng cấu vành 10 II.3 Đồng cấu mơđun vành giao hốn 14 II.4 Đồng cấu dàn 17 II.5 Đồng cấu Boole 18 CHƯƠNG III MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG CẤU TRÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 20 III.1 Bài tốn đồng cấu nhóm 20 III.2 Bài toán đồng cấu vành 22 III.3 Bài tốn đồng cấu mơđun 31 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Theo chương trình Tốn bậc đại học, nghiên cứu học phần có nội dung liên quan đến cấu trúc đại số nhóm, vành, mơđun Các cấu trúc có mối liên hệ mật thiết với Trong đó, có phép đồng cấu phương tiện để so sánh hai cấu trúc loại Để tìm hiểu cấu trúc cấu trúc X, ta thường thiết lập đồng cấu cấu trúc X cấu trúc Y quen thuộc Nhận thấy đồng cấu nhóm, đồng cấu vành, đồng cấu mơđun có điểm tương đồng Vì thế, sinh viên sư phạm Toán, sở trang bị tảng kiến thức đại số, em mong muốn làm nghiên cứu tổng hợp phép đồng cấu liên quan cấu trúc đại số để có nhìn tổng thể đồng cấu Chính lí em chọn đề tài “Đồng cấu cấu trúc đại số” cho luận văn tốt nghiệp 2.Mục đích nghiên cứu Trình bày hệ thống hóa số tính chất đồng cấu số cấu trúc đại số Tìm số mối liên hệ đồng cấu cấu trúc đại số Đưa số ví dụ đồng cấu nhóm, đồng cấu vành đồng cấu môđun 3.Phạm vi đối tượng nghiên cứu Luận văn nghiên cứu vấn đề liên quan đến đồng cấu cấu trúc đại số Xây dựng đồng cấu hai cấu trúc đại số loại 4.Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn tài liệu điện tử Phân tích, tổng hợp, hệ thống tài liệu sưu tầm để thực luận văn 5.Nội dung luận văn Luận văn gồm ba phần chính: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Đồng cấu cấu trúc đại số Chương III: Một số toán đồng cấu cấu trúc đại số Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Mỹ Tiên PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC LIÊN QUAN Phép tốn hai ngơi Trong nội dung đây, ta kí hiệu phép tốn f X theo hai lối cộng nhân: +Theo lối cộng:  x, y  f  x, y   x  y +Theo lối nhân:  x, y  f  x, y   xy x  y đọc x cộng y kết gọi tổng x y x y (hay xy ) đọc x nhân y kết gọi tích x y I.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Phép tốn hai ngơi tập X ánh xạ f : X  X  X Với phần tử  x, y   X  X , f  x, y  gọi hợp thành x y , kí hiệu xfy Thơng thường phép tốn hai ngơi f X viết kí hiệu *, , , … I.1.2 Định nghĩa Tập X khác rỗng có trang bị phép tốn hai ngơi f gọi nhóm Khi phép toán f X rõ, ta gọi đơn giản X nhóm I.1.3 Định nghĩa Phép tốn hai ngơi tập khác rỗng X gọi có tính kết hợp x  yz    xy  z với x, y , z  X Phỏng nhóm X có tính chất kết hợp gọi nửa nhóm I.1.4 Định nghĩa Cho X nhóm e  X Phần tử e gọi đơn vị trái (phải) với x  X , ta có ex  x  xe  x  Phần tử e gọi đơn vị e đơn vị trái phải Nửa nhóm X có phần tử đơn vị gọi vị nhóm I.1.5 Định nghĩa Cho X vị nhóm với phần tử đơn vị e x, y  X Phần tử x gọi khả nghịch trái (khả nghịch phải) tồn y  X cho yx  e  xy  e  Phần tử x gọi khả nghịch x khả nghịch trái phải; tức tồn phần tử y  X cho xy  yx  e Phần tử y gọi nghịch đảo x , kí hiệu x 1 Quan hệ thứ tự I.2.1 Định nghĩa Quan hệ X gọi quan hệ thứ tự, kí hiệu dấu  hay  X muốn nhấn mạnh tập X thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tính phản xạ: x  x với x  X (ii) Tính phản đối xứng: x  y  x  y y  x (iii)Tính bắc cầu: 1|Đồng cấu cấu trúc đại số Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Mỹ Tiên x  y  x  z y  z Tập X với quan hệ thứ tự  thường viết  X ,   hay  X ,  X  I.2.2 Chặn chặn Tập A tập X  quan hệ thứ tự X Khi đó: (i) x  X gọi chặn A a  x với a  A (ii) x  X gọi chặn A x  a với a  A (iii)Phần tử bé tập { x  X x chặn A } gọi chặn A, kí hiệu sup A (iv) Phần tử lớn tập { x  X x chặn A } gọi chặn A , kí hiệu inf A (v) Phần tử x  X gọi phần tử lớn A x  A a  x với a  A , kí hiệu x  max A (vi) Phần tử x  X gọi phần tử nhỏ A x  A x  a với a  A , kí hiệu x  A Nhóm I.3.1 Định nghĩa Nhóm tập hợp X khác rỗng với phép toán nhân thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với x, y, z  X , ta có x  yz    xy  z (ii) (iii) Tồn phần tử e  X cho ex  xe  x Với phần tử x  X , tồn phần tử y  X cho xy  yx  e Như vậy, nhóm vị nhóm có phần tử khả nghịch I.3.2 Định nghĩa Nhóm X có tính chất giao hốn gọi nhóm giao hốn nhóm Abel Nhóm X có hữu hạn phần tử gọi nhóm hữu hạn Số phần tử X gọi cấp X , kí hiệu X Ngược lại, X gọi nhóm vơ hạn Nhóm X gọi nhóm xyclic tồn x  X cho x  X I.3.3 Nhóm Một tập khác rỗng H nhóm X gọi phận ổn định X với x, y  H xy  H Lúc H có phép tốn cảm sinh từ phép toán X Cho X nhóm H tập khác rỗng ổn định phép toán X Tập H gọi nhóm X H với phép cảm sinh H lập thành nhóm, kí hiệu HX Nhóm H nhóm X gọi nhóm xyclic tồn phần tử x  H cho x H Nhóm H nhóm X gọi nhóm chuẩn tắc X với x  X , ta có xH  Hx Kí hiệu H X I.3.4 Nhóm thương Cho X nhóm H X Trong tập xH x  X  ta xét phép toán nhân sau: xH yH  xyH , x, y  X 2|Đồng cấu cấu trúc đại số Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Mỹ Tiên Tập xH x  X  với phép tốn nhân lập thành nhóm với phần tử đơn vị eH , phần tử nghịch đảo xH x 1 H Nhóm gọi nhóm thương Kí hiệu X / H I.3.5 Chú ý Trong nhiều trường hợp nhóm giao hốn, phép toán toán cộng " " thay cho pháp tốn nhân " " Khi có số thay đổi kí hiệu tên gọi sau: Nhóm  X , Nhóm  X ,    Tích x y : xy e Phần tử đơn vị: Phần tử nghịch đảo x : x 1 xn Lũy thừa n x : Tổng x y : x y Phần tử không: Phần tử đối x : n lần x : x nx Vành I.4.1 Định nghĩa Cho tập X khác rỗng Trên X trang bị hai phép tốn hai ngơi: Phép cộng    : XX  X  x, y  x y Phép nhân   : XX  X  x, y  xy Tập  X , ,  gọi vành thỏa điều kiện sau: (i) (ii)  X ,   lập thành nhóm Abel  X ,  lập thành nửa nhóm (iii) Phép nhân phân phối hai phía phép cộng: x  y  z   xy  xz  y  z  x  yx  zx Trong x, y, z phần tử X I.4.2 Định nghĩa Vành X gọi vành giao hốn  X ,  có tính chất giao hốn Vành X gọi vành có đơn vị  X ,  có đơn vị, kí hiệu phần tử đơn vị I.4.3 Vành Cho X vành A tập khác rỗng ổn định phép toán cộng nhân vành X Tập A gọi vành X A với hai phép cảm sinh A lập thành vành I.4.4 Ideal Cho X vành A vành vành X 3|Đồng cấu cấu trúc đại số Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Mỹ Tiên (i) Tập A gọi ideal trái X xa  A , với x  X a  A (ii) Tập A gọi ideal phải X ax  A , với x  X a  A (iii)Tập A gọi ideal (ideal hai phía) A ideal trái ideal phải vành X I.4.5 Vành thương Cho X vành A ideal vành X Trong tập X / A   x  A x  A trang bị hai phép toán: Phép cộng:  x  A   x  A   x  y   A lập thành nhóm Abel Phép nhân:  x  A y  A   xy   A (với x, y  A ) Tập X / A với hai phép toán cộng nhân lập thành vành Vành X / A gọi vành thương X theo ideal A Nếu vành X vành giao hốn X / A vành giao hoán Nếu vành X có đơn vị X / A có đơn vị  A Mơđun vành giao hốn Trong tồn mục này, vành R hiểu vành giao hốn có đơn vị  I.5.1 Định nghĩa Một môđun vành R nhóm Abel M (viết theo lối cộng) với ánh xạ R M  M  a, x  ax (ánh xạ thường gọi phép nhân với vô hướng R ) thỏa tiên đề sau: a  x  y   ax  ay  a  b  x  ax  bx  ab  x  a  bx  1x  x  a, b  R; x, y  M  Phép nhân vô hướng R cịn gọi phép nhân ngồi từ R vào M Vành R gọi vành hệ tử hay vành vô hướng Các môđun R cịn gọi R -mơđun Nếu vành hệ tử xác định để đơn giản ta gọi R -môđun môđun I.5.2 Môđun Cho M môđun R A tập khác rỗng M Tập A gọi môđun M A nhóm nhóm cộng M A khép kín phép nhân vơ hướng, nghĩa ax  A, a  R, x  A I.5.3 Môđun thương Cho M môđun R A mơđun M Khi  A,   nhóm chuẩn tắc  M ,   Do ta có nhóm thương M / A Do M nhóm cộng giao hốn nên M / A nhóm cộng giao hoán Để M / A trở thành R -môđun, ta xác định phép nhân vô hướng R sau: R   M / A  M / A  a, x  A  a  x  A   ax  A thỏa tiên đề môđun 4|Đồng cấu cấu trúc đại số Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Mỹ Tiên Nhóm thương M / A trở thành R -môđun Ta gọi mơđun thương mơđun M theo mơđun A M Dàn I.6.1 Định nghĩa Cho tập X khác rỗng Trên X trang bị hai phép toán  gọi hội,  gọi tuyển Tập  X , ,   lập thành dàn thỏa mãn tiên đề sau: (i) Luật lũy đẳng: x  x  x x  x  x với x  X (ii) Luật giao hoán: x  y  y  x x  y  y  x với x, y  X (iii)Luật kết hợp:  x  y  z  x   y  z  x  y   z  x   y  z  với x, y, z  X (iv) Luật hút: x   x  y   x   x  y   x với x, y  X Nếu dàn  A, ,   thỏa mãn thêm luật phân phối: x   y  z   x  y   x  z x   y  z   x  y   x  z với x, y, z  X gọi dàn phân phối I.6.2 Dàn Cho  X , ,   dàn A tập khác rỗng X Tập A gọi dàn X A với hai phép toán X thu hẹp B lập thành dàn, nghĩa x  y  A x  y  A , với x, y  A Đại số Boole I.7.1 Định nghĩa Dàn  X , ,   lập thành đại số Boole thỏa mãn tiên đề sau: (i) Phần tử trung hòa: Tồn hai phần tử 0,1  X cho x   x 1  x với x  X (ii) Phần tử bù: Với x  X , tồn x  X cho x  x  1và x  x  x gọi bù x (iii)Luật phân phối: x   y  z   x  y   x  z x   y  z   x  y   x  z với x, y, z  X I.7.2 Đại số Boole Cho  X , ,   đại số Boole A tập khác rỗng X Tập A gọi đại số Boole X A với hai phép toán X thu hẹp A lập thành đại số Boole Hay thỏa điều kiện sau: (i) Các phần tử trung hòa A tồn (ii) x  y  A x  y  A , với x, y  A (iii) Với x  A có phần tử bù x A 5|Đồng cấu cấu trúc đại số Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Mỹ Tiên CHƯƠNG II ĐỒNG CẤU TRÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ II Đồng cấu nhóm II.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa Cho X , Y nhóm (i) Ánh xạ f : X  Y gọi đồng cấu nhóm f  xy   f  x  f  y  , x, y  X  Ảnh đồng cấu f , kí hiệu Im f tập Y xác định Im f   f  x  x  X   f  X   Hạt nhân đồng cấu f , kí hiệu Kerf tập X xác định   Kerf  x  X f  x   e  f 1  e  (ii) (iii) (iv) Đồng cấu nhóm f : X  X gọi tự đồng cấu nhóm Đồng cấu nhóm f : X  Y gọi đơn cấu nhóm (tồn cấu nhóm, đẳng cấu nhóm) f đơn ánh (tồn ánh, song ánh) Ta có X đẳng cấu với Y tồn đẳng cấu nhóm f : X  Y , kí hiệu X  Y Ví dụ 1.1 Giả sử X , Y hai nhóm tùy ý, ánh xạ X Y x e với e phần tử trung lập Y , đồng cấu gọi đồng cấu tầm thường Ví dụ 1.2 Giả sử A nhóm nhóm X Đơn ánh tắc A X a a đồng cấu gọi đơn cấu tắc Ví dụ 1.3 Cho X nhóm a  X Ánh xạ a : X  X a  axa 1 x tự đẳng cấu X Ví dụ 1.4 Ánh xạ đồng 1X nhóm X đồng cấu gọi tự đẳng cấu đồng X Ví dụ 1.5 Xét ánh xạ từ nhóm nhân số thực dương log : *  *  đến nhóm cộng số thực  x log x Trong log x lơgarit số 10 x Vì log  xy   log x  log y , nên log đồng cấu Đồng cấu song ánh nên đẳng cấu đến nhóm nhân số thực dương Ví dụ 1.6 Xét ánh xạ từ nhóm cộng số thực  x ánh xạ ngược log , đẳng cấu *  10 x 6|Đồng cấu cấu trúc đại số *  ... gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tồn ánh, song ánh) Ta nói M đẳng cấu với N tồn đẳng cấu f : M  N , kí hiệu M  N Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Tập hợp tự đẳng cấu M kí hiệu... nhóm Đồng cấu nhóm f : X  Y gọi đơn cấu nhóm (tồn cấu nhóm, đẳng cấu nhóm) f đơn ánh (tồn ánh, song ánh) Ta có X đẳng cấu với Y tồn đẳng cấu nhóm f : X  Y , kí hiệu X  Y Ví dụ 1.1 Giả sử X... x log x Trong log x lôgarit số 10 x Vì log  xy   log x  log y , nên log đồng cấu Đồng cấu song ánh nên đẳng cấu đến nhóm nhân số thực dương Ví dụ 1.6 Xét ánh xạ từ nhóm cộng số thực  x