CẤU TRÚC NHÓM

(ℕ, +) (ℤ, +) Phép + có tính chất kết hợp Phép + có tính chất kết hợp Tồn phần tử trung lập e = ∈ ℕ: ∀ n ∈ ℕ: + n = n + = n Tồn phần tử trung lập e = ∈ ℤ: ∀ m ∈ ℤ: + m = m + = m ∀ m ∈ℤ , ∃ - m ∈ ℤ: m + (- m) = (- m) + m = GV: Nguyễn Thị Mai Thủy 2.1.1 Định nghĩa Chương CẤU TRÚC 2.1 NHĨM 2.1 NHĨM 2.1.2 Các tính chất nhóm NHĨM 2.1.3 Các định lý tương đương GV: Nguyễn Thị Mai Thủy MỤC TIÊU CỦA BÀI HỌC Nắm vững định nghĩa nhóm Nhận biết tập hợp với phép tốn cho nhóm hay khơng, xác định phần tử trung lập, phần tử đối xứng Nắm vững tính chất nhóm định lý tương đương để nửa nhóm nhóm Vận dụng tính chất định lý tương đương để giải tập có liên quan Chương CẤU TRÚC NHĨM 2.1 NHĨM 2.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm G gọi nhóm G có phần tử trung lập phần tử thuộc G có phần tử đối xứng GV: Nguyễn Thị Mai Thủy (G, +) (G, ) Phép + có tính chất kết hợp Phép có tính chất kết hợp Tồn phần tử trung lập ∈ G: ∀ x ∈ G: + x = x + = x ∀ x ∈ G , ∃ - x ∈ G: x + (- x) = (- x) + x = e ∈ G: Tồn phần tử trung lập ∀ x ∈ G: e.x = x.e = x ∀ x ∈G , ∃ x -1 ∈ G: x.x -1 =x -1 x = e GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Chương CẤU TRÚC NHÓM 2.1 NHÓM * Nếu phép tốn G có tính chất giao hốn ta nói nhóm G nhóm giao hốn hay nhóm aben * Nếu số phần tử nhóm G hữu hạn ta nói G nhóm hữu hạn số phần tử G gọi cấp nhóm G GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Ví dụ Kiểm tra nửa nhóm sau có phải nhóm (ℤ, +) Nhóm aben (ℕ, +) Khơng phải nhóm * (ℕ , ) Khơng phải nhóm * (ℤ , ) Khơng phải nhóm (ℚ, +) Nhóm aben * (ℚ , ) Nhóm aben (ℝ, +) Nhóm aben * (ℝ , ) Nhóm aben GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Ví dụ Trên G = {0, 1, 2} phép toán cộng ⊕ cho bảng sau: ⊕ 0 1 2 (G, ⊕) nhóm aben GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Ví dụ Xét quan hệ ≡ (mod 3) tập số nguyên ℤ: ≡ (mod 3) quan hệ tương đương , ký hiệu ℤ3 (ℤ3, ⊕) nhóm aben (ℤ3 ,⊗) khơng phải nhóm GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Ví dụ Trên tập số nguyên ℤ ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: ∀a, b ∈ ℤ : a ⊕ b = a + b + 1, a ⊗ b = a + b + ab (ℤ, ⊕) nhóm cộng aben (ℤ ,⊗) khơng phải nhóm GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Ví dụ (nℤ, +) nhóm aben * * * Ví dụ Xét ℤ x ℝ ={(z, n)| z ∈ ℤ, r ∈ ℝ } Trên ℤ x ℝ xác định phép toán * đẳng thức sau: (z, r) * (z’, r’) = (z + z’, rr’) * ℤ x ℝ nhóm aben với phần tử trung lập (0, 1) GV: Nguyễn Thị Mai Thủy   Ví dụ Ký hiệu phép quay tâm O chiều kim đồng hồ với góc quay hình vng là, , ,           , , , với phép hợp thành ánh xạ nhóm aben GV: Nguyễn Thị Mai Thủy           , , , với phép hợp thành ánh xạ nhóm khơng aben, gọi nhóm đối xứng hình vng GV: Nguyễn Thị Mai Thủy 2.1.2 Các tính chất nhóm Định lý Giả sử (G, ) nhóm Khi đó: Phần tử đơn vị Với x ∈ G, phần tử nghịch đảo x e -1 -1 =e   ∀ x, y, z ∈ G, xy = xz (hoặc yx = zx) ⇒ y = z (luật giản ước) ∀ a, b ∈ G, phương trình ax = b, xa = b có nghiệm G (xy) -1 -1 -1 = y x , ∀ x, y ∈ G GV: Nguyễn Thị Mai Thủy (G, +) (G, +) (G, ) (G, )      Quy ước: ,   Như vậy, ∀ x ∈ G, ∀ m ∈ ℤ:  Quy ước: 0.x=0   Như vậy, ∀ x ∈ G, ∀ m ∈ ℤ: Khi đó: ∀ m, n ∈ ℤ , Khi đó: ∀ m, n ∈ ℤ , m n m+n mn m.n x x =x (x ) = x mx + nx = (m+n)x n(mx) = nmx 2.1.3 Các định lý tương tương Định lý Cho (G, ) nửa nhóm Các mệnh đề sau tương đương: G nhóm G có đơn vị trái phần tử x có nghịch đảo trái G có đơn vị phải phần tử x có nghịch đảo phải GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Định lý Cho (G, ) nửa nhóm khác rỗng (G, ) nhóm ∀ a, b ∈ G, phương trình ax = b ya = b có nghiệm Ví dụ Cho nửa nhóm khác rỗng (G, ) Với a∈ G, ký hiệu: aG = {ax | x ∈ G} Ga = {xa | x ∈ G} Chứng minh G nhóm ∀ a ∈ G: aG = Ga = G GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Ví dụ Chứng minh nửa nhóm khác rỗng hữu hạn (G, ) nhóm luật giản ước thực với phần tử G GV: Nguyễn Thị Mai Thủy CỦNG CỐ  Cấu trúc nhóm  Các tính chất nhóm  Các định lý tương đương GV: Nguyễn Thị Mai Thủy Thank you!