(SKKN HAY NHẤT) về cấu trúc nhóm trong phương trình hàm môn Toán THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "CẤU TRÚC NHÓM TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A ĐẶT VẤN ĐỀ Đối với học sinh trường chuyên việc tìm hiểu, đào sâu kiến thức lời giải toán cần thiết Thức tiễn giảng dạy trường THPT chuyên Lam Sơn nhận thấy tốn xác định phương trình hàm học sinh vấn đề khó Đây mảng mà SGK THPT đề cập đến Nếu dùng kiến thức sơ đẳng nhóm tốn học cao cấp để tìm hiểu vấn đề giải số trường hợp hiệu Cấu trúc nhóm xuất tự nhiên tốn sơ cấp Ví dụ đơn giản cấu trúc tập số nguyên, số hữu tỷ, số thực số phức Đây nhóm giao hốn vơ hạn Ví dụ hiển nhiên nhóm hữu hạn (nói chung khơng giao hốn) xuất lý thuyết số, tổ hợp đại số Trong đại số có hướng khai thác dựa vào cấu trúc nhóm để giải phương trình hàm Các nhóm thường : Một tập phép biến đổi miền với phép hợp thành (phép tạo thành hàm hợp) lập thành nhóm hữu hạn Khái niệm hàm hợp học sinh học chương trình SGK lớp 11 Do em học sinh hồn tồn hiểu sở lí luận, chất vấn đề dùng đến cấu trúc nhóm để giải phương trình hàm Để phần giúp em nắm thêm phương pháp giải phương trình hàm (bằng cách dùng cấu trúc nhóm) chúng tơi chọn đề tài: ”Cấu trúc nhóm phương trình hàm” Ngồi sáng kiến kinh nghiệm đề cập thêm dạng khác tốn phương trình hàm dạng thường gặp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm bốn phần: Kiến thức sở Các tốn minh họa cấu trúc nhóm phương trình hàm Một số dạng khác phương trình hàm thường gặp Kết thực nghiệm đề tài LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Kiến thức sở Phép hợp thành hàm số: Giả sử hai hàm thoả mãn miền xác định chứa miền giá trị ta gọi hợp thành hàm số f g hàm số, kí hiệu xác định : Nói chung lại có tính kết hợp tức phép hợp thành hàm số khơng có tính giao hốn Khái niệm hàm lặp: Phép hợp thành có hàm lặp (2 lần) Chẳng hạn gọi phép lặp lần ta Mở rộng khái niệm hàm lặp n lần có: quy nạp có 3.Tập hợp hàm số thành hàm số nếu: + (gi : D ) lập thành nhóm phép hợp + + Với gi cho: Số phần tử G gọi cấp G Bài toán xác định phương trình hàm: Cho R tập G nhóm hữu hạn có cấp với phép toán hợp thành Cho trước hàm gồm hàm Phương trình hàm quan tâm là: (1) với f hàm cần tìm Cụ thể hơn, với x biến hàm f, ta có phương trình hàm Để giải phương trình ta thay x Khi ta nhận hệ phương trình tuyến tính với hệ số hàm , hệ số tự gồm hàm ẩn hàm Chú ý điều kiện cần đủ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com để nghiệm f0 , fn-1 hệ phương trình suy nghiệm phương trình (1) với i = 0,1,2, , n-1 Chú ý : Cách giải phương trình (1) giúp ta biết phương trình có nghiệm hay vơ số nghiệm Trường hợp hệ có vơ số nghiệm xảy ta thay biến vào phương trình hệ Ví dụ, xét phương trình hàm: Theo cách trên, ta thay x –x phương trình ban đầu khơng có phương trình Nghiệm phương trình F(x) hàm lẻ Cấu trúc nhóm hay xuất phương trình hàm (1)? Thơng thường nhóm G nhóm giao hốn hữu hạn G sinh song ánh với tính chất ánh xạ đồng D, ta lấy hợp thành n lần g Khi đó, Trong trường hợp này, lời giải tốn hồn tồn phụ thuộc vào ánh xạ g Để thiết lập tốn phương trình hàm dạng này, ta tìm nhóm G cụ thể xây dựng hàm g Ý tưởng xây dựng ánh xạ g chia R thành khoảng rời (tạm thời bỏ qua điểm đầu mút) Một ví dụ đoạn có dạng (k,k+1) với Hàm g song ánh từ khoảng vào khoảng khác, luân phiên n khoảng Ví dụ, ta chia , Ta xét hàm Khi rõ ràng g: song ánh Hay gặp trường hợp gi hàm phân tuyến tính Để sử dụng phương trình hàm (1), ta xét hàm phân tuyến tính xoắn, nghĩa tồn số nguyên dương n cho Để áp dụng, ta xét g hạn chế miền Cụ thể hơn, , điểm mà không xác định Bằng cách lấy hợp thành hàm phân tuyến tính thích hợp trên, ta nhận nhóm hữu hạn, chí khơng giao hốn Thích hợp theo nghĩa hợp thành hàm hàm phân tuyến tính xoắn Ví dụ, xét hàm , nhóm giao hốn cấp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com II Các tốn minh họa cấu trúc nhóm phương trình hàm Bài 1: Tìm hàm cho Phân tích Nếu đặt làm thành nhóm Với phép biến đổi từ phương trình hàm cho có hệ: Suy Lời giải: Thay x ta có Từ (1) (2) suy Bài 2: Tìm hàm số f xác định thoả mãn Phân tích Nếu đặt Khi g3og2 = g1& lập thành nhóm với phép biến đổi từ phương trình hàm cho ta có: Lời giải: Đặt Hay Kết hợp với (1) ta có (2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (1) thay x ta có (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ: Giải ta có: Bài 3: Giải phương trình hàm : Phân tích Nếu đặt (1) (x ) , lập thành nhóm Từ phương trình hàm cho có hệ: Suy : Lời giải: Đặt Kết hợp với (1) ta có: (2) Đặt Đặt kết hợp (1) suy kết hợp (1) suy (4) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (1); (2); (3); (4) có hệ: Giải ta có Bằng phương pháp giải lớp phương trình hàm mà việc tìm hàm gi cho lập thành nhóm phép hợp thành hàm số mấu chốt Đối với học sinh trình bày lời giải em khơng cần đưa nhóm G Việc diễn đạt trình bày dạng phép đặt (đặt hàm tức tìm gi làm ngồi nháp) Bài 4: (Putnam 1971) Tìm tất cầm số thoả mãn với Phân tích Ký hiệu D = R \ 0,1 Xét hàm thoả mãn với x  D (Ta tìm g3 cách lấy ) Dễ dàng chứng minh: Khi lập thành nhóm Lời giải: Phương trình hàm ban đầu viết lại Ký hiệu: Khi đó, thay x g (x) g3 (x) ta nhận hệ phương trình: Hệ có nghiệm: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thử lại điều kiện trình hàm ban đầu là: ta thấy thoả mãn Vậy nghiệm phương Bài Tìm tất hàm giá trị phức thoả mãn: với Phân tích Giả sử thoả mãn phương trình hàm Khi đó:  ( z )  z  (1  z )   z   (1  z )  (1  z )  ( z )   z Ở g1 =z;g2=1-z lập thành nhóm Lời giải: Từ hệ suy Từ Các giá trị (z1), với  (z2) cần thoả mãn điều kiện Bài Tìm tất hàm số Phân tích Đặt thoả mãn Ta thấy Ta nghĩ đến tìm hàm g cho với Khi ta có Phương trình ban đầu viết lại LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Giải tương tự trước, ta được: Thử lại trực tiếp vào phương trình ban đầu ta suy nghiệm Bài Tìm tất hàm số Phân tích Xét xác định Ta có thoả mãn Phương trình ban đầu viết lại Lời giải: Đặt ta hệ phương trình Giải hệ phương trình ta Bằng cách thử trực tiếp vào phương trình ban đầu ta suy nghiệm Bài Tìm tất hàm số Phân tích Xét thoả mãn: Ta có Đặt Phương trình ban đầu viết lại Lời giải: Lần lượt thay x trình vào phương trình ta hệ phương LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải hệ ta Bằng cách thử lại ta suy nghiệm phương trình ban đầu Bài (IMO shortlist 2001 (Czech)) Tìm tất hàm số thoả mãn: Lời giải: Điều kiện cần Giả sử Cho y = ta có Giả sử - Trước hết Nếu - Nếu với Khi ký hiệu Ta miêu tả tập G Khi dễ thấy - Nếu Do cách khác hàm thoả mãn phương trình hàm thay y = x -1 vào phương trình hàm ta Từ ta suy hay G đóng phép lấy nghịch đảo Nói nên - Nếu x  G, thay x x2 y = x -1 ta được: (x)( (x2) - (x -1)) = (x2 – x -1) (x2) (x -1) Dẫn đến Do Nói cách khác, x2  G Kết hợp với khẳng định ta suy G đóng phép nhân Điều kiện đủ: Dễ thấy hàm  = thoả mãn phương trình hàm Giả sử tập đóng phép nhân phép lấy nghịch đảo Khi định nghĩa hàm sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hàm  nghiệm phương trình hàm tốn Thật vậy, ta có Giả sử Nếu ta có Nếu ta có Tóm lại hàm  định nghĩa nghiệm phương trình hàm ban đầu Vậy nghiệm phương trình hàm ban đầu hàm  = hàm số có dạng: Trong G  R tập đóng phép nhân lấy nghịch đảo Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm hàm nếu: a b Bài 2: a Xác định hàm nếu: b Xác định hàm số nếu: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com c Tìm hàm số nếu: Bài 3: a Xác định hàm nếu: b Xác định hàm c Xác định hàm với cho trước III Một số dạng khác phương trình hàm thường gặp: Ngồi cách sử dụng cấu trúc nhóm để giải lớp phương trình hàm đề cập thêm dạng khác phương trình hàm dạng thường gặp Dạng 1: Xác định phương trình hàm phép chọn giá trị đặc biệt Từ giả thiết mà hàm số thoả mãn , chọn giá trị x thích hợp, xác định giá trị hàm điểm đặc biệt Từ nhờ mối quan hệ, đặc điểm đẳng thức (hay điều kiện) mà hàm thoả mãn, xác định giá trị hàm điểm khác thử lại Bài 1: Xác định hàm số thoả mãn: Lời giải: Cho Cho Do từ Vậy từ hay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho từ (1) ta có: Từ hay (2) mà Từ (2) (3) suy Thử lại: Với mãn (1) ta có thoả Vậy hàm cần tìm Bài 2: Xác định hàm thoả mãn Lời giải: Thay x Từ (2) có: Thay (3) , y từ (2) có: ; y từ (2) có: hay Thay hay Từ (3) ; (4) ; (5) có hệ: Giải có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thử lại: Dễ thấy hàm thoả mãn (1); (2) Bài 3: Xác định hàm thỏa mãn: Lời giải: Có Xét hàm Cho y = từ (1) ta có : Cho từ (1) ta có: Suy ra: hay Khi đó: Từ đó: Hay Thử lại dễ thấy hàm Bài 4: Cho thoả mãn (1) Xác định hàm thoả mãn Lời giải: Hồn tồn giả sử Cho từ (1) suy Suy ra: Cho từ (1) suy Từ đó: Suy f hàm Đặt f(x) = A Từ (*) suy Do đó: + Nếu A=0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Nếu A tùy ý Thử lại: Dễ thấy trường hợp thoả mãn (1) Bài 5: Xác định hàm thoả mãn Lời giải: Cho x = y = 0, từ (1) có: f(0) = Cho y = 0, từ (1) có: x f(x) = f(x)2 nên Cho , từ (1) ta có: Do Nếu (2) theo (2), nên: (*) nên phải có: Tức ln có : Thay x (-x), từ (1) suy Từ đó: ( theo (1)) Suy ra: nên Do : Do Suy nên Theo (2) Thử lại: Cả hàm , nên hoặc thoả mãn (1) Với hàm xác định tập (thực chất dãy ) xác định phương trình hàm kết hợp phương pháp chọn trị đặc biệt phương pháp qui nạp Bài 6: Xác định hàm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Cho Cho Cho , từ (1) có: nên Từ (1) có: Từ (1) suy Ta có: Ta chứng minh qui nap rằng: (*) Rõ ràng (*) với n = 0; 1; 2; Giả sử (*) đến ta có Nên: Do (*) với Vậy Với hàm xác định (dãy số) vấn đề xác định công thức tổng quát dãy đề cập nhiều tài liệu Việc xác định cơng thức tổng qt cịn giải theo phương pháp khác dựa vào phương trình đặc trưng, phương pháp lùi dần số hạng kết hợp với qui nạp Dạng 2: Xác định phương trình hàm cách vận dụng khéo léo, triệt để liên hệ đồ thị, tính chất hàm số (tính liên tục, tính đơn ánh, đơn điệu, tính khả vi, khả tích, tính có giới hạn, tính chia hết, tính chẵn, lẻ ) Với dạng khơng có phương pháp chung để giải Việc tìm lời giải phụ thuộc vào “tình tiết” tốn Chúng ta xét số ví dụ sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 1: Xác định phương trình đường cong đối xứng với đồ thị qua đường Lời giải : Gọi điểm đồ thị hàm số cần tìm Suy điểm đối xứng A qua đường y = Ta có thuộc đồ thị hàm số cần tìm : Do phương trình đường cong cần tìm Bài 2: Xác định phương trình đường cong đối xứng với đồ thị qua Lời giải: Gọi điểm thuộc đồ thị hàm số cần tìm , suy điểm đối xứng với M qua ta có: thuộc đồ thị hàm số cần tìm : Vậy hàm cần tìm có dạng Bài 3: Xác định hàm Lời giải: Để ý tích), tức liên tục thoả mãn nguyên hàm hàm [0;1] (do có: liên tục nên khả Suy đồng biến [0;1] Do mà Do Suy ra: (do , nên ) Với đặt Chứng tỏ Bài 4: Xác định hàm Vậy , tăng từ thoả mãn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Từ (1) suy (theo (1)) hay f tăng nên đơn ánh , suy : Thử lại: Do hàm thỏa mãn (1) Vậy hàm cần tìm là: (bài chọn giá trị đặc biệt) Bài 5: Chứng minh không tồn hàm f liên tục thoả mãn: Lời giải: Nhận xét, đơn ánh Do f(x) liên tục, đơn ánh nên đơn điệu Lại có đơn điệu tăng, nên (mâu thuẫn) , f suy f suy Vậy không tồn hàm f thoả mãn đề Bài 6: Xác định hàm liên tục thoả mãn Lời giải: Ta có Xét hàm Có liên tục Ta lại có: nên hàm chẵn Ta có Bằng qui nạp, ta có với Do , tuỳ ý ta có Vậy Từ : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thử lại dễ thấy hàm số thỏa mãn (1) Bài tập vận dụng: Bài 1: Xác định hàm thoả mãn: Bài 2: Xác định hàm thoả mãn: Bài 3: Tìm hàm cho Bài 4: Tìm hàm thoả mãn Bài 5: Xác định hàm thoả mãn: Bài 6: Xác định hàm thoả mãn: hai điều kiện a) b) Bài 7: Xác định hàm f; g nếu: Bài 8: Xác định hàm thoả mãn hai điều kiện: a) b) Bài 9: Xác định hàm tăng thực thoả mãn hai điều kiện a) b) Nếu Bài 10: Xác định a) b) Nếu giỏi PTTH 1995 - 1996) phương n phương thoả mãn hai điều kiện (Học sinh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 11: Tìm hàm thoả mãn đồng thời điều kiện: a) b) Bài 12 Cho xác định thoả mãn a) b) Xác định hàm III Kết thực nghiệm Tiến hành kiểm tra đối tượng : Học sinh lớp 11S –THPT chuyên Lam Sơn trước sau học chuyên đề Đề kiểm tra số (Trước học chuyên đề) Thời gian: 45’ Bài 1: Xác dịnh phương trình đường cong đối xứng với đồ thị qua đường thẳng Bài 2: Xác dịnh hàm số thỏa mãn: Đề kiểm tra số 2( Sau học chuyên đề) Thời gian: 60’ Bài 1: Xác dịnh phương trình đường cong đối xứng với đồ thị: qua đường thẳng Bài 2: Tìm hàm nếu: Bài 3: Xác định hàm thoả mãn: Lời giải đề kiểm tra xin không nêu Kết thực tế sau: Sĩ số: 35 em Điểm