Giáo trình sóng gió phần 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI SÓNG GIÓ VŨ THANH CA HÀ NỘI – 11/2010 Giới thiệu tác giả Giáo trình Sóng gió PGS TS Vũ Thanh Ca biên soạn Tiếng Anh với GS J.A Battjes Đại học Công nghệ Delft năm 2002 khuôn khổ dự án Nâng cao Năng lực ngành Kỹ thuật Bờ biển trường Đại học Thuỷ lợi Từ năm 2006 giáo trình dịch Tiếng Việt dùng làm tài liệu giảng dạy cho ngành Kỹ thuật Bờ biển trường Đại học Thuỷ lợi PGS TS Vũ Thanh Ca tốt nghiệp Đại học Quốc gia Hà Nội chuyên ngành Hải dương học năm 1980 Sau tốt nghiệp đại học, ơng có thời gian phục vụ qn đội sau cơng tác Trung tâm Khí tượng Thuỷ văn Biển Năm 1990 ơng sang học nhận Thạc sĩ Kỹ thuật Bờ biển Học viện công nghệ Châu Á Từ năm 1990 đến 1994, ông làm nghiên cứu sinh ngành Kỹ thuật Môi trường Đại học Saitama (Nhật Bản) Sau nhận Tiến sĩ, TS Vũ Thanh Ca lại giảng dạy trở thành Phó giáo sư Đại học Saitama năm 1996 Năm 2002 ông trở cơng tác Trung tâm Khí tượng Thuỷ văn Biển, sau Viện Khoa học Khí tượng, Thuỷ văn Môi trường Từ năm 2008 ông đảm nhận chức vụ Viện trưởng Viện Nghiên cứu, Quản lý Biển Hải đảo thuộc Tổng cục Biển Hải đảo PGS TS Vũ Thanh Ca hoạt động rộng có nhiều viết xuất lĩnh vực động lực học sông, cửa sông ven biển; vận chuyển bùn cát; cấu trúc rối, truyền nhiệt, quan trắc mô hình hố lớp biên khí PGS TS Vũ Thanh Ca tham gia giảng dạy mơn học Sóng Gió cho ngành Kỹ thuật Bờ biển Đại học Thuỷ lợi Địa liên hệ: PGS TS Vũ Thanh Ca Viện Nghiên cứu Quản lý Biển Hải đảo 28 Phạm Văn Đồng, Dịch Vọng, Cầu Giấy, Hà Nội Điện thoại: (04) 3761 8216 E-mail: ca_vuthanh@yahoo.com LỜI GIỚI THIỆU CHO LẦN XUẤT BẢN THỨ NHẤT Giáo trình Sóng Gió biên soạn dùng cho sinh viên năm thứ ba ngành Kỹ thuật Bờ biển, Trường đại học Thuỷ lợi Giáo trình dùng để giảng dạy cho chương trình sau đại học ngành liên quan Ngồi ra, sách dùng làm tài liệu tham khảo cho nghiên cứu sóng gió phục vụ cho khai thác bảo vệ nguồn lợi biển Giáo trình biên soạn với tài trợ Chính phủ Hà Lan khuôn khổ Dự án HWRU/CE Tác giả xin chân thành cảm ơn GS J.A Battjes góp ý cho nội dung giáo trình Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến nhiều người khác GS.TS Lê Kim Truyền - Hiệu trưởng Trường đại học Thuỷ lợi, PGS.TS Vũ Minh Cát, GS K d’Angremond, TS Van de Graaf, ông K Pilarczyk, TS J van Dijk, cô Van der Varst nhiều đồng nghiệp khác Trường đại học Thuỷ lợi giúp đỡ hỗ trợ nhiệt tình cho việc biên soạn chỉnh lý giáo trình CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CHUNG 1.1 Mục đích nội dung giáo trình Giáo trình có mục đích trình bày cách tương đối chi tiết vấn đề liên quan tới việc tạo ra, lan truyền, biến dạng tiêu tán sóng gió Nội dung giáo trình nằm trung gian giáo trình lý thuyết sở giáo trình thực hành dành cho kỹ sư Lý thuyết tốn học tuyến tính sóng tiến hình sin phương pháp thống kê mơ tả sóng gió trình bày chi tiết chúng cung cấp sở để hiểu q trình sóng Các q trình sóng khác trình bày sơ lược chúng q phức tạp (như mơ hình số trị lan truyền biến dạng sóng vùng ven bờ), lý thuyết tốn học chúng khơng tồn (thí dụ tượng sóng vỡ) Sinh viên học giáo trình cần có kiến thức giải tích học chất lỏng Tuy nhiên, để giúp đỡ sinh viên hiểu phương trình động lực học sóng, phương trình cần thiết học chất lỏng rút phân tích Chương 1.2 Sóng đại dương Sóng sức căng mặt ngịai Sóng ngọai trọng lực Sóng gió sóng lừng Sóng chu kỳ dài Năng lượng sóng (tỷ lệ ước định) Rất khó tìm thấy mặt nước thống tự nhiên mà khơng có sóng Các sóng thể lực tác động lên mặt nước, chống lại lực có xu hướng giữ cho mặt nước nằm ngang trọng lực sức căng mặt ngồi Các lực lực gây nên gió giật, hay lực gây nên đá rơi xuống mặt nước Các lực tạo sóng, trọng lực sức căng mặt làm cho sóng lan truyền Tần số (vịng/s) Hình 1: Sơ đồ phân bố lượng sóng theo tần số (Massel, 1996) Nói chung, sóng đại dương phân chia thành loại: sóng âm, sóng sức căng mặt ngồi, sóng trọng lực, sóng nội sóng có quy mơ hành tinh Sóng âm gây tính nén nước biển Sóng trọng lực lực trọng trường tác động lên hạt nước bị dịch chuyển khỏi vị trí cân bề mặt biển bề mặt đẳng địa bên chất lỏng phân tầng (sóng mặt hay sóng nội) Tại bề mặt tiếp xúc khí nước, kết hợp rối gió lực căng mặt ngồi tạo sóng sức căng mặt với tần số lớn Mặt khác, sóng có quy mơ hành tinh hay sóng Rossby tạo biến đổi độ xoáy tình trạng cân bằng, gây thay đổi độ sâu vĩ độ Tất dạng sóng xảy đồng thời, tạo dạng dao động phức tạp Bảng 1.1: Chu kỳ chế thành tạo loại sóng khác Dạng sóng Sóng sức căng mặt ngồi Sóng gió Sóng lừng Sóng đập Seiche Cộng hưởng cảng Tsunami Nước dâng bão Sóng triều Cơ chế vật lý thành tạo Sức căng mặt ngồi Ứng suất cắt gió, trọng lực Sóng gió Nhóm sóng Thay đổi trường gió Sóng đập, seich Động đất, đất đá lở Ứng suất gió biến đổi áp suất khơng khí Trọng lực gây tác động mặt trăng, mặt trời lực ly tâm trái đất quay Chu kỳ < 10-1 s < 15 s < 30 s - - 40 - 40 10 - h - days 12 - 24 h Dải tần số liên quan đến ngoại lực rộng phản ứng bề mặt đại dương có dải bước sóng chu kỳ đặc biệt rộng, từ sóng sức căng mặt ngồi có chu kỳ nhỏ 1s, sóng gió sóng lừng có chu kỳ tới chừng 15s, tới sóng triều sóng nước dâng gió có chu kỳ vài tới vài ngày Hình 1.1 Bảng 1.1 trình bày sơ đồ phân bố lượng sóng bề mặt theo tần số chế hình thành sóng Hình vẽ cho ta khái niệm tầm quan trọng tương đối dạng dao động khác bề mặt biển, không thiết phản ánh lượng thực sóng vùng Sóng trọng lực có tầm quan trọng lớn hoạt động kỹ thuật biển, ảnh hưởng sóng gió gây cơng trình biển nguy hiểm Các cơng trình biển cần thiết kế cho chúng có khả chịu đựng tất lực vận tốc dòng nước sóng gây Một hiểu biết đầy đủ tương tác sóng với cơng trình khơi trở thành yếu tố định cho việc tính tốn thiết kế cơng trình biển bền vững với chi phí tiết kiệm Thủ tục tính tốn áp lực sóng nói chung bao gồm bước sau đây: a) thiết lập chế độ sóng gần cơng trình b) đánh giá điều kiện sóng thiết kế cho cơng trình c) lựa chọn áp dụng mơ hình tính sóng để xác định tải trọng lực tác động lên công trình Để thực việc trên, cần biết kiến thức sóng bề mặt Vai trị sóng môi trường vùng ven biển cần đánh giá Sóng tiến tới bờ, vỡ tiêu tán lượng bãi cát Sóng gió sóng bão tác động lực lớn lên cơng trình tự nhiên nhân tạo ven bờ Dịng ven sóng tạo kết hợp với dịng chảy có ngun nhân khác vận chuyển trầm tích tạo khu vực bồi xói Kiến thức chuyển động sóng cán cân bùn cát cho ta chìa khóa để lựa chọn đắn phương pháp loại công trình cần thiết cho bảo vệ bờ Những dạng khác sóng đại dương, sóng với quy mơ hành tinh, sóng triều nước dâng gió, bão, sóng nội sóng giao thoa vùng bờ, có vai trò nhỏ ngành kỹ thuật bờ biển đại dương khơng trình bày giáo trình 1.3 Các định nghĩa Vận tốc truyền sóngc Đỉnh Bước sóng L Độ cao sóng H Mực nước trung bình Bụng h Đáy biển Hình 1.2 Các thơng số để định nghĩa sóng Các thơng số cần thiết để định nghĩa sóng bề mặt trình bày hình 1.2 Như hình, mực nước cao sóng gọi đỉnh sóng, mực nước thấp gọi bụng sóng Khoảng cách bụng sóng đỉnh sóng liên tiếp gọi độ cao sóng (H) Một nửa độ cao sóng biên độ sóng a Khoảng cách nằm ngang hai đỉnh sóng liên tiếp gọi bước sóng L Đối với sóng tiến, thời gian để hai đỉnh sóng liên tiếp tới điểm cố định khơng gian gọi chu kỳ sóng T Tốc độ di chuyển đỉnh sóng tiến gọi vận tốc pha hay vận tốc truyền sóng Các sóng có chu kỳ độ cao vị trí khơng thay đổi theo thời gian gọi sóng điều hịa Sóng tự nhiên sóng điều hịa truyền theo hướng cố định Nếu sóng ký đặt điểm đại dương để đo mực nước ζ hàm thời gian kết đo giống Hình 1.3 Các sóng biểu diễn hình gọi sóng ngẫu nhiên Sóng gió tạo thành độ ngẫu nhiên cao, sau lan truyền quãng đường dài, chúng trở thành sóng lừng có tính chất gần sóng điều hịa ζ (t ) Hình 1.3 Thí dụ giản đồ sóng ký z z=z(x,y,t) y x MWL (z=0) w v u z=-h Hình 1.4 Hệ tọa độ Để mơ tả chuyển động sóng, ta thiết phải xác định hệ tọa độ Một hệ tọa độ Cartesian thông thường dùng để mô tả chuyển động sóng vẽ Hình 1.4 Như hình, hệ tọa độ có gốc đặt mực nước trung bình (z=0), có trục x nằm ngang hướng theo phương truyền sóng trục z hướng lên Mực nước tự MWL ký hiệu ζ , phương trình mơ tả bề mặt thoáng trở thành z = ζ (x, y, t ) , với t thời gian 1.4 Sóng ngắn sóng dài Theo quan điểm thuỷ lực, phân chia dịng chảy thành dạng khác dựa tầm quan trọng tương đối thành phần khác cán cân động lượng Nếu ta xét đến động lượng theo phương thẳng đứng, phân biệt dịng chảy thành dịng chảy với gia tốc theo phương thẳng đứng nhỏ tới mức bỏ qua, dòng chảy với gia tốc theo phương thẳng đứng lớn đáng kể bỏ qua Trong thuỷ lực dòng chảy dừng kênh hở, loại dòng chảy nêu tương ứng dòng chảy hay dòng chảy biến đổi chậm (đường cong nước vật) dòng chảy dừng biến đổi nhanh (dòng chảy qua miệng cống, dòng chảy qua đập v.v.) Trong dòng chảy biến đổi chậm, tốc độ biến đổi vận tốc theo không gian nhỏ Nói cách khác, bán kính cong đường dòng mặt phẳng thẳng đứng lớn độ sâu nước nhiều Điều có nghĩa gia tốc theo phương thẳng đứng không đáng kể, phân bố áp suất theo phương thẳng đứng gần với áp suất tĩnh Khi đó, áp suất sóng gây coi đồng theo phương thẳng đứng Gradient áp suất có xu hướng trì dịng chảy đồng theo phương thẳng đứng Tuy điều có nghĩa trường hợp này, ảnh hưởng lực cản đáy trở nên đáng kể lớp biên sát đáy tạo dịng chảy khơng đồng theo phương thẳng đứng, việc lấy trung bình dịng chảy theo phương thẳng đứng hoàn toàn chấp nhận Kết tọa độ thẳng đứng biến độc lập bị loại khỏi tốn Sự khác biệt dịng chảy biến đổi chậm dòng chảy biến đổi nhanh giống khác biệt sóng ngắn sóng dài (thực sóng dài coi dịng chảy biến đổi chậm khơng dừng) Các khác biệt tập hợp Bảng 1.2 giải thích hình 1.5 Bảng 1.2 Sự khác biệt dịng chảy dừng biến đổi chậm (sóng dài) dịng chảy dừng biến đổi nhanh (sóng ngắn) Tính chất dòng chảy Dòng chảy dừng biến đổi Dòng chảy dừng biến đổi chậm sóng dài nhanh sóng ngắn Độ cong theo phương Yếu Mạnh thẳng đứng đường dịng Khơng đáng kể Đáng kể Gia tốc thẳng đứng Xấp xỉ thuỷ tĩnh Tính phi thuỷ tĩnh Phân bố áp suất đáng kể Profile vận tốc Gần đồng (ngoại Rất không đồng trừ lớp biên đáy) Đáng kể Không đáng kể Lực cản đáy (p) (u) (p) a) Sóng dài (u) b) Sóng ngắn Hình 1.4 Profile áp suất (p) vận tốc (u) bên sóng dài sóng ngắn CÂU HỎI Hãy xác định khoảng chu kỳ loại sóng sức căng mặt ngồi, sóng gió sóng lừng, sóng ngoại trọng lực, sóng dài Sự khác chất sóng gió sóng sức căng mặt ngồi gì? Sự khác sóng ngắn sóng dài gì? CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC CHẤT LỎNG 2.1 Các phương pháp mơ tả dịng chảy chất lỏng Có hai phương pháp mơ tả dịng chảy chất lỏng Phương pháp thứ phương pháp Lagrange Phương pháp khảo sát chuyển động hạt lỏng không gian theo thời gian Phương pháp thứ hai phương pháp Euler, khảo sát biến trình thời gian tính chất vật lý chất lỏng điểm cố định không gian Trong giảng này, trừ nói rõ ràng, ta thừa nhận phương pháp Euler dùng để mô tả chuyển động chất lỏng tính thuận tiện Trong phương pháp này, hệ tọa độ cần thiết lập chuyển động chất lỏng hệ tọa độ xem xét Hệ tọa độ hệ tọa độ vẽ hình 1.4 hình 2.1 2.2 Đạo hàm thời gian Giả thiết ta dùng phương pháp Lagrange để mô tả chuyển động chất lỏng khảo sát thay đổi tính chất vật lý s hạt lỏng chuyển động với chất lỏng Tốc độ thay đổi tồn tính chất vật lý chia thành hai phần: phần biểu thị thay đổi theo thời gian tính chất vật lý vị trí cho trước phần biểu thị thay đổi tính chất vật lý gây thay đổi vị trí hạt lỏng Như vậy, viết phương trình sau: ∂s ds ∂s = + ui dt ∂t ∂xi (2.1) Ở đây, quy định Eistein việc tổng lấy theo số lặp lại số hạng đơn áp dụng Trong phương trình (2.1), ký hiệu d / dt biểu thị tốc độ thay đổi tồn phầncủa tính chất vật lý s hạt lỏng coi đạo hàm toàn phần đạo hàm Lagrange Ký hiệu ∂ / ∂t biểu thị tốc độ thay đổi theo thời gian tính chất vật lý điểm cố định gọi tốc độ thay đổi địa phương theo thời gian tính chất vật lý 2.3 Phương trình thể tích kiểm tra Hình 2.1 thể tích kiểm tra cố định không gian hệ tọa độ cho trước Tại thời gian cho trước t đó, khối chất lỏng lấp đầy thể tích kiểm tra Một lát sau, thời điểm t + Dt, phần khối chất lỏng chảy khỏi thể tích kiểm tra chất lỏng từ ngồi thể tích kiểm tra chảy vào để thay 10 z Thể tích kiểm tra y x O Hình 2.1 Thể tích kiểm tra khối chất lỏng thời điểm t t + Dt Giả thiết B biểu thị tổng lượng tính chất chất lỏng (như khối lượng, động lượng hay nhiệt lượng v.v.) chứa thể tích kiểm tra V Ký hiệu b lượng B đơn vị khối lượng (mật độ B) cho B = ∫ ρbdV (2.2) V Định luật bảo toàn tính chất vật lý yêu cầu tốc độ thay đổi tổng cộng tính chất vật lý bên thể tích kiểm tra tốc độ thay đổi địa phương tính chất vật lý cộng với tốc độ tính chất vật lý khỏi thể tích kiểm tra trừ tốc độ tính chất vật lý vào thể tích kiểm tra Điều thể phương trình viết sau: B − Bin dB ∂ ρbdV + lim out = ∫ Δt →0 dt CV ∂t Δt (2.3) Ở Bout Bin lượng tính chất vật lý khỏi vào thể tích kiểm tra khoảng thời gian Δt Hình 2.2 Một diện tích vơ bé bề mặt thể tích kiểm tra Bởi tính chất B chuyển động với chất lỏng, tốc độ chảy B từ thể tích kiểm tra hàm số vận tốc dòng chảy bề mặt thể tích kiểm tra Như hình 2.2, khối lượng chất lỏng chảy khỏi thể tích kiểm tra khoảng thời gian Dt qua diện tích nhỏ bề mặt thể tích kiểm tra 11 r r r ρ (u ⋅ n )ΔAΔt với n vector đơn vị vng góc với phần tử bề mặt ΔA hướng r r ngồi (u ⋅ n ) ký hiệu tích vơ hướng hai vector Đại lượng B chảy khỏi phần tử r r bề mặt khoảng thời gian vô bé ρb(u ⋅ n )ΔAΔt Tích phân tồn bề mặt cho ta: Bout − Bin r r = ∫ ρb(u ⋅ n )dA Δt →0 Δt S (2.4) lim Như vậy, phương trình (2.3) viết là: r r dB ∂ = ∫ ρbdV + ∫ ρb(u ⋅ n )dA dt CV ∂t S (2.5) với S diện tích bề mặt thể tích kiểm tra Nếu khơng có điểm nguồn điểm hút tính chất vật lý bên thể tích kiểm tra ta có phương trình sau: r r dB ∂ = ∫ ρbdV + ∫ ρb(u ⋅ n )dA = dt CV ∂t S (2.6) Tại điểm này, ta có phương trình bảo tồn cho thể tích kiểm tra Tuy nhiên, khó đánh giá số hạng phương trình (2.6) Để làm điều này, hình 2.3, thể tích kiểm tra chia nhỏ thành số vô hạn thể tích kiểm tra vơ bé Sau đó, thay khảo sát tốc độ chảy tính chất vật lý khỏi thể tích kiểm tra, ta khảo sát tốc độ chảy tính chất vật lý khỏi thể tích kiểm tra vơ bé Tốc độ chảy khỏi thể tích trừ tốc độ chảy vào thể tích ∂u y ⎛ ⎞ ∂u ∂u ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δy ⎟⎟ΔxΔz + ⎜ u z + z Δz ⎟ΔyΔx ⎜ u x + x Δx ⎟ΔyΔz + ⎜⎜ u y + ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.7) r r ⎛ ∂u x ∂u y ∂u z ⎞ ⎟ΔxΔyΔz = ∇ ⋅ u ΔV − (u x ΔyΔz + u y ΔxΔz + u z ΔxΔy ) = ⎜⎜ + + ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x ( r r r r r r ) r Ở ∇ = i ∂ / ∂x + j ∂ / ∂y + k ∂ / ∂z với i , j k vector đơn vị theo hướng x, y z Lấy tổng tất tốc độ chảy từ thể tích kiểm tra với giới hạn thể tích phần tử tiến tới zero cho ta tốc độ chảy từ thể tích kiểm tra Sau đó, dùng định lý phân kỳ để liên hệ tích phân thể tích bề mặt, ta có: r r r r ∫ ρb(u ⋅ n )dA = ∫ ∇ ⋅ (ρbu )dV S (2.8) CV Như vậy, từ phương trình (2.5), (2.6) (2.8), ta rút phương trình sau: 12 ⎡∂ r r⎤ ∫ ⎢⎣ ∂t (ρb ) + ∇ ⋅ (ρbu )⎥⎦dV = (2.9) CV Hình 2.3 Các thể tích vơ bé bên thể tích kiểm tra Bởi thể tích kiểm tra CV tuỳ ý chọn, rõ ràng có điểm khơng gian mà đại lượng ngoặc vng bên vế trái phương trình (2.9) khác zero, ta điều chỉnh thể tích kiểm tra cho chứa điểm Điều có nghĩa tích phân bên vế trái phương trình (2.9) khác zero phương trình khơng thỏa mãn thể tích kiểm tra Như vậy, để đảm bảo phương trình (2.9) thỏa mãn cho tồn miền tính, đại lượng ngoặc vng vế trái phương trình (2.9) phải zero tất điểm miền nghiên cứu Hay nói cách khác r ∂ (ρb ) + ∇ ⋅ (ρbur ) = ∂t (2.10) 2.4 Định luật bảo tồn vật chất phương trình liên tục Nếu đại lượng vật lý nói lấy khối lượng chất lỏng b phương trình (2.10) 1, phương trình bảo tồn vật chất trở thành r ∂ρ ∂ ∂ρ r (ρu i ) = + ∇ ⋅ ( ρu ) = + ∂t ∂xi ∂t (2.11) Phương trình (2.11) thường gọi phương trình liên tục dịng chảy lỏng 2.5 Định luật bảo toàn động lượng phương trình chuyển động 2.5.1 Phương trình chuyển động Cauchy Phương trình chuyển động rút cách liên hệ B với động lượng toàn hệ thống Động lượng đại lượng vector, tích khối lượng vận tốc r Như vậy, b vector vận tốc u Từ định luật chuyển động Newton, tốc độ thay đổi động lượng hệ với khối lượng bất biến lực tác dụng: r dB r =F dt (2.12) r Ở F lực tác dụng lên hệ Như cách sử dụng phương trình 13 (2.12), phương trình (2.5) trở thành: r F= r ∂ r r r r ∫ ∂t (ρu )dV + ∫ ρu (u ⋅ n )dA CV (2.13) S Trong F tổng tất lực tác dụng lên chất lỏng thể tích r kiểm tra Ký hiệu lực tác động lên đơn vị khối lượng lỏng (mật độ lực) f , ta có: r F= r ∫ fdV (2.14) CV Dùng định lý phân kỳ phương trình (2.14), viết phương trình (2.13) cho thành phần hướng sau: ⎡ ⎤ ∂ ∂ ( ) ( ) − f − ρ u ρ u u ⎢ ⎥ dV = i i i j ∫ ⎢ ∂t ∂x j CV ⎣ ⎦⎥ (2.15) Bởi thể tích kiểm tra tuỳ ý, từ phương trình (2.15) ta rút phương trình sau: ∂ (ρu i ) + ∂ (ρu i u j ) = f i ∂t ∂x j (2.16) Dùng phương trình liên tục (Eq 2.11), ta viết lại phương trình (2.16) sau: ρ ∂u ∂u i + ρu j i = f i ∂x j ∂t (2.17) Hình 2.4 Lực áp suất theo hướng x Phương trình (2.17) phương trình Cauchy chuyển động chất lỏng Số hạng vế trái phương trình biểu thị tốc độ thay đổi địa phương động lượng điểm số hạng thứ hai biểu thị tốc độ thay đổi động lượng điểm gây dịng chảy (ảnh hưởng tượng bình lưu) Đối với tốn sóng trọng lực bề mặt, có áp suất, ứng suất cắt trọng lực cần xem xét Áp suất dư tác động lên đơn vị thể tích chất lỏng tìm dễ dàng cách xem xét hình lập phương vơ bé hình 2.4 Trong hình, có lực áp suất tác động lên bề mặt vng góc với trục x vẽ Lực áp suất dư tác động theo hướng x lên đơn vị thể tích là: 14 ΔV ⎡ ⎤ ∂p ∂p ⎞ ⎛ ⎢ pΔyΔz − ⎜ p + ∂x Δx ⎟ΔyΔz ⎥ = − ∂x ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ (2.18) Ứng suất cắt tác động theo hướng x lên thể tích vơ bé hình 2.5 Trong hình, số thứ τ trục tọa độ vng góc với bề mặt hình lập phương số thứ hai hướng thành phần ứng suất Thành phần ứng suất tác động theo hướng vng góc với bề mặt bao hàm áp suất không tính đến Như hình, lực dư đơn vị thể tích ứng suất nhớt gây theo hướng i là: ( f i )τ ∂τ yi ∂τ zi ⎞ ∂τ ⎛ ∂τ ⎟⎟ = − ji = −⎜⎜ xi + + ∂y ∂x j ∂z ⎠ ⎝ ∂x (2.19) Trọng lực theo hướng i tích trọng lượng phần tử xem xét nhân với cosine góc phương thẳng đứng hướng i ( f i )g = − ρg ∂h ∂xi (2.20) Ở đây, chiều dương h hướng lên phía Tiếp theo, dùng phương trình từ (2.18) tới (2.20), phương trình (2.17) trở thành ρ ∂u ∂u i ∂h ∂τ ji ∂p − − ρg + ρu j i = − ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ∂t (2.21) Hình 2.5 Ứng suất cắt theo hướng x thể tích vơ bé Phương trình (2.21) chứa tensor ứng suất cắt τ Để viết phương trình dạng áp dụng được, tensor định phải biểu thị dạng đại lượng vận tốc đạo hàm Để làm việc này, ta phải khảo sát kỹ đặc tính chất lỏng chuyển động 2.5.2 Chuyển dịch, quay vận tốc biến dạng r Hãy xem xét điểm xi0 chất lỏng mà vận tốc u (xem 15 r r hình 2.6) Tại điểm lân cận với tọa độ xi0 + Δx , vận tốc u + Δu Giả thiết r u hàm liên tục biến khơng gian ta khai triển Taylor hàm lân cận điểm xi0 sau: r r r0 r r ∂u ∂ u (Δxi ) Δxi + + u + Δu = u + ∂xi 2! ∂xi (2.22) Bỏ qua số hạng bậc hai nhỏ hơn, từ phương trình (2.22) ta rút phương trình sau: Δu i = ∂u i Δx j ∂x j (2.23) Hay, cách cộng vào trừ số hạng giống vào vế phải phương trình (2.23), ta có: Δui = ⎛⎜ ∂ui ∂u j ⎞⎟ ⎛ ∂u ∂u j ⎞⎟ + Δx j + ⎜ i − Δx j ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠ ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠ (2.24) Như tensor ∂u i / ∂x j chia thành tensor bất đối xứng ω ij tensor đối xứng d ij định nghĩa sau: ⎛ ∂u ∂u j ⎞ ⎛ ∂u ∂u j ⎞ ⎟ ω ij = ⎜⎜ i − ⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠ ⎟ ω ij = ⎜⎜ i − ⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠ (2.25) (2.26) Hình 2.6 Chuyển động điểm lân cận 16 Hình 2.7 Một phần tử lỏng vị trí ban đầu Thời điểm t+Δt Hình 2.8 Chuyển động phần tử lỏng Hãy xem xét phần tử lỏng hình chữ nhật với góc nằm gốc tọa độ, hình 2.7 Chất lỏng chuyển động với vận tốc biến đổi không gian r vận tốc chuyển động chất lỏng gốc tọa độ u , vận tốc điểm a r r r r r r u a = u + (∂u / ∂y )Δy , vận tốc điểm c u c = u + (∂u / ∂x )Δx Hãy xem xét hạt lỏng sau khoảng thời gian Dt, thấy hình 2.8 Điểm o chuyển động r r quãng đường u Δt , điểm a chuyển động quãng đường u a Δt , v.v Bởi vận tốc chuyển động điểm khác nói chung khác chút, phần tử lỏng bị biến dạng khơng cịn hình chữ nhật Để thấy rõ tính chất biến dạng này, trước hết ta xem xét trường hợp ∂u y ∂u x ∂u x ∂u y =− = =0 ∂y ∂x ∂y ∂x (2.27) Bởi khơng có biến đổi vận tốc chuyển động theo hướng x dọc theo trục x, cạnh a-b o-c không dài không ngắn đi; tương tự, cạnh o-a b-c giữ nguyên chiều dài Sau khoảng thời gian Dt, hạt lỏng trở thành hình dạng hình 2.9 Điểm a chuyển động quãng đường dài khoảng ∂u x / ∂yΔyΔt theo hướng x so với điểm o, điểm c chuyển động quãng đường dài khoảng ∂u y / ∂xΔxΔt theo hướng y so với điểm o Góc cạnh o-a phương thẳng đứng ∂u x / ∂yΔt ; góc cạnh o-c phương nằm ngang ∂u y / ∂xΔt Như vậy, với giả thiết trên, phần tử lỏng trải qua q trình dịch chuyển vị trí quay Mở rộng lý luận cho ba chiều, ta thấy điều kiện cho chuyển động ω ij ≠ d ij = Xem xét tiếp tensor ω ij ta thấy mơ tả chuyển động quay phần tử lỏng 17 Để định lượng biến dạng phần tử lỏng, vector xoáy định nghĩa sau: r 1r r ω = ∇×u (2.28) Với ký hiệu × biểu thị tích vector hai vector Thời điểm t+Δt Hình 2.9 Sự quay phần tử lỏng Bởi ω ij xác định vận tốc quay phần tử lỏng, d ij xem vận tốc biến dạng phần tử lỏng Có nghĩa ω ij biểu thị quay phần tử lỏng vật rắn d ij biểu thị chuyển động tương đối điểm khác phần tử lỏng Như vậy, chuyển động chất lỏng bao gồm: di chuyển chất lỏng với vật rắn cộng với quay chất lỏng với vật rắn (tensor bất đối xứng) cộng với biến dạng (tensor đối xứng) Các hiệu ứng diễn tả chuyển động đơn giản với vận tốc biến đổi thấy hình 2.10 Một phần tử lỏng gần gốc tọa độ bị biến dạng quay hình vẽ để tạo dịng chảy Hình 2.10 Dịng chảy với vận tốc biến đổi tạo chuyển động quay chuyển động biến dạng túy 18 2.5.3 Mối liên hệ vận tốc biến dạng ứng suất – Phương trình Navier-Stokes Trong phương trình chuyển động chất lỏng, tensor ứng suất cắt định phải liên hệ với tính chất vật lý dịng chảy Cơ sở cho mối liên hệ định luật Newton tính nhớt Nếu có chất lỏng với vận tốc chảy theo hướng trục x biến đổi theo hướng trục y ứng suất cắt tác động lên đơn vị diện tích bề mặt vng góc với trục y có thành phần theo hướng x biểu thị sau: τ yx = − μ du x dy (2.29) Trong μ hệ số tỷ lệ ứng suất nhớt gradient vận tốc gọi độ nhớt (hay độ nhớt động lực) chất lỏng Độ nhớt tính chất chất lỏng số theo quan điểm học chất lỏng Một chất lỏng tuân theo định luật Newton gọi chất lỏng Newton Các chất lỏng không tuân theo định luật gọi chất lỏng phi Newton May mắn nước khơng khí điều kiện thông thường chất lỏng Newton Dấu âm phương trình (2.29) có nghĩa động lượng vận chuyển từ nơi cao (với vận tốc lớn) tới nơi thấp (với vận tốc nhỏ) Dùng định luật Newton tính nhớt, ta rút phương trình chuyển động chất lỏng, phương trình Navier-Stokes sau ρ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u dui ∂p = ρ⎜ i + u j i ⎟ = − + μ 2i + ρg i ⎜ ∂t ∂x j ⎟⎠ ∂xi ∂xi dt ⎝ ( 2.30) với g i thành phần gia tốc trọng trường theo phương i Phương trình Navier-Stokes viết dạng vector sau: Δ = ∂ / ∂x + ∂ / ∂y + ∂ / ∂z (2.31) 2 2 2 Ở Δ = ∂ / ∂x + ∂ / ∂y + ∂ / ∂z ký hiệu toán tử Laplace, g vector gia tốc trọng trường Phương trình Navier-Stokes (2.31) biểu thị bảo tồn động lượng chất lỏng Số hạng ngoặc đơn vế trái phương trình biểu thị tốc độ biến đổi địa phương động lượng, số hạng thứ hai biểu thị tốc độ biến đổi động lượng gây bình lưu (hay đối lưu); số hạng thứ vế phải biểu thị biến đổi động lượng gây áp suất, số hạng thứ hai biểu thị khuyếch tán động lượng gây độ nhớt, số hạng cuối biểu thị thay đổi động lượng gây trọng lực Các phương trình Navier-Stokes cho thành phần vận tốc dòng chảy theo hướng (2.30) với phương trình liên tục (2.11) tạo nên hệ bốn phương trình 19 cho bốn ẩn dùng để mơ tả dòng chảy: ba thành phần vận tốc dòng chảy theo ba hướng áp suất Đối với tốn học chất lỏng nói chung, mật độ chất lỏng đại lượng chưa biết cần phải xác định dựa phương trình trạng thái Tuy nhiên, tốn sóng gió, mật độ nước xem khơng đổi 2.5.4 Chất lỏng lý tưởng Một chất lỏng có độ nhớt không gọi chất lỏng lý tưởng Đối với loại chất lỏng này, phương trình liên tục phương trình động lượng viết sau: ∂ρ ∂ ( ρu i ) = + (2.32) ∂t ⎛ ∂u i ρ ⎜⎜ ⎝ ∂t ∂xi +uj ∂u i ∂x j ⎞ ⎟ = − ∂p + ρg i ⎟ ∂xi ⎠ (2.33) Phương trình (2.33) gọi phương trình Euler dịng chảy Trong tốn sóng, loại trừ sóng vỡ gần bờ, sóng gần cơng trình sóng nước nơng, ảnh hưởng độ nhớt bỏ qua nước coi chất lỏng lý tưởng Đối với vấn đề thuộc động lực sóng, nước coi không nén phương trình (2.32) (2.33) trở thành: ∂u i =0 ∂xi (2.34) ∂u i ∂u ∂p +uj i = − + gi ∂t ∂x j ρ ∂xi (2.35) Chuyển động chất lỏng lý tưởng coi khơng xốy thực tế quay với tốc độ quay không đổi Trong trường hợp này, ta xem xét hạt lỏng hình cầu, ta thấy tất lực gây áp suất trọng lực mà lực gây biến dạng cắt Như vậy, tất lực phải tác dụng theo hướng vào tâm hạt lỏng khơng có lực gây (hay buộc dừng lại) chuyển động quay Điều kiện khơng có chuyển động quay biểu thị sau: ∂u i ∂u j − =0 ∂x j ∂xi (2.37) Khi chuyển động khơng xốy, biểu thị dòng chảy vận tốc Φ , định nghĩa sau: ui = ∂Φ ∂xi (2.37) Thay phương trình (2.37) vào (2.36) cho thấy điều kiện khơng xốy tự động thỏa mãn Ngược lại, vận tốc tồn dòng chảy khơng xốy 20 ... ngồi có chu kỳ nhỏ 1s, sóng gió sóng lừng có chu kỳ tới chừng 15 s, tới sóng triều sóng nước dâng gió có chu kỳ vài tới vài ngày Hình 1. 1 Bảng 1. 1 trình bày sơ đồ phân bố lượng sóng bề mặt theo... tán sóng gió Nội dung giáo trình nằm trung gian giáo trình lý thuyết sở giáo trình thực hành dành cho kỹ sư Lý thuyết tốn học tuyến tính sóng tiến hình sin phương pháp thống kê mơ tả sóng gió trình. .. đổi độ sâu vĩ độ Tất dạng sóng xảy đồng thời, tạo dạng dao động phức tạp Bảng 1. 1: Chu kỳ chế thành tạo loại sóng khác Dạng sóng Sóng sức căng mặt ngồi Sóng gió Sóng lừng Sóng đập Seiche Cộng hưởng