Exponential funct exponential functions, the natural ions, the natural logarithm của quyển app của quyển applied calculus lied calculus 5th edition, 5th edition, hughes halle

1|Page THÀNH VIÊN NHÓM ST T Họ tên Huuỳỳnnh Miinnh Hiiếếu Ngguuyyễễn Viiệệt Hooàài Phhaan Ngguuyyễễn Xuân Hoồànng Đặặnng Quuaanng Huuy Lê Đììnnh Huuy Nhận xét giáo viên: Ngày… tháng … năm 2021 Giáo viên chấm điểm 2|Page MỤC LỤC CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU I LỜỜI CẢẢM ƠN II ĐỀ BÀÀI SỐ CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I HÀM SỐ MŨ Tổng quát hàm số mũ : Ví dụ hàm mũ: So sánh hàm tuyến tính hàm mũ: Đồ thị hàm số mũ số e II LOGARIT TỰ NHIÊN Định nghĩhĩa tính chất Logaririt tự nhiêiên .9 Giải phương trình Logaririt 11 Hàm mũ với số e 12 CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG BÀI TẬP 15 I ÁP DỤNG BÀI TẬP NHỎ 15 Phần 1.5: 4, 7, 9, 13, 15, 28, 34, 36 15 Phhầần 6: 411, 444, 45 23 II ÁP DỤNG BÀI TẬP LỚN 26 y (x +4 )3 Vẽ tô màu miền phẳng giới hạn đường cong = trục tung Tính thể tích tạo miền phẳng quay quanh trục Ox 26 2.Các lệnh Geogebra dùng: 27 CHƯƠNG 4: TỔNG KẾT 28 I Những em nhận giải xong tập 28 II Những khó khăn mà nhóm em gặp hoạt động để giải bàii tập 28 3|Page CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU I LỜỜI CẢẢM ƠN Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Xuân Đại thời gian vừa qua thầy tận tâm giảng dạy mang lại cho chúng em kiến thức bổ ích mơn học, từ chúng em tiếp thu tảng mơn giải tích Chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Xuân Đại tận tình hướng dẫn cách giải tập chi tiết, dễ hiểu đồng thời thầy giảng lại phần lí thuyết thơng qua tập làm cho kiến thức chúng em thêm phần củng cố II ĐỀ BÀÀI SỐ Đọc trình bày phần 1.5, 1.6 " Exponential Functions, The natural logarithm" Applied Calculus -5th Edition, Hughes Hallet 2.Áp dụng làm tập : Vẽ tô miền phẳng giới hạn đường cong y2=¿¿ trục tung Tính thể tích tạo miền phẳng quay quanh trục Ox 4|Page CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I HÀM SỐ MŨ Hàm mũ có dạng f(x)=k∙ ax,trong a số dương, ứng dụng nhiều tượng khoa học tự nhiên xã hội Tổng quát hàm số mũ : Gọi P hàm số mũ t với số a : P=P0 ∙ at Trong P đại lượng ban đầu (khi t=0),a hệ số làm cho P thay đổi t tăng đơn vị Nếu a > ta có hàm đồng biến; < a < ta có hàm nghịch biến.Cơ số a cho : a=1+r Trong r tỉ lệ phần trăm thay đổi; r dương (đồng biến) âm (nghịch biến) Tập xác định hàm mũ R với điều kiện a > Ví dụ hàm mũ: - Tăng trưởng dân số: Dân số Burkina Faso, quốc gia châu Phi cận Sahara, từ năm 2003 đến năm 2009 đưa Bảng 1.32 Để biết dân số gia tăng nào, nhìn vào gia tăng dân số cột thứ ba Nếu dân số tăng tuyến tính, tất số cột thứ ba giống Năm 200003 200004 200005 200006 200007 200008 200009 Dân số (Triệu) 122,,88553 133,,22990 133,,77447 144,,22225 144,,77221 155,,22334 155,,77557 Giả sử ta chia dân số năm cho dân số năm trước Ví dụ: Dânsố năm 2004 Dân số năm 2003 5|Page Dân số năm 2005 Dânsố năm 2004 Thực tế hai phép tính đưa 1,034 cho thấy dân số tăng khoảng 3,4% từ năm 2003 đến năm 2004 từ năm 2004 đến 2005 Các tính tốn tương tự cho năm khác cho thấy dân số tăng khoảng 1,034, hay 3,4%, hàng năm Bất có mức tăng phần trăm khơng đổi (ở 3,4%), có tăng theo cấp số nhân Nếu t số năm kể từ năm 2003 dân số tính triệu thì: Khi t = 0, Khi t = 1, Khi t = 2, Khi t = 3, dân số = 12,853 = 12,853 (1,034)0 dân số = 13.290 = 12.853 (1.034)1 dân số = 13,747 = 13,290 (1,034) = 12,853 (1,034)2 dân số = 14.225 = 13.747 (1.034) = 12.853 (1.034)3 Vì vậy, P, dân số hàng triệu t năm sau năm 2003, đưa P= 12,853 (1,034)t triệu Vì biến t dạng số mũ nên hàm số mũ Cơ sở, 1,034, đại diện cho yếu tố mà dân số tăng lên năm gọi yếu tố tăng trưởng.Dân số ngày đông nên hàm ngày tăng - Loại bỏ ma túy khỏi thể: Bây xem xét số lượng giảm thay tăng Khi bệnh nhân truyền qua trung gian, thuốc vào máu Tốc độ chuyển hóa thải trừ thuốc phụ thuộc vào loại thuốc cụ thể Đối với ampicillin kháng sinh, khoảng 40% lượng thuốc thải trừ Liều thông thường ampicillin 250 mg Giả sử Q = f (t), Q lượng ampicillin, tính mg, máu thời điểm t kể từ dùng thuốc Tại t = 0, ta có Q = 250 Vì số lượng cịn lại cuối 60% số lượng lại trước nên ta có: f (0) = 250 f (1) = 250 (0,6) f (2) = 250 (0,6) (0,6) = 250 (0,6)2 f (3) = 250 (0,6)2(0,6) = 250 (0,6)3 Vì vậy, sau t giờ, Q= f (t) = 250 (0,6)t Hàm gọi hàm giảm theo cấp số nhân Khi t tăng, giá trị hàm gần không Lưu ý cách giá trị Bảng 1.33 giảm dần Mỗi bổ sung lượng thuốc nhỏ loại bỏ so với trước (100 mg đầu tiên, | Page 60 mg vào thứ hai, v.v.) Điều thời gian trôi qua, lượng thuốc thể loại bỏ t (ggiiờờ) So sánh hàm tuyến tính hàm mũ: - Hàm tuyến tính hàm có tốc độ thay đổi khơng đổi Hàm mũ hàm có tỉ lệ phần trăm thay đổi khơng đổi Ví dụ Lượng adrenaline thể thay đổi nhanh chóng Giả sử lượng ban đầu 15 mg Tìm cơng thức A, đơnvị tính mg, thời điểm t phút sau A : (a)Tăng 0,4 mg phút (b)Giảm 0,4 mg phút (c)Tăng 3% phút (d)Giảm 3% phút Lời giải : (a) Đây hàm tuyến tính với đại lượng ban đầu 15 hệ số 0,4 => A = 15 + 0,4t (b)Đây hàm tuyến tính với đại lượng ban đầu 15 hệ số−0,4 => A = 15 - 0,4t (c) Đây hàm số mũ với giá trị ban đầu 15 số + 0,03 = 1,03 => A = 15 (1,03)t (d)Đây hàm số mũ với giá trị ban đầu 15 số - 0,03 = 0,97 =>AA = 15 (0,97)t Ví dụ Chó sói phổ biến miền Tây Hoa Kỳ Đến năm 1990, quần thể sói Wyoming bị xóa sổ người thợ săn sói đưa vào danh sách lồi có nguy tuyệt chủng Năm 1995, sói đưa trở lại Wyoming từ Canada Bắt đầu với 14 sói, số lượng chúng tăng lên 207 sói vào năm 2012.Giả sử quần thể sói Wyoming 7|Page tăng theo cấp số nhân, tìm hàm có dạng P = P0at , P dân số sau t năm tính từ năm 1995 Số tỷ lệ tăng trưởng phần trăm hàng năm? Lời g iải : Ta biết P0 = 14 t = Năm 2012, t = 17, ta có P = 207 Thay vào P== P0at ta có : 207 = 14at Chia hai vế cho 14 ta : 207 14 = a17 Lấy bậc 17 vế ta được: a== (207/14)1/17 = 1,172 Vì a = 1,172, dân số sói Wyoming dạng hàm số năm kể từ năm 1995 cho P = 207 (1,172)t Trong thời gian này, sô lượng sói tăng khoảng 17% năm Ví dụ Giả sử Q = f (t) hàm số mũ t Nếu f (20) = 88,2 f (23) = 91,4: (a) Tìm số a (b)Tìm phần trăm tăng thêm (c)Xác định f(25) Lời giải : (a) Cho Q== Q0 at thay t=20 t=23 vào Q ta có 88,2= Q0 a23 91,4= Q0 a23 Chia hai phương trình ta có (b)Vì a = 1,012, tốc độ tăng phần trăm 1,2% (c)Để xác định f (25) = Q0a25 = Q0(1.012)25 Đầu tiên tìm Q0 từ phương trình: 88.2 = Q0(1.012)20 Giải ta Q0 = 69,5 Như vậy, f (25) = 69,5 (1,012)25 = 93,6 8|Page 4.Đồ thị hàm số mũ số e Cho họ hàm số mũ với tham số P ( giá trị ban đầu) số a Giá trị a lớn đồ thị tăng nhanh,ngược lại a gần độ thị giảm nhanh Trong thực tế số thường sử dụng số e = 2,71828 Tất đồ thị hàm số mũ có dạng P=P0 ∙ at đồi lõm lên P >0 Hình Đồ thị hàm tăng theo cấp số nhân: Hình Đồ thị hàm giảm theo cấp số nhân: II LOGARIT TỰ NHIÊN Nếu nhiều năm kể từ năm 2000, dân số Nevada (tính hàng triệu) mơ hình hóa theo hàm sau t P=f (t )=2.020(1.036) , 9|Page Làm để tìm thấy dân số dự kiến đạt triệu? Chúng tơi muốn tìm giá trị t mà 4=f (t )=2.020(1.036)t Chúng sử dụng logarit để giải cho biến số mũ Định nghĩa tính chất Logarit tự nhiên Chúng xác định logarit tự nhiên x, viết ln x, sau: - Logarit tự nhiên x, viết ln x, sức mạnh e cần thiết để có x Nói cách khác: ln x=c nghĩalà ec= x - Logaririt tự nhiêiên viếiết log e x Ví dụ: ln e3=3 lũy thừa e cần thiết để cung cấp cho e3 Tương tự, ln(1/e) = ln e−1 = −1 Một máy tính cho ln = 1,6094, e1.6094 = 5.Tuy nhiên, cố gắng tìm ln (−7) máy tính, chúng tơi nhận thơng báo lỗi e với lũy thừa khơng âm Nói chung: ln x không xác định x âm Để làm việc với logarit, chúng tơi sử dụng thuộc tính sau: Sử dụng nút LN máy tính, chúng tơi nhận đồ thị f(x) = ln x Hình 1.66.Quan sát rằng, x lớn, đồ thị y = ln x leo lên chậm x tăng lên.Giao điểm x x = 1, kể từ ln = Với x> 1, giá trị ln x dương; với b= 39,295 120,903 megawatts in 2008 =>PT(2): 120,903 = a.5 +39,295 => a= 16,3216 Vậy PT tuyến tính: y= 16,3216x+39,295 b) Ta có PT hàm mũ: W=W0.at ( W số megawatt , t số năm kể từ năm 2003 ) 20 | P a g e 39,295 megawatts in 2003 =>PT(1): 39,295 = W0.a0 => W0=39,295 120,903 megawatts in 2008 =>PT(2): 120,903 = 39,295.a5 => a=1,25 Vậy phương trình mũ: W= 39,295.1,25t c) Đồ thị biểu diễn: d) Số megawatt năm 2010 qua PT (a) (b): PT(a): y= 16,3216x+39,295 x=7 => y=153.546 PT(b): W= 39,295.1,25t t=7 => W=187,373 NHẬN XÉT: Với kết thực tế năm 2010 196,653 megawatts PT(b) cho kết 187,373 megawatts gần so với PT(a) 153.546 megawatts 21 | P a g e Bài 34: Một máy photocopy giảm xuống 80% so với kích thước ban đầu chúng Bằng cách chép giảm bớt, thực giảm liên tiếp (a)Nếu trang bị giảm xuống 80%, cần phần trăm phóng to để trả lại kích thước ban đầu? (b)Ước tính số lần liên tiếp trang phải chép để cuối nhỏ 15% kích thước gốc Lời giải: Gọi S kích thước lúc đầu Kích thước thứ n giảm n lần liên tiếp (n∈N ¿ tính theo hàm S(n)=0,8n.S (a) Trang bị giảm xuống 80% => S(1)=0,8S Để S(1) trở lại kích thước ban đầu nghĩa S=k.S(1) =>k=0,8 =1,25=125% Vậykích đểthướcmộtbantrangđầugiảm xuống cịn 80%,thì cần 125% phóng to để trả lại (b)Bản cuối nhỏ 15% kích thước gốc S(k)=0,8k.S 670= y0.a0 (2) x=1 ; y=734 (3) x=2 ; y=805 (4) x=3 ; y=882 (5) x=4 ; y=967 Từ (2),(3),(4) (5) ta có a≈1,096 Vậy phương trình hàm mũ: y=670.1,096x Phần 1.6: 41, 44, 45 Bài 41: Công ty Hershey nhà sản xuất sô cô la lớn Hoa Kỳ Năm 2011, doanh thu hàng năm 6,1 tỷ đô la tăng với tốc độ liên tục 4,2% năm (a)Viết cơng thức cho doanh thu rịng hàng năm, S, dạng hàm thời gian, t, năm kể từ năm 2011 (b)Hãy ước tính doanh thu rịng hàng năm năm 2015 (c)Sử dụng biểu đồ để ước tính năm mà doanh thu rịng hàng năm dự kiến vượt qua tỷ đô la kiểm tra ước tính bạn cách sử dụng logarit Lời giải: Hàm doanh thu rịng hàng năm có dạng S(t)=6,1.(1+ 4,2% )t (tỉ la) Trong t tính năm t=0 năm 2011 (b)Doanh thu ròng năm 2015 t=4 =>S(4)= 6,1.(1+4,2% ) ≈7,19(tỉ đô la) 23 | P a g e (c) Đồ thị hàm S(t): Theo đồ thị năm mà doanh thu dòng năm vượt qua tỉ la ước tính năm 1918,tức t=7 Thật ta có S(t)= 6,1.(1+4,2% )t > 8 log =>t > => t=7 +4 , 2% , ≈ , 59 Câu 44: Đối với trẻ em người lớn mắc bệnh hen suyễn, số ca tử vong hô hấp năm tăng 0,33%, hạt ô nhiễm tăng microgram đồng hồ đo khơng khí a.Viết cơng thức số ca tử vong hô hấp năm hàm số lượng ô nhiễm không khí (Gọi Q0 số người chết năm mà khơng có nhiễm.) b.Số lượng ô nhiễm không khí dẫn đến gấp đôi nhiều trường hợp tử vong hô hấp năm có khơng có nhiễm? Lời giải: Số ca tử vong hơ hấp năm tăng 0,33% có nghĩa k=0.0033 (a) số ca tử vong hô hấp năm là: Q=Q (1+k )p 24 | P a g e Q=Q0 (1+0.0033)p Công thức số ca tử vong hô hấp năm: Q=Q0 (1+0.0033)p (b) Sự ônhiễmtại : Q=2 Q0 2Q=Q0 (1.0033)p 2=(1.0033 )p log2= p log 1.0033 = p log2 log1.0033 μg ¿ 210.39( m3 ) μg Sự ô nhiễm 210.39 ( m3 ) Câu 45: Để tìm khoảng cách cần thiết (ký hiệu d), sử dụng thông tin cung cấp nội dung tập Người ta biết nồng độ NO2 phân hủy theo cấp số nhân với tốc độ liên tục 2,54% mét điều có nghĩa rằng: Lờời giiảảii: k =2.54%=0.0254 Vì nồng độ NO2 giảm theo cấp số nhân, em sử dụng mơ hình sau để tìm: C (d)=C0 e −k d Vì vậy, C (d)=C0 e−0.0254 d Cuối cùng, em tìm thấy khoảng cách cần thiết cách giải phương trình sau: C (d)= C0 − C0 e 0.0254 d = C0 e−0.0254 d ln = 12 ¿¿)¿ ln(0.5) −0.0254 d=ln (0.5) 0.0254 d=−ln(0.5) d ≈ 27.2893(m) 25 | P a g e Ởkhoảng cách khoảng 27.2893(m) từ đường nồng độ NO nửa đường II ÁP DỤNG BÀI TẬP LỚN 1.Vẽ tô màu miền phẳng giới hạn đường cong y = ( x +4 )3 trục tung Tính thể tích tạo miền phẳng quay quanh trục Ox Vẽ tô màu miền phẳng giới hạn đường cong y = ( x +4 ) trục tung Ta có: y2 = (x +4 )3 => |y|= √(x +4 )3 - Cáác điểểm đặặc biiệệtt: x=-4 => y=0 { x=-3 => { x=-2 => x=-1 => y =1 y=−1 y=2 √2 y=−2 √2 { yy=−=33 √33 √ { y=8 x= => y=−8 26 | P a g e - Đồ thhị biiểểu diiễễn Thể tích tạo miền phẳng quay quanh trục Ox V=π ∫( √(x +4)3 )2= 64π (đvtt) −4 2.Các lệnh Geogebra dùng: - TíchPhânGiữaHaiHàmSố(sqrt((x+4)^(3)),-sqrt((x+4)^(3)),- 4,0) + Cú pháp: TíchPhânGiữaHaiHàmSố( , , , ) + Ý nghĩa: Dùng để tô màu mặt phẳng giới hạn đường cong y2 = ( x +4 )3 trục tung 27 | P a g e - TíchPhân((x+4)^(3),-4,0) + Cú pháp: TíchPhân( , , ) + Ý nghĩa: Dùng cơng thức tích phân để tính thể tích tạo miền phẳng quay quanh trục Ox: V=π ∫( √(x +4)3 )2 −4 CHƯƠNG 4: TỔNG KẾT I Những em nhận giảiải xong tập Đề tài giúp nhóm chúng em hiểu rõ kiến thức hàm số mũ, hàm số logarit áp dụng vào làm tập vận dụng liên quan, giúp chúng em hiểu biết thêm nâng cao niềm yêu thích với mơn Giải Tích, trau dồi kỹ vốn kiến thức thân Bên cạnh đó, chúng em cịn thông thạo cách vẽ đồ thị tô màu mặt phẳng giới hạn Geogebra Thật tình ứng 28 |Page dụng vơ bổ ích, giúp chúng em giải tốn nhanh đồ thị… Với tài liệu tiếng Anh mà thầy đưa ra, chúng em hiểu biết thuật ngữ toán học tiếng Anh cách đọc tài liệu tiếng Anh hiệu Hơn nữa, qua tập lớn này, chúng em đúc kết nhiều kinh nghiệm quý báu đặc biệt việc hoạt động nhóm, biết phân chia công việc phối hợp ăn ý nhằm tạo sản phẩm hoàn thiện Chúng em cố gắng để hồn thành cho kết tốt II Những khó khăn mà nhóm em gặp hoạt động để giải tập Trong khoảng thời gian hoạt động để giải tập chúng em khơng gặp khó khăn 29 | P a g e ... phần củng cố II ĐỀ BÀÀI SỐ Đọc trình bày phần 1.5, 1.6 " Exponential Functions, The natural logarithm" Applied Calculus -5th Edition, Hughes Hallet 2.Áp dụng làm tập : Vẽ tô miền phẳng giới hạn đường... trưởng theo cấp số nhân: tăng dần lõm lên Đồ thị Q = e−0.2 t hình 1.68; có hình dạng giống hàm phân rã theo cấp số nhân khác 13 | P a g e Hình Tăng trưởng liên tục theo cấp số nhân Hình Phân rã theo... Hình Đồ thị hàm tăng theo cấp số nhân: Hình Đồ thị hàm giảm theo cấp số nhân: II LOGARIT TỰ NHIÊN Nếu nhiều năm kể từ năm 2000, dân số Nevada (tính hàng triệu) mơ hình hóa theo hàm sau t P=f (t