chuyen de cuc tri hinh hoc 9

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC CỰC TRỊ HÌNH HỌC A- Phương pháp giải tốn cực trị hình học 1- Dạng chung tốn cực trị hình học : “ Trong tất hình có chung tính chất , tìm hình mà đại lượng ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn giá trị nhỏ nhất.” cho dạng : a) Bài toán dựng hình Ví dụ : Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường tròn , xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ b) Bài tốn vể chứng minh Ví dụ : Chứng minh dây qua điểm P đường tròn (O), dây vng góc với OP có độ dài nhỏ c) Bài tốn tính tốn Ví dụ : Cho đường tròn (O;R) điểm P nằm đường trịn có OP = h , Tính độ dài nhỏ dây qua P 2- Hướng giải tốn cực trị hình học : a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D để f = m - Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học + Cách1 :Trong hình có tính chất đề bài,chỉ hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi mà đề yêu cầu CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Ví dụ : Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường trịn( P khơng trùng với O).Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải : +Cách : Gọi AB dây vng góc với OP P , dây CD dây qua P không trùng với AB ( h.1) Kẻ OH  CD C OHP vuông H  OH < OP  CD > AB O Như tất dây qua P , dây vng góc H với OP P có độ dài nhỏ B A P +Cách : Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH  AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: AB nhỏ  OH lớn Ta lại có OH ≤ OP OH = OP  H ≡ P Do maxOH = OP Khi dây AB vng góc với OP P h D A O H P h B B-Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học 1- Sử dụng quan hệ đường vng góc , đường xiên , hình chiếu a-Kiến thức cần nhớ: A B A C A a K H B h.4 h.5 a1) ABC vuông A (có thể suy biến thành đoạn thẳng)  AB ≤ BC Dấu “=” xảy  A ≡ C ( h.3 ) h.3 a2) ( h.4 ) + AH  a  AH ≤ AB + AB < AC  HB < HC B H a b C Dấu “=” xảy  B ≡ H a3)( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB Dấu “=” xảy  A ≡ K B ≡ H CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC b-Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm ,hình có diện tích lớn ? Tính diện tích lớn Giải : B A B C H O A O≡H C D D h.6 h.7 Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH  AC Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2  BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2 Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ E K Giải : A B HAE = EBF = FCG = GHD F  HE = EF = FG = GH  EFGH hình thoi O · · AHE  BEF H · · · ·  AHE  AEH  900  BEF  AEH  900 · C D  HEF  900 G  EFGH hình vng h.8 Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên hình bình hành suy O trung điểm AC EG , O tâm hai hình vng ABCD EFGH HOE vng cân : HE2 = 2OE2  HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do chu vi EFGH nhỏ  OE nhỏ Kẻ OK AB  OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK  E ≡ K CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Do minOE = OK Như , chu vi tứ giác EFGH nhỏ E,F,G,H trung điểm AB , BC, CD, DA Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác Giải: Gọi K giao điểm CM DB µ B µ  900 , AMC · · MA = MB ; A  BMK  MAC = MBK  MC = MK Mặt khác DM CK µ1D µ2  DCK cân  D Kẻ MH  CD MHD = MBD  MH = MB = a 1  SMCD = CD.MH ≥ AB.MH = 2a.a= a2 2 x y D 12 H C A B M K · SMCD = a2  CD  Ax AMC = 450 ; · =450 BMD Vậy SMCD = a2 Các điểm C,D xác định Ax; By cho AC = BC =a h.9 µ góc tù , điểm D di chuyển cạnh BC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B Xác định vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn Giải: A Gọi S diện tích ABC Khi D di chuyển cạnh BC ta có : SABD + SACD = S E Kẻ BE AD , CF  AD 2  AD.BE + AD.CF = S H B 2S h.10 AD Do BE + CF lớn  AD nhỏ hình chiếu HD nhỏ · Do HD ≥ HB ( ABD >900 ) HD = HB  D ≡ B  BE +CF = C D F CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Vậy Khi D ≡ B tổng khoảng cách từ B C đến AD có giá trị lớn 2- Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc a-Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C ta có : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB  C thuộc đoạn thẳng AB b-Các ví dụ: · Ví dụ 5:Cho góc xOy điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB +AC nhỏ Giải: m Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy cho y · · Trên tia Om lấy điểm D yOm  xOA D cho OD = OA Các điểm D A cố định · · OD =OA, OC = OB , COD  BOA C  DOC = AOB  CD = AB A Do AC +AB = AC +CD Mà AC +CD ≥ AD O AC +AB ≥ AD B x h.11 Xảy đẳng thức C AD Vậy min(AC+AB) =AD Khi C giao điểm AD Oy , B thuộc tia Ox cho OB = OC Ví dụ 6:Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải : F A I E K D M H h.12 B G C A E I F B K M D h.13 H G C Gọi I ,K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG , EH (h.12) AEF vng A có AI trung tuyến  AI =1/2EF CGH vuông C có CM trung tuyến  CM =1/2GH IK đường trung bình EFG  IK = 1/2FG KM đường trung bình EGH  KM = 1/2EH CHUN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Do : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng · · · Khi ta có EH//AC,FG//AC, AEI nên EF//DB , tương tự GH//DB  EAI  ADB Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.13) 3- Sử dụng bất đẳng thức đường tròn a-Kiến thức cần nhớ: C D C A H A O B B C B B A D h.15 D C O O K h.14 D A h.16 h.17 a1) AB đường kính , CD dây  CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD : AB ≥ CD  OH ≤ OK (h.15) · · a3) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD  AOB (h.16)  COD »  CD » a4) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD  AB (h.17) b-Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn nht Gii: A = s AmB ẳ = sđ AnB ¼ sđ C ; sđ D 2 D  số đo góc ACD khơng đổi O O’  ACD có chu vi lớn n m cạnh lớn , chẳng hạn AC lớn D’ C’ B AC dây đường trịn (O) , AC lớn AC đường kính đường C h.18 CHUN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC trịn (O), AD đường kính đường trịn (O’) Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ vng góc với dây chung AB Ví dụ 8: Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường tròn Xác định dây · AB qua P cho OAB có giá trị lớn Giải: · Xét tam giác cân OAB , góc đáy OAB lớn · góc đỉnh AOB nhỏ B’ O ·AOB  sđ » AB ) · B » nhỏ  dây A Góc AOB nhỏ  Cung AB H P AB nhỏ  Khoảng cách đến tâm OH lớn Ta có OH ≤ OP A’ OH =OP  H ≡ P nên max OH = OP  AB  OP h.19 Suy dây AB phải xác định dây A’B’ vuông góc với OP P 4- Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai a-Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A2 ≥ ; A2 ≤ Do với m số , ta có : f =A2 + m ≥ m ; f = m với A = f =  A2 + m ≤ m ; max f = m với A = b-Các ví dụ: 4-x Ví dụ 9: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm A x E Trên cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Tính độ dài AE 4-x cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: AHE = BEF = CFG = DGH H  HE = EF = FG = GH , HEF = 900  HEFG hình vng nên chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ D G Đặt AE = x HA = EB = 4-x h.20 HAE vuông A nên : HE = AE2 +AE2 = x2 + (4  x)2 = 2x2  8x +16 = 2(x  2)2 +8 ≥ HE = =2  x = Chu vi tứ giác EFGH nhỏ cm , AE = cm B F C CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Ví dụ 10: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC.Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Giải: ADME hình chữ nhật A Đặt AD = x ME = x x 8-x EM CE x CE D     CE  x ME //AB  AB CA E C  AE =  x B M h.21 4 Ta có : SADME = AD AE = x (  x ) = 8x  x 3 =  (x  3)2 +12 ≤ 12 SADME = 12 cm  x =3 Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm ,khi D trung điểm AB , M trung điểm BC E trung điểm AC 5- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si a-Kiến thức cần nhớ: xy  xy Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si :Với x ≥ ; y ≥ ta có : Bất đẳng thức Cơ-si thường sử dụng dạng sau : x  y  2 + Dạng 1: x  y  Dấu “=” xảy x = y   xy 2 xy x  y   + Dạng 2:  ;   x  y xy 2  x  y    ;  x  y   x  y x  y2 Dấu “=” xảy x = y + Dạng 3:Với x ≥ ; y ≥ ; x +y không đổi xy lớn x = y + Dạng4: Với x ≥ ; y ≥ ; xy khơng đổi x+y nhỏ x = y CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC b-Các ví dụ: Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ Giải : Đặt MA =x , MB = y Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB) Gọi S S’ theo thứ tự diện tích A O O’ M B   hai hình trịn có đường kính y x MA MB Ta có : 2 x  y2  x   y h.22 S +S’ =       =   2   2 x  y  2 Ta có bất đẳng thức : x  y  nên : 2 AB2 x  y  S +S’   =  8 Dấu đẳng thức xảy x = y AB2 Do (S+S’) =  .Khi M trung điểm AB Ví dụ 12: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Giải : MC.MD x Đặt MA = a , MB = b · · AMC  BDM  C a b MC = , MD = cos sin  ab A a ( SMCD = M cos.sin  h.23 Do a,b số nên SMCD nhỏ  2sin.cos lớn y D Ta có : SMCD =  b B CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Theo bất đẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có : 2 2sin.cos  sin  +cos  = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450  AMC BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi điểm C,D xác định tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM Ví dụ 13: Cho ABC , điểm M di động cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC với AB , chúng cắt AB AC theo thứ tự D E.Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn A Giải : SADME lớn SABC Kẻ BK  AC cắt MD H SADME = MD HK SABC = AC BK SADME MD HK  SABC AC BK Đặt MB = x , MC = y , MD BM x   MD//AC ta có : AC BC x  y xy  Theo bất đẳng thức   x  y K D SADME lớn  B H E x h.24 M y C HK MC y   BK BC x  y SADME 2xy    SABC  x  y  ; Dấu đẳng thức xảy x = y Vậy maxSADME = SABC M trung điểm BC Ví dụ 14: Cho  ABC vng cân có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm AB Điểm E di chuyển cạnh AC Gọi H,K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình ? Giải: Ta có : 2SDEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) HK Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi a Nên (BH + KC) HK lớn BH + KC) = HK = 10 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Do : a a a2 max SDEKH =  2 a suy : a a a KC = BC BH –HK = a   = 2 a a Do DH = HB = , EK = KC = 4 Hình thang DEKH hình chữ nhật , E trung điểm AC B H Khi đường cao HK = 6- Sử dụng tỉ số lượng giác a-Kiến thức cần nhớ: Hệ thức cạnh góc tam giác vng D A E C h.25 B c + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tgB = c.cotgC K A a b h.26 C b-Các ví dụ: Ví dụ 15: Chứng minh tam giác cân có diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc đỉnh nhỏ Giải: Xét tam giác ABC cân A có · diện tích S Kẻ đường cao AH Đặt BAC = AHC vng H, ta có :  · HAC  , B   AH = HC cotg = BC.cotg 2 1   Do : S = BC.AH = BC BC.cotg = BC2cotg 2 2 4S   S.t g  BC =  cot g Do S không đổi nên : A H h.27 C 11 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC BC nhỏ  tg   · nhỏ  nhỏ   nhỏ  BAC nhỏ 2 Ví dụ 16: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC,CD lấy điểm · K,M cho BK : KC = : 1, CM : MD = : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc KAM lớn t gx  t gy ( Cho công thức biến đổi tg( x +y )= )  t gx.t gy Giải: · · Đặt BAK  y ( x + y < 900 )  x , DAM A B · · · lớn  BAK + DAM nhỏ KAM x  x + y nhỏ  tan (x + y) nhỏ y Giả sử AB : BC = : m ( m> 0) BK BK BC 4m K   tg x = AB BC AB D C M DM DM DC h.28   tg y = AD DC AD 5m t gx  t gy  4m   4m  25  4m    :   =   tg( x +y )= =   t gx.t gy  5m  5m 5m 21   4m  tg (x + y) nhỏ  nhỏ 5m Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: 4m 4m   ≥ 5m 5m 4m 1  Dấu đẳng thức xảy  m= 5m Vậy x + y nhỏ m = · Do KAM lớn AB : BC = : 12 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Phần 3: Bài tập ôn luyện Bài : Cho hình vng ABCD Hãy xác định đường thẳng d qua tâm hình vng cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng : a) Lớn b) Nhỏ Hướng dẫn: d Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC AD (h.29) B’ Gọi m tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình C B C’ vuông đến D H m =2(AA’ +BB’) N Gọi M, N trung điểm AB A’B’ M O Suy : m = 4MN đó: m lớn  MN lớn A’ m nhỏ  MN nhỏ D A a) MN  MO  m lớn  M≡O  d//AB D’ b)kẻ MH  OB Chứng minh MN ≥MH  MN nhỏ h.29  N ≡H  d≡BD d ≡AC Bài : Cho ABC vuông cân A điểm D,E theo thứ tự di chuyển cạnh AB ,AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D,E cho : a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn B Hướng dẫn: (h.30) a)Gọi M trung điểm BC · BDM = AEM  BMD  ·AME · · · · ·  DME  DMA  ·AME  DMA  BMD  BMA  900 Gọi I trung điểm DE DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM Min DE = AM  I trung điểm AM  D trung điểm AB E trung điểm AC b)Đặt AE = x, AB =AC =a AD = a  x , SADE = D M I A C E h.30 x(a  x) SBDEC nhỏ  SADE lớn  x(a  x) lớn Do x +( a x) = a không đổi nên x( a  x) lớn  x = a  x  x = a/2 Khi D trung điểm AB E trung điểm AC 13 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Bài : Cho  ABC vng A có BC = a , diện tích S Gọi m trung điểm BC Hai dường thẳng thay đổi qua M vng góc với cắt cạnh AB , AC D ,E Tìm : a) Giá trị nhỏ đoạn thẳng DE b) Giá trị nhỏ diện tích  MDE A Hướng dẫn: a) (h.31)Gọi O trung điểm DE Ta có OA = OD =OE = OM a B  DE = OA + OM ≥ AM = minDE = a/2  O trung điểm AM  D trung điểm AB E trung điểm AC b) (h.32)Kẻ MH  AB , MK  AC ME ≥ MK , MD ≥ MH AC AB S 2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK = = 2 S minSMDE =  D ≡ H E ≡ K D O E C M h.31 A H D K B E C M h.32 Bài : Cho điểm m di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ tam giác đềuAMC BMD phía AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác tren nhỏ Hướng dẫn: (h.33) Gọi K giao điểm AC BD Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với AKB Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có : 2 S1  x S  y   ;   S  a S  a S1  S2 x  y  x  y  a2     2 2 S a 2a 2a Dấu đẳng thức xảy x = y Do : (S1 +S2) =  M trung điểm AB K D C A x M B y h.33 14 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Bài : Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho có diện tích lớn Biết M AB ; N  AC ; P,Q  BC Hướng dẫn: (h.34) Gọi I giao điểm AH MN Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h  x AMN S  ABC MN AI y hx hx     y  a  BC AH a h h a  SMNPQ = xy = x(h  x) h  SMNPQ lớn  x(h  x)lớn x +(h  x) = h không đổi nên x(h  x) lớn  x = h  x  x = h/2 Khi MN đường trung bình ABC A M B h-x I y N Q H C P h.34 Bài : Cho  ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC , IK AB Tìm vị trí I cho tổng IM2 +IN2 +IK2 nhỏ Hướng dẫn: (h.35) Kẻ AH BC , IE AH B ANIK ,IMHE hình chữ nhật H IK2+ IN2 = IK2 +AK2 = AI2 ≥ AE2 E M IM = EH K I nên IK2+ IN2 + IM2 = AI2 +EH2 ≥ AE2+EH2 x  y AH A Đặt AE = x , EH =y ta có : x  y   N  2 h.35 AH 2 2  IK + IN + IM ≥ Dấu “=” xảy I trung điểm đường cao AH C Bài : Cho tam giác nhọn ABC Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC , IK AB Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z A Tìm vị trí I cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ n Hướng dẫn: (h.36) Đặt BK = k , CM = m , AN = n , BC = a , AC = b , AB = c K K k K B x N I y M h.36 z m C 15 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC x2 +y2 +z2 = =(IA2  IK2 ) + (IB2  IM2 ) + (IC2  IN2 ) = (IA2  IN2 ) + (IB2  IK2 ) + (IC2  IM2 ) = n2 + k2 + m2  2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) 2 2 2 x  k y  m  AB c  BC a 2 2 x+k ≥ y+m ≥     2 2 2 2 z  n AC b z2 + n2 ≥    2 2 2 a b c  x2 +y2 +z2 ≥ a2  b2  c2 2 min(x +y +z ) =  x = k , y = m , z = n  I giao điểm đường trung trực ABC Bài : Cho nửa đường trịn có đường kính AB = 10 cm Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD Tính diện tích lớn tứ giác ABFE Hướng dẫn: (h.37) Kẻ OH CD , ta tính OH = 4cm SABFE = 1/2(AE + BF).EF = OH.EF  OH AB = 4.10 =40 max SABEF =40 cm2  EF // AB , OH  AB E C A D H F B O h.37 Bài : Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm hình vng ) tiếp tuyến với cung cắt BC, CD theo thứ tự M N A B Tính độ dài nhỏ MN Hướng dẫn:(h.38) Đặt CM = m , CN = n , MN = x m + n + x = 2CD = 2a m2 +n2 = x2 m  n  2 Do : x = m +n ≥ 2  2x ≥ ( 2a  x)  x ≥ 2a  x M H D N n m C h.38 16 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC  x≥ 2a  2a(  1) 1 MN =2a     m = n Khi tiếp tuyến MN // BD , AM tia phân giác · · BAC , AN phân giác DAC Bài 10 : Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Qua A vẽ hai tia vng góc với , chúng cắt đường tròn (O) , (O’) B C Xác định vị trí tia để  ABC có diện tích lớn Hướng dẫn:(h.39) B Kẻ OD  AB ; O’E  AC ta có: C 1 D SABC = AB.AC = 2AD.2AE= 2.AD.AE E 2   · ' AE   Đặt OA =R ; O’A = r ; ·AOD  O R A r O' O AD = R sin ; AE = r cos  SABC = Rr 2sin cos 2sin cos  sin2 + cos2 =1 h.39  SABC  Rr Do : max SABC = Rr  sin = cos  sin = sin( 900  )   = 900     = 450 Vậy ta vẽ tia AB,AC tạo với tia AO, AO’ thành góc ·OAB  O · ' AC  450  ABC có diện tích lớn Bài 11 : Cho đường trịn (O;R) đường kính BC , A điểm di động đường tròn Vẽ tam giác ABM có A M nằm phía BC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E , F, G theo thứ tự trung điểm OC, CM, MH, OH Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn Hướng dẫn: (h.40) DEFG hình bình hành Kẻ OI FH , ta có OI đường trung bình  BHC nên OI = ½ HC = GD · MO đường trung trực AB nên IMO  300  OI = ½ OM  GD = ½ OM Mà ED = ½ OM  EG = GD  DEFG hình thoi A M E B O F I C D G H h.40 17 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC · · · HFG  HMO  300  EFG  600 EFG 2 HC BC   2 EF EF 3   =R  SDEFG =2SEFG = =       2 2 2 R2 · max S =  H ≡ B  MBC  900  ·ABC  300  AC = R Bài 12 : Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC không chứa A không trùng với B,C Gọi H,I,K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D đến đường thẳng BC , AC, AB Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z b c a a) Chứng minh :   y z x a b c   nhỏ b) Tìm vị trí điểm D để tổng x y z A Hướng dẫn: (h.41) · a) Lấy E BC cho CDE  ·ADB b c CDE đồng dạng với  ADB I DH CE x CE c CE O       HE B DK AB z c z x C y x K Tương tự BDE đồng dạng với  ADC z DH BE x BE b BE        DM DI AC y b y x b c BE  CE a h.41     y z x x a b c a a 2a a b)   =  = Do S nhỏ  nhỏ  x lớn  x y z x x x x D≡M ( M điểm cung BC không chứa A) Bài 13 : Cho ABC nhọn , điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P ,Q hình chiếu M AB , AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ Hướng dẫn: (h.42) Tứ giác APMQ tứ giác nội tiếp Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ · · Kẻ OH  PQ Đặt BAC = POH = PQ = PH = 2.OP sin = AM sin A O P Q H B h.42 C M 18 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Do  không dổi nên PQ nhỏ  AM nhỏ  AM BC Bài 14 : Cho đoạn thẳng AB điểm C AB Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đường trịn có đường kính AB,AC,BC Xác định vị trí điểm C đoạn AB để diện tích phần giới hạn ba nửa đường trịn dạt giá trị lớn Hướng dẫn: (h.43) Gọi (O1;r1);(O2;r2);(O3;r3) đường tròn có đường kính Ab,AC,BC Đặt AB = 2a , AC =2x r1 = a , r2= x Suy BC =2a  2x r3 = a  x Gọi S diện tích giới hạn ba đường tròn 2  r12   r22  r32  a  x  a  x     Ta có : S      x a  x =  2 2 S lớn  x( a x) lớn Mặt khác x + (a  x) = a không đổi nên a x( a x) lớn  x = a  x  x =  C ≡O1  a2 A Lúc ta có S = O2 C O1 O3 h.43 h.42 Bài 15 : Cho đường tròn (O;R) Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) (O2) tiếp xúc tiếp xúc với (O) bán kính đường trịn (O2) gấp đơi bán kính đường trịn (O1) Tìm giá trị nhỏ diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi hình tròn (O1) và(O2) Hướng dẫn: Gọi x bán kính đường trịn (O1) Khi 2x bán kính O2 đường trịn (O2 ) (h.44) Xét OO1O2 ta có : O1O2  O O1 +OO2 O R  3x  (R  x) +( R  2x)  6x  2R  x  O1 Gọi S phần diện tích hình trịn (O) nằm ngồi đường trịn (O1)và (O2 ) , ta có : h.44 2 2 S =  R   x   4x    R  5x  R R2 4 R 2 Do x  nên x   S≥ ; 9 R 4 R S = x= O1 O O2 19 h.45 B CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Khi O1,O,O2 thẳng hàng bán kính đường tròn (O1) (O2 ) R 2R (h.45) Đề kiểm tra (tham khảo) Thời gian : 45 phút Cho hình vng ABCD có cạnh , điểm M nằm đường chéo BD a) Nêu cách dựng đường tròn (I) qua M tiếp xúc với hai cạnh AD CD Nêu cách dựng đường tròn (K) qua M tiếp xúc với hai cạnh AB,BC b) Chứng minh điểm M di chuyển đường chéo BD tổng chu vi hai đường trịn khơng đổi c) Xác định vị trỉ điểm M BD để tổng diện tích hai hình trịn đạt giá trị nhỏ 20 CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÌNH HỌC 2-Đáp án , biểu điểm : a) Qua M kẻ đường vng góc với BD cắt AB,BC,CD,DA P,Q,F,E Do AB,BC tiếp xúc với (K) nên K  MB A PQ  KM nên PQ tiếp tuyến (K) P Vậy (K) đường tròn nội tiếp PBQ Tương tự (I) đường tròn nội tiếp EDF (2 đ) b) Tổng chu vi hai đường tròn (I) (K) bằng: E 2.IM + 2.MK = 2 IK MD = ID +IM = MB = KB +MK = J 2.KH  KM  2.KM  KM  (  ).KM    H K M 2.IJ  IM  2.IM  IM  (  ).IM  BD = MD + MB = B    IM  MK  = I D C F  IK  IK = BD  BD 1  1  Do BD = AB = Q h.46  IK = (  1) =  Vậy tổng chu vi hai đường tròn 2(2  ) (4 đ) c) Gọi x y bán kính đường trịn (I) và(K) Ta có : x + y =  Gọi S1 ,S2 diện tích hình trịn S1 + S2 = x +y = (x + y ) ≥   x  y  2 2 2  2 2  2 S1 + S2 nhỏ  x =y  M trung điểm BD ( 4đ) 21 ...  90 0 Gọi I trung điểm DE DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM Min DE = AM  I trung điểm AM  D trung điểm AB E trung điểm AC b)Đặt AE = x, AB =AC =a AD = a  x , SADE = D M I A C E h.30 x(a  x) SBDEC... Tìm : a) Giá trị nhỏ đoạn thẳng DE b) Giá trị nhỏ diện tích  MDE A Hướng dẫn: a) (h.31)Gọi O trung điểm DE Ta có OA = OD =OE = OM a B  DE = OA + OM ≥ AM = minDE = a/2  O trung điểm AM  D...  HE = EF = FG = GH  EFGH hình thoi O · · AHE  BEF H · · · ·  AHE  AEH  90 0  BEF  AEH  90 0 · C D  HEF  90 0 G  EFGH hình vng h.8 Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG