Thông tin tài liệu
PHỊNG GD&ĐT BÌNH XUN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút khơng kể thời gian giao đề Câu 1: a) Tính giá trị đa thức f ( x) = ( x4 − 3x +1)2016 x = − b) So sánh 20172 − − 20162 − − + + 2.2016 2017 − + 20162 − sin x cos2 x + c) Tính giá trị biểu thức: sin x.cos x + với 00< x < 900 + cot x + tan x d) Biết số vơ tỉ, tìm số nguyên a, b thỏa mãn: − = −9 − 20 a+b a−b Câu 2: Giải phương trình sau: x −1 x − − = − x − x −1 Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 – = c) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + 4n hợp số Câu 4: a) Chứng minh a + b4 ab3 + a3b − a 2b 2 b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + =2 a+b+1 b+c+1 c+a+1 Tìm giá trị lớn tích (a + b)(b + c)(c + a) Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt H Gọi chân đường vng góc hạ từ D xuống AB, AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Giả sử HD = AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh rằng: điểm E, M, N, F thẳng hàng - Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay làm Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GD&ĐT BÌNH XUN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG HDC KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN Câu Câu Ý a) 1đ Đáp án x = 9− + − 2 + = 9− Điểm 2 +4−2 +4 2 = 9−8 =1 =9 − + 2 5−2 5+2 −2 0.75 ( ) f ( x) = f (1) = b) 1đ c) 1đ d) Ta có 20152 − − 20142 − = 0.25 ( 2017 − − 20162 − 1)( 2017 − + 20162 − 1) 2017 − + 20162 − (20152 − 1) − (20142 − 1) 2017 − 20162 (2017 − 2016)(2017 + 2016) = = = 20172 − + 20162 − 2017 − + 20162 − 2017 − + 20162 −1 2017 + 2016 2.2016 = 2 2017 − + 2016 − 2017 − + 20162 − 2.2016 Vậy 20172 −1 − 20162 −1 > 20172 − + 20162 − sin x cos2 x sin x.cos x + + cos x sin x 1+ 1+ sinx cos x sin x cos3 x = sin x.cos x + + + cosx 1+sinx ( sinx + cos x ) ( sin x − sinx.cos x + cos2 x ) sin x + cos3 x = sin x.cos x + = sin x.cos x + sinx + cosx sinx + cosx = sin x.cos x + − sin x.cos x = ĐK: a b (*) − = −9 − 20 a +b a −b 2(a − b 5) − 3(a + b 5) = −(9 + 20 5)(a + b 5)(a − b 5) 9a − 45b2 − a = 5(−20a + 100b2 + 5b) (*) Ta thấy (*) có dạng A = B A, B Q , B thi = A I vơ lí B B = => A= 9a − 45b − a = 9a − 45b − a = 2 9a − 45b − a = Do (*) 2 −20a + 100b + 5b = −9a + 45b + b = a = b a = a = a = b hoac (không t/m ĐK (*)) Vậy a = 9; b = b = b − 4b = b = 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu a) 0.5đ ĐK x 1; x (**) x −1 x − (2) − = − x − x −1 x+3 x+3 = ( x − 3)( x − 1) + Trường hợp : x + = x = −3 (TMĐK (**) + Trường hợp : x + x −3 Ta có (x-3)(x-1) = x − x − = x2 − 4x + = ( x − 2)2 = 0.25 x = + (TMĐK (*)) x = − Vậy tập nghiệm phương trình (2) là: S ={-3; + ; − } Câu 0.25 Ta có: P(0) = d a) 0.5đ b) 0.5đ c) 0.5đ Câu a) 0.5đ P(1) = a + b + c + d => a + b + c P(-1) = -a + b – c + d => -a + b – c Từ (1) (2) suy 2b => b P(2) = 8a + 4b + 2c + d => 8a + 2c (1) 0.25 (2) (2,5) = 1, suy a + c => a 5 => c Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16 ( 2x – y )2 + 3y2 = 16 ( 2x – y )2 = 16 – 3y2 Vì ( 2x – y )2 nên 16 – 3y2 y2 y2 { 0; 1; } - Nếu y2 = x2 = x = - Nếu y2 = ( 2x – y )2 = 13 khơng số phương nên loại y2 = - Nếu y2 = y = + Khi y = x = x = + Khi y = - x = x = - Vậy: phương trình có nghiệm nguyên là: (x, y) = ( - 2; ); ( 2; ); ( 0; ); ( 2; ); ( 0; - ); ( - 2; -2 ) - Nếu n số chẵn n4 + 4n số chẵn lớn nên hợp số - Nếu n số lẻ, đặt n = 2k + với k số tự nhiên lớn ta có n4 + 42k + = (n2)2 + (2.4k )2 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k = ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k) Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k = (n – 2k)2 + 4k> 4 2k + Suy n + hợp số Vậy n4 + 4n hợp số với số tự nhiên n lớn a + b4 ab3 + a3b − a 2b Giả sử ta có a + b4 2ab3 + 2a3b − 2a 2b2 a + b4 − 2ab3 − 2a3b + 2a 2b2 a − 2a3b + a 2b2 + b4 − 2ab3 + a 2b2 ( a − ab ) + ( b − ab ) với a, b 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 a + b4 ab3 + a3b − a 2b với a, b Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z số thực dương 1 Ta có + + =2 x+1 y+1 z+1 1 1 y z = 2− − = 1− +1− = + x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 y+1 z+1 Vậy b) 0.5đ y z 2 x+1 y+1 z+1 0.25 z y (Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ) y+1 z+1 Chứng minh tươngtự ta có x z y x 2 2 y+1 x+1 y+1 x+1 z+1 z+1 1 y z x z x y 2 2 2 x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 x+1 z+1 x+1 y+1 1 xyz 8 xyz x+1 y+1 z+1 ( x + 1)( y + 1)( z + 1) Suyra Dấu “ = ” xảy x y z = = x= y=z= x+1 y+1 y+1 a=b=c= 0.25 Vậy: Giá trị lớn tích ( a + b )( b + c )( c + a) Câu A I K F N H M E B a) 1đ b) C D Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: AE.AB = AD2 ; AF.AC = AD2 Suy ra: AE.AB = AF.AC Biểu thị được: tanB = AD AD AD ; tanC = ; tanB.tanC = BD.CD CD BD 0.5 0.5 1đ Biểu thị được: 0.5 BD.CD CD BD ; tanC = tan DHB = ; tanB.tanC = HD2 HD HD AD AD 2 Suyra: (tanB.tanC) = => tanB.tanC = =3 HD HD 0.5 tanB = tan DHC = c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB = AF.AC/AI.AC => EF // IK 1đ Chứng minh được: BM BD BE = = ME / /IK M EF MI DC EK Tương tự chứng minh N EF suy điểm E, M, N, F thẳng hàng Tổng Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng cho điểm tối đa 0.5 0.5 10 ... f (1) = b) 1? ? c) 1? ? d) Ta có 2 015 2 − − 2 014 2 − = 0.25 ( 2 017 − − 2 016 2 − 1) ( 2 017 − + 2 016 2 − 1) 2 017 − + 2 016 2 − (2 015 2 − 1) − (2 014 2 − 1) 2 017 − 2 016 2 (2 017 − 2 016 )(2 017 + 2 016 ) = = = 2 017 2... 2 016 ) = = = 2 017 2 − + 2 016 2 − 2 017 − + 2 016 2 − 2 017 − + 2 016 2 ? ?1 2 017 + 2 016 2.2 016 = 2 2 017 − + 2 016 − 2 017 − + 2 016 2 − 2.2 016 Vậy 2 017 2 ? ?1 − 2 016 2 ? ?1 > 2 017 2 − + 2 016 2 − sin x cos2 x sin x.cos... có x z y x 2 2 y +1 x +1 y +1 x +1 z +1 z +1 1 y z x z x y 2 2 2 x +1 y +1 z +1 y +1 z +1 x +1 z +1 x +1 y +1 1 xyz 8 xyz x +1 y +1 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Suyra Dấu “ = ” xảy
Ngày đăng: 04/12/2022, 15:49
Xem thêm:
