TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ KHẢO SÁT GIỮA HỌC KÌ II MƠN: TỐN - LỚP: Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: P x x 4 với x 0; x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P 1 c) So sánh P với Bài 2: (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời tử A đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20 km/h Do đến B trước xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đường AB dài 100km Bài 3: (2 điểm) Cho hàm số y ax với a có đồ thị parabol P a) Xác định a để parabol P qua điểm A1;1 b) Vẽ đồ thị hàm số y ax với a vừa tìm câu c) Cho đường thẳng d : y x Tìm tọa độ giao điểm d P với hệ số a tìm câu a d) Tính diện tích tam giác AOB với A; B giao điểm d P Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường thẳng d đường tròn O; R khơng có điểm chung Kẻ OH vng góc với đường thẳng d H Lấy điểm M thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn O; R Nối AB cắt OH , OM K I a) Chứng minh điểm M , H , A, O, B thuộc đường tròn b) Chứng minh OK OH OI OM c) Chứng minh M di chuyển d đường thẳng AB qua điểm cố định d) Tìm vị trí M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn x+3 x−2 Bài (0,5 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + x − +1 _ THCS.TOANMATH.com _ HƯỚNG DẪN x x 4 với x 0; x 1 x x 1 x 1 Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: P a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P 1 c) So sánh P với Hướng dẫn a) P x x x 1 x 1 x 4 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 b ) P 1 c) Ta có P x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x (thỏa mãn) 1 x 1 với x 0; x Bài 2: (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời tử A đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20 km/h Do đến B trước xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đường AB dài 100km Hướng dẫn Đổi: 50 phút = Gọi vận tốc xe khách xe du lịch x, y km / h x, y 0 Thời gian xe khách hết quảng đường AB 100 x Thời gian xe du lịch hết quảng đường AB y x 20 Theo đề ta có: 100 100 y x 100 y x 1 y x 20 y x 20 y x 20 y x 100 xy 2400 x x 20 2400 xy x 40 TM y y x 20 x 40 x 60 x 60 ( KTM ) Vậy vận tốc xe khách xe du lịch 40 km/h 60 km/h Bài 3: (2 điểm) Cho hàm số y ax với a có đồ thị parabol P a) Xác định a để parabol P qua điểm A1;1 b) Vẽ đồ thị hàm số y ax với a vừa tìm câu c) Cho đường thẳng d : y x Tìm tọa độ giao điểm d P với hệ số a tìm câu a d) Tính diện tích tam giác AOB với A; B giao điểm d P Hướng dẫn a) Vì parabol (P) qua điểm A1;1 nên thay x 1, y vào P : y ax , ta được: 1 a a b) Với a , suy hàm số có dạng y x c) Phương trình hồnh độ giao điểm giao điểm (P) (d) là: x 1 y x x x 1 x 3 x y Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) 1;1,3;9 d) 2 2 Ta có: SOAB SOBF SFOA FO.DB FO AE 3.3 3.1 (đvdt) Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường thẳng d đường trịn O; R khơng có điểm chung Kẻ OH vng góc với đường thẳng d H Lấy điểm M thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn O; R Nối AB cắt OH , OM K I a) Chứng minh điểm M , H , A, O, B thuộc đường tròn b) Chứng minh OK OH OI OM c) Chứng minh M di chuyển d đường thẳng AB qua điểm cố định d) Tìm vị trí M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn Hướng dẫn a) Ta có điểm M, H, A, O, B thuộc đường trịn đường kính OM b) Vì MA, MB hai tiếp tuyến cắt nên OM AB I Suy tứ giác MIKH nội tiếp Do OIK OHM g g Vậy OK OH OI OM OI OM R2 c) Ta có OK OH OI OM OK (do tam giác OBM vuông OH OH B, đường cao BI) Vì OH cố định nên OK cố định Vậy K cố định hay M di chuyển d đường thẳng AB qua điểm cố định d) Tìm vị trí M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn Ta có SOIK 1 OI IK OI IK OK 2 Do OK cố định nên diện tích tam giác IOK đạt giá trị lớn OK , xảy OI OK Khi tam giác OIK vng cân I Suy KOI 45o , tam giác OHM vuông cân H MH MO Vậy điểm M thuộc đường thẳng d thỏa mãn MH = HO diện tích tam giác OIK lớn Bài (0,5 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A Đặt : x3 x2 x x 1 Hướng dẫn x − =t ≥ 0, ∀x ⇒ x − =t ⇒ x =t + Thay vào A ta được: t + 3t + ( t + 1)( t + ) t + 1 A= = = =1− ≥1− = t + 4t + ( t + 1)( t + 3) t + t+3 3 Dấu “=” xảy t = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ A _ THCS.TOANMATH.com _ , xảy x = ... đường AB y x 20 Theo đề ta có: 100 100 y x 100 y x 1 y x 20 y x 20 y x 20 y x 100 xy 24 00 x x 20 24 00 xy ... với x 0; x Bài 2: (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời tử A đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20 km/h Do đến B... y x x x 1 x 3 x y Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) 1;1,3 ;9? ?? d) 2 2 Ta có: SOAB SOBF SFOA FO.DB FO AE 3.3 3.1 (đvdt) Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường