Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
SH6.CHUYÊN ĐỀ 6-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 6.1 SO SÁNH PHÂN SỐ PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT So sánh hai phân số mẫu - Trong hai phân số mẫu dương: + Phân số có tử số lớn lớn + Phân số có tử số bé bé + Nếu tử số hai phân số hai phân số So sánh hai phân số khác mẫu Muốn so sánh hai phân số khác mẫu ta quy đồng mẫu hai phân số đó, thực so sánh hai phân số mẫu Lưu ý: Để thực so sánh nhanh nên rút gọn phân số cho dạng tối giản trước quy đồng Trong hai phân số có tử số: - Trong hai phân số tử số dương: + Phân số có mẫu số lớn bé + Phân số có mẫu số bé lớn + Nếu mẫu số hai phân số hai phân số Các tính chất + Phân số có tử mẫu dấu phân số dương Mọi phân số dương lớn + Phân số có tử mẫu trái dấu phân số âm Mọi phân số âm nhỏ + Nếu cộng tử mẫu phân số nhỏ 1, tử mẫu dương, với số nguyên a ac dương giá trị phân số tăng thêm (a, b, c 0) b bc + Với hai phân số có tử mẫu dương a c a c a ac ( a, b, c, d 0) b d b d b bd + Tính chất bắc cầu a c b d a c e (b, e, f 0) c e b d f d f + Với m : a a am * 1 b b bm * a a am 1 b b bm a a am 1 b b bm * a c ac b d bd * PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng So sánh hai phân số mẫu dương I.Phương pháp giải - Trong hai phân số có mẫu dương, phân số có tử lớn lớn hơn: a c a c b 0 b b II Bài toán Bài So sánh phân số sau a) 4 b) 3 4 5 c) 7 d) 15 25 37 37 Lời giải a) Ta có: nên 4 c) Ta có: nên 7 b) Ta có: 3 nên 3 5 d) Ta có: 25 15 27 nên 15 25 37 37 Bài So sánh phân số sau a) 3 4 b) 3 8 c) 7 17 17 d) 25 17 47 47 Lời giải Các phân số chưa có mẫu dương, trước hết ta đưa chúng phân số có mẫu dương trước so sánh a) Vì 1 3 1 3 ; Ta có: 3 1 nên 4 4 4 4 b) Vì 7 7 3 ; Ta có: 7 nên 8 8 8 c) Vì 7 7 7 ; Ta có: 17 nên 17 17 17 17 17 17 d) Vì 25 25 25 17 25 17 ; Ta có: 25 17 47 nên 47 47 47 47 47 45 Bài 3: Sắp xếp phân số sau theo thứ tự tăng dần a) 5 4 11 ; ; ; ; ; ; 17 17 17 17 17 17 17 c) 15 16 32 13 10 18 23 ; ; ; ; ; ; 37 37 37 37 37 37 37 b) 15 12 14 10 14 27 ; ; ; ; ; ; 57 57 57 57 57 57 57 Lời giải Nhận xét: Các phân số có mẫu số dương, nên để xếp phân số theo thứ tự tăng dần ta so sánh tử số a) 5 4 11 ; ; ; ; ; ; 17 17 17 17 17 17 17 Ta có: -11 < -5 < -4 nên b) 11 5 4 17 17 17 17 17 17 17 15 12 14 10 14 27 ; ; ; ; ; ; 57 57 57 57 57 57 57 Ta có: -15 < -14 < < 10 < 12 nên 15 14 10 12 14 27 57 57 57 57 57 57 57 c) 15 16 32 13 10 18 23 ; ; ; ; ; ; 37 37 37 37 37 37 37 Ta có: -18 < -16 < -15 < 10 < 13 < 23 < 32 37 > nên 18 16 15 10 13 23 32 37 37 37 37 37 37 37 Bài 4: Điền số thích hợp vào chỗ trống sau a) 10 15 15 15 15 15 15 15 c) 8 4 37 37 37 37 37 b) 11 6 17 17 17 17 17 17 b) 11 10 9 8 7 6 17 17 17 17 17 17 Lời giải a) 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 15 c) 8 6 4 37 37 37 37 37 Dạng So sánh hai phân số khác mẫu I Phương pháp giải Cách Quy đồng mẫu số hai phân số so sánh tử số chúng - Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân s (đưa phân số mẫu số) - Bước 2: So sánh tử số hai phân số mẫu số quy đồng Trong hai phân số có mẫu số: + Phân số có tử số nhỏ nhỏ + Phân số có tử số lớn lớn Cách Quy đồng tử số hai phân số so sánh mẫu số chúng - Bước 1: Quy đồng tử số (đưa tử số) + Lấy tử số mẫu số phân số thứ nhân tử số phân số thứ hai + Lấy tử số mẫu số phân số thứ hai nhân tử số phân số thứ - Bước 2: So sánh mẫu số hai phân số quy đồng tử số Trong hai phân số có tử số: + Phân số có mẫu số nhỏ lớn + Phân số có mẫu số lớn nhỏ Lưu ý: Để thực so sánh nhanh nên rút gọn phân số cho dạng tối giản trước quy đồng II.Bài toán Bài 1: So sánh Lời giải Cách 1: Quy đồng mẫu số 2PS so sánh tử số chúng với + Ta có: mẫu chung 35 + So sánh 2PS quy đồng, ta có : 14 20 (vì PS có mẫu số, tử số có 14 20 ) nên 35 35 2 4 ; giữ nguyên 5 10 Cách 2: Chọn tử số chung (vì : ), ta có: Ta có : 4 TS , mẫu số có 10 ) nên 10 7 Bài 2: So sánh 3 5 Lời giải Có MC: 4.5 = 20 - (- 3).5 - 15 ; = = 4.5 20 - (- 4).4 - 16 = = 5.4 20 Vì: - 15 > - 16 nên - 15 - 16 -3 -4 -3 -4 hay: Vậy: 20 20 5 Bài 3: So sánh phân số: a) - 11 17 12 - 18 - 14 - 60 21 - 72 b) Lời giải a) - 11 17 - 11 - 17 12 - 18 12 18 Có MC: 22.32 = 36 Có MC: - 11 (- 11).3 - 33 ; = = 12 12.3 36 - (- 2).2 - = = 3.2 - 17 (- 17).2 - 34 = = 18 18.2 36 Vì - 14 - 60 -2 21 - 72 b, Vì -4 -2 - 14 - 60 nên Vậy 6 21 - 72 - 33 - 34 - 11 - 17 - 11 17 nên Vậy: 36 36 12 18 12 - 18 Bài 4: So sánh đại lượng sau: a) Thời gian dài hơn: h hay h ? c) Khối lượng lớn hơn: b) Đoạn thẳng ngắn kg hay kg 10 10 d) Vận tốc nhỏ m hay m ? 10 kg / h hay kg / h ? Lời giải h h có MC: 12 a, 2.4 = = 3.4 12 Vì ; 3.3 = = 4.3 12 7.2 14 = = 10 10.2 20 nên h dài h > 12 12 c) Ta có có MC: 22.5 = 20 10 b, Vì > (vì ) 10 10 3.5 15 = = 4.5 20 14 15 nên m ngắn m < 20 20 10 d) Ta có ; 42 ; 54 45 54 nên kg lớn kg 10 10 mà 42 45 Bài 5: So sánh hai phân số 42 45 54 54 km/h nhỏ km/h Lời giải Cách 1: QĐMS (chọn MSC 12 ) Cách : QĐTS ( chọn TSC 6) Ta có : Ta có : 2 3 ; 3 12 4 12 2 3 ; 3 4 Vì nên 12 12 Vì 6 nên b) ; ; Bài 6: Viết phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn : a) 17 ; ; 18 Lời giải Để xếp PS theo thứ tự từ bé đến lớn, trước tiên ta QĐMS PS Rồi so sánh tử số Chọn MSC 18 (vì 18 chia hết cho 6; 9; 18) a) 8 16 5 15 17 ; ; giữ nguyên 9 18 6 18 18 Ta so sánh PS quy đồng mẫu số Vì 15 16 17 17 nên 18 18 18 18 Vậy phân số viết theo thứ tự từ bé đến lớn là: 17 ; ; 18 b) Chọn MSC (vì chia hết cho ; 4; 8) Ta có: Vì Vì 5 ; nên , giữ nguyên 8 8 nên 8 8 Vậy phân số viết theo thứ tự từ bé đến lớn : ; ; 5 Bài Sắp xếp phân số sau theo thứ tự giảm dần: ; ; ; ; 12 Lời giải Do số âm nhỏ số dương nên Trong số dương 5 ; ; ; ; 12 Vì 5 nên 12 Vì 2 nên 12 12 12 Vậy xếp theo yêu cầu đề 5 ; ; ; ; ; 12 Dạng So sánh qua số trung gian I Phương pháp giải - Khi so sánh hai hay nhiều phân số, việc quy đồng đưa mẫu số dương để so sánh tử số nhiều khó khăn, đó, ta chọn phân số trung gian, dựa vào phân số trung gian này, ta so sánh hai phân số ban đầu * Dạng 3.1: So sánh qua số - Việc so sánh qua số sử dụng ta thấy phân số nhỏ (tử mẫu trái dấu) phân số lớn không (tử mẫu dấu) a 0 a b c (c.d 0) b b.d c d d a.c * Dạng 3.2: So sánh qua số - Với hai phân số dương mà ta nhận thấy phân số lớn ( tử số lớn mẫu số) phân số nhỏ ( tử số nhỏ mẫu số) ta chọn số trung gian để so sánh a 1 a c b (a, b, c, d 0) c b d c d 1 d ab * Dạng 3.3: So sánh qua phân số trung gian phù hợp Ta chọn phân số trung gian phù hợp để so sánh hai phân số a c b d a c e (b.e f 0) c e b d f d f Chú ý vài tính chất sau đây: + Trong hai phân số có tử, tử mẫu dương, phân số có mẫu nhỏ lớn a a c b (a, b, c 0) c b + Nếu cộng tử mẫu phân số nhỏ 1, tử mẫu dương, với số a ac ngun dương giá trị phân số tăng thêm (a, b, c 0) b bc + Với hai phân số có tử mẫu dương a c a c a ac ( a, b, c, d 0) b d b d b bd II.Bài toán Bài So sánh hai phân số sau a) b) 15 c) 13 16 14 15 b) 15 d) 23 21 25 19 Lời giải a) Ta có: 1 7 1 Ta có 5 6 1 6 c) 15 1 15 15 3 15 15 3 13 16 14 15 d) 23 21 25 19 Ta có: 13 14 1 13 16 13 16 Ta có 14 14 16 15 15 14 15 1 14 15 15 23 25 1 25 25 23 21 23 21 21 19 19 25 19 25 19 19 Bài So sánh hai phân số sau a) 13 7 b) 13 33 c) 13 3 17 11 d) 1 25 19 Lời giải a) 13 7 b) Ta có 13 33 Ta có 13 0 7 7.9 0 0 33 8.(13) 0 13 13.5 1.33 7 13 7 13 0 9 8 0 13 33 13 33 c) 13 3 17 11 d) 1 25 19 Ta có Ta có: (13).(17) (3).11 13 0 17 (1).(19) 3 0 11 3.(25) 3 13 3 13 0 11 17 11 17 1 0 19 0 25 1 1 0 25 19 25 19 Bài So sánh hai phân số sau a) 16 17 63 b) 29 33 c) 44 89 57 99 d) 19 30 53 73 Lời giải a) Ta có: 4 16 16 17 16 64 63 b) Ta có : c) Ta có: 44 44 22 88 88 89 57 52 25 100 99 99 d) Ta có: 5 7 29 25 35 33 19 20 20 30 30 53 53 50 75 73 Bài 4: So sánh hai phân số sau a) 22 18 107 79 b) 25 35 67 89 c) 18 31 67 106 d) 41 24 119 67 Lời giải a) Ta có: 22 22 18 18 107 99 81 79 b) Ta có: 25 25 35 35 67 65 13 91 89 c) Ta có: 18 18 30 30 67 63 75 73 d) Ta có: 41 42 24 24 119 119 17 68 67 Bài 5: So sánh hai phân số sau a) 65 91 129 174 b) 21 50 53 119 Lời giải a) Ta có: 65 65 13 91 91 129 125 25 175 174 b) Ta có: 21 21 49 50 53 51 17 119 119 Dạng So sánh qua phần bù (hay phần thiếu) I Phương pháp giải So sánh qua phần bù áp dụng để so sánh hai phân số nhỏ a a ba a gọi phần bù đến đơn vị phân số Trong hai phân số b b b b có phần bù tới đơn vị khác nhau, phân số có phần bù nhỏ phân số lớn Với phân số II.Bài tốn Bài So sánh hai phân số sau a) 2009 2008 2010 2009 b) 1007 1005 1009 1007 c) 2021 2017 2023 2019 d) 2005 2009 2007 2011 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: +) 2009 2010 2009 2010 2010 2010 2010 +) 1007 1009 1007 1009 1009 1009 1009 +) 2008 2009 2008 2009 2009 2009 2009 +) 1005 1007 1005 1007 1007 1007 1007 +) 1 2009 2008 2009 2010 2010 2009 2 1005 1007 1007 1009 1007 1009 +) c) Ta có: d) Ta có: +) 2021 2023 2021 2023 2023 2023 2023 +) 2005 2007 2005 2007 2007 2007 2007 +) 2017 2019 2017 2019 2019 2019 2019 +) 2009 2011 2009 2011 2011 2011 2011 +) 2 2017 2021 2019 2023 2019 2023 +) 2 2005 2009 2011 2007 2007 2011 c) 2004 2001 2005 2004 Bài So sánh hai phân số sau a) 2005 2007 2009 2010 b) 1997 1995 1999 1998 d) 1775 1768 1777 1771 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: +) 2005 2009 2005 2009 2009 2009 2009 +) 1997 1999 1997 1999 1999 1999 1999 +) 2007 2010 2007 2010 2010 2010 2010 +) 1995 1998 1995 1998 1998 1998 1998 +) 3 2007 2005 2010 2009 2009 2010 2009 +) c) Ta có: 2 1997 1995 1999 1998 1998 1999 1998 d) Ta có: +) 2004 2005 2004 2005 2005 2005 2005 +) 1775 1777 1775 1777 1777 1777 1777 +) 2001 2004 2001 2004 2004 2004 2004 +) 1768 1771 1768 1771 1771 1771 1771 +) 1 2004 2001 2005 2004 2004 2005 2004 Bài So sánh hai phân số sau A +) 109 1010 ;B 2 1775 1768 1777 1771 1771 1777 1771 108 109 Lời giải Ta có: +) A +) B 109 1010 109 1010 1010 1010 1010 109 1010 109.9 1010 108 109 108 109 108 108.9 109 109 109 109 109 +) Để so sánh A B , ta so sánh 10 10 10 1 9 10 1 10 109 1010 10 10 1010 1 B 1 A A B 799 Bài So sánh hai phân số sau A 7100 ;B 798 799 Lời giải Ta có: +) A 798 +) 799 799 7100 1 799 799 799 798 7100 7100 7100 799 798 1 799 1 798 799 798 799 798 799 + Vậy A B Bài So sánh hai phân số sau A 1189 1190 B 1087 1088 Lời giải Ta có: 1189 10 1189 1189 10 1188 A 1 1190 10 1190 1190 10 1189 1188 1189 1 Vậy A 1188 10 1188 1188 10 1187 1189 10 1189 1189 10 1188 1188 1189 B Bài So sánh hai phân số sau 43 31 49 35 Lời giải Ta có: 43 43.4 172 49 49.4 196 31 31.6 186 35 35.6 210 1 43 172 196 172 24 1 49 196 196 196 196 1 31 186 210 186 24 1 35 210 210 210 210 24 24 43 31 196 210 49 35 Bài So sánh hai phân số sau a) 12 17 15 b) 1999 12 2001 11 10 c) 13 27 27 41 - Nhận thấy tất phân số có tử số lớn mẫu số (phân số lớn 1) hiệu tử số với mẫu số nhỏ ta tìm phần với - Nhận thấy hai phân số có tử số lớn mẩu số lấy tử số chia cho mầu số hai phân số có thương (ví dụ 5) - Nhận thấy hai phân số có tử số bé mẫu số lấy mẫu số chia cho tử số hai phân số có thương (ví dụ 6) - Lưu ý: + Trong hai phân số, phân số có phần lớn phân số lớn ngược lại phân số có phần nhỏ phân số nhỏ * Các bước tiến hành: + Bước 1: Tìm phần hai phân số + Bước 2: So sánh hai phần với + Bước 3: Kết luận II.Bài toán Bài So sánh hai phân số 14 11 Hướng dẫn Hai phân số 14 có đặc điểm: 11 + Đều lớn có tử số lớn mẫu số + Tử số - mẫu số Vậy ta chọn cách So sánh phần với đơn vị hai phân số Lời giải Ta có : Vì 14 1 ; 1 11 11 3 (hai phân số có tử số, mẫu số có 11 ) 11 Vậy 14 11 Bài So sánh: 2016 2018 2012 2014 Hướng dẫn: Hai phân số 2016 2018 có đặc điểm: 2012 2014 + Đều lớn có tử số lớn mẫu số + Tử số - mẫu số Vậy ta chọn cách so sánh phần với đơn vị hai phân số Lời giải Ta có : 2016 2018 1 ; 1 2012 2012 2014 2014 15 Vì 4 2012 2014 Vậy (hai phân số có tử số, mẫu số có 2012 2014 ) 2016 2018 2012 2104 Bài So sánh hai phân số 43 10 14 Lời giải Ta làm sau: Lấy tử số chia cho mẫu số: 43:14 (dư 1) 10 : (dư ) Chọn phần nguyên thương làm số chung (có 3) Thực phép trừ: Vậy ta có: Vì 43 10 3 ; 3 14 14 3 43 10 3 ; 3 14 14 3 1 43 10 nên 14 14 Bài 4: So sánh hai phân số 77 84 76 83 Lời giải Ta có Vì 77 84 1 ; 1 76 76 83 83 1 77 84 nên 76 83 76 83 Bài So sánh hai phân số 13 19 41 71 Lời giải Ta làm sau: Lấy mẫu số chia cho tử số: 41:13 (dư 2); 71:19 (dư 14) Chọn mẫu số phân số chung cách lấy phần nguyên thương cộng 1: Thực phép trừ: Vậy ta có: Vì: 13 11 19 ; 41 164 71 284 13 11 19 ; 41 164 71 284 11 11 19 13 nên 284 284 164 71 41 Bài So sánh hai phân số 21 2003 89 8017 Lời giải 16 Ta nhận thấy hai phân số cho lấy mẫu số chia cho tử số thương số dư Ta có: 1: 21 89 2003 8017 ;1: 89 21 8017 2003 Mà 89 8017 4 ; 4 21 21 2003 2003 Vì 5 89 8017 nên 21 2003 21 2003 Suy ra: 21 2003 89 8017 Bài Cho A 102002 102003 B 102003 102004 So sánh A B Lời giải 10A 10.B Vì 102003 10 102003 102004 10 102004 1 102003 1 102004 102003 102004 (cùng tử số, mẫu số lớn phân số nhỏ) Nên 10.A 10.B Hay: A B Bài So sánh phân số sau A 3535.232323 3535 2323 ; B ;C 353535.2323 3534 2322 Lời giải Ta có: A 3535.232323 35.101.23.10101 1 353535.2323 35.10101.23.101 B 3535 1 3534 3534 C 2323 1 2322 2322 Vì 1 (cùng tử số, mẫu số lớn phân số nhỏ) nên A B C 3534 2322 Bài So sánh phân số sau A 5.(11.13 22.26) 1382 690 ; B ; 22.26 44.52 137 548 Lời giải A B 5.(11.13 22.26) 5.11.13.(1.1 2.2) 1 22.26 44.52 22.26.(1.1 2.2) 4 1382 690 137 548 138.(138 5) 138 1 137.(137 4) 137 137 17 Vì 1 (cùng tử số, mẫu số lớn phân số nhỏ) nên A B 137 Ta có: A 5.(11.13 22.26) 22.26 44.52 Dạng 6: So sánh tổng tích nhiều phân số với phân số I Phương pháp giải Bước 1: Tìm số chữ số tổng Bước 2: Tách số cố định thành tổng chữ số Bước 3: So sánh số tổng với chữ số vừa tách Bước 4: Kết luận II.Bài toán Bài So sánh: a) 1 1 với ; 101 102 199 200 c) 1 1 với 101 102 199 200 12 b) 1 1 với ; 101 102 149 150 Lời giải a) Từ 1 tới có tất 100 chữ số 101 200 Mà Vì 1 100 100 100 có 100 chữ số 100 1 1 1 Nên: ; ;; 101 100 102 100 200 100 1 1 1 101 102 199 200 100 100 100 1 1 1 101 102 199 200 Kết luận: Vậy gặp dạng so sánh (dấu hiệu so sánh số với tổng dãy số), em thực theo bước: Bước 1: Tìm số chữ số tổng (ví dụ tốn 100 chữ số) Bước 2: Tách số cố định thành tổng chữ số (ví dụ tách thành tổng 100 chữ số) 1 Bước 3: So sánh số tổng ; ; với chữ số vừa tách 101 102 100 Bước 4: Kết luận b) 1 1 với ; 101 102 149 150 Bước 1: Từ 1 tới có tất 50 chữ số 101 150 18 Bước 2: Tách Bước 3: Vì 1 1 (có tất 50 chữ số ) 150 150 150 150 1 1 ; ; 150 101 150 102 150 149 1 1 1 101 102 150 150 150 150 1 50 101 102 150 150 1 1 ; ; 150 101 150 102 150 149 1 1 1 101 102 150 150 150 150 1 50 101 102 150 150 Bước 4: Kết luận: c) 1 1 101 102 150 1 1 với 101 102 199 200 12 Phần khó phần a b chút, phải kết hợp: Chúng ta có Lại có: Mà: 1 1 (1) 101 102 150 1 1 50 chữ số 200 200 200 200 1 1 1 Nên: ; ; ; 151 200 152 200 199 200 1 1 151 152 200 Cộng (1) (2) được: 1 1 3 101 102 200 12 12 Kết luận: 1 101 102 200 12 Bài 2: Cho tổng : S 1 Chứng minh: S 31 32 60 5 Lời giải 1 1 1 S 40 41 42 50 51 52 60 31 32 1 1 1 S 30 40 40 40 50 50 50 30 30 hay S 10 10 10 30 40 50 19 suy S 47 48 60 60 (1) Vậy S 1 1 1 Mặt khác: S 40 50 50 50 60 60 60 40 40 S 10 10 10 40 50 60 S 37 36 60 60 S (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài So sánh A 9999 với B 10000 100 Lời giải Đặt C 10000 10001 So sánh số A với C ta thấy: 9999 10000 ; 10000 10001 Vậy A C 10000 9999 A A A.C 10001 10000 9999 10000 A2 (Rút gọn tử mẫu lần lượt) 10000 10001 A2 1 mà (mẫu lớn phân số nhỏ) 10001 10001 10000 A2 10000 100 A B 100 Kết luận: A B Bài 4: Chứng minh rằng: 1 1 1 41 42 43 78 79 80 12 Lời giải Ta thấy: Vậy 1 đến có 40 phân số 41 80 1 1 1 41 42 43 78 79 80 20 1 1 1 1 (1) 59 60 61 62 63 79 80 41 42 43 1 1 1 41 42 60 61 62 80 Vì (2) 1 1 1 Ta có 60 60 80 80 80 80 80 60 60 20 20 1 60 80 12 12 (3) Từ (1), (2), (3) Suy ra: 1 1 1 41 42 43 78 79 80 12 Bài 5: So sánh 2 2 n2 Lời giải 2 1 1 1 1 n(n 1) n n … … n2 Vậy 2 n 1 n2 1 n 1 1 1 Bài So sánh A với 99 3 3 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: A 3( ) = (1 ) 99 3 3 3 3 398 Suy A A 2A 1 99 399 A 1 99 2.3 1 1 Vậy A 99 3 3 21 99 100 Bài 13: Cho M N 100 101 a) Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: M 10 Lời giải Nhận xét M N có 45 thừa số: a) Và 99 100 nên M < N ; ; ; 100 101 99 100 b) Tích M N 100 101 101 c)Vì M N 1 mà M N nên ta suy được: M M 101 101 100 Tức M.M < 1 M< 10 10 10 Dạng 7: Dạng tập phối hợp nhiều phương pháp I Phương pháp giải * Phương pháp so sánh hai phân số cách "nhân thêm số vào hai phân số" - Ta sử dụng phương pháp nhân thêm số vào hai phân số nhận thấy tử số hai phân số bé mẫu số nểu lấy mẫu số chia cho tử số có thương số dư Khi ta nhân hai phân số với số tự nhiên (là phần nguyên thương) để đưa dạng so sánh "phần bù" Bài 1: So sánh hai phân số 11 17 52 76 Lời giải Ta nhận thấy hai phân số cho lấy mẫu số chia cho tử số thương số dư nên ta nhân hai phân số với Ta có: 11 44 4 ; 52 52 17 68 44 4 1 ; 76 76 52 52 1 Vì 68 76 76 8 44 68 11 17 nên hay 52 76 52 76 52 76 * Phương pháp so sánh hai phân số cách "phép chia hai phân số" - Phương pháp sử dụng dựa vào nhận xét: "Trong phép chia, số bị chia lớn số chia thương lớn 1, số bi chia bé số chia thương nhỏ 1" - Ta sử dụng phương pháp "chia hai phân số" nhận thấy tử số mẫu số hai phân số số có giá trị khơng q lớn, khơng nhiều thời gian thực phép nhân tử số mẫu số 22 23 41 Bài So sánh hai phân số Lời giải Ta có: Vì 41 82 : 23 41 23 207 82 nên 207 23 41 Bài 3: So sánh hai phân số A 108 109 B 109 1010 Lời giải Cách 1: B phân số nhỏ Nếu cộng số nguyên dương vào tử mẫu B giá trị B tăng thêm Do dó B 109 109 1010 1010 109 10 1010 10 108 A 10 109 1 10 10 108 Vậy B A Cách (sau học phép nhân phân sô) 10 A 10 B 109 10 10 108 10 10 9 10 1010 10 10 109 1010 Ta thấy 1010 10 10 10 1 1010 (so sánh hai phân số tử) nên 10 A 10 B Do A B Bài So sánh A 20032003 20032004 B 20032002 20032003 Nhận thấy tử mẫu có số mũ lớn cách 2003, nên: 2003.A 2003 B Vì 20032004 2003 2003 20032003 20032004 20032004 20032003 2003 2003 20032002 2003 2002 2004 2003 1 2003 1 2002 20032003 2003 2003 1 20032004 2002 20032003 (do tử mà mẫu lớn phân số bé) Nên A B Bài a) So sánh phân số: 2002 15 25 với 301 490 23 b) So sánh tổng S n 2007 với (n N * ) n 2007 2 23 2 Lời giải a) 15 15 25 25 301 300 20 500 499 15 25 301 499 Vậy b) So sánh tổng S n 2007 với (n N * ) n 2007 2 2 n Với n ta có: n n 1 n 1 n2 2n Từ ta có: S 3 2009 2008 2009 2 2 2006 2007 2 2 2 22007 Vậy S Bài Cho A 102002 102003 B 102003 102004 So sánh A B Lời giải 102003 10 10 A 10.B Vì 10 2003 102004 10 10 2004 10 1 2003 1 10 1 1 10 1 10 2004 2003 1 2004 1 (cùng tử số, mẫu số lớn phân số nhỏ) Nên 10.A 10.B Hay: A B Bài So sánh hai phân số 13 19 41 71 Lời giải Lấy mẫu số chia cho tử số: 41:13 (dư 2) 71:19 dư 14) Chọn mẫu số phân số chung cách lấy phần nguyên thương cộng 1: (có Thực phép trừ: 13 11 19 ; 41 164 71 284 Vậy ta có: 24 ) 13 11 41 164 19 71 284 Vì 11 11 19 13 nên 284 284 164 71 41 Bài 8: Cho A 199919991999 1999 B Hãy so sánh A B 20002002000 2000 Lời giải A 199919991999 1999000000 19990000 1999 20002002000 2000000000 20000000 2000 1999 100000000 10000 1 2000(100000000 10000 1) 1999.100010001 2000.100010001 1999 B 2000 Vậy A B Bài 9: a) Chứng minh phân số sau nhau: 25 2525 252525 ; ; 53 5353 535353 b) Không quy đồng mẫu so sánh phân số sau 37 377 67 677 Lời giải a) Ta có: 2525 25.101 25 5353 53.101 53 252525 25.10101 25 535353 53.10101 53 Vậy b) 25 2525 252525 53 5353 535353 300 300 300 30 30 300 mà (1) 670 677 670 67 67 677 Ta có: 377 37 37 30 377 300 1 677 67 67 67 677 677 Từ (1) (2) suy (2) 377 37 677 67 Bài 10: So sánh A 1011 1012 B 1010 1011 Lời giải 25 Ta có : A A 1011 1012 1011 1012 (vì tử nhỏ mẫu) (1011 1) 11 1011 10 (1012 1) 11 1012 10 1010 1011 B Vậy A < B Bài 11: So sánh M 2004 2005 2004 2005 N 2005 2006 2005 2006 Lời giải Ta có 2004 2004 2005 2005 2006 2005 2005 2006 2005 2006 Cộng vế với vế ta M N Bài 12: So sánh 37 3737 39 3939 Lời giải 37 3700 3700 37 3737 a c ac (áp dụng tính chất ) 39 3900 3900 39 3939 b d bd Bài 13: Cho a, b, m N * Hãy so sánh am a bm b Lời giải Xét trường hợp a a a 1; 1; 1 b b b a) Trường hợp a am a a b 1 b bm b b) Trường hợp a 1 a b a m b m b am ba có “phần bù” tới bm bm a ba ba ba am a có “phần bù” tới , nên b b bm b bm b c) Trường hợp a 1 a b a m b m b am ba có “phần thừa” tới bm bm a a b ab ab am a có “phần thừa” tới , nên b b bm b bm b Bài 14: Cho tổng : S 1 Chứng minh: S 31 32 60 5 26 Lời giải Tổng S có 30 số hạng, nhóm 10 số hạng thành nhóm Giữ nguyên tử, thay mẫu mẫu khác lớn giá trị phân số giảm Ngược lại, thay mẫu mẫu khác nhỏ giá trị phân số tăng lên 1 1 1 Ta có S 31 32 40 41 42 50 51 52 60 1 1 1 10 10 10 S hay S 30 40 40 40 50 50 50 30 40 50 30 30 47 48 Vậy S (1) 60 60 Tức là: S 1 1 1 Mặt khác: S 40 50 50 50 60 60 60 40 40 S 10 10 10 40 50 60 Tức : S 37 36 S (2) 60 60 Từ (1) (2) suy S 5 Bài 15: So sánh a) A B ; 80 243 Lời giải n n x xn Áp dụng công thức & x m x m.n yn y 7 1 a) A 80 81 328 3 6 B 30 ; 243 3 Vì 328 330 nên A B 5 243 3 b) C 8 215 3 125 D 15 243 35 Chọn 125 15 3 b) C D 8 243 làm phân số trung gian, so sánh 125 15 > 125 315 Vậy C > D 27 Bài 16: Cho a, m, n N * Hãy so sánh: A 10 am 10 an B 11 am an Lời giải 10 A m an an a 10 B m an am a Muốn so sánh A B ,ta so sánh a n am cách so sánh trường hợp sau: a) Với a a m a n A B b) Với a 0: Bài 17: Nếu m= n am = an A=B Nếu m< n a m a n Nếu m > n a m > a n So sánh P Q, biết P a m a m an an A B A>B 31 32 33 60 Q 1.3.5.7 59 2 2 Lời giải 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) 1.3.5 59 Q 2.4.6 60 P Vậy P Q Bài 18: Sắp xếp phân số 47 17 27 37 theo thứ tự tăng dần ; ; ; 223 98 148 183 Lời giải Xét phân số nghịch đảo Nếu đổi hỗn số Ta thấy: Suy 223 98 148 183 , ; ; ; 47 17 27 37 35 13 13 35 ;5 ;5 ; 47 17 27 37 13 13 35 35 5 4 4 17 27 37 47 17 27 37 47 a c b d (vì ) 98 148 183 223 b d a c Bài 19: So sánh P Q, biết rằng: P 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q 2011 2012 2013 2011 2012 2013 Lời giải 28 Q Vì 2010 2011 2012 2011 2012 2013 2010 2011 2012 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2010 2010 2011 2012 2013 2011 2011 2011 2011 2012 2013 2012 2012 2012 2011 2012 2013 2013 Cộng vế với vế ta có: 2010 2011 2012 2010 2011 2012 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 Vậy: Q P Bài 20: So sánh A B , biết rằng: A 20052005 20052006 B 20052004 20052005 Lời giải A 20052005 20052006 20052005 2004 20052006 2004 2005.(20052004 1) 2005.(20052005 1) 20052004 20052005 B Vậy A < B , Bài 21: Hãy so sánh hai phân số 1999 19992000 tất cách 2000 20002000 Lời giải Cách 1: Quy đồng mẫu số so sánh tử Mẫu chung 20002000 Ta có: Vì 1999 19991999 19992000 ; giữ ngun 2000 20002000 20002000 19991999 19992000 1999 19992000 Nên 20002000 20002000 2000 20002000 Cách 2: Vậy 1999 19992000 2000 20002000 Cách 3: Vậy 1999 19991999 19992000 2000 20002000 20002000 1999 19992000 10000 1 2000 2000 20002000 20002000 1999 19992000 2000 20002000 HẾT 29 ... Để thực so sánh nhanh nên rút gọn phân số cho dạng tối giản trước quy đồng II.Bài toán Bài 1: So sánh Lời giải Cách 1: Quy đồng mẫu số 2PS so sánh tử số chúng với + Ta có: mẫu chung 35 + So sánh... 37 37 Dạng So sánh hai phân số khác mẫu I Phương pháp giải Cách Quy đồng mẫu số hai phân số so sánh tử số chúng - Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân s (đưa phân số mẫu số) - Bước 2: So sánh tử... theo yêu cầu đề 5 ; ; ; ; ; 12 Dạng So sánh qua số trung gian I Phương pháp giải - Khi so sánh hai hay nhiều phân số, việc quy đồng đưa mẫu số dương để so sánh tử số nhiều khó khăn, đó, ta chọn