1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

chuyen de ham so bac nhat va ham so bac hai on thi vao lop 10

80 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai
Trường học THCS.TOANMATH.com
Chuyên ngành Toán
Thể loại Bài giảng
Định dạng
Số trang 80
Dung lượng 4,82 MB

Nội dung

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI Vấn đề 1: Hàm số bậc Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: + Hàm số bậc hàm số cho công thức: y = ax + b a b số thực cho trước a ≠ + Khi b = hàm số bậc trở thành hàm số y = ax , biểu thị tương quan tỉ lện thuận y x Tính chất: a) Hàm số bậc , xác định với giá trị x ∈R b) Trên tập số thực, hàm số y = ax + b đồng biến a > nghịch biến a < Đồ thị hàm số y = ax + b với ( a ≠ ) + Đồ thị hàm số y = ax + b đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b cắt trục hồnh điểm có b hồnh độ − a + a gọi hệ số góc đường thẳng y = ax + b Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b + Vẽ hai điểm phân biệt đồ thị vẽ đường thẳng qua điểm + Thường vẽ đường thẳng qua giao điểm đồ thị với  b  trục tọa độ A  − ;0 ÷, B ( 0; b )  a  THCS.TOANMATH.com 3Trang 030/17 + Chú ý: Đường thẳng qua M ( m;0 ) song song với trục tung có phương trình: x − m = , đường thẳng qua N ( 0; n ) song song với trục hồnh có phương trình: y − n = Kiến thức bổ sung Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) + ( y2 − y1 ) Điểm M ( x; y ) trung điểm AB AB = ( x2 − x1 ) x = x1 + x2 y +y ;y = 2 Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vng góc Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = ax + b đường thẳng ( d2 ) : y = a ' x + b ' • • với a, a ' ≠ (d1 ) / /(d ) ⇔ a = a ' b ≠ b ' (d1 ) ≡ (d ) ⇔ a = a ' b = b ' • ( d1 ) cắt ( d ) ⇔ a ≠ a ' • (d1 ) ⊥ (d ) ⇔ a.a ' = −1 Chú ý: Gọi ϕ góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox , a > tan ϕ = a Một số tốn mặt phẳng tọa độ: Ví dụ 1) Cho đường thẳng ( d1 ) : y = x + đường thẳng ( d ) : y = ( 2m − m ) x + m + m a) Tìm m để (d1 ) / /(d ) THCS.TOANMATH.com 3Trang 131/17 b) Gọi A điểm thuộc đường thẳng (d1 ) có hồnh độ x = Viết phương trình đường thẳng (d3 ) qua A vng góc với (d1 ) c) Khi (d1 ) / /(d ) Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng (d1 ), ( d ) d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1 ) tính diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm (d1 ) với trục tọa độ Ox, Oy Lời giải: a) Đường thẳng (d1 ) / /(d )  2m − m = ( m − 1) ( 2m + 1) = ⇔ ⇔m=−  2  m + m ≠ ( m − 1) ( m + ) ≠ (d1 ) / /(d ) b) Vì A điểm thuộc đường thẳng (d1 ) có hồnh độ x = Vậy với m = − suy tung độ điểm A l y = + = ⇒ A ( 2;4 ) Đường thẳng ( d1 ) có hệ số góc a = , đường thẳng ( d ) có hệ số góc a ' ⇒ a '.1 = −1 ⇒ a ' = −1 Đường thẳng ( d3 ) có dạng y = − x + b Vì ( d3 ) qua A ( 2;4 ) suy = −2 + b ⇒ b = Vậy đường thẳng ( d3 ) y = − x + c) Khi (d1 ) / /(d ) khoảng cách hai đường thẳng ( d1 ) ( d2 ) khoảng cách hai điểm A, B thuộc ( d1 ) ( d ) cho AB ⊥ (d1 ), AB ⊥ ( d ) Hình vẽ: Gọi B giao điểm đường thẳng THCS.TOANMATH.com 32 (d3 ) (d ) Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( d3 ) là: −x + = x − 25 23  25 23  ⇔ x= ⇒ y= ⇒ B  ; ÷ 8  8  2 25 23 Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: AB =  − ÷ +  − ÷ =     d) Gọi M , N giao điểm đường thẳng ( d1 ) với trục tọa độ Ox, Oy Ta có: Cho y = ⇒ x = −2 ⇒ A ( −2;0 ) , cho y = ⇒ x = −2 ⇒ N ( −2;0 ) Từ suy OM = ON = ⇒ MN = 2 Tam giác OMN vuông cân O Gọi H hình chiếu vng góc O lên MN ta có OH = 1 MN = SOMN = OM ON = ( đvdt) 2 Chú ý 1: Nếu tam giác OMN không vuông cân O ta tính OH theo cách: Trong tam giác vng OMN ta có: 1 = + (*) Từ để khoảng cách từ điểm O 2 OH OA OB đến đường thẳng (d ) ta làm theo cách: + Tìm giao điểm M , N (d ) với trục tọa độ + Áp dụng cơng thức tính đường cao từ đỉnh góc vng tam giác vng OMN (cơng thức (*)) để tính đoạn OH THCS.TOANMATH.com 3Trang 333/17 Bằng cách làm tương tự ta chứng minh công thức sau: Cho M ( x0 ; y0 ) đường thẳng ax + by + c = Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: d= ax0 + by0 + c a + b2 Ví dụ 2:Cho đường thẳng mx + ( − 3m ) y + m − = (d ) a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d ) ln qua b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) lớn c) Tìm m để đường thẳng (d ) cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân Lời giải: a) Gọi I ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua với m ta có: mx0 + ( − 3m ) y0 + m − = 0∀m ⇔ m ( x0 − y0 + 1) + y0 − = 0∀m  x =   x0 − y0 + = ⇔ I1;1 ⇔ Hay   ÷ 2 2  y0 − = y =  b) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng (d ) Ta có: OH ≤ OI suy OH lớn OI H ≡ I ⇔ OI ⊥ (d ) Đường thẳng qua O có phương trình: 1 1 y = ax I  ; ÷∈ OI ⇒ = a ⇔ a = ⇒ OI : y = x 2 2 2 THCS.TOANMATH.com 34 Đường thẳng (d ) viết lại sau: mx + ( − 3m ) y + m − = ⇔ ( − 3m ) y = −mx + − m + Đế ý với m = đường thẳng (d ) : x − = song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d ) + Nếu m ≠ y= 2 đường thẳng (d ) viết lại: m m −1 x+ Điều kiện để (d ) ⊥ OI 3m − 3m − m 1 = −1 ⇔ m = − 3m ⇔ m = Khi khoảng cách 3m − 2 2 1 1 Vậy m = giá trị cần tìm OI =  ÷ +  ÷ = 2 2 2 c) Ta giải tốn theo cách sau: + Cách 1: Dễ thấy m = không thỏa mãn điều kiện (Do (d ) , đường thẳng (d ) cắt Ox, Oy điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB , góc ·AOB = 900 ⇒ ∆OAB vuông cân O Suy hệ số góc khơng cắt Oy ) Xét m ≠ đường thẳng (d ) phải −1 đường thẳng (d ) không qua gốc O  m m =  3m − = 1 ⇔  Ta thấy có giá trị m = thỏa mãn  m = −1  m =   3m − điều kiện toán THCS.TOANMATH.com 3Trang 535/17 Cách 2: Dễ thấy m = , m = không thỏa mãn điều kiện Xét m ≠ 0; , đường thẳng (d ) viết lại: m m −1 x+ Đường thẳng (d ) cắt trục Ox điểm A 3m − 3m − có tung độ nên y= m m −1 1− m 1− m  1− m  x+ =0⇔ x= ⇒ A ;0 ÷⇒ OA = , đường 3m − 3m − m m  m  thẳng (d ) cắt trục Oy điểm có hồnh độ nên y= m −1 m −1  m −1  ⇒ B  0; Điều kiện để tam giác ÷ ⇒ OB = 3m − 3m −  3m −  m = m = 1− m m −1 OAB cân OA = OB ⇔ = ⇔ ⇒ m = m = m − m 3m −   Giá trị m = không thỏa mãn , đường thẳng (d ) qua gốc tọa độ Kết luận: m = Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng (d1 ) : mx + (m − 1) y − 2m + = 0,( d ) : (1 − m) x + my − 4m + = a) Tìm điểm cố định mà (d1 ) , (d ) qua b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P (0;4) đến đường thẳng (d1 ) lớn c) Chứng minh hai đường thẳng cắt điểm I Tìm quỹ tích điểm I m thay đổi d) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác I AB với A, B điểm cố định mà ( d1 ) , ( d ) qua Lời giải: THCS.TOANMATH.com 36 a) Ta viết lại (d1 ) : mx + (m − 1) y − 2m + = ⇔ m ( x + y − ) + − y = Từ dễ dàng suy đường thẳng (d1) qua điểm cố định: A ( 1;1) Tương tự viết lại (d ) : (1 − m) x + my − 4m + = ⇔ m ( y − x − ) + + x = suy (d ) qua điểm cố định: B ( −1;3) b) Để ý đường thẳng (d1 ) qua điểm cố định: A ( 1;1) Gọi H hình chiếu vng góc P lên (d1 ) khoảng cách từ A đến (d1 ) PH ≤ PA Suy khoảng cách lớn PA P ≡ H ⇔ PH ⊥ ( d1 ) Gọi y = ax + b phương trình đường thẳng qua P ( 0;4 ) ,A ( 1;1) ta có hệ :  a.0 + b = b = ⇒ suy phương trình đường thẳng   a.1 + b = a = −3 PA : y = −3x + Xét đường thẳng (d1 ) : : mx + (m − 1) y − 2m + = Nếu m = ( d1 ) : x − = ( d1 ) : y = khơng thỏa mãn điều kiện Khi m ≠ thì: m 2m − x+ Điều kiện để (d1 ) ⊥ PA 1− m m −1 m ( −3) = −1 ⇔ m = 1− m c) Nếu m = ( d1 ) : y − = ( d ) : x + = suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt I ( −1;1) Nếu m = ( d1 ) : x − = ( d ) : y − = suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt THCS.TOANMATH.com 3Trang 737/17 I ( 1;3) Nếu m ≠ { 0;1} ta viết lại ( d1 ) : y = ( d2 ) : y = m 2m − x+ 1− m m −1 m −1 4m −  m  m −  x+ Ta thấy  ÷ ÷ = −1 nên ( d1 ) ⊥ ( d ) m m  − m  m  Do hai đường thẳng ln cắt điểm I Tóm lại với giá trị m hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) vuông góc cắt điểm I Mặt khác theo câu a) ta có ( d1 ) , ( d ) qua điểm cố định A, B suy tam giác I AB vng A Nên I nằm đường trịn đường kính AB d) Ta có AB = ( −1 − 1) + ( − 1) = 2 Dựng IH ⊥ AB 1 AB AB IH AB ≤ IK AB = AB = = Vậy giá trị lớn 2 2 diện tích tam giác IAB IH = IK Hay tam giác IAB vuông cân I S ∆I AB = Ứng dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN Ta có kết quan trọng sau: + Xét hàm số y = f ( x) = ax + b với m ≤ x ≤ n GTLN, GTNN hàm số đạt x = m x = n Nói cách khác: { f ( x) = { f ( m ) ; f ( n ) } max { f ( x) = max { f ( m ) ; f ( n ) } Như m≤ x ≤ n m ≤ x≤ n để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) = ax + b với THCS.TOANMATH.com 38 m ≤ x ≤ n ta cần tính giá trị biên f ( m ) , f ( n ) so sánh hai giá trị để tìm GTLN, GTNN + Cũng từ tính chất ta suy ra: Nếu hàm số bậc y = f ( x ) = ax + b có f ( m ) , f ( n ) ≥ f ( x ) ≥ với giá trị x thỏa mãn điều kiện: m ≤ x ≤ n Ví dụ 1: Cho số thực ≤ x, y, z ≤ Chứng minh rằng: ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) ≤ Lời giải: Ta coi y , z tham số, x ẩn số bất đẳng thức cần chứng minh viết lại sau: f ( x) = ( − y − z ) x + ( y + z ) − yz − ≤  f ( ) ≤ Để chứng minh f ( x ) ≤ ta cần chứng minh:   f ( ) ≤ Thật ta có: + f ( ) = ( y + z ) − yz − = ( y − ) ( − z ) ≤ với y , z thỏa mãn: ≤ y, z ≤ + f ( ) = ( − y − z ) + ( y + z ) − yz − = − yz ≤ với y , z thỏa mãn: ≤ y, z ≤ Từ ta suy điều phải chứng minh: Dấu xảy ( x; y; z ) = ( 0;2;2 ) hốn vị số Ví dụ 2: Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: P = xy + yz + zx − xyz Lời giải: THCS.TOANMATH.com 3Trang 939/17 2) Tìm tất các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ≠ thỏa điều kiện x1 x2 − = x2 x1 16) Cho phương trình bậc hai: x − 2mx + m − m + = ( m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12 + x22 = x1 x2 − 17) Cho phương trình: x + ( m + 1) x − 2m + m = ( m tham số) a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2 18) Cho phương trình: x − ( m + 1) x + m + = ( m tham số) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + ( m + 1) x2 ≤ 3m + 16 19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ) : y = mx − tham số m parabol ( P ) : y = x a) Tìm m để đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 1;0 ) b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = THCS.TOANMATH.com 9Trang 595/17 20) Cho phương trình: x + x + m − = ẩn) (1) ( m tham số, x 1) Giải phương trình (1) với m = 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ≠ thỏa mãn: − m − x1 − m − x2 10 + = x2 x1 21) Cho phương trình: x − x + m + = ( m tham số) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = 22) Chứng minh phương trình: x − ( m + 1) x + m − = ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 biểu thức M = x1 ( − x2 ) + x2 ( − x1 ) không phụ thuộc vào m 2 23) Cho phương trình x − ( m + 1) x + m + 3m + = (1) ( m tham số) 1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 12 24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = − ( m + 1) x + ( m tham số) 3 1) Chứng minh giá trị m ( P ) ( d ) ln cắt hai điểm phân biệt THCS.TOANMATH.com 96 2) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) , đặt f ( x ) = x + ( m + 1) x − x ( x1 − x2 ) (Trích đề thi vào lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2013) Chứng minh rằng: f ( x1 ) − f ( x2 ) = − LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Vì x = nghiệm phương trình nên ta có: − ( 2m + 1) + m − m − = ⇔ m − 5m − = ⇔ m = −1 m = Với m = −1 ta có phương trình: x + x − = Phương trình cho có nghiệm x = , nghiệm cịn lại x = −3 (vì tích hai nghiệm ( −6 ) ) Với m = , ta có phương trình x − 13 x + 22 = , phương trình cho có nghiệm x = , nghiệm lại x = 11 (vì tích hai nghiệm 22) 2) Xét ∆ = ( 3) ( ) − − = + > Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Có thể nhận xét ac < nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu  x1 + x2 = − b) Áp dụng định lý Vi ét, ta có:   x1.x2 = − ( A = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = − ) ( ( B = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = − 3 C= ) − − = 3+ 2 ) ( )( ) − − − = −3 − 1 x1 + x2 − x1 + x2 − − 3−2 + = = = x1 − x2 − ( x1 − 1) ( x2 − 1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + − + + 3) a) Ta có ∆ = ( −m ) − ( m − 1) = m − 4m + = ( m − ) THCS.TOANMATH.com 9Trang 797/17 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ m ≠  x1 + x2 = m Theo hệ thức Viet ta có:  Khi  x1.x2 = m − P= x1 x2 + ( x1 + x2 ) +2 = 2m + m2 + ( m − 1) ≤ Dấu đẳng thức + m + − ( m − 1) Ta có P = 2m = = 1− 2 m +2 m +2 m +2 xảy m = nên giá trị lớn max P = Tương tự ta có 2 , đạt m = −2 (Xem thêm phần phương pháp miền giá trị hàm số) giá trị nhỏ P = − 4) Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔  − ( 2m + 1)  − ( 4m + 4m − 3) = > 0, ∀m Vậy phương trình có   hai nghiệm phân biệt với giá trị m Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có:  x1 + x2 = ( 2m + 1) ( 1)   x1.x2 = 4m + 4m − ( ) Có thể ( 2m + 1)   x2 = giả sử x1 = x2 (3) Khi từ (1) (3)có  Thay  x = ( 2m + 1)  vào (2) ta có phương trình ( 2m + 1) = 4m + 4m − ⇔ 4m + 4m − 35 = THCS.TOANMATH.com 98 Giải phương trình ta m = m = − (thỏa mãn điều 2 kiện) Cách 2: Từ yêu cầu đề suy x1 = x2 x2 = x1 , tức là: ( x1 − x2 ) ( x2 − x1 ) = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) = áp dụng hệ thức Viet ta phương trình 4m + 4m − 35 = 5) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ 1− m > ⇔ m <  x1 + x2 = ( 1) Theo hệ thức Viet, ta có:  Ta có  x1.x2 = m ( )  x2 = −1 (3) Từ (1) (3) ta có   x1 = Thay vào (2) ta có m = −3 thảo mãn điều kiện x1 + x2 = ⇔ x1 = − x2 6) a) Phương trình có nghiệm x = ⇔ 5m − = ⇔ m = b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ ( 5m − ) < ⇔ m < c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ ' > ⇔ m − ( 5m − ) > ⇔ ( m − 1) ( m − ) > ⇔ m > m < THCS.TOANMATH.com 9Trang 999/17  x1 + x2 = 2m Theo hệ thức Viet ta có:   x1.x2 = 5m − Hai nghiệm phương trình dương  2m > ⇔ ⇔m> 5m − > Kết hợp với điều kiện ta có < m < m > 7) Cách Đặt x − = t , ta có x1 < < x2 ⇔ x1 − < < x2 − ⇔ t1 < < t Phương trình ẩn x x − x + 3m = đưa phương trình ẩn t : ( t + 1) − ( t + 1) + 3m = ⇔ t + t + 3m = Phương trình ẩn t phải có hai nghiệm trái dấu ⇔ 3m < ⇔ m < Vậy m < Cách 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ − 12m > ⇔ m <  x1 + x2 =   x1.x2 = 3m Khi theo hệ thức Viet ta có: 12 (1) Hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < < x2 ⇔ x1 − < < x2 − ⇔ x1 − x2 − trái dấu ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) < ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + < (2) Thay (1) vào (2) ta có: 3m − + < ⇔ m < Kết hợp với điều kiện ta có m < giá trị cần tìm Chú ý: THCS.TOANMATH.com 100 Nếu hai nghiệm x1 , x2 < phương trình ẩn t có hai nghiệm số âm Nếu hai nghiệm x1 , x2 > phương trình ẩn t có hai nghiệm số dương 8) Giải: Áp dụng hệ thức Viet ta có: a + b = −c; ab = d ; c + d = − a; cd = b c + d = − a c = − a − d ⇔ ⇒b=d Ta có:   a + b = −c  a + b = −c Kết hợp với ab = d cd = b suy a = 1, c = Do a + b = −c c + d = −a suy b = −2, d = −2 Do a + b + c + d = 12 + ( −2 ) + 12 + ( −2 ) = 10 2 9) a) Vì a ≠ nên  c  c bc  ac ( a + c − 3b ) + b = ac + a c + b − 3abc = a  ÷ + −  (*) Theo a   a  a 2 3 b c hệ thức Viet, ta có: x1 + x2 = − ; x1 x2 = Khi (*) thành: a a a  x12 x22 + x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 3x1 x2 ( x1 + x2 )    = a  x12 x22 + x1 x2 − ( x13 + x23 )  = a ( x12 − x2 ) ( x22 − x1 ) ⇒ ac ( a + c − 3b ) + b3 = a ( x12 − x2 ) ( x22 − x1 ) Mà theo giả thiết ta có ax22 + bx2 + c = ax1 + bx2 + c = ( a ≠ ) Suy bx2 + c = −ax22 = −ax1 ⇒ x22 − x1 = Do ac ( a + c − 3b ) + b3 = THCS.TOANMATH.com 1Trang 0101/17 b) Vì p, q nguyên dương khác nên xảy hai trường hợp p > q p < q Nếu p > q suy p ≥ q + Khi ∆ = p − 4q ≥ ( q + 1) − 4q = ( q − 1) ≥ 2 Vậy trường hợp phương trình x + px + q = có nghiệm Tương tự trường hợp p < q phương trình x + qx + p = có nghiệm (đpcm) 10) a) Theo điều kiện đầu ta gọi x0 nghiệm chung hai phương trình, ta có:  x + ax0 + 11 = ⇒ x02 + ( a + b ) x0 + 18 =   x0 + bx0 + = 2 Do phương trình x + ( a + b ) x + 18 = có nghiệm (*) Khi ∆ = ( a + b ) − 144 ≥ hay a + b ≥ 12 Mặt khác, ta có a + b ≥ a + b ≥ 12 Vậy a + b bé 12 a b dấu Với a + b = −12 , thay vào (*) ta được: x − 12 x + 18 = Phương trình có nghiệm kép x = Thay x = vào phương trình cho ta 20 16 ;b = − 3 Với a + b = 12 thay vào (*) ta được: x + 12 x + 18 = Phương trình có nghiệm kép x = −3 20 16 Thay x = −3 vào phương tình ta được: a = ; b = Vậy 3 cặp số sau thỏa mãn điều kiện toán: a=− ( a; b ) =  − 20 16   20 16  ; − ÷,  ; ÷ 3  3  11) THCS.TOANMATH.com 102 a) Từ giả thiết ta có: bc = 4a b + c = abc − 2a = 4a − 2a = 2a ( 2a − 1) Suy b, c nghiệm phương trình x − ( 4a − 2a ) x + 4a = Khi (vì a > )  x02 + ax0 + bc = x b) Giả sử nghiệm chung, tức   x0 + bx0 + ca = ⇒ ( a − b ) x0 − c ( a − b ) ⇔ ( a − b ) ( x0 − c ) = Vì a ≠ b nên x0 = c Khi ∆ ' = a ( 2a − 1) − 4a ≥ ⇔ ( 2a − 1) ≥ ⇔ a = 2 ta có: c + bc + ca = ⇔ c ( a + b + c ) = 0, Do c ≠ nên a + b + c = ⇒ a + b = −c Mặt khác theo định lý Viet, phương trình x + ax + bc = cịn có nghiệm x = b; phương trình x + bx + ac = cịn có nghiệm x = a Theo định lý đảo định lý Viet, hai số a b nghiệm phương trình: x − ( a + b ) x + ab = hay x + cx + ab = (đpcm) 12) a) Vì phương trình f ( x ) = x vô nghiệm, nên suy f ( x ) > x f ( x ) < x, ∀x ∈ ¡ Khi af ( x ) + bf ( x ) + c > f ( x ) > x , ∀x ∈ ¡ af ( x ) + bf ( x ) + c < f ( x ) < x, ∀x ∈ ¡ Tức phương trình af ( x ) + bf ( x ) + c = x vô nghiệm b) Từ giả thiết suy a12 − 4b1 < a22 − 4b2 < Do a1  a12 − 4b1  x + a1 x + b1 =  x + ÷ − > 0, ∀x ∈ ¡ 2  a2  a22 − 4b2  x + a2 x + b2 =  x + ÷− > 0, ∀x ∈ ¡ nên 2  THCS.TOANMATH.com 1Trang 0103/17 x2 + 1 ( a1 + a2 ) x + ( b1 + b2 ) = ( x + a1 x + b1 ) + ( x + a2 x + b2 )  > 2 Do phương trình x + 1 ( a1 + a2 ) x + ( b1 + b2 ) = vô nghiệm 2 13) 1  a) ∆ ' = m − m +  m − ÷ + > với m Vậy phương trình 2  ln có hai nghiệm với m b) Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = 2m; x1 x2 = m − −24 −24 −24 M= = = 2 x1 + x2 − x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 = −24 ( 2m ) − ( m − 2) = −24 −6 = ≥ −2 Dấu “=” xảy 4m − 8m + 16 ( m − 1) + m = Vậy giá trị nhỏ M = −2 m = 14) 1) Khi m = phương trình thành: x − x = ⇔ x = x = ( ) 2) ∆ ' = ( m − ) + m = 2m − 4m + = m2 − 2m + + 2 = ( m − 1) + > 0, ∀m Vậy phương trình ln có hai nghiệm 2 phân biệt với m Ta có S = x1 + x2 = ( − m ) ; P = x1 x2 = − m ≤ 2 Ta có x1 − x2 = ⇒ x1 − x1 x2 + x2 = 36 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = 36 ⇔ ( − m ) = 36 ⇔ ( m − ) = 2 ⇔ m = −1 ∨ m = 15)  x = −1 1) Khi m = phương trình thành: x − x − = ⇔  (do x = a − b + c = ) x1 x2 − = ⇔ ( x12 − x22 ) = x1 x2 2) Với x1 , x2 ≠ ta có: x2 x1 ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) = x1 x2 Ta có a.c = −3m ≤ nên ∆ ≥ 0, ∀m THCS.TOANMATH.com 104 b c = x1.x2 = = −3m ≤ a a Phương trình có hai nghiệm ≠ m ≠ ⇒ ∆ > x1 x2 < Khi ∆ ≥ , ta có: x1 + x2 = − Giả sử x1 > x2 Với a = ⇒ x1 = −b '− ∆ ' x2 = −b '+ ∆ ' ⇒ x1 − x2 = ∆ ' = + 3m ( ) 2 Do yêu cầu toán ⇔ 3.2 −2 + 3m = ( −3m ) m ≠ m2 = ⇔ 4m − 3m − = ⇔  ⇔ m = ±1  m = − (l )  16) a) Khi m = ta có phương trình: x − x + = ⇔ x − x − 3x + = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) = x = ⇔ ( x − 1) ( x − 3) = ⇔  Phương trình có tập nghiệm là: x = S = { 1;3} 2 b) Ta có ∆ ' = m − ( m − m + 1) = m − Để phương trình bậc hai cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∆ ' > ⇒ m − > ⇔ m > Khi theo hệ thức Viet ta  x1 + x2 = 2m có:  Theo ra: x12 + x22 = x1 x2 −  x1 x2 = m − m + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = x1 x2 − ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + = ⇒ 4m − ( m − m + 1) + = m = ⇔ m2 − 5m + = ⇔ ( m − 1) ( m − ) = ⇔  m = Đối chiếu điều kiện m > ta có m = thỏa mãn toán 17) a) Khi m = phương trình thành: x + x − = có ∆ ' = 22 + = > THCS.TOANMATH.com 1Trang 0105/17 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −2 − 5; x2 = −2 + 1 b) Ta có: ∆ ' = 2m + 2m + = 2m − 2m + + 2m + 2m + 2  2 m − = 1  1  (vô =  m − ÷ +  m + ÷ ≥ , ∀m Nếu ∆ ' = ⇔  2 2   m + =  nghiệm) Do ∆ ' > 0, ∀m Vậy phương trình ln có hai nghiêm phân biệt với m 18) x = 2 a) Với m = , ta có phương tình: x − x + = ⇔  x = ( ) b) Xét phương trình (1) ta có: ∆ ' = ( m + 1) − m + = 2m − Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ m ≥ Theo hệ thức   x1 + x2 = ( m + 1) 2 Viet:  Theo giả thiết: x1 + ( x1 + x2 ) x2 ≤ 3m + 16   x1 x2 = m + ⇔ x12 + ( x1 + x2 ) x2 ≤ 3m + 16 ⇔ x12 + x22 + x1 x2 ≤ 3m + 16 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≤ 3m + 16 ⇔ ( m + 1) − ( m − ) ≤ 3m + 16 ⇔ 8m ≤ 16 ⇔ m ≤ Vậy ≤ m≤ 2 19) 1) Đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 1;0 ) nên có: = m.1 − ⇒ m = 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) : x − mx + = Có ∆ = m − 12 , nên ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2  m > Áp dụng hệ ∆ = m − 12 > ⇔ m > 12 ⇔ m > ⇔   m < −2 THCS.TOANMATH.com 106  x1 + x2 = m thức Viet ta có:  Theo ta có:  x1 x2 = x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 2 ⇔ m − 4.3 = ⇔ m = 16 ⇔ m = ±4 (TM) Vậy m = ±4 giá trị cần tìm 20) 1) Thay m = vào phương trình ta có: x + x − = Có ∆ = 12 + 4.1.1 = Vậy phương trình có nghiệm: −1 + −1 − ; x2 = 2 2) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: x1 = ∆ = − ( m − 5) > ⇒ m < 21 Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = −1 (1); x1 x2 = m − (2) Xét: ( − m ) x1 + ( − m ) x2 − x12 − x22 = 10 − m − x1 − m − x2 10 + = ⇔ x2 x1 x1.x2 ( − m ) ( x1 + x2 ) − ( x1 + x2 ) ⇔ + x1 x2 10 x1 x2 −1( − m ) − + ( m − ) 10 3m − 17 10 Thay (1),(2) vào ta có: = ⇔ = m−5 m −5 ⇔ m = −1 (thỏa mãn).Vậy với m = −1 tốn thỏa mãn 21) 1) Phương trình có nghiệm x = ⇔ 32 = 2.3 + m + = ⇔ + m = ⇔ m = −6 Ta có: x1 + x2 = ⇔ + x2 = ⇔ x2 = −1 Vậy nghiệm lại = x = −1 2) ∆ ' = − ( m + 3) = − m − Để phương trình có hai nghiệm ⇔ − m − ≥ ⇔ m < −2 3 Khi đó: x1 + x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  = Áp dụng hệ thức Viet ta được:  22 − ( m + 3)  = ⇔ ( − 3m − ) = THCS.TOANMATH.com 1Trang 0107/17 ⇔ − 6m − 18 = ⇔ −6m − 18 = ⇔ m = −3 (thỏa mãn) Vậy m = −3 giá trị cần tìm 22) a) Phương trình: x − ( m + 1) x + 4m − = (1) có ∆ ' = ( m + 1) − ( 4m − 3) = m + 2m + − 4m + = ( m − 2m + 1) + = ( m − 1) + > với m Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 , x2 S −2 Theo hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = 2m + ⇒ m = P = x1 x2 = 4m − ⇒ m = (2) P+3 S −2 P+3 ⇒ = ⇒ 2S − = P + 4 ⇒ 2S − P = ⇒ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − x1 x2 = 23) 2 Phương trình x + ( m + 1) x + 2m + 2m + = Có ∆ ' = ( m + 1) − 2m − 2m − = m + 2m + − 2m − 2m − = − m Phương trình có nghiệm phân biệt m ≠ Theo định lý Vi et ta có:  x1 + x2 = −2 ( m + 1) ⇒ x12 + x2 = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 12 =   x1.x2 = 2m + 2m + 1 2 Hay ( m + 1) − ( 2m + 2m + 1) = ⇔ m = − 24)  y = x2  a) Xét hệ phương trình:  −2 ( m + 1) + y = 3   y = x ⇔ 3x + ( m + 1) x − = 10 ( 1) (1) Có hệ số a c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt m nên ( P ) ( d ) cắt hai điểm phân biệt với m THCS.TOANMATH.com 108  −2 ( m + 1)  −3 ( x1 + x2 )  x1 + x2 = m + = ⇔ b) Theo hệ thức Viet:   x x = −1 3 x x = −1   3 2 Ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) = x1 − x2 + ( m + 1) ( x1 − x2 ) − x1 + x2 ⇒ ( f ( x1 ) − f ( x2 ) ) = x13 − x23 − ( x1 + x2 ) ( x12 − x22 ) − x1 + x2 = − x13 + x23 + x1 x2 ( x2 − x1 ) − ( x1 − x2 ) = − x13 + x23 + ( x1 − x2 ) − ( x1 − x2 ) = − ( x13 − x23 − 3x1 x2 ( x1 − x2 ) ) = ( x1 − x2 ) ( x12 + x22 − x1 x2 )  = − ( x1 − x2 ) Nên f ( x1 ) − f ( x2 ) = −1 ( x1 − x2 ) THCS.TOANMATH.com 1Trang 0109/17 ... M ( m;0 ) song song với trục tung có phương trình: x − m = , đường thẳng qua N ( 0; n ) song song với trục hồnh có phương trình: y − n = Kiến thức bổ sung Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A... trung điểm AB AB = ( x2 − x1 ) x = x1 + x2 y +y ;y = 2 Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vng góc Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = ax + b đường thẳng ( d2 ) : y = a '' x +... xy + 10 yz + 11zx THCS.TOANMATH.com 6Trang 363/17 Lời giải: Thay z = − x − y vào P ta có: P = xy + z ( 10 y + 11x ) = xy + ( − x − y ) ( 10 y + 11x ) = −11x + ( 11 − 12 y ) x − 10 y + 10 y hay

Ngày đăng: 04/12/2022, 07:50

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

muốn đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới  mỗi chân cổng là  2 5 m( Bỏ qua độ dày của cổng). - chuyen de ham so bac nhat va ham so bac hai on thi vao lop 10
mu ốn đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5 m( Bỏ qua độ dày của cổng) (Trang 14)
AB BA AA CC CB BC đều là hình thang vng nên tacó: - chuyen de ham so bac nhat va ham so bac hai on thi vao lop 10
u là hình thang vng nên tacó: (Trang 18)
b) Gọi HK , theo thứ tự là hình chiếu vng góc của A B, - chuyen de ham so bac nhat va ham so bac hai on thi vao lop 10
b Gọi HK , theo thứ tự là hình chiếu vng góc của A B, (Trang 59)
w