ĐS9 cđ2 PHƯƠNG TRÌNH 2

BÀI 6: MỘT SỐ DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT A Kiến thức cần nhớ - Nguyên tắc: Biến đổi phương trình bậc phương trình bậc hai đơn giản - Một số dạng phương trình bậc đặc biệt khác: A  ax  bx  c   B  ax  bx  c   C   A  0, a   a) Dạng: Cách giải: Đặt (1) t  ax  bx  c  At4 4Bt 0 2 c43 ptb  x  a    x  b   c     x  a    x  b   c  3 b) Dạng: Cách giải: - Đối với phương trình (2), đặt t  x ab  thay vào phương trình cho, biến đổi phương trình bậc hai - Đối với phương tình (3), đặt t  x ab  thay vào phương trình cho, biến đổi phương trình bậc hai c) Dạng:  x  a   x  b   x  c   x  d   m   với a  d  b  c x  a   x  b   x  c   x  d   m   x   a  d  x  ad   x   b  c  x  bc   m Cách giải:  2 Đặt t  x   a  d  x  x   b  c  x    :  t  ad   t  bc   m 44 4 43 ptb Hoặc đặt t  x2   a  d  x  ad  bc , sau biến đổi phương trình phương trình bậc hai ẩn t tìm t, sau tìm x d) Dạng:  ax  bx  c1   ax  bx  c2   m (5) t  ax  bx   t  ax  bx  c1  c2 Cách giải: Đặt  tìm t  tìm x Bài 1: Giải phương trình sau: x  3 a)    x  1  82 x  3 b)  (1)   x    16 (2) Lời giải a) x  y x  3 x  1 Cách 1: Dùng công thức  để khai triển   n 4 x   t 1 t  x2 x 1  t  Cách 2: Đặt t  1 Phương trình (1) trở thành:    t  1  82   t  4t  6t  4t  1   t  4t  6t  4t  1  82  2t  12t   82  t  6t  40    t  x    t  2 x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   0; 4 y  1   y  1  16 b) Đặt y  x  4, ta có phương trình  4  y2   y  12 y  14  y  y      y  1  x   5; 3  y  7 4 Bài 2: Giải phương trình sau: x    x    x    x  3  180 a)  x    x    x    x    1680 b)  Lời giải x    x    x    x  3  180   x    x    x    x    180 a)    x  x  10   x  x  18   180 t  t  t    180  t  8t  180     x    t   10 t  x  x  10  Đặt ta có phương trình x    x    x    x    1680   x    x    x    x    1680 b)    x  11x  28  x  11x  30   1680 Đặt y  x  11x  28 , ta có phương trình y  y    1680  y  40  y  y  1680     x     y  42 Bài 3: Chuyên Khánh Hòa, năm học 2011 Giải phương trình x  x    x  x    24 Lời giải Ta có: x  x    x  x    24   x  1  x    x    x    24   x  1  x    x    x    24   x  x    x  x    24  1 2 Đặt t  x  x  phương trình (1) trở thành t  5t  24   t   3;8 Từ ta tính  x  2; 0; 1   Bài 4: Sư Phạm Ngoại Ngữ, năm học 2004 Giải phương trình x  x    x  x  12   24 Lời giải Ta có x  x    x  x  12   24   x  1  x    x    x  3  24   x  x    x  x    24  1 2 Đặt t  x  x  phương trình (1) trở thành: t  25   t   5;5  x   5;0 Bài 5: Giải phương trình sau: 2x a)   3x  1  10 x  15 x   x b)  2  x    x  3  81 2 Lời giải 2x a) Ta có   3x  1  10 x  15 x     x  3x  1   x  3x  1   2 t  5t    t   4;1  x    t  x  x  1, Đặt ta có phương trình: b) x  x    x  3  81   x  x   81   x  3    x  x    x  x     x      x  3 2 x 2 x  x    x  11      x  x  11  x   Bài 6: x2  x  4   x  2   Giải phương trình sau: (1) Lời giải  1   x  x  Phương trình   x2  4x  4     t  x  x   x     4 Đặt t   t   t      t  2t       trở thành t   - Nếu t    x  x     x      x1,2  2   - Nếu t    x  x    x3,4  2   Vậy phương trình có tập nghiệm  S  2   ; 2    Bài 7: x  1  x    x    x    x  12 x  30 Giải phương trình sau:  (1) Lời giải Phương trình  1   x  1  x  5  x    x     x  x  15    x  x    x  x     x  x  15  t t  3   t  10   t  t  20  Đặt t  x  x   ta phương trình:  t  5   x  3  t     Vậy phương trình có tập nghiệm  S  3   Bài 8: x  1  x    x  3  x    m Cho phương trình  (1) Biết phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Tính giá trị biểu thức S  x1.x2 x3 x4 theo m Lời giải Ta có  1   x  1  x    x    x  3  m   x  x    x  x    m 2 Đặt t  x  x   ta phương trình t  t    m  t  2t  m    Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn hệ thức Viét t1  t2  2  t1t  m Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x   t1 x3 , x4 hai nghiệm phương trình: x  x   t2  x1.x2   t1  Khi  x3 x4   t2 (hệ thức Viét) Ta có S  x1.x2 x3 x4    t1    t2   16   2    m   24  m BÀI 7: MỘT SỐ DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT (tiếp) A Kiến thức cần nhớ 1) Dạng: x  ax3  bx  c   a3  8b   Cách giải:  x  8ax3  8bx  8c   x x3  8ax   a    8c   x  x  a   x  2ax  a   8c    x  ax    x  ax   a   8c  Đặt t  x  ax  t  2t  a   8c   t12 4a42t248c43 0t  x an.t x  a   x  b   x  c   x  d   mx  1  ad  bc   2) Dạng: Cách giải: - Xét ad  bc   1   x  a   x  d    x  b   x  c    mx  chuyển thành phương trình dạng (2) Dạng:  ax  b1 x  c   ax  b2 x  c   mx   Cách giải: - Nếu x   c  (vô lý) - x  0, chia vế phương trình (2) cho x ta được: c  c   ax  b1  ax  b2   m x  x  Đặt t  ax  c 1t 4b144 2t 4b24 43m  t  x  x an t ta được: mx nx   p  m  0, n  0, p  0, a    3 ax  b x  c ax  b x  c 3) Dạng: - Nếu x    3 :  p x 0 - Nếu Đặt ax  m c ax  b1  x (vô lý)  n c ax  b2  x p m n c  p t t  b t  b x ta được:  biến đổi phương trình phương trình bậc hai ẩn t Bài 1: Giải phương trình sau: x  x  x   Lời giải Cách 1: Nhẩm nghiệm (tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ nên có nhân tử x  ) Cách 2: x  x3  x    x  x3  x  8    x  x  x  x  x  x      x  x    x  x       x2  x   x2  x     t  t  x  x  t  t      t  4t      x   2; 1;3 t  Đặt   Bài 2: Chuyên Lam Sơn, năm học 2012 x  1  x    x  3  x    12 x Giải phương trình sau:  Lời giải Ta có:  x  1  x    x  3  x    12 x   x  x    x2  x    12 x2  * Dễ thấy x  khơng nghiệm phương trình (*)  x2  5x    x2  x       12 x x     x x  Khi , chia hai vế phương trình (*) cho ta được:  6    x    x    12  ** x  x  t  x Đặt  t  7  73     ** :  t    t    12    x  2;3;  x  t  4   Bài 3: 2x 3x    1 Giải phương trình: x  3x  x  x  Lời giải  x  x    *  4x  6x     Điều kiện: Nhận thấy x  không nghiệm phương trình (1) x    1  Khi t  4x  Đặt 4x   x  4x   x   2 8 8  t  x   x   32 x x x (do 4x x dấu)  t   **  2 :   t  t  6 , điều kiện: t  3; t  6 t   l   12  t    18  t  3   t  3  t    t  33t    t  33  tm  x  8 x   33  x  33 x      tm  x  x  - Với t  33 , ta có:  1 x  8;   4 Vậy Bài 4: Giải phương trình: x  x    x  x  22   30 Lời giải x2  x    x  2   , dấu “=” xảy  x  2 x 8 x  22   x       , dấu “=” xảy  x  2 Ta có Từ  1     x  x    x4  x  22   5.6  30 x Vậy để   x    x  x  22   30 , dấu “=” xảy (1) (2)  x  2 Vậy x  2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình sau: x  x  x   Lời giải Phương trình cho tương đương:  x  x3  x      x  x   x  16     x  x  2  x2  x     Đặt t  x  x  t  t      t  4t    t   1;5 - Nếu t  1  x  x  1  x  1 - Nếu t   x  x   x  1  Bài 2: Sư Phạm Ngoại Ngữ, năm học 2005 Giải phương trình sau: x  3x  3  x  x  3  x (1) Lời giải Đặt t  x  3x  t t  x   x2   t  x   t  2x   Phương trình cho trở thành:  - Nếu t  x  x  3x   x  x   1;3 2 - Nếu t  2 x  x  x   2 x  x  x   (vô nghiệm) Vậy phương trình có tập nghiệm S   1;3 Bài 3: 3x x 17   Giải phương trình sau: x  x  x  x  (1) Lời giải Rõ ràng: x  17   1 x   x  1 x x Chia tử mẫu phân thức cho x ta được: Đặt t  x x , ta có phương trình: 17  22     18  t  1   t    17  t    t  1  17t  63t  110   t  5;  t  t 1  17  - Với - Với t 5 x t  21   x2  x    x  x 22 22  x  17 x 17 (vô nghiệm) Bài 4: Trần Đại Nghĩa TPHCM, năm học 2003 Giải phương trình sau:  x    x    x  10   x  12   x Lời giải Nhận thấy x  khơng nghiệm phương trình x  17 x  60 x  16 x  60  x x Với x  , chia hai vế phương trình cho x ta được:  t  60 t  x   16  t  t  1    x x  t  3  Đặt 10 x   x     x  1 (ktm)  x   x    3 x   x      3 x    x     x   ktm    b) Vậy phương trình vơ nghiệm  11 x  2 x     11 2x       x  ;   2   x2    x   5  c) Ta có Bài 2: Giải phương trình sau 2 a) x  x   x  x  16  c) b) x 1  x   x   4x  x  x2  y  Lời giải a) Ta có x  x   x  x  16   x   x     x  x     x  x    x  x     x   x     4  x  b) Điều kiện x   x   0, x   0, x   *  x  1   x     x  3  x  x  Phương trình    (thỏa mãn)  x   x     x  x2  y     x  y   y   c) Ta có Bài 3: Giải phương trình sau x2  x  2x 1  Lời giải Ta lập bảng xét dấu x x2  x 2x 1  + - - + 13  1 + + x   x2  x   2x     x  (loại) + TH1: Nếu x  , phương trình  x   tm   x  x2  1 2x    0 x  x  1 ktm  , phương trình + TH2: Nếu  x  1 ktm   x  x2  x      x 1  x   ktm  + TH3: Nếu , phương trình  x   tm   x2  x  x      x  2  ktm  + TH2: Nếu x  , phương trình Vậy x   0;1 Bài 4: x  x  m x   m   1 Xác định m để phương trình sau có nghiệm: Lời giải Phương trình  1   x  1 Đặt  m x   m2   t  x 1  t  0 Phương trình  t  mt  m    2 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t  + TH1: Phương trình (2) có nghiệm t   m  1 + TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  m    1  m  + TH3: Tất nghiệm phương trình (2) dương m   m  1  4  3m          S   m   m  P  m2     m   (vô nghiệm m ) Vậy 1  m  Bài 5: Giải phương trình sau: a)  x   3x  x  14 x2 1  x  x  x  2 b) c) 1 x2 1  x  Lời giải a) Ta có Vậy  x  x    3x   x   x   x   x  x   x  x     x    x    2  x  b) Điều kiện: x  0;  Xét với x  0; x  phương trình cho trở thành: x   x   x  x    x 1  x   x  x  x  (loại) Xét với 1  x  phương trình cho trở thành: x  x   x   x  x    x 1  x    x  x   x  (loại)  2 Xét x  1 phương trình cho trở thành: x  x   x   x  x    x 1  x    x  x  x  x      x  1 (loại)  2 2 Vậy phương trình vơ nghiệm c) Nhận thấy x2    x   x2   x2    x2 x   x2  x    x2  x   x   x      x  1 Vậy phương trình cho viết thành Thử lại thấy thỏa mãn Bài 6: Giải phương trình sau: a) b) x2  2x  2x2 1 x  5x   3x  Lời giải a) Ta có  x2  x  2x2 1  x2  2x    2x 2       x2  x  x2  x  2x  x2   15  x2  2x 1    x  x  3x  x     3 x  x     Xét trường hợp giải phương trình bậc hai, đối chiếu điều kiện kết luận b) Ta có   x  x   x   x  x    3x  1    2     x  5x   3x  x  x   x    x  x  2 x  x  2 x2  8x    x  x  2 x  x  1    x  x 1    Bài 7: Giải biện luận cácc phương trình sau a) b) x  2mx   m  x  mx   2m mx   x  x  Lời giải  x  2mx   m  x  mx   2m x  2mx   m  x  mx   2m   2  x  2mx   m    x  mx   2m  a) Ta có: 3mx  3m    x  mx  m    1  2 +) Giải phương trình (1) Nếu m  phương trình (1) có nghiệm với x Nếu m  phương trình (1) có nghiệm x  1 +) Giải phương trình (2) Ta có   m  8m  16 m   m  m  8m  16 0  x   m   (2) có nghiệm 1,2 - Nếu m   0  m   (2) có nghiệm kép - Nếu  x1,2     x1,2   tương ứng - Nếu      m   (2) vơ nghiệm 16 Khi phương trình (2) có nghiệm x  1  m  m    m  2 Khi đó, nghiệm cịn lại x  Kết luận: - Với m  2 phương trình cho có hai nghiệm x1  1 x2   m  2   2  m   m  m  8m  16 m   x1,2  ; x3  1 - Với  phương trình cho có nghiệm - Với m   phương trình cho có hai nghiệm x1   2; x2  1 - Với 4   m   0  m   phương trình cho có nghiệm x1  1 - Với m   phương trình cho có nghiệm x1   2; x2  1 - Với m  phương trình cho có nghiệm với x b) Chú ý x  x   0, x nên:  x   m  1 x   mx   x  x   1 mx   x  x      2    mx  1  x  x   x   m  1 x     Làm tương tự câu a) Bài 8: Định a để phương trình sau có nghiệm phân biệt  x  1  x  Lời giải  x  1   x  a   x  1  x  a    x  1  2  x  a   Ta có:  x  1  0, x nên:  x  x  2a    1  x  x   x  2a    2  x  x   2 x  2a  x   2a  Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (1) (2) phải có nghiệm phân biệt, đồng thời phương trình khơng có nghiệm chung Xét phương trình (1): Xét phương trình (2):  '    2a  1   2a   a   '  2a    a  17 Giả sử phương trình (1) phương trình (2) có nghiệm chung x0 đó:  x02  x0  2a    x0  a  4 x0  4a     a 1   x0   2a   a   2a   x0   2a  1 2  a 1  1  a  Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt  Bài 9: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I Kiến thức cần nhớ *) Phương trình nghiệm ngun phương trình có nghiệm số nguyên *) Phương pháp giải + Đưa phương trình dạng tổng tích x    y  1  Ví dụ:  + Dùng tính chất chia hết, số dư, chữ số tận + Dùng bất đẳng thức + Sử dụng tính chất  phương trình bậc hai (chẳng hạn: x nghiệm, x  Z  số phương   ) + Sử dụng tính chất số phương, số nguyên tố + Phương pháp đánh giá + Phương pháp hạ bậc 18 II Bài tập Bài 1: 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  11 Lời giải 2 Từ giả thiết  x  11  y  x số lẻ  x số lẻ Đặt x  2n   n  Z    2n  1  y  21  4n  4n   y  21  y  2n  2n  10  y chẵn  y số chẵn Đặt y  2m  m  Z    2m   2n   10  2m2  n  n   n  n  1   * 14 43 M Ta có VT (*) số chẵn, VP (*) số lẻ, nên (*) vô nghiệm Bài 2: Chứng minh không tồn số nguyên x, y , z thỏa mãn x  y  z  x  y  z  20202019 Lời giải Ta có phương trình Nhận thấy  * x  x  x  x  1   x  1 x  x  1 M3 Tương tự ta có  VT  * M3  x  x  y  y  z  z  20202019 y  y  M3 z  z  M3 2019 VP  2020 M3  dpcm Bài 3: Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, năm học 2010 Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn x  x   y (đưa dạng tích) Lời giải x  x   y   x    y    x   y   x   y    * Ta có 19 Nhận thấy   x   y    x   y x   y  x   y   *     x   y   x   y  1  x    x    3  y  1  y      x  4     x   2    1   y    y  1 x; y  0;1 ; 0; 1 ;  4;1 ;  4; 1  Vậy HPT có nghiệm       Bài 4: Chuyên Đắc Lắc, năm 2010 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  xy   x  y   y  10   * (Dùng  ) Lời giải *  x  y    x  y   y  16  Phương trình    Đặt t  x  y  t  Z   t  7t  y  10   * Để phương trình (*) có nghiệm ngun (**) phải có nghiệm ngun ẩn t Khi    số phương Ta có   t   y  10    y   y   y   0;1 + y     (loại) + y     (thỏa mãn)  y   x  2 x  x  10     x  5 Thay vào (*) ta x; y  2;0  ;  5;0   Vậy HPT có nghiệm     Bài 5: Chuyên Phan Bội Châu, năm học 2011 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  xy   y  x  40   * 2 2 (Dạng a  b  c  d ) Lời giải *  x  y Ta có      x  1  41  16  25  25  16  x  y   16   x  1  25 + 20  x  y   25   x  1  16 + x  1 Hoặc ta có nhận xét sau: Rõ ràng  số lẻ nên ta có  x  y   16  x  y  4    x  1  25 2 x   5 +) x  y  x    2 x    y  x  y   x  5   +) 2 x   5  y   x  y  4 x     y  7 +) 2 x   x  y   x  2   +) 2 x   5  y  2 Bài 6: Chuyên Phan Bội Châu, năm học 2011 x  10 xy  y  84  * Tìm x, y ngun dương thỏa mãn (Dạng tích) Lời giải Phương trình (*)  x  xy  xy  y  84   3x  y   x  y   84  ** Ta có 84  3.7 x    3x  y  x  y y  x , y  Do nguyên dương Phân tích 84 thành tích thừa số nguyên tố, thừa số lớn 3, ta 84  28.3  21.4  14.6  12.7  Nhận thấy  số chẵn 3x  y x  y   84 chẵn, 3x  y  x  y  x  y chẵn, nên ta có 3x  y; x  y 3 x  y  14  x      x; y    2;  x  y  y  Bài 7: Phú Thọ, năm học 2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  1 xy  x   * 21 (Dạng tích) Lời giải *   x  1 xy   x  1    x  1  xy     Ta có Ta có x   1, x   x  1  xy      1  3   1.4  3.1  x  1 x      xy   3  5  3  +) TH1:  x2   x2    ktm    xy   xy   +) TH2:   x   x 1   x  2  y  3     xy    xy    x  2   y  3  +) TH3: Bài 8: Chuyên Bắc Giang, năm học 2018 Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 2018  n số phương (Phản chứng) Lời giải Giả sử tồn n  N cho 2018  n số phương Khi ta có: 2018  n  m  m  N   m  n2  2018   m  n   m  n   2018  * m  n   m  n   2m Nhận thấy  số chẵn m  n M2   VT M4 Từ (*)  m, n số chẵn m  nM2 Nhưng VP  2018 M4 Vậy phương trình vơ nghiệm Bài 9: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n  5n  n  1 (đánh giá) Lời giải 22 n n 4 5           2 9 9 Ta có n n n + TH1: n  (không thỏa mãn) + TH2: n  (thỏa mãn) n n  4 5    ;     VT     VP(2) + TH3: n  , ta có     Vậy n  không thỏa mãn Vậy n  nghiệm phương trình Bài 10: Chuyên Tuyên Quang, năm học 2018 Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x  xy  y  x    * Lời giải Cách 1: Phương trình (*)  3x   y   x  y    x   y    4.3  y    y 8 y   x  m2  m  N    y     m2   y   m   y   m   Do y   m  y   m nên ta có trường hợp 2 y   m  y    + 2 y   m  m  2 y   m  3  y  2   y   m    m  + + Với y   3x  x   + Với y  2  3x  x  Cách 2: x  xy  y  x    x  x   xy  y  y  x  1   x  x   x  Z  2x 1   y   3x  x  12 x  20 x   4y   6x   2x 1 2x 1 2x 1 x   Z  x   1   2x 1 x  23 + x   y  2 + x 1 y  Bài 11: p q  q p  r  * Tìm số nguyên tố p, q, r cho Lời giải Do p, q có vai trị nhau, giả sử p  q - Nếu q   p, q lẻ  r chẵn r  nên không tồn số nguyên tố r Vậy q    * : p  p  r  ** + Nếu p   r chẵn, r   loại + Nếu p   32  23  17  tm  chẵn, r   loại + Nếu p   p số lẻ pM3 Đặt p  2k  1 k  N   p  2 k 1  4k chia cho dư 2 Do p không chia hết p chia cho dư p Từ   p chia hết cho  r M3 r   loại Vậy p  3; q  2; r  17 p  2; q  3; r  17 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: 24 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  xy  x  y Lời giải Viết phương trình cho thành phương trình bậc bậc hai x x   y  1 x  y  y   1 Điều kiện cần để (1) có nghiệm        y  1 4 y  y  3 y  y    y  y     y  1  Do y  Z   y  1  2  y  1 1 Từ ta tìm nghiệm phương trình:  x, y    0;0  ,  1;0  ,  0;1 ,  2;1 ,  1;  ,  2;  Bài 2: y2  x  x  2  x2  2x  2  x , y Tìm số nguyên thỏa mãn Lời giải y   t  1  t  1    y  t   y  t   1 Đặt t   x  1 ; t  phương trình cho trở thành Phân tích 1 thành tích hai số nguyên, ý y  t  y  t ta có y   y  t  1  y      x   y  t 1 t   x   trường hợp: Bài 3: Chuyên Lam Sơn, năm học 2011 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  x  y  y  xy  xy  Lời giải 2 Phương trình cho tương đương x   x   xy  y  y  xy      x  1 x   y  y   Phân tích thành tích số nguyên ta trường hợp:   x   x    x       y  1  y  3   x  y  y    y       x   1  x    x      x  y  y   1   y  1  y  3    y   25 Bài 4: Chuyên Lam Sơn, năm học 2011 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  x  y  y  xy  xy  Lời giải 2 2 2 Phương trình cho x  x  y  y  xy  xy   x   x   xy  y  y  xy    x   x    x      y  1  y    y 1  x  y  y     x  1  x   y  y  1       x  x   1   x        x  y  y   1   y  1  y      y  Bài 5: Chuyên Bắc Giang, năm học 2012 2 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x y  xy  x  y Lời giải Phương trình cho   x y  xy  x  y  x  y  xy  x   1 2 x  Z nên x   Vậy (1) phương trình bậc hai ẩn y có   x  16 x   Để (1) có nghiệm ngun  phải số phương  y0 Với x  từ   thỏa mãn Với x  , để  số phương tồn số tự nhiên n cho:   4 x  n   x    4 x  n  n  2  16 x   n   x  n   x  n       x  n  7   x  1    4 x  n  1  n  3  x; y  0;0 , 1; 1 ,  1;  ,  1;1 ,  1;2  Từ ta tính      Bài 6: Chuyên Hà Nam, năm học 2012 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  x y  3x  y   Lời giải Phương trình cho tương đương x  3  x  y   Từ suy x  phải ước nguyên dương , vậy: x   x 3  Vậy phương trình cho khơng cso nghiệm ngun 26 Bài 7: Chuyên Bắc Giang, năm học 2013 Tìm nghiệm nguyên phương trình x  x   y  3x  Lời giải Với x x  x   , từ phương trình cho Do Với Với y 3x  Z x x2 x  Z  3x    y   y   x  x   x   1 x  x2  x   (vô nghiệm) x  x  x    3  x  (thỏa mãn) Từ đo thử giá trị x để tìm y Bài 8: Chuyên Hùng Vương, năm học 2013 2 Tìm số tự nhiên thỏa mãn phương trình x  y 2 xy  y   Lời giải  x  y Biến đổi phương trình cho thành Do  x  y     y2  3y      y  y    4  y  Mà y số tự nhiên nên y  y  Với y   x  Với y   x  1 N (loại) x; y  2;0 Vậy phương trình cho có nghiệm     27 ... a) Ta có  x2  x  2x2 1  x2  2x    2x 2       x2  x  x2  x  2x  x2   15  x2  2x 1    x  x  3x  x     3 x  x     Xét trường hợp giải phương trình bậc hai,... đồng thời phương trình khơng có nghiệm chung Xét phương trình (1): Xét phương trình (2) :  ''    2a  1   2a   a   ''  2a    a  17 Giả sử phương trình (1) phương trình (2) có nghiệm... giải Phương trình  1   x  1 Đặt  m x   m2   t  x 1  t  0 Phương trình  t  mt  m    2? ?? Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t  + TH1: Phương trình (2) có