ĐS9 cđ6 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1111

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa phép chia hết a  bp  r (0  r  b ) Với a, b  Z (b  0); q, r  Z cho +) Nếu r   a Mb b +) Nếu r   a M Một số tính chất: a, b, c, d  Z +) Nếu a   a Ma;0Ma +) Nếu a Mb; bMc  a Mc +) Nếu a Mb; b Ma  a  b +) Nếu a Mb; a Mc  a MBCNN [b, c] +) Nếu a Mb; a Mc;(b, c)   a Mbc +) Nếu a Mb  ac Mb(c  Z ) Một số định lý thường dùng +) Nếu a Mc; bMc  (a  b)Mc +) Nếu a Mc; bMd  abMcd n n  +) a Mb  a Mb (n  Z ) Một số hệ áp dụng  n n +) a, b  Z ; n  Z  a  b Ma  b  n n +) a, b  Z n chẵn n  Z  a  b Ma  b  n n +) a, b  Z n lẻ n  Z  a  b Ma  b B Các dạng toán Dạng 1: Phương pháp tách lấy phần nguyên (biểu thị ẩn theo ẩn lại) *) Phương pháp giải: Ta tách biểu thức phân thức thành phần nguyên phần phân, sau đánh giá phần phân để tìm nghiệm phương trình a a, b  ¢ ;  ¢ ba b b Ta có ( ước a ) Cách giải: Ta biến đổi x f ( y) c  ( nguyên)   g ( y) / c g ( y) g ( y) Bài 1: 2 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x  x y  3x  14 x  y   Lời giải Phương trình x3  x y  3x  14 x  y    y  x    x3  x  14 x  x  3x  14 x  16  y  2x   2 x 7 x 7 Vì y  ¢  2x   16 ¢ x 7 2 Mà x  ¢  x  ước 16  x2    x2   x  1 x2        x  3  x   16 x  Vì Thay vào phương trình kết luận Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: y  25  3xy  x Hướng dẫn giải Ta có: Vì y  25  3xy  x  (8 y  25)  x(3 y  5)  x  xZ  y  25 5 (y  ) 3y  y  25 8.9 y  25.9 8(9 y  25)  25 25 Z  Z   Z  8(3 y  5)  Z 3y  3y  3y  3y   y  / 25   1; 5; 25  y  x Bài 3: Chuyên KHTN vòng 1, năm học 2014 a) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: v u  u   v 2 b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x y ( x  y )  ( x  y)   xy Lời giải a) v 2u  u   v  u  3 v (v   0) v2  2 u  ¢ 3 v   v    ¢  v   ¢   10  ¢  v   v2  v2  Vì v  ¢ v  thuộc ước 10 Mà v    v  1  1; 2;5;10  v   0; 1; 2; 3 Thay vào phương trình kết luận nghiệm  xy  v u  4v    b) Đặt  x  y  u phương trình  v u  u   v (phương trình câu a )  v   0; 1; 2; 3 x  y  v  0 u  3    x; y     0;3 ;  3;0   xy   + Với Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau y  25  3xy  x Hướng dẫn giải Ta có  8y  25  M y    8  y  25   25 M y    25M y   y     25  Vậy  Ư Bài 5: Tìm tất cặp số nguyên  x; y  cho x3  x y  3x  y   Hướng dẫn giải x3  3x  x 5 x  x y  3x  y    y   x 2 x 2 x 2 Ta có Vì x  ¢, y  ¢   x   M x     x  5  x  5 M x   x  ¢, y  ¢   x   M x     x    x   M x     x  25  M x    27 M x   Mà x  2  x, y     1; 3  ;  5;5   Xét trường hợp kết luận nghiệm  Bài 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  xy  11 Hướng dẫn giải x  3 y  x  11 Biểu thị y theo x ta có:  Dễ thấy x   (vì x nguyên) d dó: y x  11 x5  2 2x  2x  x  5 M  x  3   x   M x  3  x   M2 x   7M2 x  Để y  ¢ phải có  Ta có 2x   2x   2x   2x   2x   2x   1 1 2 1 7 5 Bài 7: Tìm tất cặp số nghiệm nguyên  x, y  thỏa mãn y  x  1  x  Hướng dẫn giải Ta có y  x  1  x   y  x2   x 1 x 1 x 1 Vì x, y nguyên nên x  ước Vậy  x, y    4,  ;  2,6  ;  2; 2  ;  0; 2  Bài 8: HSG Bình Định, năm học 2015  2016 Tìm nghiệm nguyên phương trình:  y  2 x2   y Lời giải Ta có:  y   x   y   y   x  y   1 Ta thấy y  2 nghiệm phương trình (1) nên y  2 Khi ta có:  1  x   2  y  1 y2 1 0 y2 y 1 Do x  Z   y  1 M y   Mà  y   M y    3M y    y   5; 3; 1;1 , mà y  y  M y     y  1 M y    x  0; y   Từ ta có cặp nghiệm cần tìm là:  x  0; y  1 Bài 9: Chun Bình Định vịng 1, năm học 2015  2016 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: y x  x  y   x  y  xy Lời giải Ta có: y x  x  y   x  y  xy  y  x  1  x  x  1  y  x  1    1 Nhận xét: x  nghiệm (1) Chia hai vế (1) cho x  ta có: y2 x  x  y    2 x 1 x  x   1   x  Với x, y nguyên, suy x  nguyên nên Thay x  2; x  vào (2) ta có y số nguyên y  x  x    y   Kiểm tra lại thấy thỏa mãn  y  thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên  2;1  0;1 Bài 10: Chun Bình Dương vịng 1, năm học 2016  2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  3  y    3xy  1 Lời giải Ta có:  x  3  y    3xy  y  x  3  x  12  y   18  x  Z  2x   0 2x  Do x, y số nguyên nên 18 phỉa chia hết cho x   x  ước số 18  x    1; 2; 3; 6; 9; 18 Từ tìm giá trị nguyên x 2;1;3;0;6; 3  giá trị y là: 20; 16;8; 4; 4;0 Vậy phương trình có nghiệm ngun là:  2; 20  ,  1; 16  ,  3;8  ,  0; 4  ,  6;  ,  3;0  Bài 11: Chuyên Phú Yên, năm học 2015  2016 Tìm tất cặp nghiệm nguyên  x; y  thỏa mãn: y  x  1  x  Lời giải Ta có: y  x  1  x   y  x2   x 1 x 1 x 1 Vì x, y nguyên nên x  ước Vậy  x; y    4;6  ,  2;6  ,  2; 2  ,  0; 2  Bài 12: HSG Quảng Nam, năm học 2016  2017 Tìm tất cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn:  a; b  a  b   a  b    a  b    a  1  b  1  25 Lời giải a  1   b  1   a  1  b  1  25 Ta có:  Đặt H   a  1   b  1 ; P   a  1  b  1 Từ ta có: Rõ ràng H , P  25  H 3H  Do P  nên H nhận giá trị 1, 2,3 P Thực tế có H  thỏa mãn, P  12 Từ suy  a  1  b  1  12  1.2  2.6  3.4 Xét tất trường hợp ta có nghiệm nguyên dương a, b phương trình là:  1;5 ,  5;1 ,  2;3 ,  3;  Bài 13: HSG Bến Tre, năm học 2016  2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau xy  y   x  x  1 Lời giải Ta nhận thấy phương trình y có bậc cao Nên rút y tách giá trị ngun phương trình Thật vậy: Ta có  1  y  x     x  x Ta có: x  khơng phải nghiệm phương trình, đó: y  3x  x   x 1  2 x2 x2 Phương trình (2) có nghiệm nguyên 5Mx hay x  ước Ta xét trường hợp tìm nghiệm phương trình:  7; 5 ,  3;3 ,  3;3 ,  1; 5  *) Nhận xét: Với phương trình bậc hai, có ẩn xuất bậc Ta rút ẩn từ phương trình tách giá trị nguyên Bài 14: HSG Quảng Bình, năm học 2015  2016 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau xy  x  y   1 Lời giải Ta có:  1  y  x     x  Vì x  khơng thỏa mãn phương trình nên  1  y  x   y  1  x2 x2 x   x   x   1   x   Ta thấy y số nguyên nên x  ước hay  Từ ta có nghiệm ngun phương trình là:  1; 2  ;  3;0  Bài 15: HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2015  2016 Tìm tất cặp nghiệm nguyên dương  x; y  thỏa mãn: x  y  x y  xy  x  14 Lời giải Ta có: x  y  x y  xy  x  14   x  x   y  1  y  14  x  x  y  14 y 1 y  14 Mà x, y nguyên nên ta có: x  x nguyên hay y  nguyên y  14 15  y 1  y 1 Ta lại có: y  15M y  1 Vì y nguyên dương nên ta có y   Xét trường hợp ta nghiệm phương trình là:  3;  ,  2;  ,  3;  ,  2;  Bài 16: Chuyên Tin Phú Thọ, năm học 2016  2017 Tìm tất cặp nghiệm nguyên thỏa mãn: x  xy  y  Lời giải Ta có: x  xy  y   y  x  1   x  * x   M x  1   x   23 M  x  1  23M x  1 (vì x  nguyên tố Mà x, y nguyên nên  Vậy  4x  1 M x  1  x   12; 1;0;11  y   6; 5;6; 5  x; y     12;6  ,  1; 5  ,  0;6  ,  11; 5   Bài 17: Chun Tốn Hịa Bình, năm học 2016  2017 Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x  xy  x  y   Lời giải Ta có: x  xy  x  y    y  x     x  x   y  Nên lúc ta có y  x2  x  x2 (vì x  khơng nghiệm)  x2  x  3   x 1 x2 x2 x2 3Mx   Vì y nguyên  Xét trường hợp tìm nghiệm phương trình  3; 1 ,  5; 5 ,  1; 5  ,  1; 1 Bài 18: HSG Vũng Tàu, năm học 2016  2017 Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x  xy  x  y  19  Lời giải Ta có: x  xy  x  y  19   y  x  x  19  1 17  x   y  x    2x 2  2x  17  Z    x   U  17    1; 17 Để có y nguyên  x Xét trường hợp tìm nghiệm phương trình  0; 19  ,  1;16  ,  8; 11 ,  9;8  Bài 19: HSG Hà Giang, năm học 2015  2016 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: xy  xy  x  32 y Lời giải xy  xy  x  32 y  x  y  1  32 y Ta có: Do y nguyên dương 32 y  y 1   x  y, y  1    y  1 Vì   U  32   y  1 32  25   y  1  22 , mà  y  1    24 :  y  1  y  1  2  y  1; x  Nếu  y  1  24  y  3; x  Nếu  x  x    Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là:  y   y  Bài 20: Chuyên Bình Định, năm học 2016  2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2   y  5 x  y   Lời giải Ta có: x   y  5 x  y    y  x   x  5 5 x Xét trường hợp tìm nghiệm phương trình là:  4;6  ,  6;  ,  3;  ,  7;5  Bài 21: Chuyên Toán Phú Thọ, năm học 2016  2017 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  x y  x  xy  x  10 Lời giải 10   x  x y  x  xy  x  10  1  y    x    x  0; x  1 x x  Ta có: x  10  Z  x2  x     x  2 (thỏa mãn) Để y nguyên x  x Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  2;5 ,  1;  Bài 22: Chuyên yên Bái, năm học 2016  2017 3 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  3xy   Lời giải x3  y  3xy     x  y   xy  x  y   3xy    *   x  y    3xy  x  y  1   Ta có:   x  y  1  x  y    x  y   1   3xy  x  y  1  x  y    x  y  1  U     chia hết cho   4; 2; 1;1; 2; 4  x  y   *  xy   x  y  1 Từ Ta có bảng sau: x  y 1 -4 -5 x y xy Kết Luận -2 -3 32 Loại -1 -2 -1 Loại Thỏa mãn 11 Thỏa mãn Loại Thỏa mãn 1 Với x  y  3, xy  khơng có nghiệm x, y Với x  y  0, xy  1   x  1; y  1 Với x  y  3, xy    x  1; y   và  x  1; y  1  x  2; y  1 1; 1 ,  1;1 ,  2;1 ,  1;  Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm nguyên:  Bài 23: Chuyên yên Bái, năm học 2017  2018 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: xy  x  y   y  xy  x Lời giải Phương trình cho   x  1  y  3x  y     1 Ta thấy x  khơng thỏa mãn phương trình (1) nên  1  y 3x  y    2 x 1  Z   x  1   3; 1;1;3  x   2;0;2; 4 Để cho x, y  Z trước tiên phải có x  Thay x vừa tìm vào (2) ta số nguyên y  1 x; y    0; 1 Vậy số nguyên x, y phải tìm là:  Bài 24: HSG Thanh Hóa, năm học 2016  2017 x y  5  xy  x  y  Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:  Lời giải Cách 1: Phương trình cho tương đương với y 5x2  x   Z  14Mx  x   x   0;1;3 x  x 1 Xét trường hợp tìm nghiệm phương trình 10  0;1 ,  3;7  ,  1;7  Hướng dẫn giải Bài 10: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình 2 x  y   22 x  y.2 x  y   37 Hướng dẫn giải Bài 2: Chuyên KHTN vòng 1, năm 2015 nZ  Tìm n để n  n  30 số phương  Hướng dẫn giải Đặt  n   a (a, b  N )  b  a  (b  a )(b  a )  25   n  30  b b  a   1;5 b  a  Z ; b  a  b  a;(b  a) / 25   b  a   25;5 Ta có nhận xét sau: b  a  a  12   +) b  a  25 b  13 b  a  a    +) b  a  b  Bài 3: Chuyên KHTN vòng 1, năm 2015 Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x a)  37  y x b) 57  y Hướng dẫn giải 19 x x 3 x 2x x a) Ta có:  37  y  (2 )  y  37  (2  y )(2  y  y )  37 2 x  y    y  y    x  x  y   1;37  2  y / 37 2x Nhận xét: x x x   2  y  2  y  x  y  22 x  x y  y   x   (1  y )  (1  y ) y  y  37  2x x x   2  y  y  37 2  y  y  37 Lại có:  x  y kết luận toán x 2 x b) 57  y  y 2  57 x k 1 k +) Nếu x số lẻ  x  2k  1(k  N )    2.4 Có  1(mod 3)  k  1(mod 3)  2.4k  2(mod 3)  x  57  2(mod 3)  y  2(mod 3)  2.4k  2(mod 3)  x 57  2(nod 3)  y  2(mod 3)  voly  x : chan  x  2k (k  N )  y  (2k )  57  ( y  2k )( y  2k )  57  3.19  y  2k   y  2k  19  y  k   y  11  y  29  ;  ;     y  2k  y  k y  2k   y  2k  19  x   x      Mà: Bài 4: Chuyên Hà Nội, năm học 2016  2017 Tìm cặp số tự nhiên  x; y  thỏa mãn: x.x  y  y  16 Lời giải Ta có: y  y  16  1 mod 3  x.x  1 mod 3 2 x  1 mod 3 x  0;1 mod 3    x  1 mod  Mà x  2k  1 k  N   x  2.4k   mod 3 Nếu x lẻ, đặt (sai)  x lẻ (loại) x  2k  k  N   x  4k   mod 3 Nếu x chẵn, đặt (đúng) Do x chẵn thì: x.x  y  y  16   2k k    y  1  15   2k k  y  1  2k 2k  y  1  15 2 k k Vì y, k  N  2k.2  y   2k.2  y   20 Vậy ta có trường hợp: 2k 2k  y   2k 2k    kN   k y   k  y   15   - (loại) - 2k 2k  y   2k 2k  k      k 2k 3 y   3 y    y   (loại) Bài 5: Chuyên KHTN , năm học 2016  2017 Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức sau: x  x  y Lời giải x  x  y  x  x   y    x  1   y  1  y  y  1 Ta có: d   y  1, y  y  1   y  1 Md Đặt y  y  1 Md  y Md Vì d nguyên tố nên ta có trường hợp 3Md   x  1   y  1  y  y  1 M9   x  1 M9   x  1 M3 Vì 2 nên x chia dư (loại)  3, d   , mà 3Md  y Md  y  1 Md  d  y  1; y  y  1   y   a ; y  y   b  a; b    a , b  N *  Vậy số nguyên dương         b  a   a   4b2  4a  12a  12  2b  2a  2b  2a   y thay vào ta có:  2b  Vì   2a  3  2b  2a  , ta có trường hợp 2b  2a    b  1.a   - TH1: 2b  2a   (loại)  2b  2a    b  1.a   x  y   2 b  a   - TH2:  (loại) Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  0;0  Bài 1: Chuyên Thái Nguyên, năm học 2016 - 2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy  y  x  83 Lời giải 21 Ta có: xy  y  x  83   x  1  y  1  167 Khơng tính tổng qt ta giả sử x  y  x   y  Xét trường hợp tìm nghiệm nguyên phương trình là:  0;8  ,  83;0  ,  84; 1 ,  1; 84  Bài 2: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2015 - 2016 a 1   Tìm số nguyên a, b biết rằng: b  Lời giải a 1 2a        2a    b  3  14 14 b3 Ta có: b  Do a, b  Z  2a   U  14  2a    7; 1;1;7  a   0;3; 4;7   a; b    0; 5  ,  3; 17  ,  4;11 ,  7; 1 Vì 2a  lẻ nên Bài (khó): HSG TPHCM, năm học 2016 - 2017 x  x  y  1  y   Tìm x, y nguyên thỏa mãn: Lời giải Ta có: x  x  y  1  y     x  y   x  y   x    x  y  1  x  y    Xét trường hợp kết luận nghiệm phương trình:  5;5 ,  3;1 ,  1;1 ,  9;5 Bài 4: HSG Vũng Tàu, năm học 2015 - 2016 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x  2xy  x  y  19  Lời giải Ta có: x  xy  x  y  19   x  x  1  y  x  1   x  1  17   x  1  x  y    17 Xét trường hợp để ý x  số lẻ Từ tìm nghiệm ngun phương trình:  0; 19  ,  1;16  ,  8; 11 ,  9;8  Bài 5: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x  xy  x  y  Lời giải Ta có: x  xy  x  y    x  1  x  y    22 Xét trường hợp nhận thấy phương trình khơng có nghiệm ngun Vậy phương trình vơ nghiệm Bài 6: HSG Thừa Thiên Huế, năm học 2016 - 2017 2 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x  y  x y  xy  x  14 Lời giải Ta có: x  y  x y  xy  x  14  x  y  x y  xy  x  14    x  y   x   y  1  15 Xét trường hợp tìm nghiệm nguyên phương trình là:  3;  ,  2;  ,  3;  ,  2;  Bài 7: HSG Bình Phước, năm học 2016 - 2017 2 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 3x  y  xy  x  y   Lời giải Ta có: x  y  xy  x  y     3x  xy    2 y  xy    x  y    x  x  y   y  x  y    x  y     x  y   3x  y  1   1.7  7.1   1  7    7   1 Xét trường hợp kết luận phương trình vơ nghiệm Bài 8: HSG Tây Ninh, năm học 2016 - 2017 Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  xy  3x  y  Lời giải Ta có: x  xy  x  y    x    x  y  1  Do x, y nguyên  x  2; x  y  nguyên Mà  1.3  3.1   3  1   1  3 Vậy nghiệm nguyên dương  x; y  phương trình là:  1;3 ,  1; 1 ,  3; 1 ,  5;3 Bài 9: HSG Tỉnh Lai Châu, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên  x; y  thỏa mãn  y   x  y  y   Lời giải Ta có:  y   x2  y  y     y   x2   y  y      y    x2  y   23  y     y  1    y  1  x  y   x     y   1 y  3 x      ( loai )   x  y  1   x  4 Vậy nghiệm phương trình là:  x; y    0; 1 Bài 10: HSG Lai Châu, năm học 2016 - 2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x   y   x  x   y  x  x  24  1 Lời giải Ta có:  1   x  3 y   x  x  3 y  x2  x   30   x  3 y   x  3  x  1 y   x  3  x    30   x  3 4 y   x  1 y   x     30   x  3  y  y    x  y  1   30   x    y  1  y    x  y  1   30   x  3  y  1  y  x    30 y  1   x    y  x  Với x, y nguyên y  số lẻ  Mà 30  1.5.6  5.1.6   6   1   6   5   3.2.5   5   3    5   2    5   2  Từ ta tìm nghiệm phương trình:  8;0  ,  4;  ,  3;  ,  3;0  ,  5;1 ,  5; 3 ,  2;1 ,  6; 3  Bài 11: Chuyên Hưng Yên, năm học 2016 - 2017 Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y, z phương trình: xyz  xy  yz  zx  x  y  z  2015 Thỏa mãn x  y  z  Lời giải Ta có: xyz  xy  yz  xy  x  y  z  2015   x  1  y  1  z  1  2016  7.32.25  16.14.9  1 Vì x  y  z   x   9; y   9; z   Từ  x   16   1   y   14   x; y; z    15;13;8 z 1   Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là:  x; y; z    15;13;8  Bài 12: Chuyên Toán Phú Thọ, năm học 2016 - 2017 24 x  x y  x  xy  x  10  1 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: Lời giải Ta có:  1  x  x  y   x  x  y    x  x   10   x  y   x  x    x  x   10   x  x    x  y   1  10 *)Nhận xét: +) 10  1.10  2.5   1  10    2   5  +) x  x  x  x  1 số chẵn  x  y  1 số lẻ 1  x  x   x     1  x  x  2  +) Từ nhận xét ta có trường hợp sau   x  x  10   2  x  y     x  x    2  x  y     x  x  10   x  y  1  - TH1:   (vô nghiệm)  x   x     x  x   y     x  2      x  2   x  y    x  y      y  - TH1: Vậy có hai số  x; y  thỏa mãn toán:  1;  ,  2;5  Bài 13: HSG Hải Dương, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên  x; y  thỏa mãn: x  y  x  y  xy  Lời giải Ta có: x  y  x  y  xy    x  y   x  y  3  7 Ta xét trường hợp tìm nghiệm phương trình là: Bài 14: 25  3;  ,  5; 6  ,  7; 4  ,  1;  Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x  y  xy   0(1) Lời giải Ta có: (1)  xy  x  y    x(3 y  2)  y    x  (3 y  2)  5(3 y  2)  11  (3 y  2)(6 x  5)  11.1  1.11  ( 1)( 11)  ( 11)( 1)  trường hợp  ( x, y )  (1,1);( 1; 3) Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: ( x; y )   (1;1), (1; 3) Bài 15: 2 Tìm x, y  Z , thỏa mãn x  x  y  0(1) Lời giải (1)  x  x  y   (2 x  1)  (2 y )   (2 x  y  1)(2 x  y  1)   1.1  (1)(1) 2 x  y    x    x  y    y  +) 2 x  y   1  x  1   x  y     y  +) Vậy nghiệm phương trình là: ( x, y )   (0; 0);( 1;0) Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên a) 3xy  x  y  2 b) x  3xy  y  2 c) xy  x  y   x  y  xy 2 d) 3x  y  xy  x  y  2 e) x  y  xy  x  y   Lời giải a) ta có: 3xy  x  y   3(3 y  1)  y   (3 y  1)3x  y   (3 y  1)(3x  1)  y 1 x y 3x  Vậy ( x, y )  (0,1);(1, 0) 3 26 -1 -2 -1 -2 -1 2 1 2 2 b) x  xy  y   x  xy  xy  y   ( x  y )(2 x  y)  2x  y x  2y x y -1 c) -1 -7 13 9 13 -7 -1 -3 xy  x  y   x  y  xy  xy  x  y   x  y  xy   ( x  1)(2 y  x  y )  1  1.( 1)  (1).1  x  2; y  1(tm ) x 1     x  2; y  1 (loai ) y  x  y     +)  x   1 x    y  +) 2 y  x  y   d) Ta có: x  y  xy  x  y   x  y   xy  x  y  x  x    (2 x  y  1)  ( x  2)  3  ( x  y  3)(3 x  y  1)  3  1.( 3)  (1).3  ( 3).1  3.( 1)  trường hợp 2 2 e) x  y  xy  x  y    ( x  y  1)  (2 y  1)   ( x  y  2)( x  y )   ( x, y )  (2;1), (5; 2), ( 6,1);(3, 2) Bài 17: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x  y)   3xy Lời giải 2( x  y )   3xy  3xy  x  y   y(3x  2)  (3 x  2)    (3 x  2)(3 y  2)  19 3 Ta có: Do x, y nguyên dương  x   1;3 y   Mà: 19  19.1  1.19 nên ta có trường hợp sau: 3x   x    +) 3 y   19  y  3 x   19 x    y 1 +) 3 y   Vậy: ( x, y)  (7,1);(1, 7) Bài 18: 27 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  x   y Lời giải 2 2 2 Ta có: x  x   y  x  x  24  y  (2 x  1)  y  23  (2 x  y  1)(2 x  y  1)  23  : TH  ( x, y )   (5, 6);(5, 6);( 6, 6);( 6, 6) Bài 19: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  x  y  Lời giải ( y  6) ( y  6) x  xy  x  y   x  x( y  6)  y    x  x( y  6)    5y   4 Ta có: 2  x  x( y  6)  ( y  6)  ( y  6)  4(5 y  8)   2 x  ( y  6)   ( y  6)  4(5 y  8)  44 43 A  A2  y  12 y  36  20 y  32  y  y   A2  ( y  4)  12  ( y   A)( y   A)  12 Có: y   A có tính chẵn lẻ nên chúng phải chẵn 12 chẵn y4 A y4 A -2 -6 -6 -2 Bài 20: 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 5 xy  y  x  y  1(1) Lời giải 2 Ta có: x  xy  y  ( x  y)(2 x  y);7 x  y  m( x  y)  n(2 x  y)  ( m  2n) x  (2m  n) y  m  2n  m     2m  n  n  Đặt a  x  y; b  x  y  (1)  ab  3a  2b   (a  2)(b  3)   : TH  ( x, y )  (3, 2);( 3, 4) Bài 21: Tìm tất số nguyên x cho a) A  x  x  10 số phương b) B  x  x  số phương c) C  x  x  số phương 28 Lời giải a Theo giả thiết: x  x  10  y ( y  N )  x  12 x  40  y  (2 x  3)  31  (2 y )  (2 y  x  3)(2 y  x  3)  31 Vì y  x   y  x   y  2 y  x    +) TH1: 2 y  x   31 2 y  x   31  x   9; 6  y  x    +) TH2: 2 2 b) B  x  x   y ( y  N )  ( x  1)  y   ( x   y )( x   y )   1.5  5.1 (1).( 5)  (5).( 1)  : TH  x   2; 4 2 2 c) B  x  x   y ( y  N )  ( x  1)   y  ( y  x  1)( y  x  1)   1.6  2.3  6.1  3.2  (1)(6)  Sau xét trường hợp vơ nghiệm Cách khác: Ta có: y  x   ( y  x  1)  2 x  2M2  cungtinhchanle +) Nếu y  x  lẻ  y  x  lẻ  tích lẻ nên loại +) Nếu y  x  chẵn  y  x  chẵn  tích chia hết cho 4, mà khơng chia hết loại Vậy không tồn x Bài 22: Tìm số nguyên x cho: x( x  1)( x  7)( x  8) số phương Lời giải Theo giả thiết x( x  1)( x  7)( x  8)  y ( y  N )  a( a  7)  y  4a  28a  y  (2a  7)2  49  (2 y )  (2a   y )(2a   y )  49 Ta có: 2a   y  2a   y; 49   trường hợp x   +) 49  x  9 29 +)  x  0; x  8 +) -7 -7  x  1; x  7 +) - 49 –  x  4 Vậy x   1; 9;0; 8; 1; 7; 4 Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên 3 a) x  y   xy (1) 3 b) x  y  xy  Lời giải 3 2 a) Ta có: a  b  c  3abc  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca ) (1)  x  y  23  3.x y.2   ( x  y  2)( x  y   xy  x  y )  2 2 Lại có: 2( x  y 4  xy  x  y )  ( x  y )  ( x  2)  ( y  2)  : TH +) ( x  y )  xy  2( x  y )    x  y  1   ( x, y )  (0, 1);( 1, 0)   xy  x  y   +) ( x  y )  3xy  2( x  y )    x  y   y   x    ( x, y )  (2,3); (3, 2)   xy   x(5  x)  x  y   Vậy phương trình có nghiệm 3 b) Ta có: x  ( y )   3.3.x.( y )  28  ( x, y)  (1,3);(3, 1) Bài 24: HSG Như Xuân, năm học 2020 - 2021 Tìm nghiệm nguyên dương  x; y  phương trình x  xy  y  Lời giải Ta có: x  xy  y    x  3   y   21  * * Vì x  ¢ nên x   x   x    * Từ   suy 7  y   y   x   21  x  18   y  Hoặc 7  y  Vậy phương trình cho có hai nghiệm ngun dương là: 30  x; y    4;  ;  x; y    18;6  Bài 25: HSG Diễn Châu, năm học 2020 - 2021 Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2012 x  2013 y  2014  Lời giải Ta có x  xy  2012 x  2013 y  2014   x  xy  2013x  2013 y  x  2013    x  x  y   2013  x  y    x  2013     x  y   x  2013   x  2013      x  2013  x  y  1     x  2013  x  y  1  Vì x, y nguyên nên ta có bảng sau 1 1 2012 2014 x  2013 1 2014 2014  x; y    2014; 2014  ,  2012; 2014  x  y 1 x y Vậy Bài 26: HSG Cẩm Xuyên, năm học 2020 - 2021 Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình x2  y2  y  Lời giải Ta có 2 x  y  y   x  y  y   x   y  1  y   Vì x, y  Z nên x số phương Mà  y  1  y   tích hai số nguyên liên tiếp  y 1  y 1    x   y  1  y    Do để  y    y  Với y   x  Với y   x  Với y   x  Vậy cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình x  y  y   0;1 ;  0;  Bài 27: HSG Nghi Lộc, năm học 2017 - 2018 Tìm nghiệm số tự nhiên phương trình xy  x  35  y Lời giải   x    y    15 Ta có xy  x  35  y 31  x, y  ¥ x    Vì  x   ¥ nên  x   Để  x  5  y    15  15M x  5  x    5;15 Khi x   y   hay x  ; y  Khi x   15 y   hay x  10 ; y   0;7  ;  10;5  Vậy cặp nghiệm phương trình Bài 28: HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021 Tìm tất cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn điều kiện: x  xy  x  y   Lời giải x  xy  x  y   (1)  Giả sử tồn x, y  Z thỏa mãn đề Ta có: x  xy  x  y    x( x  y )  ( x  y )  x    ( x  y )(2 x  1)  (2 x  1)  3  (2 x  1)( x  y  1)  3 (1)  Vì x, y  Z nên x   Z ; x-y+1  Z Suy x  ước 3  x    3; 1;1;3  x   2;0; 2; 4  x   1;0;1; 2   x   1; 2 ; Mà x  Z Nếu x  , thay vào (1) ta được: (2.1  1).(1  y  1)  3   y  3  y  (thỏa mãn) Nếu x  thay vào (1) ta được: (2.2  1).(2  y  1)  3  3(3  y )  3   y  1  y  (Chọn) Vậy  x; y     1;5 ,  2;   cặp giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề Bài 29: HSG Ba Vì, năm học 2018 - 2019 2 Tìm giá trị x, y nguyên dương thỏa mãn x  y  x  y   Lời giải x  y  x  y    (4 x  x  1)  (4 y  12 y  9)    (2 x  1)  (2 y  3)   (2 x   y  3)(2 x   y  3)   (2 x  y  2)(2 x  y  4)   ( x  y  1)( x  y  2)  x  y 1    x  y   x  x     y   y  x  y 1    x  y   ( x, y nguyên dương nên x  y   ) 32 x  x    2 Vậy  y   y  x  y  x  y   Bài 30: HSG Hà Đông, năm học 2020 - 2021 Tìm cặp số nguyên  x, y  thoả mãn: x  xy  2020 x  2021 y  2022  Lời giải 2 Ta có x  xy  2020 x  2021 y  2022   x  xy  x  2021x  2021y  2021   x( x  y  1)  2021( x  y  1)   ( x  2021)( x  y  1)  Vì x; y  ¢ nên ( x  2021);( x  y  1)  ¢ ta xét trường hợp sau:  x  2021  1  x  2020    y  2022 TH1:  x  y   1  x  2021   x  2022   TH2:  x  y    y  2022 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2020; 2022  ;  2022; 2022  33 ... số nguyên thỏa mãn  1; 3  5;5 Dạng 2: Đưa phương trình ước số (phương trình tích) *) Ta gọi phương trình ước số phương trình có vế trái tích biểu thức có giá trị nguyên, vế phải số nguyên. .. 22 Xét trường hợp nhận thấy phương trình khơng có nghiệm ngun Vậy phương trình vơ nghiệm Bài 6: HSG Thừa Thiên Huế, năm học 2016 - 2017 2 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x  y  x y  xy ... Tìm nghiệm nguyên phương trình xy  x  y  Hướng dẫn giải Ta có xy  x  y   x  y  1   y  1    y  1  x  1  Ta gọi phương trình phương trình ước số: Vế trái tích thừa số nguyên,