Dang toan phuong trinh nghiem nguyen on thi hsg dai so 8

Giaovienvietnam.com DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN A.Bài tốn ( x; y ) Bài 1: Tìm cặp số nguyên Bài 2: cho: x − y − xy − x − y + 40 = x − xy = x − y − Tìm nghiệm nguyên phương trình: Bài 3: x, y Tìm số nguyên Bài 4: thỏa mãn: x3 + x + 3x + = y x + xy + ( x + y ) + y + 10 = x, y thỏa mãn: Tìm số nguyên Bài 5: x, y x = y + y + 13 nguyên dương cho : Tìm giá trị Bài 6: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = Bài 7: Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy Bài 8: Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x> y>0 x3 + y = y + x x + xy + y = x y 2 Bài 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Bài 10: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết tổng ba tích hai 242 ba số Bài 11: Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x = y + y + 13 x − y + x − y − 10 = x, y Bài 12: : Tìm nguyên dương thỏa mãn: Bài 13: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị x3 + x + x + A= 2x +1 số nguyên Bài 14: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình y 2016 x 2015 + + + =2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 Bài 15: Tìm tất số x,y,z nguyên thỏa mãn: Trang x2 + y2 + z2 − xy − 3y − 2z + = Giaovienvietnam.com Bài 15: Tìm giá trị x,y x2 = y2 + 2y + 13 nguyên dương cho x; y ) thỏa mãn phương trình: Bài 16: Tìm tất cặp số nguyên ( x − 25 = y ( y + ) ( x, y ) thỏa mãn Bài 17: Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa Bài 18: Tìm cặp số ngun cho tích x y đạt giá trị lớn Bài 19: Với giá trị mãn x2 + y2 + =4 x2 ( x − a ) ( x − 10 ) + b a y + xy − x − = đa thức thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Bài 20: a) Tìm cặp số nguyên b) Tìm cặp số nguyên đạt giá trị lớn Bài 21: Ký hiệu vượt [ a] a ( x; y ) ( x, y ) x thỏa mãn y2 2x + + =4 x a cho tích x y ) số nguyên lớn không  34 x + 19   11  = x + biết rằng: Bài 22: Tìm cặp số nguyên y + xy − x − = (phần nguyên Tìm thỏa mãn phân tích ( x;y) thỏa mãn: x + x + = y2 Bài 23: 2 Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x + 2x − 10 = y Bài 24: 2 Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: x − y + 2x − 4y − 10 = x,y x3 + 2x2 + 3x + = y3 Bài 25: Tìm số nguyên thỏa mãn: Bài 26: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Bài 27: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x3 + 2x2 + 3x + = y3 Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên : Bài 29: Tìm tất 3x + 3xy − 17 = 7x − 2y Bài 30: a Tìm tất cặp số tự nhiên cặp ( x;y ) Trang x2 + y2 = 3− xy số thỏa mãn: nguyên ( x;y) 2x = 5y − 624 thỏa mãn Giaovienvietnam.com b Tìm tất cặp số nguyên ( x;y) thỏa mãn: 10x + 50y + 42xy + 14x − 6y + 57 < Bài 31: Giải phương trình x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = Bài 32: Tìm tất x + xy − 17 = x − y cặp Bài 33: Tìm cặp số nguyên 5x + 10 x + y + y − = Bài 34: Tìm số nguyên x, y nghiệm số ( x; y ) thỏa mãn: nguyên nguyên: ( x; y ) thỏa mãn thỏa mãn phương trình: x + y + xy − x − y = 3x + x = x Bài 35: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Bài 36: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Bài 37: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015 + + + =2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 Bài 38: Tìm giá trị x, y nguyên dương cho x, y , z Bài 39: Tìm tất số nguyên thỏa mãn: 2 x + y + z − xy − y − z + = ( x; y ) x = y + y + 13 x2 + x + = y Bài 40: Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: Bài 41: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi x − xy + y − 16 = Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y = − xy Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên : Bài 44: x, y x3 + x + 3x + = y thỏa mãn: a) Tìm số nguyên b) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: x − y + x − y − 10 = Trang với x, y nguyên Giaovienvietnam.com Bài 45: Tìm giá trị nguyên x để B = 2x − AMB A = 10 x − x − biết Bài 46: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên: Bài 48: Tìm nghiệm nguyên x = y ( y + 1) ( y + ) ( y + 3) ( x; y ) x + xy − 2012 x − 2013 y − 2014 = phương trình Bài 49: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x3 + x + 3x + = y ( y = −2 x6 − x3 y − 32 ) Bài 50: Tìm nghiệm nguyên phương trình: ( x; y ) y + xy − x − = Bài 51: Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn: Bài 52: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: x3 + 2x2 + 3x + = y3 Bài 53: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + y2 = - xy Bài 54: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương số đo diện tích số đo chu vi Bài 55: Tìm số nguyên Bài 56: x x, y thỏa mãn: B= Tìm giá trị nguyên để biểu thức Trang x + x + 3x + = y x3 − x + x 2x −1 nhận giá trị nguyên Giaovienvietnam.com Bài 57: Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: + x + x + x3 = y3 x, y Bài 58: Tìm số nguyên 2 x + xy + ( x + y ) + y + 10 = thỏa mãn: x + y + 3xy + 3x + y = 15 Bài 59: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x; y ) y + xy − 3x − = Bài 60: thỏa mãn: Tìm cặp số nguyên x − xy = x − y − Bài 61: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x, y x3 + x + 3x + = y Bài 62: thỏa mãn: Tìm số nguyên ( x; y ) Bài 63: Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: x − 25 = y ( y + ) x, y Bài 64: Tìm số nguyên thỏa mãn: Tìm tất 3x + 3xy − 17 = x − y Bài 65: cặp x3 + x + 3x + = y số nguyên ( x; y ) thỏa mãn Giải phương trình x + xy − 2012 x − 2013 y − 2014 = Bài 66: nghiệm nguyên: B HƯỚNG DẪN Tìm cặp số 2 x − y − xy − x − y + 40 = Lời giải Ta có: Trang nguyên ( x; y ) cho: Giaovienvietnam.com 3x − y − xy − x − y + 40 = ⇔ x − ( x + y + xy + x + y + 1) = −41 ⇔ ( x + y + 1) − ( x ) = 41 2 ⇔ ( x + y + 1) ( y − x + 1) = 41 3x + y + = a y − x + = b 41, a b Đặt : Suy ước có tích 41 41 Nhận thấy số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: a −41 −1 41 b −1 −41 41 x= a−b −10 10 −10 10 y= a + 3b − 4 −12 −32 30 10 Vậy cặp số nguyên Bài 67: ( x; y ) ( −10; −12 ) ; ( 10; −32 ) ; ( −10;30 ) ; ( 10;10 ) cần tìm x − xy = x − y − Tìm nghiệm nguyên phương trình: Lời giải x − xy = x − y − ⇔ x − x + = y ( x − ) x2 − x + ⇔ y= x−5 ⇔ y = ( x + 1) + (vì khơng nghiệm ( 2) ) x+5 x, y Vì nguyên nên x ∈ { 4;6;8;2} x y x=5 (2) x−5 ước ⇔ x − ∈ { −1;1;3; −3} 8 ( x; y ) = { ( 2;0 ) ; ( 4;0 ) ; ( 6;8 ) ; ( 8;8 ) } Vậy nghiệm phương trình Bài 68: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: Lời giải Trang x3 + x + 3x + = y hay Giaovienvietnam.com 3  y − x = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y (1) 4  3 Ta có: 15 ( x + ) − y = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ y < x +  16  Từ ( 1) ( 2) x< y< x+2 (2) y = x +1 x, y ta có: mà nguyên suy y = x +1 Thay vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = −1 ⇒ y = ( x; y ) = ( −1;0 ) Vậy Bài 69: Tìm số nguyên 2 x + xy + ( x + y ) + y + 10 = x, y thỏa mãn: Lời giải Ta có: x + xy + ( x + y ) + y + 10 = ⇔ x + xy + 28 x + 28 y + y + 40 = ⇔ ( x + y + ) + y = ( *) ( 2x + y + 7) ≥ y2 ≤ ⇔ y2 ≤ Ta thấy ⇒ y = { 01; −1} Với y=0 thay vào nên ( *) ( 2x + 7) =9 y nguyên nên x ∈ { −2; −5} y ∈ { 0;1} ta được: tìm y =1 ( *) ( x + 9) = x Với thay vào ta có: , khơng tìm nguyên y = −1 ( *) ( x + 5) = x Với thay vào ta có khơng tìm ngun ( x; y ) = { ( −2;0 ) ; ( −5;0 ) } Vậy x, y x = y + y + 13 Bài 70: Tìm giá trị nguyên dương cho : Lời giải Ta có: x = y + y + 13 ⇔ x = ( y + 1) + 12 ⇔ ( x + y + 1) ( x − y − 1) = 12 Trang Giaovienvietnam.com x + y + − ( x − y − 1) = y + x, y ∈ ¥ * Do số chẵn nên x + y + > x − y − x + y +1 x − y −1 Do hai số nguyên dương chẵn x + y +1 = x − y −1 = Từ suy có trường hợp : ( x; y ) = ( 4;1) ⇔ x = y = Vậy Bài 71: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = Lời giải 3x – y3 = ⇔ 3x = y3 + (1) - Dễ thấy x = y = nghiệm (1) 3n - Nếu x < 3x = ( n nguyên dương, n = - x) x suy < < Mà y + số nguyên, suy (1) nghiệm ngun  - Nếu x > 3x   (1) ⇔ 3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1) ⇒ (y + 1)3 nên y + Đặt y + = 3k ( k nguyên), suy y = 3k – Thay vào (1) ta được: x = (3k – 1)3 + = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + ước 3x mà 3k2 – 3k + 1  3 k −  + > 2  3k2 – 3k + 1= nên 3k2 – 3k + = ⇔ 3k(3k – 1) = ⇔ k = k = Với k = y = - suy 3x = phương trình vơ nghiệm Với k = y = suy 3x = nên x = Bài 72: Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy Lời giải a) x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy ⇔ x + y2 – 2xy = 35xy - 5x2y2 - 60 ⇔ (x – y)2 = 5(3 – xy)(xy – 4) (1) ⇔ ⇔ ∈ Vì (x – y)2 ≥ nên 5(3 – xy)(xy – 4) ≥ ≤ xy ≤ xy {3;4}  x =   xy =  y =    x = −2  x, y ∈ ¢  x = y ⇔  ⇔   y = −2 Đẳng thức (1) xảy ∈ Vậy (x,y) {(2;2);(-2;-2)} Trang  Bài 73: Tìm tất số nguyên x + y = y3 + x Giaovienvietnam.com x, y x> y>0 thỏa mãn Lời giải PT ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) = ( x − y ) ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y − ) = ⇔ x + xy + y − = 0(Vi x > y ) ⇔ ( x − y ) = − 3xy ≥ ⇒ xy ≤ 2 x> y>0 Vì nên xy = , x = 2; y = Bài 74: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y = x y xy Lời giải: Thêm vào hai vế phương trình ta có: x + xy + y = x y + xy ⇔ ( x + y ) = xy ( xy + 1) xy & xy + Ta thấy hai số ngun liên tiếp có tích số phương nên tồn số xy = ⇒ x + y ⇒ x = y = TH1: ( x; y ) ∈{ ( 1; −1) ; ( −1;1) } xy + = xy = −1 TH2: ta có nên ( 0;0 ) ; ( −1;1) ; ( 1; −1) Thử lại ba cặp số nghiệm phương trình cho Bài 75: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết tổng ba tích hai 242 ba số Lời giải x, x + 1, x + Gọi ba số tự nhiên liên tiếp Ta có: x ( x + 1) + x ( x + ) + ( x + 1) ( x + ) = 242 ⇔ x + x + x + x + x + x + = 242 ⇔ x + x + = 242 ⇔ x + x = 240 ⇔ x + x = 80 ⇔ x + x + = 81 ⇔ ( x + 1) = 2 x +1 = ⇔ ⇔  x + = −9  x = (TM )  x = −10( KTM )  8;9;10 Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm x, y x = y + y + 13 Bài 76: Tìm giá trị nguyên dương cho: Lời giải Trang Giaovienvietnam.com ( x + y + 1) ( x − y − 1) = 12 Biến đổi đẳng thức cho dạng x + y + > x − y − x + y + 1; x − y − Lập luận để có ước dương 12 Từ ta có trường hợp: x + y +1 12 x − y −1 x 13 y Mà − ( x; y ) = ( 4;1) x; y nguyên dương nên x, y x − y + x − y − 10 = Bài 77: : Tìm nguyên dương thỏa mãn: Lời giải x − y + x − y − 10 = ⇔ ( x + x + 1) − ( y + y + ) − = ⇔ ( x + 1) − ( y + ) = ⇔ ( x − y − 1) ( x + y + 3) = 2 x, y Vì nguyên dương nên x − y − = ⇒ x = 3; y = x + y + > x − y −1 > ⇒ x + y + = ( x, y ) = ( 3,1) Phương trình có nghiệm dương Bài 78: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị số nguyên A= Lời giải: ĐKXĐ: Ta có: x3 + x + x + 2x +1 2x + ≠ ⇔ x ≠ A= −1 2 x + x + x + x ( x + 1) + ( x + 1) + 4 = = x2 + + 2x +1 2x + 2x +1 Để A có giá trị nguyên x nguyên x + 1∈U ( ) = { −4; −2; −1;1; 2; 4} Lập bảng: 2x +1 -4 -2 -1 2x -5 -3 -2 −3 x -1 Vậy, x ∈ { −1; 0} −5 2 Trang 10 Giaovienvietnam.com Bài 96: a Tìm tất cặp số tự nhiên b Tìm tất cặp số nguyên ( x;y ) ( x;y) thỏa mãn: 2x = 5y − 624 thỏa mãn: 10x + 50y + 42xy + 14x − 6y + 57 < Lời giải a +Xét +Xét Vậy Ta có: x = 0, x∈ ¥ 2x = 5y − 624 ⇔ 2x + 624 = 5y (*) = 625 ⇔ y = y ta có: x> ( x;y ) = ( 0;4) ta có VT(*) số chẵn cịn vế phải (*) số lẻ, Vơ lý b Ta có: 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x − 6y + 57 < ( ) ( ) ( ) ⇔ 9x2 + 42xy + 49y2 + x2 + 14x + 49 + y2 − 6y + − 1< ⇔ ( 3x + 7y ) + ( x + 7) + ( y − 3) − 1< 2 ⇔ ( 3x + 7y ) + ( x + 7) + ( y − 3) < Vì ( 3x + 7y ) ≥   ( x + 7) ≥  ( y − 3) ≥  x,y∈ ¢ ( 3x + 7y) + ( x + 7) + ( y − 3) nên 2 =0 x = −7 2 ⇒ ( 3x + 7y ) = ( x + 7) = ( y − 3) = ⇒  y = Bài 97: Giải phương trình x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = Lời giải x2 + xy − 2012x − 2013y − 2014 = ⇔ x2 + xy + x − 2013x − 2013y − 2013 = ⇔ x ( x + y + 1) − 2013( x + y + 1) = ⇔ ( x − 2013) ( x + y + 1) =   x − 2013 =   x = 2014   x + y + 1=  y = −2014  ⇔ ⇔   x − 2013 = −1  x = 2012     x + y + = −1   y = −2014 Trang 18 nghiệm nguyên: Giaovienvietnam.com Bài 98: Tìm tất x + xy − 17 = x − y cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn Lời giải Ta có: x + 3xy − 17 = x − y ⇔ 3xy + y = −3 x + x + 17 ⇔ ( x + ) y = −3 x + x + 17 nguyên nên nên ta có: −3 x + x + 17 −3 x − x + x + + 11 = 3x + 2 y= = 2x + ≠ − x ( 3x + ) + ( x + ) + 11 11 = −x + + 3x + 3x + Vì x, y ngun nên ta có 11 3x + nguyên Xét trường hợp ta tìm ⇒ 11M3 x + ⇒ x + = ±1; ±11 x = −1; y = −1; x = −3; y = ( x; y) Bài 99: Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: 5x + 10 x + y + y − = Lời giải 5x + 10 x + y + y − = ⇔ ( 5x + 10 x + ) + ( y + y + ) = 13 ⇔ 5(x + x + 1) + 2( y + y + 1) = 13 2 ⇔ 5( x + 1) + 2( y + 1) = 13 Vì: Mà  x + 1∈ Z x ∈ Z ⇒    y + ∈ Z y∈Z 5( x + 1) ≤ 13 ⇒ x + ≤ Mặt khác x2 + ≥ với x ⇒ x +1 = ⇒ x2 = ⇒ x = Với x=0 , ta có: + 2( y + 1) = 13 ⇒ 2( y + 1) = ⇒ ( y + 1) =  y3 + =  ⇒  y + = −2 ⇒  y3 =   y = −3 Trang 19 Vì x Giaovienvietnam.com Vì y ∈ Z nên y3 = ⇒ y=1 ( x; y ) = ( 0;1) Vậy phương trình có nghiệm ngun x, y Bài 100: Tìm số nguyên thỏa mãn: x + y + xy − x − y = Lời giải x + y + xy − x − y = ⇔ ( x + y − 1) + y = y M4; ( x + y − 1) ≥ 0; y ≥ Do ∀x, y nên  y =    y =  x =   y =    x = −2  ( x + 1) =   y = − ⇔  ⇔ ⇔   y = −1   y = −1 x + y − = ( )    x − = ( )  x =      x =  Vậy 4 y =  ( x + y − 1) = ( x; y ) ∈ { ( 0;1) ; ( −2;1) ; ( 2; −1) ; ( 4; −1) } thỏa mãn x, y Bài 101: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Lời giải Ta thấy Với x=2 x≠2 Với Với x>2 x0 nên y ≥1 −y Ta có: y y 3  4 3 4 5 5  ÷ +  ÷ =1⇔  ÷ +  ÷ =1⇔  ÷ +  ÷ =1 5 5 5 5 3  4 y Phương trình vơ nghiệm y 5  5 5  ÷ + ÷ ≥ + >1 3  4 x=2 Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 102: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Lời giải: Gọi cạnh tam giác vuông x, y , z số nguyên dương) Trang 20 x, y , z cạnh huyền z ( Giaovienvietnam.com Ta có: xy = ( x + y + z ) ( 1) z = ( x + y ) − xy , 2 Từ (2) suy x + y = z (2) thay (1) vào ta có: z = ( x + y) − 4( x + y + z) 2 z2 + 4z = ( x + y ) − ( x + y ) z2 + 4z + = ( x + y ) − ( x + y ) + ( z + 2) Suy = ( x + y − 2) z + = x + y − ⇒ z = x + y − 4; xy = ( x + y + x + y − ) thay vào ( 1) ta được: xy − x − y = −8 ( x − ) ( y − ) = 1.8 = 2.4 x, y , z Từ ta tìm giá trị là: ( x; y; z ) ∈ { ( 5;12;13) ; ( 12;5;13) ; ( 6;8;10 ) ; ( 8; 6;10 ) } Bài 103: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015 + + + =2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 Lời giải +) Với a , b , c, d dương, ta có: a b c d F= + + + b+c c+d d +a a +b c   b d  a ( d + a) + c ( b + c) b ( a + b) + d ( c + d )  a = + + + ≥ ÷+  ÷= ( b + c) ( d + a) ( c + d ) ( a + b) b+c d +a   c+d a+b 2 2 a + c + ad + bc b + d + ab + cd ( a + b + c + d + ab + ad + bc + cd ) ≥ + = 1 2 ( a+b+c+d) ( b + c + d + a ) ( c + d + a + b) 4 xy ≤ (theo bất đẳng thức Mặt khác: ( x + y) ) ( a + b + c + d + ab + ad + bc + cd ) − ( a + b + c + d ) = a + b + c + d − 2ac − 2bd = ( a − c ) + ( b − d ) ≥ Suy F ≥2 +)Áp dụng đẳng thức xảy F ≥2 với ⇔ a = c; b = d a = 2016, b = x, c = y , d = 2015 Trang 21 ta có: Giaovienvietnam.com 2016 x y 2015 + + + ≥2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 Đẳng thức xảy ⇔ y = 2016, x = 2015 Bài 104: Tìm giá trị x, y nguyên dương cho Lời giải Biến đổi đẳng thức cho dạng x + y + > x − y −1 Lập luận để có có trường hợp x = y + y + 13 ( x + y + 1) ( x − y − 1) = 12 x + y + 1; x − y − ước dương 12 từ x + y +1 12 x − y −1 x 13 y −1 Mà x, y nguyên dương nên ( x; y ) = ( 4;1) Bài 105: Tìm tất số 2 x + y + z − xy − y − z + = Lời giải x, y , z nguyên thỏa x + y + z − xy − y − z + =  y2  3  ⇔  x − xy + ÷+ ( z − z + 1) +  y − y + ÷ =  4   y 2  ⇔  x − ÷ + ( z − 1) + ( y − ) = 2  Có giá trị ( x, y, z ) = ( 1; 2;1) Bài 106: Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x2 + x + = y Lời giải x + x + = y ⇔ x + x + 12 = y ⇔ ( x + 1) − y = −11 ⇔ ( x + y + 1) ( x − y + 1) = −11 Trang 22 mãn: Giaovienvietnam.com  2 x + y + =  x = −3 ⇒   2 x − y + = −11  y =  2 x + y + = −1  x =  ⇒  2 x − y + = 11  y = −3 ⇔  2 x + y + = 11 ⇒  x =  2 x − y + = −1  y =   2 x + y + = −11  x = −3  2 x − y + = ⇒  y = −3   Bài 107: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Lời giải x, y , z z Gọi cạnh tam giác vuông cạnh huyền ( x, y , z số nguyên dương) Ta có xy = ( x + y + z ) (1) x2 + y2 = z2 (2) z = ( x + y ) − xy, Từ (2) suy thay (1) vào ta có: z2 = ( x + y ) − 4( x + y + z ) ⇔ z + 4z = ( x + y ) − 4( x + y ) ⇔ z + 4z + = ( x + y ) − 4( x + y ) + ⇔ ( z + 2) = ( x + y − 2) 2 z + = x + y − ⇔  z + = − x − y + 2( ktm z > 0) vi ⇔ z = x + y − 4; thay vào (1) ta được: ⇔ xy − x − y = −8 xy = ( x + y + x + y − ) ⇔ ( x − ) ( y − ) = = 1.8 = 2.4 x, y , z Từ tìm giá trị là: ( x; y; z ) ∈{ ( 5;12;13) ; ( 12;5;13) ; ( 6;8;10 ) ; ( 8;6;10 ) } Bài 108: Giải phương trình nghiệm nguyên: x − xy + y − 16 = Lời giải x − xy + y − 16 = ⇔ ( x − y ) = 16 − y (1) Từ ( 1) suy 16 − y ≥ ⇔ y ≤ 16 ⇒ y ∈ { 0;4;9;16} Trang 23 Giaovienvietnam.com *) y = ⇒ y = ⇒ x = ±4 *) y = ⇒ y = ±2 ⇒ x ∉ ¢ (ktm) *) y = ⇒ y = ±3 ⇒ x ∉ ¢ (ktm) *) y = 16 ⇒ y = ±4 ⇒ x = ±8 Vậy phương trình ( 4;0 ) ; ( −4;0 ) ; ( 8;4 ) ; ( −8; −4 ) cho có cặp Bài 109: Giải phương trình nghiệm nguyên : Lời giải ( x − y) nghiệm nguyên x + y = − xy ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇒ − xy ≥ xy ⇔ xy ≤ Ta có: ( x + y ) ≥ ⇔ x + y ≥ −2 xy ⇒ − xy ≥ −2 xy ⇔ xy ≥ −3 Lại có: x, y ∈ ¢ ⇒ xy ∈ { −3; −2 − 1;0;1} −3 ≤ xy ≤ Suy Mà ( x, y ) ∈{ ( −2;1) ; ( 1; −2 ) ; ( 2; −1) ; ( −1;2 ) ; ( 1;1) } Lần lượt thử ta nghiệm phương trình x, y x3 + x + 3x + = y Bài 110: a) Tìm số nguyên thỏa mãn: x, y x − y + x − y − 10 = x, y b) Tìm số nguyên thỏa mãn: với nguyên dương Lời giải 3  3 y − x = x + 3x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y (1) 4  a) Ta có:  15  ( x + ) − y = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ y < x + (2)  16  Từ ( 1) ( 2) x< y< x+2 x, y y = x +1 ta có: mà nguyên suy y = x +1 Thay vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = −1 ⇒ y = ( x; y ) = ( −1;0 ) Vậy b) x − y + x − y − 10 = ⇔ ( x + x + 1) − ( y + y + ) − = ⇔ ( x + 1) − ( y + ) = ⇔ ( x − y − 1) ( x + y + 3) = 2 Trang 24 Giaovienvietnam.com Vì x, y Vậy nguyên dương nên ( x; y ) = ( 3;1) x + y + = x = x + y + > x − y −1> ⇒  ⇒ x − y − =  y =1 Bài 111: Tìm giá trị nguyên x để B = 2x − AMB biết A = 10 x − x − Lời giải Xét Với A 10 x − x − = = 5x + + B 2x − 2x − x∈¢ Mà Ư AMB ∈ ¢ ⇒ M( x − 3) 2x − (7) = { −1;1;7; −7} x = −5; −2; 2;1 AMB nên Bài 112: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Lời giải Gọi cạnh tam giác vuông x, y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương) Ta có : xy = 2( x + y + z ) (1) z = ( x + y ) − xy, 2 Từ (2) suy x + y = z (2) z = ( x + y ) − xy, thay (1) vào ta có : 2 thay (1) vào ta có: z = ( x + y) − 4( x + y + z) 2 z + z = ( x + y ) − 4( x + y ) z + x + = ( x + y ) − 4( x + y ) + ( z + 2) = ( x + y − 2) ⇒ z + = x + y − 2 z = x+ y−4 , thay vào (1) ta được: xy = ( x + y + x + y − ) ⇔ xy − x − y = −8 ( x − ) ( y − ) = = 1.8 = 2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z : ( x; y; z ) ∈ { ( 5;12;13) ; ( 12;5;13) ; ( 6;8;10 ) ; ( 8;6;10 ) } Bài 113: Giải phương x + xy − 2012 x − 2013 y − 2014 = Lời giải Trang 25 trình nghiệm nguyên: Giaovienvietnam.com (x ) ( ) ( ) − x + ( x − ) = 43 ⇔ x − x + x − x + = 43; 2 Đặt x2- 4x = t ĐK t ≥ -4 Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35 = ⇔ t = -7 (loại) t = ⇔ (t + 7)(t – 5) = ⇔ Với t = 5, x2 - 4x - = (x +1)(x – 5) = Vậy tập nghiệm phương trình S = {-1; 5} Bài 114: Tìm nghiệm nguyên x = y ( y + 1) ( y + ) ( y + 3) ( x; y ) ⇔ x = x = -1 phương trình Lời giải x = y ( y + 1) ( y + ) ( y + 3) ⇔ x = y ( y + 3) ( y + 1) ( y + ) 2 ⇔ x2 = ( y + y ) ( y2 + y + 2) Đặt t = y2 + 3y +1 ta x = ( t − 1) ( t + 1) ⇔ x = t − ⇔ x − t = −1 ⇔ ( x − t ) ( x + t ) = −1 Vì x, y số ngun nên có hai trường hợp sau: * TH1: y = −2 * TH2: Suy x=0 x+t số nguyên Do ta t = −1 x +t =1 Suy x=0 t =1 Vậy PT cho có nghiệm nguyên ( x; y ) ⇔ y = −1 y + y + = ⇔ y + y = ⇔ y ( y + 3) = ⇔ y = y + y + = −1 ⇔ y + y + = ⇔ ( y + 1) ( y + ) = x − t = −1 t =1 x + t = −1 t = −1 Với Với x −t =1 x−t y = −3 ( 0; −3) , ( 0; −2 ) , ( 0; −1) , ( 0;0 ) Bài 115: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x3 + x + 3x + = y Lời giải 3  y − x = x + 3x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y 4  Ta có (1)  15  ( x + 2)3 − y = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ y < x +  16  (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x + mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = Từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) (1; 2) Trang 26 ± 1; Giaovienvietnam.com KL nghiệm ( y = −2 x6 − x3 y − 32 Bài 116: Tìm nghiệm ngun phương trình: Lời giải Ta có: ( ) ( ) ) y = −2 x − x y − 32 ⇔ x + x − x y + y = 64 ( ) +( x ⇔ x2 Vì x2 ∈ N  x =   x − y = Vậy −y ) = 64 64 phân tích thành  x =   x − y 64 = 02 + 43 = 03 + 82 nên ta có: pt ( ) =8 cho  x = 2; x = −2 ⇒  y = 8; y = −8 có x =   y = 8; y = −8 nghiệm ( x = 0; y = 8) ; ( x = 0; y = −8) ; ( x = 2; y = 8) ; ( x = −2; y = −8 ) Bài 117: : Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: nguyên: y + xy − x − = Lời giải y + xy − x − = ⇔ x + xy + y = x + x + ⇔ ( x + y )2 = ( x + 2)( x + 3) Ta có: (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số x + =  x = −2 ⇔ ⇔ x + =  x = −3 *) Với *) Với x = −2 ⇒ y = x = −3 ⇒ y = ( x; y ) = (−2; 2) ( x; y ) = (−3;3) Vậy có cặp số nguyên Bài 118: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: x + 2x2 + 3x + = y3 Lời giải Ta có: = >0 Từ (1) (2) ta có : Thay y = x + vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = -1 Từ tìm hai cặp số (x;y) thỏa mãn toán (-1;0); (1;2) Bài 119: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + y2 = - xy Lời giải Ta có: Lại có: Suy Lần lượt thử ta nghiệm phương trình Trang 27 Giaovienvietnam.com Bài 120: Lời giảiGọi cạnh tam giác vng cạnh huyền z số nguyên dương) Ta có: Từ (2) suy , thay (1) vào ta có: Suy thay vào (1) ta được: Từ tìm giá trị là: Bài 121: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + x + 3x + = y Lời giải 3  y − x = x + 3x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y 4  1.1 Ta có: (1) 15 ( x + ) − y = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ y < x + (2)  16  Từ ( 1) Thay ( 2) ta có: y = x +1 x = −1 ⇒ y = Vậy x< y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x +1 vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm ( x; y ) = ( −1; ) Bài 122: Tìm giá trị nguyên x B= để biểu thức x3 − x + x 2x −1 trị nguyên Lời giải a) B= x3 − x + x x3 − x − x + x + x − + 3 = = 2x2 − 2x + + 2x −1 2x −1 2x −1 Để B nhận giá trị nguyên ( x − 1) ∈U (3) = { −1;1; −3;3} ⇒ x ∈ { 0;1; −1; 2} Bài 123: Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: Lời giải 1  1+ x + x =  x + ÷ + > 2  Ta nhận thấy Nên với x3 < + x + x + x = y Trang 28 x + x + x + x3 = y3 nhận giá Giaovienvietnam.com Theo câu a): Suy : ( x + 2) > + x + x + x3 x3 < y3 < ( x + )  x = −1 3 ⇒ y = ( x + 1) ⇔ + x + x + x = ( x + 1) ⇔ x ( x + 1) = ⇔  x =  x = −1 ⇒ y = x = ⇒ y =  Vậy phương trình có nghiệm ngun Bài 124: Ta có: x + xy + ( x + y ) + y + 10 = ( −1;0 ) ; ( 0;1) ⇔ x + xy + 28 x + 28 y + y + 40 = ⇔ ( x + y + ) + y = ( *) ( 2x + y + 7) ≥ y2 ≤ ⇔ y2 ≤ Ta thấy: y ∈ { 0;1} ⇒ y ∈ { 0;1; −1} Với Với y=0 thay vào y =1 ( *) ( *) ta nên ( 2x + 7) ( x + 9) =9 tìm y nguyên nên x ∈ { −2; −5} =5 thay vào ta có : khơng tìm x ngun y = −1 ( *) ( x + 5) = x Với thay vào ta có: khơng tìm nguyên ( x; y ) ( −2;0 ) ; ( −5;0 ) Vậy nguyên tìm Bài 125: Biến đổi dạng ( x + y + ) ( x + y + 1) = 17 = 1.17 = 17.1 = −1 − 17 = −17 − : ⇒ ( x; y ) = { ( 30; −15 ) ; ( −18;17 ) ; ( 12; −15 ) ; ( −36;17 ) } Xét trường hợp Bài 126: Ta có: y + xy − x − = ⇔ x + xy + y = x + 3x + ( *) ⇔ ( x + y ) = ( x + 1) ( x + ) VT (*) số phương ; VP (*) tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có số x +1 =  x = −1 ⇒ y = ⇔ ⇔ x + =  x = −2 ⇒ y = Trang 29 Vậy có cặp số nguyên Giaovienvietnam.com ( x; y ) = { ( −1;1) ; ( −2;2 ) } x − xy = x − y − ⇔ x − x + = y ( x − ) Bài 127: (2) x − 6x + ⇔ y= x−5 (vì ⇔ y = x −1 + x−5 Hay Khi Khi x=5 Vì x − ∈ { −1;3;1; −3} x =2⇒ y =0 x =6⇒ y =8 không nghiệm phương trình (2)) x, y x−5 nguyên nên ước x ∈ { 4;6;8;2} hay x =4⇒ y =0 Khi x =8⇒ y =8 Khi ( x, y ) ∈{ ( 2,0 ) ; ( 4,0 ) ; ( 6,8 ) ; ( 8,8 ) } Vậy phương trình có nghiệm nguyên 3  y − x = x + 3x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y (1) 4  Bài 128: Ta có: 2 15 ( x + ) − y = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ y < x +  16  3 (2) ( 2) x< y< x+2 x, y y = x +1 ta có: mà nguyên suy y = x +1 Thay vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = −1 ⇒ y = Từ ( 1) Vậy ( x; y ) = ( −1;0 ) Bài 129: Bài x − 25 = y ( y + 6) ⇔ x − ( y + 3) = 16 2 ⇔ ( x + y + 3) ( x − y − 3) = ( ±4 ) ( ±4 ) = ( ±2 ) ( ±8 ) = ( ±1) ( ±16 ) x− y -1 11 -5 19 -13 x+ y -7 -11 -1 -5 13 -19 -2 -4 Vậy cặp số nguyên phải tìm là: ( 4; −3) ; ( −4; −3) ; ( 5;0 ) ; ( −5; −6 ) ; ( 5; −6 ) ; ( −5;0 ) Bài 130: Lời giải Trang 30 Giaovienvietnam.com 3  y − x = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y (1) 4  Ta có: 2 15 ( x + ) − y = x + x + =  x + ÷ + > ⇒ y < x +  16  ( 1) (2) ( 2) x< y< x+2 x, y y = x +1 ta có: mà nguyên suy y = x +1 Thay vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = −1 ⇒ y = Từ ( x; y ) = ( −1;0 ) Vậy Tìm tất 3x + 3xy − 17 = x − y Bài 131: cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn Lời giải Ta có: x + 3xy − 17 = x − y ⇔ 3xy + y = −3 x + x + 17 ⇔ ( x + ) y = −3 x + x + 17 2x + ≠ nguyên nên nên ta có: 2 −3 x + x + 17 −3 x − x + x + + 11 y= = 3x + 2 − x ( 3x + ) + ( 3x + ) + 11 11 = = −x + + 3x + 3x + Vì Vì x x, y ngun nên ta có 11 3x + nguyên ⇒ 11M3x + ⇒ 3x + = ±1; ±11 x = −1; y = −1; x = −3; y = Xét trường hợp ta tìm Bài 132: Giải phương trình x + xy − 2012 x − 2013 y − 2014 = Lời giải x + xy − 2012 x − 2013 y − 2014 = a Trang 31 thỏa mãn kết luận nghiệm nguyên: Giaovienvietnam.com ⇔ x + xy + x − 2013x − 2013 y − 2013 = ⇔ x ( x + y + 1) − 2013 ( x + y + 1) = ⇔ ( x − 2013) ( x + y + 1) =   x − 2013 =   x = 2014   x + y + =  y = −2014  ⇔ ⇔   x − 2013 = −1   x = 2012     x + y + = −1   y = −2014 Trang 32 ... + 43 = 03 + 82 nên ta có: pt ( ) =8 cho  x = 2; x = −2 ⇒  y = 8; y = ? ?8 có x =   y = 8; y = ? ?8 nghiệm ( x = 0; y = 8) ; ( x = 0; y = ? ?8) ; ( x = 2; y = 8) ; ( x = −2; y = ? ?8 ) Bài 117:... x =2⇒ y =0 x =6⇒ y =8 khơng nghiệm phương trình (2)) x, y x−5 nguyên nên ước x ∈ { 4;6 ;8; 2} hay x =4⇒ y =0 Khi x =8? ?? y =8 Khi ( x, y ) ∈{ ( 2,0 ) ; ( 4,0 ) ; ( 6 ,8 ) ; ( 8, 8 ) } Vậy phương trình... x+5 x, y Vì nguyên nên x ∈ { 4;6 ;8; 2} x y x=5 (2) x−5 ước ⇔ x − ∈ { −1;1;3; −3} 8 ( x; y ) = { ( 2;0 ) ; ( 4;0 ) ; ( 6 ;8 ) ; ( 8; 8 ) } Vậy nghiệm phương trình Bài 68: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: