ĐS9 cđ6 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 2222

Dạng 3: Phân tích thành tổng khơng âm - Cơ sở phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn, vế lại tổng bình phương số nguyên (số số hạng hai vế nhau) Chẳng hạn:   A2    B 2 2 A +B =m +n ⇔    A   B  = m2 = n2 = n2 = m2 , giải phương trình tương ứng kết luận nghiệm phương trình Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên x − 12 x + y − 12 y + 20 = Lời giải Ta có x − 12 x + y − 12 y + 20 = ⇔ ( x − 12 x + ) + ( y − 12 y + ) + = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) + = 14 43 14 43 ≥0 ≥0 (phương trình vơ nghiệm) Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên x − 3x + y − y + 10 = Lời giải Ta có x − 3x + y − y + 10 = ⇔ x − 12 x + y − 24 y + 40 = ⇔ ( x − 12 x + ) + ( y − 24 x + 36 ) = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = = 12 + 22 = ( −1) + ( −2 ) 2 2 (có trường hợp) + TH1: 2 x − = x = ⇔  2 y − = y = (thỏa mãn) Các trường hợp lại tương tự Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên x + y + z − xy + x − y − z + = Lời giải Phân tích: x − xy + y ( a + b + c) không ổn = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca Dùng ( a − b + c) = a + b + c − 2ab − 2bc + 2ca ( x − y + 1) = x + y + − y − xy + x Ta có phương trình ⇔ ( x + y + − xy − y + x ) + ( y − y + 1) + ( z − z + ) = ⇔ ( x − y + 1) + ( y − 1) + ( z − ) = = ( ±1) + + 02 2 2 Ta xét trường hợp: + TH1: x − y +1 = x =    y −1 = ⇔  y = z − = z =   (thỏa mãn) Các trường hợp cịn lại làm tương tự Bài 4: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số tổng bình phương số tạo hai chữ số đầu hai chữ số cuối Biết hai chữ số cuối giống Lời giải Gọi số có bốn chữ số abcc a ≠ 0; a, b, c ( chữ số) 2 abcc = ab + cc ⇔ ab00 + cc = ab + cc ⇔ 100 x + y = x + y Từ giả thiết 2 ( ab 2 = x; cc = y ) ⇔ x + y − 100 x − y = ⇔ ( x − 400 x + 1002 ) + ( y − y + 1) = 1002 + ⇔ ( x − 100 ) + ( y − 1) = 1002 + ⇒ ( y − 1) ≤ 1002 + ⇒ y − ≤ 100 ⇒ y ≤ 50 2 y = cc ⇒ y ∈ { 0;11; 22;33; 44} Vì + +  x = = ab  x − 100 = 100 y = ⇒ ( x − 100 ) = 1002 ⇔  ⇔  x − 100 = −100  x = 100 = ab  x − 100 = 76  x = 88 y = 33 ⇒ ( x − 100 ) = 762 ⇔  ⇔  x − 100 = −76  x = 12 (loại) (loại) Bài 5: Giải phương trình nghiệm ngun khơng âm x y − xy + y + x − y − = Lời giải Phân tích: y − y + = ( y − 1) ; x y − xy = xy ( x − ) Phương trình x3 y − xy + y + x − y − = ⇔ xy ( x − ) + ( y − y + 1) + x − = ⇔ ( x − ) ( xy + 1) + ( y − 1) = 14 43 14 43 >0 Vì Vì ( *) ≥0  xy + > ⇒ x − ≤ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤  ( y − 1) ≥ x ∈ ¥ ⇒ x ∈ { 0;1; 2} + Với  y = ( TM ) x = ⇒ ( *) : ( y − 1) = ⇔   y = −1 ( KTM ) Thay vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn + Với x = ⇒ −3 y + y − y − = ⇔ y − y + y + = ⇔ y ( y − 1) + y + = y =0⇒2=0 Nếu (vô nghiệm) y > ⇒ y ≥ ⇒ y − > ⇒ VT > VP Nếu (không thỏa mãn) x = ⇒ y =1 + (thỏa mãn) Vậy ( x; y ) = ( 0;3) ; ( x; y ) = ( 2;1) Bài 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y − x − y = (1) Lời giải Ta có x + y − x − y = ⇔ x + y − x − y = 32 ⇔ ( x + x + 1) + ( y + y + 1) = 34 2 ⇔ x − + y − = 32 + Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng hai số 32 ,52 phương  x − =   y − = Do phương trình thỏa mãn hai khả năng:  x − =   y − = Giả hệ suy phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên ( 2;3) , ( 2; −2 ) , ( −1; −3) , ( −1; −2 ) , ( 3; ) , ( 3; −1) , ( −2; ) , ( −2; −1) Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên a) ( x + y + 1) x + y − xy − y + = b) Lời giải ( x − 2y) + ( y − 2) = a) Ta đưa dạng = ( x + y + 1) ( x − y) + ( x − 1) + ( y − 1) = 2 b) Đưa dạng Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x + y + z + xy + yz = 26 − xz Lời giải Ta có 3x + y + z + xy + yz = 26 − xz ⇔ ( x + y + z ) + ( x + y ) + x = 26 2 Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z + yz = 36 − xz Lời giải Phương trình x + y + z + yz = 36 − xz ⇔ ( x + y + z ) + ( x − y ) = 36 2 Bài 10: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z + yz = 19 − xz Lời giải Nhân vào hai vế phương trình ta được: ( x + y + z) + ( x − y ) + z = 38 Bài 11: Tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình x + y − y = 66 − y Lời giải x + y − y = 66 − y ⇔ x + ( y − 1) = 65 Ta có y=0 Xét trường hợp y = 2⇒ x=8 không thỏa mãn, y>2 Với ta có tổng khơng âm Bài 12: Chuyên Sư phạm HN năm học 2007 - 2008 ( x + y ) + xy = x + y x, y Tìm tất số nguyên dương thỏa mãn Lời giải ( x + y ) + xy = x + y Cách 1: Ta có ⇔ ( x − y ) + ( x − 2) + ( y − 2) = 2 Cách 2: Nhận xét Cách 3: ( x − 2) ( y − 2) ≤ x2 − ( y + 2) x + y − y = Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình y z + ( y − xy ) z + x ( x − y ) + y z ( y − 1) = Lời giải Phương trình ⇔ ( y z − yz + x ) + ( y z − xy ) = − y z + y z + ( − y ) y z ⇔ ( yz − x ) + y ( yz − x ) = y z ( − y ) + y z ( − y ) 2 y y2 y2 y   ⇔  yz − x + ÷ = y z ( − y ) ( + z ) + ⇔ = y z ( z + 1) ( y − 1) +  yz − x + ÷ 2 4 2   Từ phương trình (*) ta suy y2 ≥ y z ( z + 1) ( y − 1) (**) y =1 y, z Do số nguyên dương nên (**) ta suy y≥2 Vì (*) z ≥1 z ( z + 1) ( y − 1) ≥ ⇒ y z ( z + 1) ( y − 1) > nên y2 , mẫu thuẫn với (**) y =1 Thay vào (*) ta có z − x = x = z 1   z − x + ÷ = ⇔  z − x = −1 ⇔  x = z + 2    Vậy phương trình cho có nghiệm ( t ;1; t ) , ( t +;1; t ) với t ∈ ¢+ Bài 14: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y − x + y + 13 = ( 1) Lời giải x + y − x + y + 13 = ⇔ ( x − x + ) + ( y + y + ) = ⇔ ( x − ) + ( y + ) = Ta có: x − = x = ⇔ ⇔ y + =  y = −2 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: ( x; y ) = ( 3; −2 ) Bài 15: HSG Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2016 - 2017 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: x +5 y + xy + y = 12 Hướng dẫn giải x +5 y + xy + y = 12 ⇔ ( x + y ) + ( y + 1) = 13 = ( ±2 ) + ( ±3 ) 2 2 Ta có: y +1 Để ý mãn tốn là: x, y có dạng lẻ nên ta có trường hợp kết luận nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ { ( 1;1) , ( 0; −2 ) , ( 4; −2 ) , ( −3;1) } Bài 16: Chuyên Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2017 - 2018 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: x +4 y − xy + x + = 2017 Hướng dẫn giải x +4 y − xy + x + = 2017 ⇔ ( x − y ) + ( x + 1) = 2017 = + 442 Ta có: Ta tiến hành xét trường hợp kết luận Vậy nghiệm nguyên phương trình là: thỏa ( 8; −18) , ( 8; 26 ) , ( −10; −27 ) , ( −10;17 ) , ( 43;17 ) , ( 43; 26 ) , ( −45; −27 ) , ( −45; −18) Bài 17: Chuyên Tỉnh Quảng Nam, năm học 2016 - 2017 ( m, n ) Tìm cặp số tự nhiên m2 + n2 = m + n + thỏa mãn: Hướng dẫn giải Ta có: m + n2 = m + n + ⇔ 4m + 4n = 4m + 4n + 32 ⇔ ( 4m − 4m + 1) + ( 4n − 4n + 1) = 24 ⇔ ( 2m − 1) + ( 2n − 1) = 34 < 62 Do 2m − 2n − hai số tự nhiên lẻ nhỏ có tổng bình phương 34 Có số tự nhiên lẻ nhỏ là: 1, 3, Ta có: Suy 32 + 52 = 34 m =  n = , đó:  2m − =   2n − =  2m − =   2n − = m =  n = Bài 18: HSG Nam Định, năm học 2015 - 2016 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: x + y + xy − x − y = Hướng dẫn giải x + y + xy − x − y = ⇔ ( x + y ) + ( x − 1) + ( y − 1) = Ta có: Từ tìm số ( x; y ) 2 ( 1;1) ; ( −1;1) ; ( 1; −1) cần tìm là: Bài 19: Chuyên Long An, năm học 2017 - 2018 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: 3x + y + 12 x + y + = Hướng dẫn giải x + y + 12 x + y + = ⇔ 48 ( x + ) + ( y + 3) = 121 2 Ta có: 8y + Chú ý có dạng lẻ nên ta có trường hợp kết luận nghiệm phương trình là: ( −2;1) Bài 20: Chuyên Hải Dương, năm học 2017 - 2018 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: x + y − xy − y + = Hướng dẫn giải x + y − xy − y + = ⇔ ( x − y + ) + ( y + ) = = 12 + 2 2 Ta có: Vậy nghiệm phương trình là: ( −6; −1) , ( −2; −1) , ( −6; −3) , ( −10; −3) , ( −1;0 ) , ( −3; ) , ( −9; −4 ) , ( −11; −4 ) Bài 21: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: x + y − xy − x + y + = Hướng dẫn giải x + y − xy − x + y + = ⇔ ( x − y − ) + ( y + ) = = 12 + 2 Ta có: Giải kết luận nghiệm phương trình là: ( −1; −2 ) , ( 1; −2 ) , ( 1; −1) , ( −3; −1) Bài 22: HSG Bến Tre, năm học 2016 - 2017 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: x + y + xy = y + Hướng dẫn giải Ta có: x + y + xy = y + ⇔ x + y + xy − y − = ⇔ ( x + y ) + ( y − 1) = = 02 + 32 = + ( −3 ) 2 y −1 Để ý có dạng số lẻ ( 1; −1) , ( −2;2 ) Giải kết luận nghiệm phương trình là: 2 Bài 23: HSG Bạc Liêu, năm học 2016 - 2017 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + 23 y + 16 x − 44 y + 16 xy − 1180 = Hướng dẫn giải Ta có: x + 23 y + 16 x − 44 y + 16 xy − 1180 = ⇔ ( x + y + 1) + 15 ( y − ) = 1248 ⇒ ( y − 2) ≤ 2 1248 ⇒ ( y − ) ≤ 83 15 ( x + y + 1) ,1248 ( 15;8 ) = ⇒ ( y − ) Do chia hết cho số phương chia hết cho ⇒ ( y − ) ∈ { 0;16; 64} ( −5;10 ) , ( −17;10 ) , ( −1; −6 ) , ( 11; −6 ) Từ tìm nghiệm phương trình: Bài 24: Chuyên Thái Bình, năm học 2016 - 2017 x, y Tìm số nguyên thỏa mãn: x + y + xy − x + y − 35 = Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có: x + y + xy − x + y − 35 = ⇔ ( x + y − 1) + ( y + 1) = 38 ⇔ ( 3x + y − 1) = 38 − ( y + 1) ≤ 38 ( 3x + y − 1) ; ( y + 1) 2 số phương nhỏ 38 ( 3x + y − 1) 2 chẵn từ ta có ( 3; −2 ) ; ( −1; −2 ) trường hợp tìm nghiệm phương trình là: Cách 2: Ta có: x + y + xy − x + y − 35 = ⇔ ( x + y − 1) + ( y + 1) = 38 ⇔ ( x + y − 1) = 38 − ( y + 1) 2 = −2 ( y + 1) − 19  ( *)   10 2 + TH1: Nếu ⇒ y3 x ≥ ⇒ VT = 3x + ≡ ( mod ) chia dư y ±1 ±2 ±3 ±4 y3 ±1 ±8 ±27 ±64 ±1 ±1 ±1 ±1 VT ≡ ( mod ) ⇒ ⇒ VP ≡ 0,1,8 ( mod ) + TH2: Nếu Với Với Vậy x 21 x> y⇒ ⇒ x  x ≥ y + ≥ 2 ≡ ( mod ) VT ( 1) ≡ 1( mod ) ⇒ ⇒ VP ( 1) ≡ ( mod ) x≥ y vô lý 20 (1) ⇒ x = y ⇒ 2x− y = ⇒ + = 2x ⇒ x = Vậy ( x; y ) = ( 1;1) Bài 6: Phương trình a) z = ( x − 1) ( y − 1) + n n = 2013 có nghiệm ngun khơng, b) n = 12 c) Lời giải a) Với n = 2013 , ta có phương trình (x − 1) ( y − 1) + 2013 Nhận xét: Một số phương chia có số dư 0, 1, ⇒ z = VT ≡ 0,1, ( mod ) ( 1) 2013 ≡ ( mod ) ; ( x − 1) ≡ −1;0;3 ( mod ) ; ( y − 1) ≡ −1; 0;3 ( mod ) ⇒ ( x − 1) ( y − 1) ≡ 1,3, ( mod ) ⇒ VP = ( x − 1) ( y − 1) + 2013 ≡ 6, 5, ( mod ) (2) Từ (1)(2) suy phương trình vơ nghiệm c) Với n = 1984 ⇒ z = x y − x − y +1985 ⇔ ( z − x y ) + ( x + y − 1985 ) = x, y Ta chọn Chọn Chọn cho x + y = 1985 x = ⇒ y = 1985 − 49 = 1936 ⇒ y = ±44 z = 7.44 = 298 Vậy phương trình có nghiệm ( x; y; z ) = ( 7; 44; 298) Bài 7: 21 n = 1984 Giải phương trình với nghiệm nguyên ( x + y + 1) ( 2016 x ) + y + x + x = 105 Lời giải Vì 105 Từ lẻ 2 x + y + le ⇒ x 2016 + y + x + x le ( 1) ⇒ 5y chẵn y Vì chẵn ⇒y x ( x + 1) ( 1) ( 2) chẵn chẵn nên từ (2) suy 2016 x lẻ x ≠ ⇒ x ≥ ⇒ 2016 x Nếu chẵn (vô lý) ⇒x=0 ( y + 1) ( + y ) = 105 ⇒ y = , thay vào ta có y∈Z ( x; y ) = ( 0; ) Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 9x + = y2 + y Lời giải Ta có: Có: /3 VT = x + ≡ 2( mod 9) ⇒ y + y ≡ 2(mod 9) ⇒ y + y M y + y = y ( y + 1) ⇒ y +) Nếu / ⇒ y ≡ 1, 2( mod 3) y + 1M y ≡ 1(mod 3) ⇒ y = 3k + ⇒ x + = (3k + 1) + 3k + = 9k + 9k + ⇔ x = 9k + 9k ⇔ x = k + k Vậy phương trình có nghiệm: x = k + k (k ∈ Z )   y = 3k + Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 22 a) x − y = 13 b) x2 = y2 − y + Lời giải a) x − y = 13 ⇔ x = y + 13 Nhận xét: Mặt khác: b) n ∈ Z ⇒ n2 ⇒ x ≡ 0,1( mod ) ( x ∈ Z ) ⇒ x ≡ 0,3 ( mod ) chia dư y + 13 ≡ 1(mod 4) ⇒ ptvn x = y − y + ⇔ x = 2( y − y ) + ⇔ x = 2( y − 2) − ⇔ x − 2( y − 2) = −5M5 x ;( y − 2) ≡ 0,1, 4(mod 5)  2 n ∈ Z ⇒ n ≡ 0,1, 4(mod 5) ⇒  ⇒ x , 2( y − 2) x − 2( y − 2) M5  Nhận xét: Chia cho có số dư nên số dư phải 2  x − 2( y − 2)2 M25  x ≡ 0( mod 5)  x ≡ 0( mod 5)  x M25 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ptvn    2 2( y − 2) ≡ 0( mod 5)  y − ≡ 0(mod 5) ( y − 2) M25 −5M/ 25 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 19 x + 28 y = 2009 Lời giải 28 y M4;16 x M4 Ta có: Phương trình 2009 chia dư 3 x 2chia ⇒ du  ⇔ 16 x + 28 y = { 2009 − 3x ⇒  ⇒ ptvn 4 :4→du:1 x chia ⇒ du 0, hoac ⇒ x : ⇒ du : 0, hoac :   M Bài 4: a) Giải phương trình nghiệm nguyên: b) Giải phương trình nghiệm nguyên: c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + 13 y = 1820 x + 13 y = 1620 3x + y = 1080 = 23.5.33 23 Lời giải a) Ta có: 1820 = 7.13.20 x M7  2  ⇒ 13 y M7 ⇒ y M7 ⇒ y M7 ( (13, 7) = 1) 1820M7  Tương tự: Đặt 13 y M 13 x M 13  13 ⇒ x M 13 ⇒ ⇒ x M 1820M 13 (7,13) = 1 x = 13a; y = 7b(a, b ∈ Z ) ⇒ 7.132 a + 13 b = 7.13.20 ⇒ 13a + 7b = 20 ⇒ a , b ≤ ⇒ a = b = 1(tm) ( x, y ) = (13, 7);(13, −7);(−1, 7);( −13, −7) Từ ta tìm nghiệm: b) Ta có: 1620 = 20.81 = 20.34 (2) ⇒ x + 13 y M3 ⇒ x + y M3 ⇒ x, y M3 Từ Đặt Đặt x = x1; y = y1 ( x1 , y1 ∈ Z ) ⇒ 9(7 x12 + 13 y12 ) = 20.34 ⇒ x12 + 13 y12 = 20.9(2) ⇒ x12 + y12 M3 ⇒ x1 , y1 M x1 = 3x2 ; y1 = y2 ( x2 , y2 ∈ Z ) ⇒ 9(7 x22 + 13 y22 ) = 20.9 ⇒ x22 + 13 y22 = 20 ⇒ x22 = y22 = ⇒ x2 = ±1; y2 = ±1 ( x, y ) = (9,9);(9, −9);( −9,9);( −9, −9) Từ ta tìm được: c) Từ  x M5  x = x1 pt ⇒  ⇒ ⇒ 3.52.x12 + 5.32 y12 = 23.5.33 ⇒ x12 + y12 = 23.32 (1) ⇒ x1 M ⇒ x1 = x2 y M y = y   ⇒ 5.32.x22 + y12 = 23.32 ⇒ 15 x22 + y12 = 23.32 ⇒ 15 x22 + y12 = 24 ⇒ x22 ≤ +) +) +) x22 = ⇒ x2 = ⇒ x1 = ⇒ x = ⇒ loại x2 = ⇒ x1 = ⇒ x = 15; y = ±9 x2 = −1 ⇒ x1 = −3 ⇒ x = −15; y = ±9 24 ( x, y ) = (15,9); (15, −9), (−15,9);( −15, −9) Vậy Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x14 + x24 + + x84 = 2015 ⇒ ptvn Lời giải Xét số dư +) n chẵn n4 cho 16 ⇒ n = 2k ⇒ n = 16k M 16 +) n ⇒ n = 2k + ⇒ n = (2k + 1) =  (2k + 1)  = 16 + 162k +43243 k + 8k (k + 1) + ⇒ n4 k4 44 14 43 M 16  x14 + + x84 ≡ 0,1, ,8(mod16) x , x ≡ 0,1(mod16) ⇒  ⇒ 2015 ≡ 15(mod16) Vậy M 16 lẻ chia 16 dư phương trình vơ nghiệm Bài 6: Tìm nghiệm ngun phương trình sau a) 2x + = y b) x + y + z = 1024 Lời giải a) +) Nếu +) Nếu Ta có: +) x = 2k + 1(k ∈ N ) ⇒ x = 22 k +1 = 2.4k ≡ 2( mod 3) ⇒ y ≡ 2(mod 3) ⇒ vô lý x = 2k ⇒ y = 22 k + ⇒ y − 22 k = ⇔ ( y − 2k )( y + 2k ) = y + 2k > ⇒ y − k > 0; y + 2k > y − k ⇒ trường hợp  y − 2k =  y = y = y = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ( x, y) = (0, 2)    k k  y + = 2.2 = k =  x = x, y , z b Do Có: có vai trị nhau, giả sử x≥ y≥z x + y + z = 210 ⇔ z (2 x − z + y − z + 1) = 210 ⇒ x − z + y − z + = 210− z ( x − z , y − z ∈ N ) ⇒ 210− z ∈ N 25 +) +) - 10 − z = ⇔ z = 10 ⇒ x −10 + y −10 = (loại) 10 − z ≥ y − z ≥ ⇒ x − z ≥ y − z ≥ ⇒ 2x− z + y− z + lẻ ≠ 210− z y − z = ⇔ y = z ⇒ x − z + = 210 − z ⇔ 210− z − x − z = ⇔ x − z  2(10 − z ) −( x − z ) − 1 = x− z x − z = 2 = ⇔  10− x ⇔ 2 − = 10 − x = x = ⇔ ⇒ ( x, y, z ) = (9,8,8) y = z = Bài 7: Tìm tất số tự nhiên x cho: x + 105 số phương Lời giải Theo giả thiết: x + 105 = y ( y ∈ N ) x = 2k + 1(k ∈ N ) +) Nếu x = 2k ( k ∈ N ) +) Nếu Ta thấy +) TH1: +) TH2: +) TH3: x = 2 k +1 = 2.4 k ≡ 2( mod 3) ⇒ y ≡ 2(mod 3) ⇒ y = 22 k + 105 ⇒ ( y − 2k )( y + k ) = 105 = 3.5.7 y − 2k > 0; y − 2k < y + 2k ⇒  y − 2k = ⇒ 2k +1 = 104  k  y + = 105 trường hợp (loại)  y − 2k =  y = 38  y = 19 ⇒ ⇒   k +1 k  y + = 35  = 32 k = ⇒ x =  y − 2k =  y = 11 ⇒  k  y + = 15 k = → x = 26 vô lý Vậy b) x ∈ { 4;6;8} 3x + 160 số phương ⇒x=2 (Xét modul 4) Bài 8: 1945 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: 19 x + y + 1890 z = 29 Lời giải x, y , z ≥ Vì , nên: Mặt khác: VT ≡ 19 x (mod 5) ≡ (−1) x (mod 5) ≡ 1, 4(mod 5)(1) x ( chẵn ) 91945 ≡ 1(mod 4) ⇒ 91945 = 4k + 1(k ∈ N * ) ⇒ VP ≡ 4k +1 = 2.16k ≡ 2(mod 5)(2) ⇒ VT ≠ VP ⇒ Từ (1) (2) phương trình vơ nghiệm Bài 9: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun a) c) e) x3 + y + z = 51111 b) x14 + x24 + + x84 = 32222 d) n3 + 2006n = 20082007 + f) x3 + y + z = x + y + z + 2008 x + y + z = 1000 x + y + z = 1999 Lời giải a) Nhận xét: a ≡ 0,1, −1(mod 9) a ≡ 0(mod 3) ⇒ a ≡ 0(mod 9); a ≡ ⇒ a − = ({ a − 1) (a + a + 1) ≡ 0(mod 9) 43 ≡3 Thật vậy, ≡3 a ≡ −1(mod 3) ⇒ a + = ({ a + 1) (a − a + 1) ≡ 0(mod 9) 43 ≡0 Nếu ≡0 VT ≡ 0, ±1, ±2, ±3(mod 9) (1) Áp dụng: Có: 53 = 125 ≡ −1(mod 9) ⇒ 56 ≡ 1(mod 9) ⇒ 51111 = (56 )185 ≡ 5( mod 9) (2) Từ (1) (2) suy phương trình vơ nghiệm 27 x3 − x = x( x + 1)( x − 1); y − y = y ( y + 1)( y − 1); z − z = z ( z − 1)( z + 1) b) Ta có: /3⇒ ⇒ VT ≡ 0( mod 3), VP M a ≡ 1(mod16), ∀a ∈ N c) Ta có: Thật vậy: vì: phương trình vơ nghiệm , a lẻ a − = (a + 1)(a − 1)(a + 1) M 16 a + 1M2  a −1 (a − 1)(a + 1)M ( a +1 hai số chẵn liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết tích chúng chia hết cho 8) VT ≡ 0,1, 2, 8( mod16) (1) Áp dụng: 34 = 81 ≡ 1(mod16);32222 = (34 )555+ = 9.(34 )555 ≡ 9( mod16)(2) ⇒ Ta có: phương trình vơ nghiệm x, y , z ∈ Z ⇒ x , y , z ≡ 0,1(mod16) ⇒ VT ≡ 0,1, 2,3( mod16), VP ≡ 8(mod16) ⇒ d) Có phương trình vơ nghiệm n3 + 2006n = n3 − n + 2007n = n(n − 1)(n + 1) + 2007 n ⇒ VT ≡ 0(mod 3) (1) 44 43 12 e) Ta có: Lại có: M M 2008 ≡ 1( mod 3) ⇒ 20082007 ≡ 1( mod 3) ⇒ 20082007 + ≡ 2( mod 3)(2) ⇒ phương trình vơ nghiệm 1999 ≡ 3(mod 4) f) Ta có: mà: Đặt x , y , z ≡ 0,1(mod 4) ⇒ x , y , z ≡ 1(mod 4) ⇒ x, y, z lẻ x = x1 + 1; y = y1 + 1; z = z1 + ⇒ (2 x1 + 1) + (2 y1 + 1) + (2 z1 + 1) = 1999 ⇔ x1 ( x1 + 1) + y1 ( y1 + 1) + z1 ( z1 + 1) = 499 ⇒ 14 43 14 43 14 43 {M/2 M M M phương trình vơ nghiệm Bài 10: HSG Tỉnh Tuyên Quang, năm học 2015 - 2016 Xác định tất cặp nguyên dương ( x; n ) thỏa mãn phương trình sau: 28 x3 + 3367 = 2n Lời giải x3 + 3367 = 2n ⇒ x ≡ 2n ( mod ) Từ Nếu x3 n 2n không chia hết cho chia cho cho số dư 2, 7, khi chia cho cho số dư 0, nên khơng thể có đồng dư thức Vậy n = 3m với m số nguyên dương Thay vào phương trình cho ta được: (2 m Từ − x ) ( 2m − x ) + 3x.2m  = 3367 ( 1)   ( 1) ⇒ 2m − x Hơn Xét Xét Xét x + 3367 = 23m (2 m ước 3367 − x ) < 23m − x = 3367 2m − x = , thay vào (1) suy 2m − x = 2m − x = , thay vào (1) suy , thay vào (1) suy m = 4, n = 3m = 12 Từ ta có nên (2 m − x ) ∈ { 1;7;13} 2m ( m − 1) = 2.561 2m ( 2m − 13 ) = 2.15 2m ( 2m − ) = 24.32 x=9 (vô nghiệm) (vô nghiệm) (vô nghiệm) ( x; n ) = ( 9;12 ) Vậy Bài 11: Chun Lam Sơn Thanh Hóa vịng 2, năm học 2017 - 2018 Tìm tất cặp nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x + y = 20412 Lời giải Ta có: Đặt 20412M2 x = x1 y M2 nên xM2 phương trình trở thành: x12 + y = 5103 29 x ≡ 2n ( mod ) Vì 5103M3 ⇒ ( x12 + y ) M Đặt x1 = x2 hay Đặt - Nếu - Nếu Vậy + y2 ) M ⇒ x1 M3, y M3 phương trình cho trở thành Suy luận tương tự ta đặt x3 = x4 (x y2 = y3 x4 = 0; y3 = x4 ≠ 0; y3 ≠ x2 = 3x3 , ta được: x22 + y12 = 567 y1 = y2 , ta được: x32 + y 22 = 63 x42 + y32 = phương trình cho vơ nghiệm x4 = ±1 y3 = ±1 ⇒ x = ±54; y = ±27 y3 = ±1 ⇒ x = ±54; y = ±27 Bài 12: Olympic Mỹ Đức, năm học 2018 - 2019 Tìm cặp số tự nhiên ( x; y ) thoả mãn ( x + 15 y + 1) ( x + x + x + y ) = 305 Lời giải Ta có: ( x + 15 y + 1) ( x + x + x + y ) = 305 Vì 305 số lẻ nên Lại có Vì x + 15 y + (*) x + x2 + x + y số lẻ x + M2, ∀x ∈ ¥ ⇒ 15 y M2 ⇒ y M2  x + x = x ( x + 1) M2   y M2 x Nên để + x + x + y M2 x M2 ⇒ x = Khi đó, phương trình (*) trở thành: (thoả mãn) ( 15 y + 1) ( y + 1) = 305 30 (1) ⇒ 15y ⇒ 15 y + ∈ Mà 15 y + ≥ = { ±1; ±305; ±5; ±61} Ư(305) 15 y + chia 15 dư ⇒ 15 y + ∈ { 1;61} ⇒ 15 y ∈ { 0;60} ⇒ y ∈ { 0; 4} (thoả mãn) Với Với y=0 y=4 , thay vào (1) suy 1.1 = 305 , thay vào (1) ta (vơ lí) 61.5 = 305 (đúng) ⇒ y=4 thoả mãn ( x; y ) = ( 0; ) Vậy Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: x = y − y + (1) Lời giải Ta có: (1) ⇔ x = 2( y − 2) − 5(2); co : x ≡ 0,1, 4(mod 8), 2( y − 2) ≡ 0, 2(mod 8) ⇒ 2( y − 2) − ≡ 3,5(mod 8) VT ≡ 0,1, 4(mod 8) ⇒ ⇒ ptvn VP ≡ 3,5(mod 8) Bài không xét mod được, không xét mod được: Vì hai vế có số dư Bài 14: Phương trình z = ( x − 1)( y − 1) + n có nghiệm ngun khơng Lời giải Ta có: mà: x − ≡ 0,3, 7(mod 8)  2  ⇒ ( x − 1)( y − 1) ≡ 0,1,5(mod 8) y − ≡ 0,3, 7(mod 8)  2013 ≡ 5(mod 8) ⇒ VP ≡ 5, 6, 2(mod 8), z ≡ 0,1, 4(mod 8) ⇒ ptvn 31 n = 2013 Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên: 15 x − y = → mod Lời giải Ta có: 15 x ≡ ≡ 0(m0d 3) → y ≡ 0(mod 3) ⇔ y ≡ 0(mod 3) ⇔ y = ⇒ y = y1 ⇒ 15 x − 63 y12 = ⇔ x − 21 y12 = (1) Từ (1) ( y1 ∈ Z ) ⇒ x ≡ 0(mod 3) ⇒ x = x1 ( x1 ∈ Z ) ⇒ 15 x12 − y12 = y12 ≡ 0,1(mod 3) → 15 x12 − y12 ≡ 0, −1(mod 3) ≡ 0, 2(mod 3) → Có: VT ≡ 0, 2(mod 3)   → ptvn VP ≡ 1(mod 3)  Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên: x15 + y15 + z15 = 192003 + 72003 + 92003 Lời giải Ta có: 19 ≡ 1(mod 9) → 192003 ≡ 1(mod 9);7 ≡ −2(mod 9) → 73 ≡ ( −2)3 (mod 9) ⇒ 73 ≡ 1(mod 9) ⇒ 2001 ≡ 1(mod 9) 2003 ≡ 49(≡ 4(mod 9))(1) Nhận xét: a ≡ 0,1, −1(mod 9) ⇒ ( x )5 = ( x )3 ≡ 0,1, −1(mod 9) ⇒ VT ≡ −3, −2, −1, 0,1, 2,3(mod 9)(2) ⇒ ptvn Bài 17: Giải phương trình nghiệm nguyên a) c) 3x + = y b) (2 x + 1)(2 x + 2) + y = 307 d) 2x + y = 2x+ y x4 = x y Lời giải a 3x ≡ 1(mod 3) : x =0;3x ≡ 0(mod 3) : x = 1;3x ≡ 0(mod 3)khi : x ≥ 32 +) y ≡ 0,1,8(mod 9) Nếu x = → y = x ≥ → 3x + ≡ 7(mod 9) → voly ⇒   x = → y = 10(loai ) b Giả sử +) Nếu +) Nếu x ≥ y → 2x ≥ y , chia hai vế cho y ≠ → x− y + = x x = → 2− y + = 1(voly ) x ≥ → x : chan → x − y : le → x = y = → x = 20 + → x = → y = 1(tm) x 2 + = 17 y = → y = → (2 x + 1)(2 x + 2) = 306 = 17.18 ⇒  x ⇔ x = 4(tm) 2 + = 18 c Nếu +) Nếu y > → y ≡ 0(mod 3) - x: chẵn → ≡ −1(mod 3) → x ≡ 1(mod 3) → (2 x + 1)(2 x + 2) ≡ 0(mod 3) → x ≡ −1(mod 3) → (2 x + 1)(2 x + 2) ≡ 0(mod 3) → - x: lẻ Vậy ( x; y ) = ( 4;0 ) d Nếu x = → VT = 14 = = VP ⇒ y với Vậy x = 1, y = n ( n số số tự nhiên ) x = → VT = VP∀y ∈ N ⇒ x = 0, y = m(m ∈ N ) +) Nếu x ≠ 0, x ≠ ⇒ y = +) Nếu 33 VT ≡ 0(mod 3)   → y > 0( ptvn) VP ≡ 1(mod 3)  34 ... hoac ⇒ x : ⇒ du : 0, hoac :   M Bài 4: a) Giải phương trình nghiệm nguyên: b) Giải phương trình nghiệm nguyên: c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + 13 y = 1820 x + 13 y = 1620 3x + y = 1080... dung: Cho phương trình Xét số dư f ( x) g ( x) cho số +) Nếu hai số dư khác phương trình vơ nghiệm +) Nếu hai số dư làm tiếp *) Nhận xét: Dạng tốn đa số dùng chứng minh phương trình vô nghiệm cách... Số phương chia cho dư Số phương chia cho dư Số phương chia cho dư hoặc Số phương chia cho dư hoặc Số phương chia cho dư hoặc *) Nhận xét: Số lập phương chia cho dư 0, -1 Bài 1: Giả phương trình